數學小測

題號1234567

答案

題號891011121314

答案

一、單選題

1.函數〃尤)=e"cosx[-]<x<'J，貝！]()

A.的極小值點為7B.的極大值點為0

C.的極小值點為0D.〃尤)的極大值點為7

2.函數/(力=12與函數g(x)=，—+；有兩個不同的交點，則加的取值范圍是()

3.函數“X)=2/-加+l(aeR)在(0,+⑹內有且只有一個零點，貝卜=()

A.3B,1C.0D.1

4.若函數/。)=尤1皿-3/一區有兩個極值點，則()

A.a<e~bB.e~b>0>aC.b<eaD.ea>0>b

5.函數〃x)-ax)+2x2+m;+l在(-1,+8)上存在極大值和極小值八/),且

占<%,則實數a的取值范圍為()

AJ。切B.(|4)C.[<jD.(U)

6.已知函數7"⑺=x3+ax2+3依+6的圖象在點(1"⑴)處的切線方程為y=-12x+m,

若函數至少有兩個不同的零點，則實數b的取值范圍是()

A.(-5,27)B.[-5,27]

C.(-1,3]D.[-1,3]

7.若xe(別,a=2；b=smx,c=x,則a,》，。的大小關系為()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

2

/、ax—a,x<0/?

8.已知函數為〃力=1+111"+1),北0在上單調遞增,則實數a的取值范圍是

()

A.(-e,0)B.[-1,0)

C.[-1,+co)D.(0,+8)

9.已知函數〃》)=1+:尤3_92_6+1,若/(X)在R上單調遞增，則實數a的最

o2

大值為()

A.-eB.-1C.1D.e

10.已知函數〃尤)=21n尤-;蘇-2x在上存在單調遞增區間，則實數a

的取值范圍為()

A.B

C.(』4)D.(f4]

H,已知函數〃x)=e*.x2-6有三個零點，貝心的取值范圍是()

AB.

C.1叫刀口J。；

12.已知函數./'(x)=lnx-依+6有兩個零點，則()

A.a>ln(Z?+l)B,0<a<ln(Z?+l)

C.0<a<e^1D.a>e^-1

13.若函數/(x)=ae-x的圖像全部在x軸上方，則a的取值范圍為()

A.(0,1)B,(1,+co)C.(j+jD.(e,+e)

14.已知函數=cosx+3x2-a，若〃x)Z0在R上恒成立，則a的最大值為()

A.0B.1C.2D,3

試卷第2頁，共2頁

參考答案:

題號12345678910

答案DDAACBDBCC

題號11121314

答案BCCB

1.D

【分析】首先利用導數求出函數的單調區間，再結合極值的概念即可得答案.

【詳解】(x)=(cosx-sinx)ex=+,

I兀7L4口兀兀3兀

由——<x<一得，——<%+—<——,

22444

令/'(x)=0,則x=；,

當日43時，廣(x)>O,/(x)單調遞增；

當.昌3時，廣(x)<O,〃x)單調遞減，

所以:是〃x)的極大值點，無極小值點.

故選：D.

2.D

/?)1nx-;的圖象有兩

【分析】利用參變分離將函數圖象有兩個交點問題轉化為>=加和

個交點，由導數求得h(x)的單調性并求得最大值即可得出結論.

【詳解】由妙2+,=1也(無>0)得.Jnx一；,則問題轉化為y=加和巴;的圖象

X2X2

有兩個交點,

2(1-lux)

而h'^x)=—

令解得0<x<e,令九'(久)<0,解得4>e,

故以久)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)單調遞減,則打")2=〃小)=!

h(x)大致圖象如下所示：

答案第1頁，共7頁

結合圖象可知，加的取值范圍是

故選：D

3.A

【分析】對函數進行求導，并分類討論函數的單調性，根據單調性結合已知可以求出〃的值.

【詳解】由函數=一G^+ig^R),求導得［(x)=2x(3x-a),%￡(0,+oo),

①當aWO時，在%￡(0,+8)上/X%)=2x(3xa)>0,

可得函數八%)在%￡(。,+8)上單調遞增，且"0)=1,函數”可在無￡(。,+8)上沒有零點;

②當〃>0時，在無￡(0,+8)上/?(x)=2x(3xa)>。的解為

因此函數“X)在xe(o,j]單調遞減，在xeg+j單調遞增，/⑴在x=三處取得極小值,

又〃尤)只有一個零點，/fj]=-^-+l=O,所以a=3.

故選：A

4.A

【分析】求導，得到:(可有兩個變號的零點，二次求導，分和。>0兩種情況，得到

單調性，得到g(X)max=-ln"b,結合函數圖象走勢，得至Ug(X)a>0,求出答案.

【詳解】f\x)^\nx+l-ax-b,因為“X)有兩個極值點，所以/'(尤)有兩個變號的零點,

g(x)=lux+l-ax-b,貝——

當aWO時，g'(x)>O,g(x)單調遞增，至多有一個零點，不符合題意；

當a>0時，g(x)在區間，J上單調遞增，在區間],+:|內單調遞減，

所以g(x)max=g(L]=lnL+l_l_b=Tnq_b,

\aJa

又x—0時，g(x)f-oo,xf+8時，g(x)f_oo,所以要使g(x)有兩個零點,

答案第2頁，共7頁

只需g(x)111ax>。，HP—\na->0,即a<e".

