樂山市2024年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)

本試題卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題），共8頁.考生作答時，須將答案答在

答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效.滿分150分.考試時間120分鐘.考試結(jié)束

后，將本試題卷和答題卡一并交回.考生作答時，不能使用任何型號的計算器.

第I卷（選擇題共30分）

注意事項：

1.選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上.

2.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.

一、選擇題：本大題共10個小題,每小題3分，共30分.

1.不等式<0的解集是（）

A.J<-B.c.x<-2D.x>-2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式.熟練掌握解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵.

移項可得一元一次不等式的解集.

【詳解】解：

解得，-V,

故選：A.

2.下列文物中，俯視圖是四邊形的是（)

鏤空人面覆盆陶器■

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖，掌握簡單幾何體三視圖的形狀是正確判斷的前提.

得出各個選項中的幾何體的俯視圖即可.

【詳解】解：A.俯視圖是圓形，因此選項A不符合題意；

B,俯視圖不是四邊形，因此選項B不符合題意；

C.俯視圖不是四邊形，因此選項C不符合題意；

D.俯視圖是正方形，因此選項D符合題意；

故選：D.

3.*二3年，樂山市在餐飲、文旅、體育等服務(wù)消費表現(xiàn)亮眼，網(wǎng)絡(luò)零售額突破斗工億元，居全省地級市

第一.將40000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4XIO1B.4-10*C.4X1O10D,4*10U

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了絕對值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定a，"的值.

根據(jù)絕對值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為。?10',其中15;7<10,的值為整數(shù)位數(shù)少L

【詳解】解：40000000000大于1,用科學(xué)記數(shù)法表示為a"。，其中a=4,”=10,

,40000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為4x10”

故選：c.

4.下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】邊數(shù)為〃的多邊形的內(nèi)角和二，一」T&J°,分別求出三角形，四邊形，五邊形，六邊形的內(nèi)

角和，即可得到.

【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于180°

四邊形的內(nèi)角和等于3M°

五邊形的內(nèi)角和等于（5一半54C1°

六邊形的內(nèi)角和等于=

所以三角形的內(nèi)角和最小

故選：A.

【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能熟記邊數(shù)為〃的多邊形的內(nèi)角和二‘「一二’"V是解此題的關(guān)

鍵.

5.為了解學(xué)生上學(xué)的交通方式，劉老師在九年級800名學(xué)生中隨機抽取了60名進行問卷調(diào)查，并將調(diào)查

結(jié)果制作成如下統(tǒng)計表，估計該年級學(xué)生乘坐公交車上學(xué)的人數(shù)為（）

交通方式公交自行步私家其

車車行車它

人數(shù)

3051582

（人）

A.100B.200C.300D.400

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了用樣本估計總體，用學(xué)?？?cè)藬?shù)乘樣本中乘坐公交車上學(xué)的人數(shù)的比例，即可得

出答案.

【詳解】解：估計該年級學(xué)生乘坐公交車上學(xué)的人數(shù)為：

800X—=400

6。（人），

故選：D.

6.下列條件中，不能判定四邊形?北’0二’是平行四邊形的是（）

AAB//CD.AD■.BCRAB=CD.AD=BC

a.D.

cOA=OC,OB=ODD羔"CD,AD=BC

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進行分析即可.

【詳解】解：A、?.?.〃CD.AD〃BC

...四邊形.45（:0是平行四邊形，故此選項不合題意；

B,.AB=CD,AD=BC

.??四邊形刖CD是平行四邊形，故此選項不合題意；

c..OA=OC,OB=OD

...四邊形.45（?0是平行四邊形，故此選項不合題意；

D、....必，「工一口二St不能得出四邊形力88是平行四邊形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理.

7.已知1＜戈＜2,化簡Jxl）+|x?2］的結(jié)果為（）

A.-1B.1C,2.X-3D.3-2x

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)卜|化簡二次根式，然后再根據(jù)1<X<:去絕對值即可.

【詳解】解:歷八卜7邛F+卜7,

1<.V<2

…,V-1>0,T-2<0，

卜-“?卜-2|=A-1=1

■“，

而_球+卜7=i

■,，

故選：B.

