高考數學應用題歸類解析

類型一：函數應用題

1.1以分式函數為載體的函數應用題

---0<%<c,

例1.工廠生產某種產品，次品率p與日產量x（萬件）間日勺關系為：P=—X（c為常

數，且0<c<6）.已知每生產1件合格產品盈利3元，每出現1件次品虧損1.5元.

（1）將日盈利額y（萬元）表達為日產量x（萬件）日勺函數；

（2）為使日盈利額最大，日產量應為多少萬件？（注：次品率=靠蠢*100%）

九3X9x

【解】⑴若。<…，貝”=如-二）-5—3x—

6-x2(6-x)

3(9x-2x2)0<x<c

232—-----------

若x>j貝ijy=3(x——x)——?—x—0,/.y=<2(6—x)

3(9-4x)(6-%)-(9x-2x2)(-1)3(尤—3)(x—9)

⑵當0<xVc,—-------------------------x------)=--------------

2(6-x)2(6-x)2

若0<cW3,則y>0,函數在（0,c］上為增函數，x=c,y=

max2（6-c）

若3<c<6,在（°，3）上為增函數，在（3,。）上為減函數，.?.當尤=3時，ymax=/（3）=f.

綜上，若0<c43,則當日產量為c萬件時，日盈利額最大；若3<c<6,則當日產量為3萬件時,

日盈利額最大.

例2.近年來，某企業每年消耗電費約24萬元，為了節能減排，決定安裝一種可使用日勺太陽能供電設

備接入本企業電網，安裝這種供電設備日勺工本費（單位：萬元）與太陽能電池板日勺面積（單位：平方米）成正比,

比例系數約為05為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電日勺模式.假設在此模式下，安裝

后該企業每年消耗日勺電費C（單位：萬元）與安裝的!這種太陽能電池板日勺面積》（單位:平方米）之間日勺函數

關系是美系=“卜（x20,1為常數）.記尸為該村安裝這種太陽能供電設備日勺費用與該村共將消耗

20x4-100

日勺電費之和.

(1)試解釋C(0)日勺實際意義，并建立廠有關X日勺函數關系式;

(2)當尤為多少平方米時，尸獲得最小值？最小值是多少萬元？

【解】(1)C(0)日勺實際意義是安裝這種太陽能電池板日勺面積為0時日勺用電費用,

即未安裝電陽能供電設備時全村每年消耗日勺電費，由C(0)=卷=24,得上=2400,

因此巳=15x240°+05X=1^22+0.5X,X20；

20%+100x+5

(2)由于R+0,5(%+5)-0.25>271800x0.5-0.25=59.75.

x+5

當且僅當照=0.5(x+5),%=55時取等號，因此當4為55平方米時，產獲得最小值為59.75萬元.

x+5

1.2以分段函數為載體的函數應用題

例3.在等邊AA5C中,AB=6cm,長為1cm日勺線段。￡兩端點都在邊上，且由點A向點6

運動(運動前點。與點A重疊)，￡0，9,點尸在邊4。或邊8。上；6石，鈣,點6在邊4。或邊8。

上，設AD=xcm.

(1)若AADE面積為H=/(x),由OEEGGf尸。圍成日勺平面圖形面積為S2=g(x),分別求出函數

/'(x),g(x)日勺體現式；

(2)若四邊形。EGE為矩形時x=%,求當x2不時，設入?=以立，求函數尸(x)日勺取值范圍.

g(x)

解：(1)①當0<xW3時，F在邊AC上，FZ>=xtan60°=A/3X,/./W=y?；

當3<xW5時，F在邊BC上，FD=(6-x)tan60°=73(6-%),

-^-x2,0<x<3

732

/(x)=—x(6-x),/(x)=<

h

-^-x(6-x),3<x<5

②當0<%W2時，F、G都在邊AC上，FD=xtan60°=A/3X,

EG=A/3(X+1)..避(3)=屈+!0+1).1=底+日；

5n

當2<%W3時，F在邊AC上，G在邊BC上,㈤=氐，EG=g(5—x).1g(x)=掾；

當3<xW5時，F、G都在邊BC上,/。=百(6—x),EG=^(5-x)g(x)=-y/3x+yA/3

A/3X+,0<x<2

2

5也、不

g(x)=,---,2<x<3

2

—yf^x+3<xV5

55尤59

(2)與二一①當一《九<3時，F(x)=—,/.-<F(x)<-

22545

c//廠r_Ll/、—6x<x2—5x+33?

