第一章數與式第02講整式與因式分解TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01實際問題中的代數式??題型02求代數式的值??題型03整式的相關概念??題型04整式的加減??題型05冪的混合運算??題型06整式的乘除??題型07利用乘法公式變形求解??題型08乘法公式的應用??題型09整式的化簡求值-直接代入法??題型10整式的化簡求值-整體代入法??題型11整式的混合運算??題型12判斷因式分解的正誤??題型13因式分解??題型14因式分解的應用??題型15判斷整式運算或因式分解的錯誤步驟??題型16圖形類規律探索??題型17數字類規律探索??題型18數式中的新定義問題??題型01實際問題中的代數式1．（2024·河南信陽·一模）某商場出售一件商品，在原標價基礎上實行以下四種調價方案，其中調價后售價最低的是（

）A．先打九五折，再打九五折 B．先提價10%，再打八折C．先提價30%，再降價35% D．先打七五折，再提價10%2．（2023·安徽池州·一模）某產品的成本價為a元，銷售價比成本價增加了14%，現因庫存積壓，按銷售價的八折出售，那么該產品的實際售價為（

）A．(1+14%)(1+0.8)a元 B．C．(1+14%)(1?0.8)a元 D．3．（2022·貴州貴陽·一模）貴陽市“一圈兩場三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同學從家出發步行15min到達附近學校的運動場鍛煉，較之前步行去城市運動中心少走了25min．已知小高同學步行的速度為每分鐘am，則“一圈兩場三改”后，小高同學少走的路程是（

）A．am B．10am C．15am D．25am4．（2024·安徽·模擬預測）公司有330臺機器需要一次性運送到某地，計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛．已知每輛甲種貨車一次最多運送機器45臺、租車費用為400元，每輛乙種貨車一次最多運送機器30臺、租車費用為280元．(1)設租用甲種貨車x輛（x為非負整數），試填寫下表．表一：租用甲種貨車的數量/輛37x租用的甲種貨車最多運送機器的數量/臺135租用的乙種貨車最多運送機器的數量/臺150表二：租用甲種貨車的數量/輛37x租用甲種貨車的費用/元2800租用乙種貨車的費用/元280(2)給出能完成此項運送任務的最節省費用的租車方案，并說明理由．??題型02求代數式的值1．（2024·安徽·模擬預測）已知實數a，b，滿足a?b=6，ab=?8，則a2b?ab2．（2024·江西·模擬預測）若x+82+y?7=0，則代數式3．（2024·湖南岳陽·模擬預測）若a是16的算術平方根，而b的算術平方根是16，則a+b=．4．（2024·湖南·模擬預測）已知2x2?5x+1=0，則5．（2024·北京·模擬預測）已知∶2x2?5x?11=0??題型03整式的相關概念1．（2024·內蒙古包頭·三模）若單項式?3x2y的系數是m，次數是n，則mnA．9 B．3 C．?3 D．?92．（2024·云南楚雄·一模）按一定規律排列的單項式：x3，?4x5，9x7，?16A．?1n?1n2C．?1n?1n+123．（2023·海南·模擬預測）多項式a2+4abA．三次三項式 B．二次三項式 C．三次二項式 D．二次二項式4．（2024·江西九江·三模）若關于x，y的多項式x2?2x??題型04整式的加減1．（2024·重慶渝北·模擬預測）如圖1，將邊長為m的正方形紙片剪去兩個小矩形，得到一個“2”的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個小矩形拼成一個新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長可表示為（

）A．2m?4n B．2m?3n C．4m?8n D．4m?6n2．（2024·河南周口·三模）如果單項式：2xym與12x3．（2024·山東臨沂·模擬預測）在“點燃我的夢想，數學皆有可衡”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規律進行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是．4．（2024·河北邢臺·模擬預測）在計算題：“已知，M=□，N=2x2?4x+3求2M?N”時，嘉琪把“2M?N”看成“M?2N(1)求整式M；(2)若x≠12，請比較2M與5．（2024·河北秦皇島·一模）已知整式a2+ab?★ab?b2?5(1)則★所表示的數字是多少？(2)嘉淇說該代數式的值一定是正的，你認為嘉淇的說法對嗎？說明理由．??題型05冪的混合運算1．（2024·河北·模擬預測）下列運算中，與2a2b?A．2b?2ab2 B．?8a2+b2．（2020·四川樂山·中考真題）已知3m=4，32m?4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．3．（2023·湖北襄陽·模擬預測）a324．（2024·廣東江門·一模）計算：(1)2024+(2)?a??題型06整式的乘除1．（2024·陜西渭南·模擬預測）下列計算錯誤的是（）A．2m2m+1C．m2n?2mn2．（2024·河北·模擬預測）已知一臺計算機的運算速度為1.2×109次/秒，這臺計算機9×10A．10.8×1012 B．1.08×1014 C．3．（2024·湖北武漢·模擬預測）若m×4x2y2=12A．4x?3y B．?4x+3y C．4x+3y D．?4x?3y4．（2023·陜西西安·二模）先化簡，再求值：x+2yx?2y+x+2y2?2xy5．（2024·河北·模擬預測）如圖1是一個長為m，寬為n的矩形（m>n）．用7張圖1中的小矩形紙片，按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內，未被覆蓋的部分用陰影表示．若大矩形的長是寬的32(1)求m與n的關系；(2)若圖2中，大矩形的面積為18，求陰影部分的面積．??題型07利用乘法公式變形求解1．（2024·湖南婁底·模擬預測）已知a+b=7,ab=6，則(a?b)2?6(b?a)+9=2．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）若x1，x2是方程x3．（2024·浙江寧波·二模）已知a?b=b?c=?1，a2+b24．（2024·河南安陽·模擬預測）閱讀與思考：若m+n=1，mn=?6，則由完全平方公式a+b2=a已知1x+1y=3??題型08乘法公式的應用1．（2024·廣西南寧·模擬預測）閱讀材料：例：求代數式2x解：2x可知：當x=?1時，2x2+4x?6根據上面的方法可求多項式a2+b2．（2024·河北唐山·模擬預測）探究活動：（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數平方差的形式）；（2）如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是（寫成多項式乘法的形式）；（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式．知識運用：（4）用合理的方法計算：7.523．（2024·河北石家莊·二模）現有如圖1所示的甲、乙、丙三種卡片，卡片的邊長如圖所示a>b.如圖2，用1張甲、1張乙和2張丙卡片可以拼成一個邊長為a+b的正方形，用兩種方式表示該正方形面積可以得到等式：a+b2【發現】（1）如圖3，嘉淇用這三種卡片拼成一個長為2a+b，寬為a+2b的矩形，仿照例子寫出一個關于a，b的等式；（2）嘉淇還發現拼成矩形所需卡片的張數和整式的乘法計算結果中各項的系數有關.根據嘉淇的發現，若要用這三種卡片拼成一個長為a+2b，寬為a+b的矩形，不畫圖形，試通過計算說明需要丙種卡片多少張？【應用】（3）現用甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片m張（m為正整數），拼成一個矩形，直接寫出m所有可能的值.

