分類加法計數原理與分步乘法計數原理

見大題型】

?熱點題型歸納

【題型1分類加法計數原理的應用】............................................................3

【題型2分步乘法計數原理的應用】............................................................3

【題型3涂色問題】...........................................................................4

【題型4兩個計數原理的綜合應用】............................................................5

?考情分析

1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理

考點要求真題統計考情分析

2023年新高考I卷：第13題，

5分

⑴理解分類加法計數原從近幾年的高考情況來看，高考對

2023年新高考II卷：第3題，

理、分步乘法計數原理及兩個計數原理的考查比較穩定，多以選

5分

其意義擇題、填空題的形式出現，以考查兩個

2023年全國乙卷（理數）：

⑵能利用計數原理解決計數原理的基本概念與步驟方法為主，

第7題，5分

簡單的實際問題往往與排列組合結合考查，難度不大.

2023年全國甲卷（理數）：

第9題，5分

?知識梳理

【知識點1分類加法計數原理與分步乘法計數原理】

1.分類加法計數原理

（1）分類加法計數原理的概念

完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法,

那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有人種不同的方法，在第2類方案中有叱種

不同的方法，…，在第〃類方案中有"4種不同的方法，那么完成這件事共有N=〃％+%+…+加”種不同

的方法.

(2)分類的原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，

分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.

2.分步乘法計數原理

(1)分步乘法計數原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有“種不同的方法，那么完成這件

事共有N=m^n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要〃個步驟，做第1步有預種不同的方法，做第2步有g種不同的方法，

***,

做第"步有加.種不同的方法，那么完成這件事共有加=殉又%乂…X加“種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才

能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這〃個步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個步驟既不能重復也不能遺漏.

3.分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析

(1)聯系

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區

別如下表：

區別分類加法計數原理分步乘法計數原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇

分類-將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數原理;

分步一將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決一分步乘法計數原理.

在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換

法的應用.

【知識點2分類、分步計數原理的解題策略】

1.分類加法計數原理的解題策略

分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.

(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準；

(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才

是不同的方法，不能重復；

(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.

2.分步乘法計數原理的解題策略

(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步

必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.

(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.

【方法技巧與總結】

分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間”相互獨立，分步完成”.

?舉一反三

【題型1分類加法計數原理的應用】

【例1】(2024?全國?模擬預測)從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的

倍數的不同取法有()

A.9種B.12種C.20種D.30種

【變式1-1](2024?浙江溫州?模擬預測)平面上的兩個點4(%1，%),B(Q,yi),其中橫縱坐標均為自然

數，且不大于5,則兩點之間的距離可以有多少種取值()

A.19B.20C.25D.27

【變式1-2](2024?安徽?模擬預測)甲、乙等6名高三同學計劃今年暑假在4B,C,D四個景點中選擇一個打

卡游玩，若每個景點至少有一個同學去打卡游玩，每位同學都會選擇一個景點打卡游玩，且甲、乙都單獨1

人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有()

A.96種B.132種C.168種D.204種

【變式1-3】（2024?貴州黔東南?二模）在n個數碼1,2,…/（＞W9,neN*）的全排列42“九中，若一個較大的

數碼排在一個較小的數碼的前面，則稱它們構成一個逆序，這個排列的所有逆序個數的總和稱為這個排列

的逆序數，記為70"2…%）?例如，在3個數碼的排列312中，3與1,3與2都構成逆序，因此7（312）=2.

那么7（87542136）=（）

A.19B.20C.21D.22

【題型2分步乘法計數原理的應用】

【例2】（2024?湖北武漢?模擬預測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從4B,C,。四個旅游景點中任

選一個前去游玩，其中甲到過4景點，所以甲不選4景點，則不同的選法有（）

A.64種B.48種C.36種D.24種

【變式2-1］（2024?河南鄭州?模擬預測）已知％eZ,yEZ,則滿足方程孫+2024（久一y）=8092的解（x,y）

的個數為（）

A.27B.54C.108D.216

【變式2-2］（2024?湖南岳陽?三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人,

甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數是（）

A.96種B.60種C.48種D.36種

【變式2-3］（2024?海南?模擬預測）將“1,2,2,3,4,5”這6個數字填入如圖所示的表格區域中，每個

區域填一個數字，1不在4區域且三列中只有中間一列區域的數字之和為7,若中間一列填2和5,則不同的

A.20種B.24種C.36種D.48種

【題型3涂色問題】

【例3】（2024?四川資陽?模擬預測）某社區計劃在該小區內如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區域