故選：A

5.C

【分析】分三種情況考慮，列出不等式組，即可確定。的取值范圍.

【詳解】由題可得，f'(x)=3ax2+4x+a,

當。>0時，方程/'("=。在(-L+oo)上有兩個不同的實根網,馬，且玉<馬，

A=16-12a2>0,

則<一二>-1,，解得1<°<38；

3a3

r(-i)>o,

當4=0時，r(x)=4x,不滿足題意；

當.<0時，/⑺的圖象開口向下，若方程r(無)=。在(T—)上有兩個不同的實根玉,吃,

則/(X)的極大值點4大于極小值點馬，與題意矛盾.

綜上所述，i<°〈氈.

3

故選:C

6.B

【分析】根據導數的幾何意義求。，再求函數的極大值和極小值，根據零點的個數，列不等

式，即可求解.

【詳解】由題意，Wfr(x)=3x2+2ax+3a,/./z(l)=3+5a=-12,a=-3,

32r2

=x-3x-9x+b.^f(x)=3x-6x-9=0,得玉二-1,x2=3,

當x<-l或%>3時，r(x)>0,.?./(%)在(—叫—1),(3,+8)上單調遞增；

當一1<%<3時，/'(%)<0,f(x)在(-1,3)上單調遞減

.?.當％=—1時，"%)有極大值〃-1)=人+5；當％=3時，/(%)有極小值〃3)二人一27.

fZ?+5>0

若要使/(%)至少有兩個不同的零點，只需Lg/c(等號不同時成立)，解得-5?8027.

故選：B

7.D

答案第3頁，共7頁

【分析】令/(x)=x-sinx,%e(0,1).利用導數說明函數的單調性，即可說明c>6,再由

指數函數的性質判斷〃>c,即可得解.

【詳解】令/(x)=x-sinx,%e(0,1),則/'(x)=l—cosx>。，

所以在(0,1)上單調遞增，所以"x)>"0)=0,即x>sinx在(0,1)上恒成立，

則c>b在上恒成立，

又當無?［［，1］時a=2*>2°=l,c=x<l,

所以a>c>b.

故選：D

8.B

【分析】分段函數在R上單調遞增，需要每一段都單調遞增，并且在斷開處也要滿足增函數

的定義，由此列出不等式求解即可.

【詳解】當xNO時，/(x)=eA+ln(x+l),f'(x)=e"+一｝>0恒成立,

此時〃尤)在［0,+s)單調遞增；

當x<0時，f［x)=c^-a,當且僅當a<0時，”X)在(—,()］單調遞增；

因為“X)在R上單調遞增，此時還需滿足外+111(0+1)24?②一見解得,

綜上所述：-l<a<0,故選：B.

9.C

【分析】求出導函數，利用導函數非負，得出不等式恒成立問題，參變量分離后，將恒成立

問題轉化為最值問題即可得解.

【詳解】因為/(%)在R上單調遞增，所以((司=1+；/一天-“2。在區上恒成立，

等價于a-e—尤~-x在R上恒成立，

2

令g(x)=e*+；x2-x,g'(x)=e*+x-l,易得g'(x)在R上單調遞增，

又g'(0)=0,g,(-l)=e1-l-l<0,g,(l)=e1+l-l>0,

所以當xe(-8,0)時，g'(x)<0,當xe(0,+co)時，g'(x)>0

所以g(x)在(-亂。)上單調遞減，在(0,+功上單調遞增，

答案第4頁，共7頁

所以g(x)1nhi=g(O)=l，所以awl,

所以實數。的最大值為1.

故選：C.

10.C

【分析】將問題轉化為導函數在區間［最廿上大于零有解，分離參數結合二次函數的性質計

算范圍即可.

【詳解】由題意知((x)=j-亦-2,問題等價于尸(x)>0在區間［g,］上有解，

即馬二有解，而口佟4］=>匚,，

x2xU2J2UJx{4J

由二次函數的性質知2弓-g)-1e-別，即a<4.

故選：C.

11.B

【分析】將零點問題轉化為交點問題，結合導數求解即可.

【詳解】因為〃x)=eF2-6有三個零點，

所以6=0有三個根,所以y=b和g(x)=eF2有三個交點，

而g'(x)=x(x+2)e",令g'(x)<0,xe(-2,0),

令g'(x)>0,XG(-OO,-2)U(0,-H?),

所以g(x)在(-叫-2),(0,+8)上分別單調遞增，在(-2,0)上單調遞減，

所以g(x)極小值為g(0)=。，8(”極大值為8(-2)=白，

當Xf+8時,g⑺—>+°,%.—00時，g(九)—0,

所以故B正確.

故選：B

答案第5頁，共7頁

【分析】利用導數求得函數的單調性，分4<0和4>0兩種情況討論，要使函數有兩個零點,

則且/"]>。，則答案可解.

【詳解】“X)定義域為(0,入),/(無)=匕竺,

當aWO時，/(x)>O"(x)單調遞增,

此時/(x)至多只有一個零點，不符合題意.

當a>0時，當xe1,￡|，r(x)>0J⑺單調