4．（2023·山東青島·二模）“構造圖形解題”，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發現題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數方法去思考，經常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉換思維，發現題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：實例一：勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之…，在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如實例圖一），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．他利用直角邊為a和b，斜邊為c的四個全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形（如實例圖一），由S大正方形=4S直角三角形+

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關于x的方程x2+ax=b2的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=

根據以上閱讀材料回答下面的問題：(1)如圖1，請利用圖形中面積的等量關系，寫出甲圖要證明的數學公式是______．乙圖要證明的數學公式是______；

(2)如圖2，利用歐幾里得的方法求方程x2

(3)如圖3，已知⊙O，AB為直徑，點C為圓上一點，過點C作CD⊥AB于點D，連接CO，設DA=a，BD=b，請利用圖3證明：a+b2

??題型09整式的化簡求值-直接代入法1．（2024·廣東汕頭·一模）已知1?a+2b?12=0，則2．（2024·青海西寧·二模）先化簡，再求值：(x?2y)2+2x?yx+y?3x3．（2024·吉林長春·三模）先化簡，再求值：x+2y2?x+2yx?2y÷4y4．（2024·廣東東莞·一模）求代數式2x?y2??題型10整式的化簡求值-整體代入法1．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知a2+3ab=5，則(a+b)(a+2b)?2b2．（2023·江蘇鹽城·模擬預測）若b+a=3，則9?6a+a2?3．（2024·福建福州·模擬預測）若實數m滿足m?12+(m?2)2=34．（2024·江蘇徐州·模擬預測）關于x的一元二次方程ax2+bx?3=0的一個根是x=1，則代數式2027?a?b??題型11整式的混合運算1．（2024·河北·模擬預測）下列運算正確的是（

）A．a+12=aC．a+1+a?1=2a2．（2024·廣東廣州·二模）已知T=2a+3b(1)化簡T；(2)若a，b互為相反數，求T的值．3．（2024·河北邯鄲·二模）數學課上，老師給出一個整式ax2+bx?x+1x?1（其中a，(1)甲同學給出一組數據，最后計算結果為x+12，請分別求出甲同學給出的a，b(2)乙同學給出了a=5，b=?4，請按照乙同學給出的數值說明該整式的結果為非負數．4．（2024·河北張家口·三模）如圖1，2，約定：上方相鄰兩代數式之和等于這兩代數式下方箭頭共同指向的代數式．(1)求代數式M；(2)嘉嘉說，無論x取什么值，M的值一定大于N的值，嘉嘉的說法是否正確？請通過計算說明．??題型12判斷因式分解的正誤1．（2024·安徽阜陽·模擬預測）下列因式分解正確的是（

）A．x2+1=x+1C．2x2?2=22．（2022·河北·一模）下列關于4a+2的敘述，錯誤的是（

）A．4a+2的次數是1 B．4a+2表示a的4倍與2的和C．4a+2是多項式 D．4a+2可因式分解為4(a+1)3．（2024·河北秦皇島·一模）對于①2x?xy=x2?y，②x?32=A．都是因式分解 B．都是乘法運算C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解4．（2023·河北石家莊·二模）數學學習中常見互逆運算，例如加法和減法互為逆運算，乘法和除法互為逆運算，分解因式和整式乘法也是互逆運算．請回答下列問題：(1)①a(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊中，有這樣一條信息：a?b，x?y，??題型13因式分解1．（2024·湖北恩施·模擬預測）把a2b?2abA．ba2?2ab+b2 B．a22．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）把多項式3a2b?12ab+12b3．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知x+3x?2+xx?2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，其中a，b，c4．（2024·浙江寧波·模擬預測）用兩種不同的方法計算：a+22??題型14因式分解的應用1．（2024·山西長治·模擬預測）在現今“互聯網+”的時代，密碼與我們的生活已經緊密相連，密不可分，而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產生一組容易記憶的密碼就很有必要了．有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式a4?b4因式分解的結果是a?ba+ba2+b2，若取a=8，b=8時，則各個因式的值是：a?b=0，a+b=16，a2+b2．（2024·四川成都·模擬預測）定義：若4n3?3n?2（n正整數，且0<n<500）等于兩個連續正奇數的乘積，則稱n為“彗星數”．則“彗星數”n的最小值為3．（2024·山西運城·模擬預測）已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c24．（2024·河北·模擬預測）有一列數：4，12，20，…．這些正整數都能表示為兩個連續偶數的平方差，我們把這樣的正整數稱為“好數”．如：第1個數：4=2第2個數：12=4第3個數：20=6…(1)設兩個連續偶數為2k和2k?2（其中k取大于1的整數），由這兩個連續偶數構造的“好數”是4的倍數嗎？請通過計算加以說明？(2)2024是“好數”嗎？請通過計算判斷，如果是，它是第幾個“好數”；如果不是，寫出小于它的最大“好數”．??題型15判斷整式運算或因式分解的錯誤步驟1．（2024·江西南昌·模擬預測）下面是小華同學計算多項式乘以多項式的過程，請認真閱讀并完成相應任務．（1）計算：(2a?3b)(2a+3b)．解：原式=(2a)（2）計算：(2a?3b)(a+3b)．解：原式=2a任務一：在上述解題過程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）任務二：請判斷小華（2）的解答是否正確，若錯誤，請直接寫出（2）中計算的正確答案．任務三：計算：(2a?3b)22．（2024·河北滄州·模擬預測）已知多項式A=(1)在化簡多項式A時，小明同學的解題過程如下所示．A=a+22=在標出①②③④的幾項中出現錯誤的是______；請你寫出正確的解答過程；(2)淇淇說：“若給出a與b互為相反數，即可求出多項式A的值．”嘉嘉說：“若給出a與b互為倒數，即可求出多項式A的值．”請你判斷哪個同學說得對，并按此同學賦予的條件求A的值．3．（2022·山西大同·二模）（1）?1（2）下面是小明同學進行因式分解的過程，請認真閱讀并完成相應任務．因式分解：3a+b解：原式=9a=8a2=8a2任務一：填空：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是___________公式；②第三步進行因式分解用到的方法是___________法．任務二：同桌互查時，小明的同桌指出小明因式分解的結果是錯誤的，具體錯誤是______________________．任務三：小組交流的過程中，大家發現這個題可以先用公式法進行因式分解，再繼續完成，請你寫出正確的解答過程．4．（2023·浙江嘉興·一模）因式分解3x+y2小禾的解法：3x+y=3x+y+x+3y=4x+4y2x+4y=8x+yx+2y小禾的檢驗：當x=0，y=1時，x+?x+3y=12=1?9

=16∵?8≠16∴分解因式錯誤任務：(1)小禾的解答是從第______步開始出錯的，錯誤的原因是____________．(2)請嘗試寫出正確的因式分解過程．??題型16圖形類規律探索1．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，三角數是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數目，當n=1時，三角數為1，當n=2時，三角數為3，則當n=10時，三角數為（