8.若關(guān)于x的一元二次方程「十二'，F(xiàn)=。兩根為"、”，且h?3,則p的值為（）

22

A.3B.3C.-6D.6

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程G+E+'=07H'根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩實數(shù)根為,

bc

tl+x3=--1.vlA3=-

貝IJaa.

根據(jù)一元二次方程G二+bT+c=Ka.O）根與系數(shù)的關(guān)系得到+I"一%與.9，然后通

1.1Xi+Xj-2

分，』工F,從而得到關(guān)于〃的方程，解方程即可.

Vi.+x3=--=-2.x.x3-p

【詳解】解：’】，

X1巧x61P

而MU

故選：A.

9.已知二次函數(shù)［='一"741一”,當尸T時，函數(shù)取得最大直當】=1時，函數(shù)取得最小

值，則/的取值范圍是（）

A,0</<2B,0<r<4c.2ST4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識.熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

由F=x'-2x=（x-h-1,可知圖象開口向上，對稱軸為直線1=1,頂點坐標為iL-h,當、=_】

時，「=，,即'T3關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為由當i=-l時，函數(shù)取得最大值；當】=1時，

函數(shù)取得最小值，可得】計算求解，然后作答即可.

【詳解】解：「"'TH",

.?.圖象開口向上，對稱軸為直線工=1，頂點坐標為‘1'-",

當》=一:時，】?=3,

...（-1.3）關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為（碼，

?.?當'=-1時，函數(shù)取得最大值；當、=1時，函數(shù)取得最小值，

??，

解得，？±44,

故選：c.

io.如圖，在菱形?必°。中，一^CMGO。，，鉆=I,點尸是3C邊上一個動點，在3C延長線上找一

點Q,使得點尸和點。關(guān)于點c對稱，連接DP,闋交于點M.當點p從3點運動到。點時，點

M的運動路徑長為（）

W3楞

A.6B,3C,2D.百

【答案】B

【解析】

【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解

題的關(guān)鍵是掌握以上點河的運動路徑.

過點。作0“,也交4D于點打，根據(jù)乙四。=60°,四邊形/BCD是菱形，AB=\,算出

DH=1,^AH=DH,CH垂直平分AD,再證明LPCMS-QCM,得出尸M=MQ證明

J3

尸“x…，CAf'=5Ctan300=—

(.M垂直平分中，點河在OH上運動，根據(jù)解直角三角形3,即可求解.

【詳解】解：過點C作CH1.4交'于點〃，

...NASC=60°,四邊形X38是菱形，工3=I,

.一4。。=6。°(7D=BO=H5=l

?.?5cH=3D。，

DH=-CD=\

,?一，

...M=￡-DH=1,

；.AH=DH,

■CH垂直平分4?,

?.?點P和點。關(guān)于點c對稱，

.PC=QC

..ZPCM=Z.QCM=900cM=CM

^PCM^AQCM(SAS)

.PM=MQ,

..CM垂直平分風，

，點M'VH上運動，

當點尸與點2重合時，點"位于點M",

此時，?.?匕450=60。，四邊形.43CD是菱形，加=1,

ZAf?C=-ZASC=30°

,BC~l

J3

CA/'=5Ctan300=—3

CM,后

CAf=----

故點M的運動路徑長為

故選：B.

第II卷（非選擇題共120分）

注意事項：

1.考生使用0.5mm黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，答在試題卷

上無效.

2.作圖時，可先用鉛筆畫線，確認后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚.

3.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.

4.本部分共16個小題，共120分.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.

11.計算：2a+a-.

【答案】3a

【解析】

【分析】直接利用合并同類項法則計算得出答案.

【詳解】-a+a=3a

故答案為：3a.

【點睛】本題主要考查了合并同類項，正確把握運算法則是解題關(guān)鍵.

12.一名交警在路口隨機監(jiān)測了5輛過往車輛的速度，分別是：66,57,71,69,58（單位：千米/

時）.那么這5輛車的速度的中位數(shù)是.

【答案】66

【解析】

【分析】本題主要考查中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是

奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

先將數(shù)據(jù)從小到大重新排列，根據(jù)中位數(shù)的概念求解可得.

【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為57,58,66,69,71,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為66.

故答案為：66.