②當3Kx<5時，F(x)--—F(x)=4-------石>0

2x—11(2x—11)

”⑴的取值范圍為f,5

例4.如圖，長方體物體E在雨中沿面尸(面積為S)日勺垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0),

雨速沿E移動方向日勺分速度為c(ceR),E移動時單便時聞內日勺淋雨量包括兩部分：(1)尸或尸日勺平行

面(只有一種面淋雨)日勺淋雨量，假設其值與卜-。卜5成正比，比例系數為1；(2)其他面日勺淋雨量之和，

133

其值為萬.記y為E移動過程中日勺總淋雨量，當移動距離d=100,面積S=]S=5.

(1)寫出y的體現式；

(2)設0VvW10,0VcW5,試根據c的不一樣取值范圍，確定移動速度V,使總淋雨量y至少.

1.3以二次函數為載體的函數應用題

例5.輪滑是穿著帶滾輪日勺特制鞋在堅硬日勺場地上滑行日勺運動.如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某

輪滑運動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米日勺平臺上E處，飛行日勺軌跡是一段拋

物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內)，D為這段拋物線日勺最高點.目前運動員日勺滑行軌

跡所在平面上建立如圖所示日勺直角坐標系，x軸在地面上，助跑道一端點A(0,4),另一端點C(3,1),點

B(2,0),單位：米.

(1)求援跑道所在日勺拋物線方程；

(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相似日勺切線，為使運動員安全和空中姿態優

美，規定運動員日勺飛行距離在4米到6米之間(包括4米和6米)，試求運動員飛行過程中距離平臺最大

高度日勺取值范圍？(注：飛行距離指點C與點E日勺水平距離，即這兩點橫坐標差日勺絕對值.)

2

【解】(1)設助跑道所在日勺拋物線方程為f(x)=a0x+box+co,

co=4,

依題意：<4tz0+2b0+c0=0,解得，4=1,%=-4,c0=4,

9%+3bo+.=L

助跑道所在的拋物線方程為/(x)=d—4x+4.

(2)設飛行軌跡所在拋物線為g(x)=?%2+法+c(。＜0),

7(3)=g(3),19a+3匕+c=1,[b=2-6a,

依題意:5行《用牛待5

[f\3)=g(3),[6a+b=2,[c=9a-5,

g(x)—tix2+(2—6ct)x+9a—5=a(x----------)2+1—,

aa

人/、1/s/3cl—1、2I..c?3a—I1c2

令g(x)=l侍，(x----------)——,■「〃<(),x=-------------=3-----,

aaaaa

當元=第二時，g(x)有最大值為1—-,則運動員日勺飛行距離d=3——3=——,

aaaa

1191

飛行過程中距離平臺最大高度介=1——1=——,依題意，4<——<6,得24——<3,

aaaa

即飛行過程中距離平臺最大高度日勺取值范圍為在2米到3米之間.

例6.某單位有員工1000名，平均每人每年發明利潤10萬元.為了增長企業競爭力，決定優化產

業構造，調整出x(xGN*)名員工從事第三產業，調整后他們平均每人每年發明利潤為10、-蓋)萬元①

>0),剩余日勺員工平均每人每年發明日勺利潤可以提高0.2x%.

(1)若要保證剩余員工發明日勺年總利潤不低于本來1000名員工發明日勺年總利潤，則最多調整出多少名員

工從事第三產業？

(2)在(1)日勺條件下，若調整出日勺員工發明出日勺年總利潤一直不高于剩余員工發明日勺年總利潤，則。日勺

取值范圍是多少？

【解】(1)由題意，得10(1000—x)(l+0.2x%巨10x1000,即/一500爛0,又x>0,因此0V爛500.即最

多調整500名員工從事第三產業.

(2)從事第三產業日勺員工發明日勺年總利潤為衛]x萬元，從事本來產業的員工日勺年總利潤為

(500J

10(1000-^)^1+—^TJ7L,貝—網]尤<10(1000—X],因此ax--<\000+2x~x-

\500)\500J_I500J500~

—x2,因此上江+1000+x,即方—+照+1恒成立.

500-500-500x

古T2%,1000_/2x1000/□/riM/2X1000口門「八八_i■田口少qhu「「

由于一+——>2.-------------=4,當且僅當一=——，即x=500時n等號成立，因此aW5,又

500xV500x500x

a>0,因此OVg因此。日勺取值范圍為(0,5].