）A．100 B．110 C．55 D．502．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，如圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是．3．（2024·山西·模擬預測）榫卯被稱為“巧奪天工”的中國古典智慧，是中國傳統木藝的靈魂．下圖結構為固定榫槽的連接結構，彼此按照同樣的拼接方式緊密相連，當連接結構數分別有1個和2個時，總長度如圖所示，則當有n個連接結構時，總長度為cm．

4．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，圖案1中“☆”的個數為1×2，“★”的個數為2×32，圖案2中“☆”的個數為2×3，“★”的個數為3×42，圖案3中“☆”的個數為3×4，“★”的個數為(1)圖案5中“☆”的個數為；(2)圖案n中，“★”的個數為；（用含n的式子表示）(3)根據圖案中“☆”和“★”的排列方式及規律，若圖案n中“★”的個數是“☆”的個數的23，求n??題型17數字類規律探索1．（2024·湖南·模擬預測）有一組數，按以下規律排列∶?12，1，2．（2024·山西·模擬預測）在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示，即21=2,223．（2024·湖南·二模）下面每個表格中的四個數都是按相同規律填寫的．

根據此規律確定a的值為，b的值為，x的值為．4．（2024·安徽·模擬預測）【觀察·發現】給出一些按一定規律排列的等式：第1個等式：4×1×2+1=2×1+1第2個等式：4×2×3+1=2×2+1第3個等式：4×3×4+1=2×3+1…【歸納·證明】根據上述等式的規律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：_________；(2)試猜想第n個等式，并證明．（用含n的式子表示，n為正整數）??題型18數式中的新定義問題1．（2024·陜西漢中·二模）對于任意的實數a、b，定義運算a☆b=ab+1，當x為實數時，x+1☆x?3A．x2?x?2 B．x2?2x?3 C．2．（2024·河北保定·一模）定義一種新運算，規定Fa,b=ab，例(1)已知A=Fx+2y,x?2y，B=F4y,x?2y，分別求A，(2)通過計算比較A與B的大小．3．（2024·陜西西安·模擬預測）【定義新知】如果a,b,c是整數，且ac=b，那么我們規定一種記號a,b=c，例如4【嘗試應用】（1）2,8=【拓展提升】（2）若k、m、n、p均為整數，且k,9=m,k,27=n,4．（2024·浙江·模擬預測）對于實數a,b，定義新運算“⊕”，規定如下：a⊕b=如1⊕2=(1)求3⊕5的值；(2)若x為某一個實數，記x⊕3的值為m，1⊕2?x的值為n，請你判斷m?n的值是否與x1．（2023·四川德陽·中考真題）在“點燃我的夢想，數學皆有可衡”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規律進行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n?m；第2次操作后得到整式中m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（

）A．m+n B．m C．n?m D．2n2．（2024·重慶·中考真題）一個各數位均不為0的四位自然數M=abcd，若滿足a+d=b+c=9，則稱這個四位數為“友誼數”．例如：四位數1278，∵1+8=2+7=9，∴1278是“友誼數”．若abcd是一個“友誼數”，且b?a=c?b=1，則這個數為；若M=abcd是一個“友誼數”，設FM=M9，且3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，n>k≥3，d>0），如圖1所示．小明設計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．4．（2024·安徽·中考真題）數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為x2?y(1)指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下（n為正整數）：N奇數4的倍數表示結果1=4=3=8=5=12=7=16=9=20=??一般結論

2n?1=4n=______按上表規律，完成下列問題：（ⅰ）24=（

）2?（

）2（ⅱ）4n=______；(2)興趣小組還猜測：像2，6，10，14，?這些形如4n?2（假設4n?2=x2?分下列三種情形分析：①若x，y均為偶數，設x=2k，y=2m，其中則x2?y而4n?2不是4的倍數，矛盾．故x，②若x，y均為奇數，設x=2k+1，y=2m+1，其中則x2?y而4n?2不是4的倍數，矛盾．故x，③若x，y一個是奇數一個是偶數，則而4n?2是偶數，矛盾．故x，由①②③可知，猜測正確．閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容．5．（2023·湖南張家界·中考真題）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2則S==(2a+=b+2a例如：當a=1，b=3時，S根據以上材料解答下列問題：(1)當a=1，b=3時，S3?S(2)當a=1，b=3時，把邊長為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數，從（1）中的計算結果，你能猜出(3)當a=1，b=3時，令t1=S2?S1，t2=一、單選題1．（2024·江蘇徐州·中考真題）下列運算正確的是（

）A．x3+x3=x6 B．2．（2023·江蘇南通·中考真題）若a2?4a?12=0，則2aA．24 B．20 C．18 D．163．（2024·海南·中考真題）下列計算中，正確的是（

）A．a8÷a4=a2 B．4．（2024·四川巴中·中考真題）下列運算正確的是（

）A．3a+b=3ab B．aC．a8÷a5．（2023·吉林·中考真題）下列各式運算結果為a?的是（

）A．a23 B．a2+a3 C．a2?a3 6．（2024·云南·中考真題）分解因式：a3?9a=（A．aa?3a+3 B．aa2+9 7．（2023·湖北宜昌·中考真題）在日歷上，某些數滿足一定的規律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則下列敘述中正確的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的數字為a+1 B．左下角的數字為a+7C．右下角的數字為a+8 D．方框中4個位置的數相加，結果是4的倍數8．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數：3、8、18、38、…，按此規律，第5～7個數可能為（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、3189．（2024·云南·中考真題）按一定規律排列的代數式：2x，3x2，4x3，5x4，6xA．2xn B．n?1xn C．10．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若OA=1，則OG=（

）A．125564 B．12564 C．64二、填空題11．（2023·四川樂山·中考真題）若m、n滿足3m?n?4=0，則8m÷12．（2024·黑龍江大慶·中考真題）已知a+1a=5，則13．（2024·北京·中考真題）分解因式：x3?25x=14．（2023·江蘇蘇州·中考真題）已知一次函數y=kx+b的圖象經過點1,3和?1,2，則k2?15．（2024·四川德陽·中考真題）數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8分別填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1．經過探究后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字a、b，你認為a可以是（填上一個數字即可）．三、解答題16．（2024·內蒙古通遼·中考真題）先化簡，再求值：2a+b2a?b?a+b17．（2023·浙江嘉興·中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫出192(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．18．（2024·內蒙古·中考真題）某研究人員對分別種植在兩塊試驗田中的“豐收1號”和“豐收2號”兩種小麥進行研究，兩塊試驗田共產糧1000kg，種植“豐收1號”小麥的試驗田產糧量比種植“豐收2號”小麥的試驗田產糧量的1.2倍少100kg，其中“豐收1號”小麥種植在邊長為ama>1的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的試驗田中，“豐收2號”小麥種植在邊長為(1)請分別求出種植“豐收1號”小麥和“豐收2號”小麥兩塊試驗田的產糧量；(2)哪種小麥的單位面積產量高？高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？19．（2023·河北·中考真題）現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示(a>1)．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為S1(1)請用含a的式子分別表示S1,S2；當(2)比較S1與S20．（2023·山東青島·中考真題）如圖①，正方形ABCD的面積為1．