13.如圖，兩條平行線即b被第三條直線c所截.若一1=譏°,那么一二=

【答案】1%°##]]。度

【解析】

【分析】本題考查了直線平行的性質(zhì)：兩直線平行同位角相等.也考查了平角的定義.

根據(jù)兩直線平行同位角相等得到一】一--；=6尸，再根據(jù)平角的定義得到一二十一3-180°,從而可計算

出C

【詳解】解:如圖，

'：a//b

..Zl=Z3=60°

而N?+N3=180°,

..Z2=180o-60°=120°

【答案】29

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式的變形.熟練掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)出?爐Ta-打+4計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，。'+/=9"「+*3：+”10='

故答案為：-9.

15.如圖，在梯形＜5「二中，皿BC,對角線AC和3D交于點O,若,則

MD-

【解析】

【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.熟練掌握平行線間的距離，相似

三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

ADJ

S二>?>—BCd3

設(shè).4D,8°的距離為仃，則即BC3,證明A40Z)SAGO2,則

S3,產(chǎn)丫

S.ac,計算求解即可.

【詳解】解：設(shè)/DBC的距離為d,

S_*OD—BCd3空>=]

2，即BC3,

?.ADBC

..ZADO=ACBO,ZJ)AO=ZBCO,

?二'-CUB

故答案為：9.

16.定義：函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”.例如，點

（°」）是函數(shù)J=1+1圖象的“近軸點”.

（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）

①F=T+3；②尸；；③J—+2T-l.

(2)若一次函數(shù)J=圖象上存在“近軸點”，則加的取值范圍為.

--<00<mS—

【答案】①.③②.2或

【解析】

【分析】本題主要考查了新定義一“近軸點”.熟練掌握新定義，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)圖

象上的點到坐標軸距特點，是解決問題的關(guān)鍵.

⑴①產(chǎn)一'+'中，取、=F=1$,不存在“近軸點”；

*>

②由對稱性，取丫='=±8,不存在“近軸點”；

3

@y=-x+2x-l=-(x-ir取*=1吐J-0得到(L°)是=XT的，近軸點”；

1八一1

⑵.v=mr-3m=R(.\-3i圖象恒過點(3,0),當直線過(Lf時，~2；得到一：：；當直

/I1\ms————Sw<0

線過時，工得到2

【詳解】⑴①」=7+-'中，

.T=L5時，J=15,

不存在“近軸點”；

J，=二

?V,

由對稱性，當“丁時，x=F=±C

不存在“近軸點”；

③F=_/+工_]=-(x-ll3

x=l時，了=°,

,(L。)是,■Ta+2x-l的“近軸點，，；

，上面三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是③

故答案為：③；

y=>m-3m=mix-3\

U)T,

x=3時，J=。，

，圖象恒過點Q0,

當直線過時，-i(f,

1

m=-

o<Y

當直線過時，】=加"-3),

三、解答題：本大題共10個小題，共102分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演

算步驟.

17.計算：7+（*加4）?一聲

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查了絕對值，零指數(shù)幕，算術(shù)平方根.熟練掌握絕對值，零指數(shù)帚，算術(shù)平方根是解題的

關(guān)鍵.

先分別計算絕對值，零指數(shù)基，算術(shù)平方根，然后進行加減運算即可.

【詳解】解：用（“一小"一"

=3+1-3

-1.

廣+1'=4

（、’,

18.解方程組：

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】用加減消元法把二元一次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程.

【詳解】解：①+②，得3、=9.

解得、=3.

把T=3代入②，得J=L

x=3.

原方程組的解是

19.知：如圖，43平分-CAD,AC?AD_求證：-（7=_￡，

【答案】見解析

【解析】

【分析】利用；證明AdBlfiAD僅即可證明/C=ZD

【詳解】解：???48平分-C4Z）,

在ACIB和AR4S中，

AC=AD

>/.CAB=乙DAB

AB=AB

AC4s〈AIMS(SAS)

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握，二AS、AAS、ASA、等全等三角形的

判定方法是解題的關(guān)鍵.

20.先化簡，再求值：：-4、-二其中1-、小樂同學(xué)的計算過程如下:

x-2…⑤

當X=3時，

原式二1.