布置的花卉種類不同，且每個區域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有

A.360種B.420種C.480種D.540種

【變式3-1]（2024?遼寧?模擬預測）為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成4BC2E五個部分（如圖

所示），現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則

【變式3-2]（2024?全國?模擬預測）如圖，A,B,C,。為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏

色，對這四個區域進行涂色，要求相鄰區域涂不同的顏色（/與。不相鄰，2與。不相鄰），則使用2種

【變式3-3]（2024?廣西南寧?模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想.多用于哲學、中醫學和占卜方面

五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、

土，彼此之間存在相生相克的關系.五行是指木、火、土、金、水五種物質的運動變化.所以，在中國，“五

行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏

色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與

水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（）

A.30B.120C.150D.240

【題型4兩個計數原理的綜合應用】

【例4】（23-24高二上?江西九江?期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個不同的數作對數的底數

和真數，則所有不同的對數的值有（）

A.30個B.42個C.41個D.39個

【變式4-1］（2024?河北?模擬預測）用0,123,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【變式4-2］（24-25高三上?江蘇南京?開學考試）甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第

1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對

丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為（）

A.4B.6C.8D.12

【變式4-3］（2024高二?全國?專題練習）從正十五邊形的頂點中選出3個構成鈍角三角形，則不同的選法

有（）.

A.105種B.225種C.315種D.420種

?過關測試

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有4B,C三家企業可供選擇，若去

C企業最多一人，則不同分配種數是（）

A.112B.80C.64D.32

2.（2024?陜西西安?三模）方程盯=2160的非負整數解的組數為（）

A.40B.28C.22D.12

3.（2024?山東淄博?一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數e=2.71828…的前6位數字

2,7,1,8,2,8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則

小明可以設置的不同密碼種數為（）

A.24B.16C.12D.10

4.（2024?山東泰安?模擬預測）某市人民醫院急診科有3名男醫生和4名女醫生，內科有4名男醫生和4名女

醫生，現從該醫院急診科和內科各選派1名男醫生和1名女醫生組成4人組，參加省人民醫院組織的交流會,

則所有不同的選派方案有（）

A.192種B.180種C.29種D.15種

5.(2024?四川成都?模擬預測)《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年

春節電影市場.某電影院同時段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場電影，則兩位同

學選擇的電影不相同的概率為()

A.-B.-C.~D.—

oZ53

6.(2024?重慶沙坪壩?模擬預測)用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1

個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)-(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,

如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”表示把紅球和藍球都取出來，以此

類推，下列各式中，其展開式可用來表示從3個無區別的紅球、3個無區別的藍球、2個有區別的黑

球中取出若干個球，且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是()

A.(1+a+a2+a3)(l+Z)3)(l+c)2

B.(1+cz3)(l+b+b2+fa3)(l+c)2

C.(1+a)3(l+b+b2+/?3)(1+c2)

D.(1+a3)(l+fo)3(l+c+c2)

7.(23-24高二上?山東德州?階段練習)中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的

創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1,2,3,…，8.現準備給該傘

面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域(如區域1

與區域5)所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()

A.550種B.630種

C.720種D.840種

8.(2024?四川南充?模擬預測)距高考30天之際，高三某班級五位同學打算利用周末親近大自然，陶冶情

操，釋放壓力.這五位同學準備星期天在凌云山景區，印象嘉陵江濕地公園，西山風景區三個景點中選擇一

個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，五位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學

生甲和學生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數為()

A.18B.36C.48D.32

二、多選題

9.（23-24高三下?全國?強基計劃）某城市內有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正

中央開始走，每個點至多經過一次，最終回到出發點.已知向左轉了100次，則可能向右轉了（）次.

A.96B.98C.104D.102

10.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）數學中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數

是對稱美的一種體現，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22,121,3443,94249等，顯然兩

位回文數有9個：11,22,33,99；三位回文數有90個：101,111,121,191,202,999.T

列說法正確的是（）

A.四位回文數有45個B.四位回文數有90個

C.2n（neN*）位回文數有10"個D.2n+1（neN*）位回文數有9x1CP個

11.（2024?重慶?模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現用橡皮筋去套釘子，則下列說法正

確的有（不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同）（）

A.可以圍成20個不同的正方形

B.可以圍成24個不同的長方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個不同的三角形

D.可以圍成16個不同的等邊三角形

三、填空題

12.（2024?湖南岳陽?模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有B,C三家企業可供選擇,

若去C企業最多一人，則不同分配種數是.

13.（2024?河南濮陽?模擬預測）對一個四棱錐各個頂點著色，現有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連

接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有種（用數字作答）.

14.（2024?江蘇連云港?模