(1)如圖②，延長AB到A1，使A1B=BA，延長BC到B1，使(2)如圖③，延長AB到A2，使A2B=2BA，延長BC到B2，使(3)延長AB到An，使AnB=nBA，延長BC到Bn，使第一章數與式第02講整式與因式分解TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01實際問題中的代數式??題型02求代數式的值??題型03整式的相關概念??題型04整式的加減??題型05冪的混合運算??題型06整式的乘除??題型07利用乘法公式變形求解??題型08乘法公式的應用??題型09整式的化簡求值-直接代入法??題型10整式的化簡求值-整體代入法??題型11整式的混合運算??題型12判斷因式分解的正誤??題型13因式分解??題型14因式分解的應用??題型15判斷整式運算或因式分解的錯誤步驟??題型16圖形類規律探索??題型17數字類規律探索??題型18數式中的新定義問題??題型01實際問題中的代數式1．（2024·河南信陽·一模）某商場出售一件商品，在原標價基礎上實行以下四種調價方案，其中調價后售價最低的是（

）A．先打九五折，再打九五折 B．先提價10%，再打八折C．先提價30%，再降價35% D．先打七五折，再提價10%【答案】D【分析】本題考查了代數式，打折，有理數大小比較，準確列出符合題意的代數式，設原件為x元，根據調價方案逐一計算后，比較大小判斷即可．【詳解】解：設原件為x元，選項A：∵先打九五折，再打九五折，∴調價后的價格為0.95x×0.95=0.9025x元，選項B：∵先提價10%，再打八折，∴調價后的價格為1+10%選項C：∵先提價30%，再降價35%，∴調價后的價格為=1+30選項D：∵先打七五折，再提價10%，∴調價后的價格為0.75x×1+10∵0.825x<0.845x<0.88x<0.9025x故選：D2．（2023·安徽池州·一模）某產品的成本價為a元，銷售價比成本價增加了14%，現因庫存積壓，按銷售價的八折出售，那么該產品的實際售價為（

）A．(1+14%)(1+0.8)a元 B．C．(1+14%)(1?0.8)a元 D．【答案】B【分析】根據售價與成本價之間的數量關系得到銷售價，再根據銷售價的八折得到實際售價．【詳解】解：∵產品的成本價為a元，銷售價比成本價增加了14%，∴產品銷售價為：1+14%a∵因庫存積壓，按銷售價的八折出售，∴產品的實際售價為：0.81+14%故選B．【點睛】本題考查了列代數式，讀懂題意，找出數量關系是解題的關鍵．3．（2022·貴州貴陽·一模）貴陽市“一圈兩場三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同學從家出發步行15min到達附近學校的運動場鍛煉，較之前步行去城市運動中心少走了25min．已知小高同學步行的速度為每分鐘am，則“一圈兩場三改”后，小高同學少走的路程是（

）A．am B．10am C．15am D．25am【答案】D【分析】根據“路程=速度×時間”計算即可．【詳解】解：根據題意，小高同學步行的速度為每分鐘am，較之前步行去城市運動中心少走了25min，則少走的路程是：a×25=25am．故選：D．【點睛】本題主要考查了代數式的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準解題所需信息．4．（2024·安徽·模擬預測）公司有330臺機器需要一次性運送到某地，計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛．已知每輛甲種貨車一次最多運送機器45臺、租車費用為400元，每輛乙種貨車一次最多運送機器30臺、租車費用為280元．(1)設租用甲種貨車x輛（x為非負整數），試填寫下表．表一：租用甲種貨車的數量/輛37x租用的甲種貨車最多運送機器的數量/臺135租用的乙種貨車最多運送機器的數量/臺150表二：租用甲種貨車的數量/輛37x租用甲種貨車的費用/元2800租用乙種貨車的費用/元280(2)給出能完成此項運送任務的最節省費用的租車方案，并說明理由．【答案】(1)表一：315，30，45x，?30x+240；表二：1200，400x，1400，?280x+2240(2)甲種貨車6輛，乙種貨車2輛【分析】本題考查一次函數的應用，一元一次不等式的應用．解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的方程和不等式．（1）根據計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛．已知每輛甲種貨車一次最多運送機器45臺、租車費用為400元，每輛乙種貨車一次最多運送機器30臺、租車費用為280元，可以分別把表一和表二補充完整；（2）由（1）中的數據和公司有330臺機器需要一次性運送到某地，列出不等式，求出x≥6，結合一次函數的性質即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，在表一中，當甲車7輛時，運送的機器數量為：45×7=315（臺），則乙車8?7=1輛，運送的機器數量為：30×1=30（臺），當甲車x輛時，運送的機器數量為：45×x=45x（臺），則乙車8?x輛，運送的機器數量為：30×8?x在表二中，當租用甲貨車3輛時，租用甲種貨車的費用為：400×3=1200（元），則租用乙種貨車8?3=5輛，租用乙種貨車的費用為：280×5=1400（元），當租用甲貨車x輛時，租用甲種貨車的費用為：400×x=400x（元），則租用乙種貨車8?x輛，租用乙種貨車的費用為：280×8?x故答案為：表一：315，30，45x，?30x+240；表二：1200，400x，1400，?280x+2240．（2）解：能完成此項運送任務的最節省費用的租車方案是甲車6輛，乙車2輛，理由：當租用甲種貨車x輛時，設兩種貨車的總費用為y元，則兩種貨車的總費用為：y=400x+?280x+2240又∵45x+?30x+240解得：x≥6，∵120>0，∴在函數y=120x+2240中，y隨x的增大而增大，∴當x=6時，y取得最小值，即能完成此項運送任務的最節省費用的租車方案是甲種貨車6輛，乙種貨車2輛．??題型02求代數式的值1．（2024·安徽·模擬預測）已知實數a，b，滿足a?b=6，ab=?8，則a2b?ab【答案】?48【分析】本題考查了因式分解和代數式求值，先把a2b?ab2進行因式分解，然后【詳解】解：∵a?b=6，ab=?8，∴原式=aba?b故答案為：?48．2．（2024·江西·模擬預測）若x+82+y?7=0，則代數式【答案】1【分析】本題主要考查了代數式求值，平方和絕對值的非負性，熟知平方和絕對值的非負性是解題的關鍵．根據平方和絕對值的非負性求出x、y的值，然后代值計算即可．【詳解】解：∵x+8∴x+82=0∴x=?8，y=7，∴x+y故答案為：1．3．（2024·湖南岳陽·模擬預測）若a是16的算術平方根，而b的算術平方根是16，則a+b=．【答案】260【分析】本題主要考查了算術平方根，代數式求值等知識點，熟練掌握算術平方根是解題的關鍵．先根據算術平方根的定義求出a、b的值，然后即可求出a+b的值．【詳解】解：∵a是16的算術平方根，∴a=4，又∵b的算術平方根是16，∴b=256，∴a+b=4+256=260，故答案為：260．4．（2024·湖南·模擬預測）已知2x2?5x+1=0，則【答案】4【分析】本題考查了代數式求值，利用整體代入法是解題關鍵．由2x2?5x+1=0【詳解】解：∵2x∴2x∴6x故答案為：4．5．（2024·北京·模擬預測）已知∶2x2?5x?11=0【答案】?24【分析】本題考查整式化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵．先由2x2?5x?11=0，由2x2【詳解】解：∵2∴2原式=2x=?2=?=?11?13=?24．??題型03整式的相關概念1．（2024·內蒙古包頭·三模）若單項式?3x2y的系數是m，次數是n，則mnA．9 B．3 C．?3 D．?9【答案】D【分析】本題考查單項式，根據單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數可得m、n的值，進而可得mn的值．解題的關鍵是掌握單項式的相關定義．【詳解】解：∵單項式?3x2y的系數是?3∴m=?3，n=3，∴mn=?3×3=?9，∴mn的值為?9．故選：D．2．（2024·云南楚雄·一模）按一定規律排列的單項式：x3，?4x5，9x7，?16A．?1n?1n2C．?1n?1n+12【答案】B【分析】本題考查了數字的變化類，分別從符號、系數與指數三個方面找規律，再計算即可．【詳解】解：解：∵x3?4x9x?16x……由上可知，第n個單項式是：?1n+1故選：B．3．（2023·海南·模擬預測）多項式a2+4abA．三次三項式 B．二次三項式 C．三次二項式 D．二次二項式【答案】A【分析】本題考查多項式的項數和次數，根據多項式的項數為單項式的個數，次數為最高項的次數，進行作答即可．【詳解】解：多項式a2故選A．4．（2024·江西九江·三模）若關于x，y的多項式x2?2x【答案】6【分析】本題考查了多項式的系數，根據題意直接列式1?2+●=5，即可求解．【詳解】解：由題意得：1?2+●=5，解得：●=6，故答案為：6．??題型04整式的加減1．（2024·重慶渝北·模擬預測）如圖1，將邊長為m的正方形紙片剪去兩個小矩形，得到一個“2”的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個小矩形拼成一個新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長可表示為（