(1)小樂同學(xué)的解答過程中，第步開始出現(xiàn)了錯誤；

(2)請幫助小樂同學(xué)寫出正確的解答過程.

1J

【答案】⑴③⑵、+二5

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡求值，異分母的分式減法運算，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)第③步分子相減時，去括號變號不徹底；

(2)先通分，再進行分子相減，化為最簡分式后，再代入求值即可.

【小問1詳解】

解：???第③步分子相減時，去括號變號不徹底,

2x_x+2_2x-x-2

」”(X+2HT-2)(I+2|(I-2)(i+2)(x~2)

y■為：

【小問2詳解】

1

.2xx+2

(jr+2)(x—2)(i+2)(x—2)

2x-x-2

(JT+21(x-21

x-2

(x+2)(x-2)

1

二7i3

=1

當＞=3時，原式5

21.樂山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客.為更好地提升服務(wù)質(zhì)量，某旅行社隨機調(diào)查了

部分游客對四種美食的喜好情況(每人限選一種)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計圖，如圖所示.

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為人，扇形統(tǒng)計圖中加的值為；

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)旅行社推出每人可免費品嘗兩種美食的活動，某游客從上述4種美食中隨機選擇兩種，請用畫樹狀

圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率.

【答案】(1)240.35

1

⑵見詳解(3)6

【解析】

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果"，再從中選出符

合事件R或n的結(jié)果數(shù)目E,然后利用概率公式計算事件A或事件5的概率.也考音了統(tǒng)計圖.

(1)根據(jù)：該項所占的百分比二該項人數(shù)+總?cè)藬?shù).兩圖給出了“蹺腳牛肉”的數(shù)據(jù)，代人即可算出抽

取的游客總?cè)藬?shù)，然后再算出“缽缽雞”的人數(shù);

(2)根據(jù)條形圖中數(shù)據(jù)和調(diào)查總?cè)藬?shù)，先計算出喜歡“甜皮鴨”的人數(shù)，再補全條形圖;

(3)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好同時抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”“缽缽雞和蹺

腳牛肉”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【小問1詳解】

解本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為72-309。=-40(人),

g4

w=_2^xl00%=35%

240

故答案為：240,35；

【小問2詳解】

"甜皮鴨”對應(yīng)的人數(shù)為)40-(48+72+84)=36(人),

美食

牛肉"【小問3詳解】

假設(shè)“麻辣燙”“蹺腳牛肉”“缽缽雞”“甜皮鴨”對應(yīng)為“4B、C、D；

畫樹狀圖如圖所示,

AD

BCDACDABDABC

共有12種等可能中結(jié)果數(shù)，其中抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”題目的結(jié)果數(shù)為2,

21

...抽到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率是1」6.

22.如圖，已知點,叫"⑴①在反比例函數(shù)'’的圖象上，過點A的一次函數(shù)°+"

的圖象與軸交于點

(1)求用、月的值和一次函數(shù)的表達式；

(2)連結(jié)45,求點C到線段.43的距離.

［答案］⑴加=3,〃=3,r=X+i

生

(2)點°到線段工3的距離為二

【解析】

=3

【分析】(1)根據(jù)點"S'"在反比例函數(shù)‘-三圖象上，代入即可求得“的值；根據(jù)一

次函數(shù)Y=G+。過點斗L3),門0,1),代人求得無，b即可得到表達式；

(2)連結(jié)用0,過點A作，必/BC,垂足為點D,過點。作垂足為點E,可推出

BC'軸，BC、4)、D5的長度，然后利用勾股定理計算出A5的長度，最后根據(jù)

S"=AD=~ABCE

，計算得"的長度，即為點二到線段.43的距離.

【小問1詳解】

...點,4(1,加)、在反比例函數(shù)圖象上

e=3力=3

又；-次函數(shù)過點”"J,C(0J)

k+b=3

,［b=1

>=2

解得：；”1

一次函數(shù)表達式為：)'=上+1；

【小問2詳解】

如圖，連結(jié)EC,過點A作.4D/3。，垂足為點D,過點0作垂足為點E

..0(0,1)3(3,1)

3C〃x軸,BC=3

..點4(1.3)5(3,1)ADIBC

點。(LliXD=2,DB=?