）A．2m?4n B．2m?3n C．4m?8n D．4m?6n【答案】C【分析】本題考查了列代數式，整式的加減運算等知識．正確表示新矩形的長和寬是解題的關鍵．由題意知，剪下的兩個小矩形的長為m?n，寬為m?3n2，則新矩形的長為m?n，寬為m?3n【詳解】解：由題意知，剪下的兩個小矩形的長為m?n，寬為m?3n2∴新矩形的長為m?n，寬為m?3n，∴新矩形的周長可表示為2m?n故選：C．2．（2024·河南周口·三模）如果單項式：2xym與12x【答案】1【分析】此題考查同類項定義，根據兩個單項式的和仍為單項式可得2xym與12xn【詳解】解：∵2xym與∴2xym與m=2,n=1，∴?nm故答案為：1．3．（2024·山東臨沂·模擬預測）在“點燃我的夢想，數學皆有可衡”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規律進行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是．【答案】2n【分析】本題考查了整式的加減．先逐步操作前幾次，找到規律，再計算即可．【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n；第4次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n?m，m，?n，?n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m，m，n，n?m；??????歸納可得：以上整式串每六次一循環，∵2023÷6=337???1，∴第2023次操作后得到的整式中各項之和與第1次操作后得到整式串之和相等，∴這個和為m+n+n?m=2n，故答案為：2n．4．（2024·河北邢臺·模擬預測）在計算題：“已知，M=□，N=2x2?4x+3求2M?N”時，嘉琪把“2M?N”看成“M?2N(1)求整式M；(2)若x≠12，請比較2M與【答案】(1)3x(2)2M>N，理由見解析．【分析】本題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據題意列出關系式，去括號合并即可確定出N．（2）寫出確定的2M?N，即可得出結論．【詳解】（1）∵M?2N=?x2+4x?4∴M=?x（2）2M>N，理由：∵M=3x2?4x+2∴2M?N=23∵x≠1∴2x?12∴2M>N．5．（2024·河北秦皇島·一模）已知整式a2+ab?★ab?b2?5(1)則★所表示的數字是多少？(2)嘉淇說該代數式的值一定是正的，你認為嘉淇的說法對嗎？說明理由．【答案】(1)★=3(2)嘉淇的說法是正確的，理由見解析．【分析】（1）把a=3，b=?2代入整式得9?6?（2）把（1）中所得的結果代入整式，化簡后再利用完全平方公式即可求解；本題考查了整式的運算，完全平方公式，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：將a=3，b=?2代入a29?6?即3+6★+9=30，解得★=3；（2）解：嘉淇的說法是正確的，理由如下：由（1）求得的結果可得該整式為a2∵a?b2∴a?b2∴嘉淇的說法是正確的．??題型05冪的混合運算1．（2024·河北·模擬預測）下列運算中，與2a2b?A．2b?2ab2 B．?8a2+b【答案】A【分析】本題考查了同底數冪相乘、冪的乘方、合并同類項、積的乘方，根據同底數冪相乘、冪的乘方、合并同類項、積的乘方的運算法則逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：2aA、2b?2abB、?8a2和C、?2a2D、?2故選：A．2．（2020·四川樂山·中考真題）已知3m=4，32m?4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【答案】C【分析】逆用同底數冪的乘除法及冪的乘方法則．由32m?4n【詳解】∵32m?4n依題意得：4x2=2∴4x∴x=故選：C．【點睛】此題主要考查了同底數冪的乘除法，以及冪的乘方運算，關鍵是會逆用同底數冪的乘除法進行變形．3．（2023·湖北襄陽·模擬預測）a32【答案】2【分析】先根據冪的乘方和同底數冪的乘法進行計算，再根據同底數冪的除法進行計算，最后合并同類項即可．【詳解】解：a===2故答案為：2a【點睛】本題考查了整式的混合運算，能正確根據整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．4．（2024·廣東江門·一模）計算：(1)2024+(2)?a【答案】(1)2(2)5【分析】本題主要考查了整式的運算，實數混合運算；（1）先計零指數冪，化簡二次根式，負整數冪，代入三角函數值，再計算加減即可；（2）先計算積的乘方和冪的乘方，再計算同底數冪的乘法，最后合并同類項即可．【詳解】（1）解：原式=1?3=1?3+4=2；（2）解：原式=?==5a??題型06整式的乘除1．（2024·陜西渭南·模擬預測）下列計算錯誤的是（）A．2m2m+1C．m2n?2mn【答案】C【分析】本題主要考查單項式乘多項式、冪的運算、合并同類項，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據單項式乘多項式、積的乘方、合并同類項及同底數冪的除法運算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A、2mB、(?3mC、m2D、m6故選：C．2．（2024·河北·模擬預測）已知一臺計算機的運算速度為1.2×109次/秒，這臺計算機9×10A．10.8×1012 B．1.08×1014 C．【答案】D【分析】此題考查了科學記數法，單項式的乘法以及同底數冪的乘法．根據題意列出代數式，再根據單項式的乘法法則以及同底數冪的乘法的性質進行計算即可．【詳解】解：計算機工作9×101.2×==10.8×=1.08×10故選：D．3．（2024·湖北武漢·模擬預測）若m×4x2y2=12A．4x?3y B．?4x+3y C．4x+3y D．?4x?3y【答案】B【分析】本題考查了多項式除以單項式，根據一個因數等于積除以另一個因數，即可解答．【詳解】解：∵m×4x∴m=12故選：B．4．（2023·陜西西安·二模）先化簡，再求值：x+2yx?2y+x+2y2?2xy【答案】x+y，?3【分析】先利用完全平方公式，平方差公式與單項式乘多項式運算法則去掉括號，然后再合并同列項計算，最后代入x，y計算即可．【詳解】解：x+2yx?2y===x+y，當x=5，y=?8時，原式=5+?8【點睛】本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則．5．（2024·河北·模擬預測）如圖1是一個長為m，寬為n的矩形（m>n）．用7張圖1中的小矩形紙片，按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內，未被覆蓋的部分用陰影表示．若大矩形的長是寬的32(1)求m與n的關系；(2)若圖2中，大矩形的面積為18，求陰影部分的面積．【答案】(1)m=4n(2)26【分析】本題考查列代數式、整式的加減、多項式乘多項式、代數式求值，看懂圖形，正確列出代數式是解答的關鍵．（1）先根據圖形，用m、n表示出矩形的長、寬，再根據長和寬的關系可得結論；（2）根據圖形，用m、n表示出大矩形的面積，進而求得n2【詳解】（1）解：由題意，大矩形的長為m+5n，寬為m+2n，∵大矩形的長是寬的32∴m+5n=3化簡，得m=4n；（2）解：∵大矩形的面積為m+2nm+5n=m∴16n解得n2∴陰影部分的面積為18?7mn=18?28n??題型07利用乘法公式變形求解1．（2024·湖南婁底·模擬預測）已知a+b=7,ab=6，則(a?b)2?6(b?a)+9=【答案】4或64/64或4【分析】先根據完全平方公式求出a?b的值，再將要求的代數式利用完全平方公式變形，最后代入求值即可．本題考查了代數式求值，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．【詳解】解：∵a+b=7,∴即a∵ab=6,∴∵∴∴∴∴a?b=±5,∴==當a?b=5時，原式=5+3當a?b=?5時，原式=?5+3綜上，a?b2故答案為：4或64．2．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）若x1，x2是方程x【答案】2024【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，若x1，x2是一元二次方程ax根據一元二次方程根與系數的關系可得x1+x【詳解】解：∵x1，x∴x1+x∴x1故答案是：2024．3．（2024·浙江寧波·二模）已知a?b=b?c=?1，a2+b2【答案】1【分析】本題考查完全平方公式，根據a?b=b?c=?1，推出a?c=?2，求出a?b2+b?c【詳解】解：∵a?b=b?c=?1，∴a?c=a?b+b?c=?1?1=?2，∴a?b=2∵a∴1+1+4=2×∴ab+bc+ac=1故答案為：134．（2024·河南安陽·模擬預測）閱讀與思考：若m+n=1，mn=?6，則由完全平方公式a+b2=a已知1x+1y=3【答案】5【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是關鍵，根據完全平方公式得出1x【詳解】解：∵1x∴1==9?4=5．??題型08乘法公式的應用1．（2024·廣西南寧·模擬預測）閱讀材料：例：求代數式2x解：2x可知：當x=?1時，2x2+4x?6根據上面的方法可求多項式a2+b【答案】5【分析】本題考查配方法求多項式的最值，讀懂題意，利用完全平方公式配方將多項式化為a?22【詳解】解：a=a=a?2∵a?2∴多項式a2+b故答案為：5．2．（2024·河北唐山·模擬預測）探究活動：（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數平方差的形式）；（2）如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是（寫成多項式乘法的形式）；（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式．知識運用：（4）用合理的方法計算：7.52【答案】（1）a2?b2；（2）a+b【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．（1）根據陰影部分的面積等于兩個正方形的面積差即可求解；（2）分別表示出陰影部分的長和寬，由面積公式就可求出面積即可；（3）根據陰影部分的面積相等建立等式即可；（4）根據平方差公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：根據陰影部分的面積=大正方形的面積?小正方形的面積，即a2故答案為：a2（2）解：由圖可知矩形的長是a+b，寬是a?b，所以面積是a+ba?b故答案為：a+ba?b（3）解：根據陰影部分面積相等可得：a2故答案為：a2（4）解：7.5===5×10×1.6=80．3．（2024·河北石家莊·二模）現有如圖1所示的甲、乙、丙三種卡片，卡片的邊長如圖所示a>b.如圖2，用1張甲、1張乙和2張丙卡片可以拼成一個邊長為a+b的正方形，用兩種方式表示該正方形面積可以得到等式：a+b2【發現】（1）如圖3，嘉淇用這三種卡片拼成一個長為2a+b，寬為a+2b的矩形，仿照例子寫出一個關于a，b的等式；（2）嘉淇還發現拼成矩形所需卡片的張數和整式的乘法計算結果中各項的系數有關.根據嘉淇的發現，若要用這三種卡片拼成一個長為a+2b，寬為a+b的矩形，不畫圖形，試通過計算說明需要丙種卡片多少張？【應用】（3）現用甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片m張（m為正整數），拼成一個矩形，直接寫出m所有可能的值.

【答案】（1）2a+ba+2b【分析】此題考查多項式的乘法與圖形的面積，數形結合是解題的關鍵.（1）由圖3，用兩種方法表示矩形的面積，即可得到答案；（2）由a+2ba+b=a（3）甲卡片面積為a2，系數為1，乙種卡片4張，面積為4b2，系數為4，丙種卡片m張，即ab【詳解】（1）嘉淇用這三種卡片拼成一個長為2a+b，寬為a+2b的矩形，則面積表示為2a+ba+2b，還可以看作2張甲、2張乙和4張丙卡片拼成的，則面積表示為2∴2a+ba+2b（2）由題意可知矩形的面積為a+2ba+b∵每張丙種卡片的面積為ab，∴需要丙種卡片3張；（3）甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片m張（m為正整數），拼成一個矩形，可知，甲卡片面積為a2，系數為1，乙種卡片4張，面積為4b2，系數為4，丙種卡片m張，即ab∴矩形的面積為：①a2+mab+4b②a2+mab+4b綜上可知，m所有可能的值為4或5.4．（2023·山東青島·二模）“構造圖形解題”，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發現題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數方法去思考，經常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉換思維，發現題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：實例一：勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之…，在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如實例圖一），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．他利用直角邊為a和b，斜邊為c的四個全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形（如實例圖一），由S大正方形=4S直角三角形+

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關于x的方程x2+ax=b2的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=

根據以上閱讀材料回答下面的問題：(1)如圖1，請利用圖形中面積的等量關系，寫出甲圖要證明的數學公式是______．乙圖要證明的數學公式是______；

(2)如圖2，利用歐幾里得的方法求方程x2

(3)如圖3，已知⊙O，AB為直徑，點C為圓上一點，過點C作CD⊥AB于點D，連接CO，設DA=a，BD=b，請利用圖3證明：a+b2

【答案】(1)完全平方公式，平方差公式(2)2(3)證明過程見解析【分析】（1）利用面積法解決問題即可；（2）如圖2，由勾股定理求得AB的長，即可求得AD的長，即可解決問題；（3）如圖3，證明△ACD～△CBD，可得CD2=AD?BD【詳解】（1）解：由題意可得：S甲=a+b∴a+b2S乙=a∴a2=a?b∴甲圖要證明的數學公式是完全平方公式，乙圖要證明的數學公式是平方差公式，故答案為：完全平方公式，平方差公式；（2）解；如圖，由題意可得：x2∴BC=42=2，AC=2∴AB=22+∴方程x2+4x?4=0的一個正根為：