在Rt“D3中，AB=jAD'+DB：=tg

S^c^BCAD^^ABCR

又丁

OO/4\

C￡=——

-,即點C到線段的距離為-.

【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)值，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，勾股定理，與三角形高有關(guān)的計

算，熟練掌握以上知識點并作出適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

23.我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是

使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10

尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺.（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）

地面

圖1

（1）如圖1,請你根據(jù)詞意計算秋千繩索Q4的長度;

（2）如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置Q4釋放，秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為￡的地

方。4”,兩次位置的高度差產(chǎn)。=〃.根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索。4的長度？如果能，請用含%￡

和的式子表示；如果不能，請說明理由.

【答案】（1）秋千繩索的長度為145尺

04=---------------

(2)能，cosy5-cosa

【解析】

【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

(1)如圖，過點4'作垂足為點設(shè)秋千繩索的長度為x尺.由題可知,

OA^OA-x4B=4,AB=\Q得出0夕=*_4在P、t二中，由勾股定理解得x=14.5,

即可求解；

⑵由題可知，N°射'=/84=90。，M=在Rt，。/'尸中，得出

OP-OAcota同理OQ=OAcosp再根據(jù)。-0尸二力列等式即可求出04.

【小問1詳解】

解：如圖，過點/'作，43工。4,垂足為點反

設(shè)秋千繩索的長度為X尺.

由題可知，。4=。4'=148=4,,4'E=IO,

_._0B=0A-A￡=x-4_

在Rt二。4B中，由勾股定理得：AB3+0B3

103+(x-4)3=X3

解得x=14.5.

答：秋千繩索的長度為145尺.

【小問2詳解】

能.

由題可知，N%'=N^C4=90°,Q4*=0A*=0A

在?s-OAP中，OP-OAcosa=OAcosa

同理OQ=0/CcosOAcosp

..OQ-OP=h

?,

.OAcosp-OAesa=〃

OA^----------------

cosp-cosa

24.如圖，。。是SC的外接圓，.45為直徑，過點C作°。的切線CD交延長線于點。點￡

為CB上—■點，且jiCuCfi1.

(1)求證：DCAE.

(2)若E尸垂直平分8,D?=3,求陰影部分的面積.

"94

3K--------

【答案】⑴見解析(2)」

【解析】

【分析】(1)如圖L連結(jié)℃.則N8D=90°,即NDC4+N0C4=9O°.由48為直徑，可得

N/CB?90?，即/1+/OCX=90°.則NZ)CH=△L由0c=0B,可得/]=/?.由於=而，

可得N2=N3,則NDCA=N3.進而可證DC〃/E.

(2)如圖2,連結(jié)?！?、￡三.由5戶垂直平分OB,可得則-0E8為等邊三角

形.ABOE=60°4408=120°.由。4=0E,可得NQiK.N0&.3O*.由DC〃AB,可得

ZZ)=ZOLff=30°ZZ)OC=60°.證明^AOC為等邊三角形.則N0G4=60°,

OA^OC=ACZZ)C4=30°則

ZZ)=ZZ)C4DA=AC=0A=0C=0E=3EF^OEsin60°

120nx3J

360,根據(jù)S」=$一3-$40?,計算求解即可.

【小問1詳解】

圖1

...CD為°。的切線，

.ZOCD-90P即NDC4+/OC4=9()e

又?；凡5為直徑，

.ZJICB-90*即N1+-OC4=90°

ZZ)C^=Z1.

.?.OC=OB,

一】=「.

.?AC=CE,

.,Z2=Z3.

..._rc4=_3.

，匚CAE_

【小問2詳解】

解：如圖2,連結(jié)°E、BE.

圖2

...EF垂直平分。B

,OE=BE.

又..OE=OB

，二°EB為等邊三角形.

,Z5OE=60°,ZAOE=\1^°

.OA=OEt

,zaijr-zofii-30*.

.?.DCAE,

,ZZ)=Za4￡=30°

義...￡08-90°,

,ZDOC=60°

..OA=OCt

為等邊三角形.

^OCA=60°tOA^OC^AC

,,_rC4=3C°.

，一。=_X：C4

,Q4=4C=04=OC=04=3

出1r

EF=OEnn6CP=*>

&3=SF=,

w_120nx3J_

d%?皿=-^7-="

又：,60,

,9力

3w-

，陰影部分的面積為4.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判

定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正弦，扇形面積等知識.熟練掌握切線的性

質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定

與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正弦，扇形面積是解題的關(guān)鍵.

25.在平面直角坐標系;中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”.拋物線

=-一-2。（。為常數(shù)且^與y軸交于點4

(1)若a=L求拋物線的頂點坐標；

(2)若線段04(含端點)上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求。的取值范圍；

(3)若拋物線與直線?''=丫交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域(含邊界)內(nèi)恰有4個“完

美點”，求。的取值范圍.

【答案】⑴

3.5

—4aV一

(2)-

21

一＜aS—

(3)52

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的特征.數(shù)形結(jié)合解題是解題的關(guān)

鍵.

(1)把：；=1代入后再將拋物線化成頂點式為】+1,即可求頂點坐標；

(2)根據(jù)整點個數(shù)的范圍確定點/縱坐標的范圍；

(3)結(jié)合圖象確定有4個“完美點”時。的最大和最小值，進而確定。的范圍.

【小問1詳解】

解：當4=1時，拋物線"+1.

.?.頂點坐標

【小問2詳解】

令1=0,則『二包

4(02)

?.?線段上的“完美點”的個數(shù)大于3個且小于6個,

“完美點”的個數(shù)為4個或5個.

.a>0

，當“完美點”個數(shù)為4個時，分別為(6°),(°J),(°二)，(°3)

當“完美點”個數(shù)為5個時，分別為（6°）,（0J）,9、（03,9”

,3<2a<5.

3」5

—0。<一

的取值范圍是？

【小問3詳解】

根據(jù).1?=ax'-2ax+2a=ak-1「+a

得拋物線的頂點坐標為（L“）,過點尸C,。（3）,K（4」M

1?拋物線與直線交于M、N兩點，線段△力''與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美

點”，

顯然，“完美點"（'3i符合題意.

下面討論拋物線經(jīng)過‘'"，（’的兩種情況:

①當拋物線經(jīng)過"時，解得"-3此時，尸（？」），及4.5)

共個

如圖所示，滿足題意的“完美點"有(2.1)(2.2)(3.3)4

②當拋物線經(jīng)過‘3二’時，解得’5此時，0(3.2)及(4.4)

如圖所示，滿足題意的"完美點'‘有（二、"二），（3,3）,（4.4）,共6個.

26.在一堂平面幾何專題復(fù)習課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題:

【問題情境】

如圖1,在445c中，4￡=90°,=,點。、￡在邊3c上，且/D4￡=45°

BD=3,CE=4,求OE的長.

解：如圖2,將一?血繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)9了得到ACD\連結(jié)EZX.

H

圖1

由旋轉(zhuǎn)的特征得NB=NXCD',AD=AD",BD-CEf

..zaxc=90°ZDA5=45°J

.^BAD^￡EAC=45°_

.一歷5=_C.必'

.ACAD'+￡EAC=45°t即z￡AZ)'=450

...」而一.

在&DAE和i>.D'AE中，

AD=AE>，￡DAE=￡DAE，AE=AE，

@.

DE=D'E.

又..Z￡CD'=Z￡C"4CD'=Z￡C4+NB=90°,

.?.在Rt△￡?￡)'中，②.

.?.CD'=BD=3，CE=4，

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：;“②"處應(yīng)填：;“③"處應(yīng)填：.

劉老師進一步談到：圖形的變化強調(diào)從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應(yīng)萬變.

【知識遷移】

如圖3,在正方形K5CD中，點￡尸分別在邊3「、CD上,滿足.CEE的周長等于正方形45C;D的

周長的一半，連結(jié).、』尸，分別與對角線交于〃、N兩點.探究上總、1伍'、二川的數(shù)量關(guān)系并

證明.

圖3

【拓展應(yīng)用】

如圖4,在矩形/8CQ中，點E、尸分別在邊3C、CD上,且一即=NCRF=45。,探究

BE、EF.DP

的數(shù)量關(guān)系：（直接寫出結(jié)論，不必證明）.