（3）解：連接AC、BC，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°，∴∠CAB=∠BCD，又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD～△CBD，∴CDBD=AD∵DA=a，BD=b，∴CD=ab在Rt△COD中，OC∴OC2≥C又∵OC=a+b∴a+b2

【點睛】本題考查完全平方公式、平方差公式、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質，理解題意，學會利用面積法解決問題，學會用數形結合的思想解決問題是解題的關鍵．??題型09整式的化簡求值-直接代入法1．（2024·廣東汕頭·一模）已知1?a+2b?12=0，則【答案】?3【分析】本題考查了算術平方根以及平方的非負性，已知字母的值求代數式的值，據此列式1?a=0，2b?1=0，算出a，【詳解】解：∵1?a+∴1?a=0，∴a=1，則2a+4b?7=2×1+4×1故答案為：?3．2．（2024·青海西寧·二模）先化簡，再求值：(x?2y)2+2x?yx+y?3x【答案】2xy+2y2【分析】本題主要考查了整式化簡求值，熟練掌握相關運算法則和運算公式是解題關鍵．首先根據完全平方公式、平方差公式以及單項式乘以多項式法則進行運算，再合并同類項完成化簡，然后將x=2，y=?1代入求值即可．【詳解】解：原式==2xy+2y當x=2，y=?1時，原式=2×2×=?4+2=?2．3．（2024·吉林長春·三模）先化簡，再求值：x+2y2?x+2yx?2y÷4y【答案】x+2y，5【分析】本題考查整式的混合運算及化簡求值，先根據混合運算順序和運算法則化簡原式，再代入求解即可．【詳解】解：x+2y====x+2y，當x=1，y=5?124．（2024·廣東東莞·一模）求代數式2x?y2【答案】2y2【分析】本題考查了整式的混合運算?化簡求值，絕對值和算術平方根的非負性，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．先利用完全平方公式，多項式除以單項式的法則進行計算，然后把x，y的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．【詳解】解：2=2(=2=2y∵x?3∴x?3=0，x+y=0，解得：x=3，y=?3，∴當x=3，y=?3時，原式=2×(?3)??題型10整式的化簡求值-整體代入法1．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知a2+3ab=5，則(a+b)(a+2b)?2b【答案】5【分析】本題考查整式的化簡求值，把要求的式子展開化簡后，利用整體思想求值即可．【詳解】∵a2∴(a+b)(a+2b)?2b故答案為：5．2．（2023·江蘇鹽城·模擬預測）若b+a=3，則9?6a+a2?【答案】0【分析】本題考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代數式的值，先整理9?6a+a2?b2【詳解】解：9?6a+==∵b+a=3∴a?3=?b把a?3=?b代入a?32得?b故答案為：03．（2024·福建福州·模擬預測）若實數m滿足m?12+(m?2)2=3【答案】1【分析】本題主要考查了整式的混合運算、代數式求值等知識點，正確運用整式的混合運算法則對代數式進行變形成為解題的關鍵．由m?12+(m?2)2=3可得m【詳解】解：∵m?12∴m2?2m+1+m∴m?1m?2故答案為1．4．（2024·江蘇徐州·模擬預測）關于x的一元二次方程ax2+bx?3=0的一個根是x=1，則代數式2027?a?b【答案】2024【分析】此題考查了一元二次方程的解和代數式求值，根據一元二次方程解的定義得到a+b=3，再整體代入即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx?3=0∴a+b?3=0，則a+b=3，∴2027?a?b=2027?故答案為：2024??題型11整式的混合運算1．（2024·河北·模擬預測）下列運算正確的是（

）A．a+12=aC．a+1+a?1=2a【答案】C【分析】本題考查整式的乘法公式及加減運算，根據完全平方公式和平方差公式及整式加減運算法則逐一計算判斷即可．【詳解】解：A．a+12B．a?12C．a+1+D．a+1a?1故選：C．2．（2024·廣東廣州·二模）已知T=2a+3b(1)化簡T；(2)若a，b互為相反數，求T的值．【答案】(1)a(2)0【分析】本題主要考查整式的化簡以及求值，熟練掌握平方差公式，多項式乘以多項式，單項式乘以多項式的規則是解題的關鍵．（1）利用平方差公式，單項式乘以多項式規則展開后，合并同類項即可；（2）根據a，b互為相反數，得b=?a，代入第（1）問化簡的式子即可求解．【詳解】（1）T===4=（2）∵a，b互為相反數，∴b=?a，∴T=a3．（2024·河北邯鄲·二模）數學課上，老師給出一個整式ax2+bx?x+1x?1（其中a，(1)甲同學給出一組數據，最后計算結果為x+12，請分別求出甲同學給出的a，b(2)乙同學給出了a=5，b=?4，請按照乙同學給出的數值說明該整式的結果為非負數．【答案】(1)a=2，b=2(2)證明見解析【分析】本題考查了整式混合運算，熟練掌握整數的混合運算步驟，特別是公式法是解題的關鍵．（1）根據題意得出ax（2）代入化簡，然后配方成完全平方式證明即可．【詳解】（1）解：由題意，得：ax化簡，得：ax即a?1x∴a?1=1，且b=2，∴a=2，b=2；（2）當a=5，b=?4時，a=a?1=4=2x?12即該整式的結果為非負數．4．（2024·河北張家口·三模）如圖1，2，約定：上方相鄰兩代數式之和等于這兩代數式下方箭頭共同指向的代數式．(1)求代數式M；(2)嘉嘉說，無論x取什么值，M的值一定大于N的值，嘉嘉的說法是否正確？請通過計算說明．【答案】(1)x(2)嘉嘉的說法正確，理由見解析；【分析】本題考查的是整式的混合運算，平方差公式的應用，理解題意是關鍵；（1）根據加法的意義列式計算即可；（2）先求解N，再計算M?N與0比較大小，從而可得答案．【詳解】（1）解：由題意可得：M=2=2=x（2）嘉嘉的說法正確；理由如下：由題意可得：N===x∵M?N===1>0，∴M>N．??題型12判斷因式分解的正誤1．（2024·安徽阜陽·模擬預測）下列因式分解正確的是（

）A．x2+1=x+1C．2x2?2=2【答案】C【分析】根據因式分解的定義及方法逐項分析即可．本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．【詳解】解：選項A，B中的等式不成立；選項C中，2xD選項中，多項式x2故選C．2．（2022·河北·一模）下列關于4a+2的敘述，錯誤的是（