圖4

【問題再探】

如圖5,在中，乙450=90°,45=4,3c=3,點。、￡在邊ZC上，且〃8月=45°設(shè)

■狂'=\cs=求歹與X的函數(shù)關(guān)系式.

圖5

【答案】【問題解決】①二4應(yīng)且二4D8；②EC'+CD"=RD"；③5；【知識遷移】

_21X-60

DN2+BM^MN\見解析；【拓展應(yīng)用】131+2D尸）=即，【問題再探廠

【解析】

【分析】（1）【問題解決】根據(jù)題中思路解答即可；

⑵【知識遷移】如圖，將/BE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到…T二尸過點。作J.即交邊

于點月，連結(jié)版.由旋轉(zhuǎn)的特征得花=AF1.BE-DF'.￡BAE-ZDAF'結(jié)合題意得

即=￡）尸+8口=0尸+1）尸＞=巾,證明_,出人，4尸'尸，得出廣反4尸=/尸Z尸,根據(jù)正方形性質(zhì)得

出乙州D=4408=45°結(jié)合DH工BD,得出乙=乙4D8=450證明

:“BMgHDH,得出AM=A^,BM=DH證明"AWg得出必'=凡，,在

RiMND中,根據(jù)勾股定理即可求解；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖所示，延長￡尸交45延長線于“點，交公'延長線于N點，將一XD尸繞著

點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到JGH,連接HMES,則則

DF=GH.AG=AD,AF=AH4AF=_HAG,根據(jù)二兒(尸.45、證明d北尸，得出

EF=HE,過點〃作WCB交C8于點。過點〃作交鼎/于點河，則四邊形

OHGB為

矩形.得出陰=3G3="G,證明-MEADWF"即UA/XT是等腰直角三角形，得出

GM=DN=DF=HG,￡HMR=90°在尬AOHE中，根據(jù)勾股定理即可證明；

(4)【問題再探】如圖，將二EC繞點后逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到BEC',連結(jié)E'D.過點E作

EGLBC,垂足為點G,過點E，作EG'_LBC\垂足為G'.過點E'作『?〃A4,過點D作

DF"BC交AB于點、H.E’FDF交于點、F.由旋轉(zhuǎn)的特征得

BE=BF」CBE="B￡EG=EG.BG：BG根據(jù)=90°.血E=45°得出

/DBS'=45°,證明乙63。9乙￡8。，得出。B=OX,根據(jù)勾股定理算出ZC,根據(jù)

AD=x,CE=yt表示出DR'=5-X-F,證明一4日。6乙480,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出

AH=—x.HD=—xHB-A——xEG=—v,GC*=—v￡*0'--v,BCf-3-—v

5,5,同理可得5'5，5'5，證

ZF=9Q0.FH=ij.DF=-x+i-yF￡*=l--x+-j

明四邊形，fGH為矩形.得出555,55,在

R心?口中，根據(jù)勾股定理即可求解；

【詳解】解：(1)【問題解決】解：如圖2,將--鉆D繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)9°°得至.-4CD,連結(jié)

圖2

由旋轉(zhuǎn)的特征得NmD=NC4D',4=ZACD'AD=AD',BD-CEf

.?NO4c=90°，NR45=45°，

..ZAW+34C=45。.

..^BAD=￡CAD't

,ZC4D,+Z&4C=45°即一￡^'=45。

...3AE=「DAE.

在皿E和ADZ5中，AD=AD',^DAE=4DAE,AR~AE,

...①-ADE=--AD'E

-_DE=D'E.

又...Z￡CD'=Z￡CA+AACD^Z5C4+Z5=90°,

..在RtA5CD'中，②EC'+8"=ED”.

.?.CD'=RD=3，CE=4，

.DE=D'E=VsI+43=5③

(2)【知識遷移】DN'+RM、=MN、

證明：如圖，將。ASE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)9。°,得到一工。尸’.

過點Z)作DH1BD交邊T產(chǎn)'于點H,連結(jié)AW

由旋轉(zhuǎn)的特征得.="二BB=DFSAE=￡DAF1

由題意得EF+RC+月C=DC+BC=。9+PC+RC+即

,