）A．4a+2的次數是1 B．4a+2表示a的4倍與2的和C．4a+2是多項式 D．4a+2可因式分解為4(a+1)【答案】D【分析】根據多項式的項、次數及多項式的因式分解的條件即可得出答案．【詳解】解：A.4a+2的次數是1，故答案正確；B.4a+2表示a的4倍與2的和，故答案正確；C.4a+2是多項式，故答案正確；D.4a+2進行因式分解為：2(2a+故選D．【點睛】本題考查了多項式項、次數及多項式的因式分解，熟知多項式的項和次數，多項式可因式分解的條件是解題的關鍵．3．（2024·河北秦皇島·一模）對于①2x?xy=x2?y，②x?32=A．都是因式分解 B．都是乘法運算C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解【答案】C【分析】此題考查了因式分解和整式乘法的概念，熟練掌握有關概念是解題的關鍵．根據因式分解和整式乘法的有關概念，對式子進行判斷即可．【詳解】解：①2x?xy=x2?y②x?32故選：C．4．（2023·河北石家莊·二模）數學學習中常見互逆運算，例如加法和減法互為逆運算，乘法和除法互為逆運算，分解因式和整式乘法也是互逆運算．請回答下列問題：(1)①a(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊中，有這樣一條信息：a?b，x?y，【答案】(1)②③(2)我愛四十【分析】（1）根據因式分解的定義即可求解；（2）觀察式子特點，首先提取公因式將待求式變形，接下來根據平方差公式進行分解因式，將結果與已知中所表示的意義相結合即可解答本題．【詳解】（1）解：②③（2）解：提取公因式，利用平方差公式得：x2所以對應的四個字可能是“我愛四十”．【點睛】本題主要考查了因式分解法的應用，掌握公式法分解因式是解題的關鍵．??題型13因式分解1．（2024·湖北恩施·模擬預測）把a2b?2abA．ba2?2ab+b2 B．a2【答案】C【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．原式分解因式得到結果，即可做出判斷．【詳解】解：原式=b(=b(a?b)故選：C2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）把多項式3a2b?12ab+12b【答案】3b【分析】題目主要考查利用提公因式法及公式法進行因式分解，熟練掌握因式分解方法是解題關鍵．先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：3a故答案為：3ba?23．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知x+3x?2+xx?2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，其中a，b，c【答案】?1【分析】本題考查因式分解，將(x+3)(x?2)+x(x?2)進行因式分解后，求出a,b,c的值，代入代數式計算即可．【詳解】解：∵x+3x?2又x+3x?2+xx?2∴a=1,b=?2,c=3，∴(a+b)c4．（2024·浙江寧波·模擬預測）用兩種不同的方法計算：a+22【答案】2a+4【分析】本題考查了完全平方公式，提公因式法進行因式分解等知識．熟練掌握完全平方公式，提公因式法進行因式分解是解題的關鍵．根據完全平方公式，提公因式法進行因式分解，求解作答即可．【詳解】解：方法一：a+2==2a+4．方法二：a+2==2a+4．??題型14因式分解的應用1．（2024·山西長治·模擬預測）在現今“互聯網+”的時代，密碼與我們的生活已經緊密相連，密不可分，而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產生一組容易記憶的密碼就很有必要了．有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式a4?b4因式分解的結果是a?ba+ba2+b2，若取a=8，b=8時，則各個因式的值是：a?b=0，a+b=16，a2+b【答案】111213【分析】本題考查了綜合提公因式和公式法進行因式分解．熟練掌握綜合提公因式和公式法進行因式分解是解題的關鍵．由題意知，27a【詳解】解：27a當a=4，b=1時，3a?b=12?1=11，3a=12，3a+b=12+1=13，∴密碼為111213，故答案為：111213．2．（2024·四川成都·模擬預測）定義：若4n3?3n?2（n正整數，且0<n<500）等于兩個連續正奇數的乘積，則稱n為“彗星數”．則“彗星數”n的最小值為【答案】5485【分析】本題考查了因式分解的應用，解一元二次方程-公式法，解題關鍵在于讀懂題意，理解新定義．4n3?3n?2(n為正整數)等于兩個連續正奇數的乘積，設較小的正奇數為m【詳解】解：∵4n3?3n?2設較小的正奇數為m，則另一個正奇數為m+2(m>0)，∴4n∴m利用求根公式得：m=4n3∴當m=4n3∵4n∴m=4∵m為正奇數，∴m為整數，∴n?1也必須為整數，為偶數，令2p=n?1，p∴n=4p∵4>0∴拋物線開口向上，且對稱性為y軸，當p>0時，n隨p的增大而增大，∵p為正整數∴當p=1時，n有最小值為n=4p2∵當p=10時，n=401(不符合題意，舍去)，當p=11時，n=485，當p=12時，n=577，∵0<n<500，∴當p=11時，n的最大值是485，∴“彗星數”n的最小值為5，最大值為485．故答案為：5，485．3．（2024·山西運城·模擬預測）已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，理由見解析【分析】此題考查了勾股定理的逆定理、因式分解、等腰三角形的定義，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷△ABC的形狀．【詳解】解：∵a2∴a4∴a4∴a2∴a2∴a2∵a+b>0，則解得：a2+b即△ABC為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．4．（2024·河北·模擬預測）有一列數：4，12，20，…．這些正整數都能表示為兩個連續偶數的平方差，我們把這樣的正整數稱為“好數”．如：第1個數：4=2第2個數：12=4第3個數：20=6…(1)設兩個連續偶數為2k和2k?2（其中k取大于1的整數），由這兩個連續偶數構造的“好數”是4的倍數嗎？請通過計算加以說明？(2)2024是“好數”嗎？請通過計算判斷，如果是，它是第幾個“好數”；如果不是，寫出小于它的最大“好數”．【答案】(1)是，理由見解析(2)不是，2020【分析】本題主要考查了因式分解的應用、解一元一次方程等知識點，掌握“好數”的定義成為解題的關鍵．（1）因式分解2k2?2k?22可得（2）令42k?1=2024,解得：k=253.5.易得2024不是“好數”，再取k=253,代入【詳解】（1）解:這兩個連續偶數構造的“好數”是4的倍數,理由如下：2k2∵2k?1為奇數,∴由這兩個連續偶數構造的“好數”為4的倍數.（2）解：令42k?1=2024,解得：∵253.5不為整數，∴2024不是“好數”.取k=253,代入42k?1∴小于2024的最大“好數”是2020．??題型15判斷整式運算或因式分解的錯誤步驟1．（2024·江西南昌·模擬預測）下面是小華同學計算多項式乘以多項式的過程，請認真閱讀并完成相應任務．（1）計算：(2a?3b)(2a+3b)．解：原式=(2a)（2）計算：(2a?3b)(a+3b)．解：原式=2a任務一：在上述解題過程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）任務二：請判斷小華（2）的解答是否正確，若錯誤，請直接寫出（2）中計算的正確答案．任務三：計算：(2a?3b)2【答案】任務一：平方差公式；任務二：不正確，2a2+3ab?9【分析】本題考查了平方差公式，完全平方公式，多項式乘多項式，準確熟練地進行計算和掌握平方差公式是解題的關鍵．任務一：根據解題過程，可以判斷①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；任務二：