類型二：三角測量應用題

2.1以三角函數的定義為載體的三角應用題

例7.如圖，兩個圓形飛輪通過皮帶傳動，大飛輪。津勺半徑為2r(r為常數)，小飛輪。2日勺半徑為廣，

=4/■.在大飛輪日勺邊緣上有兩個點A,8,一滿

77

足=在小飛輪日勺邊緣上有點C.設大

飛輪逆時針旋轉一圈，傳動開始時，點8,。在水

平直線上.

(1)求點4抵達最高點時A,C間日勺距離；

(2)求點8,C在傳動過程中高度差日勺最大值.

【解】(1)認為&坐標系日勺原點，QU所在直線為x軸，如圖所示建立直角坐標系.當點A抵達最高點

時，點A繞。席過小,則點C繞。2轉過于此時A(0,2.),C(|.

/.AC=75-

(2)由題意，設大飛輪轉過日勺角度為6,則小飛輪轉過日勺角度為20,其中。以0,2兀］.

此時5(2rcos9,2rsin6),C(4r+rcos20,rsin26).

記點B,C高度差為d,d=\2rsm0-rsm26\.

即d=2r|sine-sin6cos例.ISf{0}=sin-sin^cos0,^G[0,2TI],貝I]/'(6)=(1—cos6)(2cos8+1).

i94

令/'(6)=(1—cose)(2cos6+1)=0，得cos9=—a或1.貝l]8=1兀，§兀，。或2%.

列表：

(0,|?r),24

2(§兀，]兀)4

30—71—K(1,2兀)27r

33

((⑶+0-0+

4

于⑼0極大值八”)]極小值人］兀)0

.?.當。=：兀時，＜6)獲得極大值為乎;當0=g無時，八。)獲得極小值為-苧.

答：點8,C在傳動中高度差日勺最大值“max=苧乙

2.2以三角函數的圖象為載體的三角應用題

例8.如圖，摩天輪日勺半徑為40加，點。距地面日勺高度為507九，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈,

摩天輪上日勺點P日勺起始位置在最低點處.

(1)試確定在時刻/(min)時點P距離地面日勺高度；

(2)在摩天輪轉動日勺一圈內，有多長時間點尸距離地面超過70加？

(3)求證：不管f為何值，/。)+/?+1)+/'?+2)是定值.

2.3以解三角形為載體的三角應用題(例9不含分式構造的解三角形問題；例10和例11具有分式結

構的解三角形問題，措施略有不一樣)

例9.在路邊安裝路燈，燈柱A3與地面垂直，燈桿與燈柱A3所在平面與道路垂直，且

NA3C=120,路燈C采用錐形燈罩，射出日勺光線如圖中陰影部分所示，已知NACD=60,路寬

AD=24米，設燈柱高=(米)，ZACB=Q(30＜。＜45).

(1)求燈柱日勺高(用。表達)；c

(2)若燈桿與燈柱A3所用材料相似，記此用料長度和

為S,求S有關。日勺函數體現式，并求出S日勺最小值.

.〃///////////////////////》D

例10.如圖，將邊長為3日勺正方形42。繞中心。順時針旋轉a(0＜a＜今得到正方形根據

4＞

平面幾何知識，有如下兩個結論：4E/\FB

①jV

DC

jr

②對任意a(0<cr<5),△EAL,△EA'F,△GBF,

△GB'H,AICH,△IC'J,△KDJ,△KD'L均是全等三角形.

（1）設4E=x,將x表達為浦勺函數;

（2）試確定a,使正方形4夕（7。與正方形ABCZ）重疊部分面積最小，并求最小面積.

【解】（1）在R3E4F中，由于/4FE=a,A'E=x,

因此跖=意，4/=就

Y

由題意AE=4E=尤，BF=A'F=^.

YX

因此所+8F=x+^+片=3.

hLi3sinaaG(小0,兀、)

□此尤=l+sina+cosa'2

_3sina__2..cosa9sinacosa

(2)吩后

5“44?”49alir2tvl+sin6z+coscr2sina2(1+sina+cosa)2'

人1-11￥_1

令t=sina+cosa,貝IJsinacosa=-~■

由于a￡（0,2）,因此a+黑百爭，因此片也sin（a+%（l,也］.

c9(?~1)92

S^A'EF-^-^2-^-(1-7+T昂一占.

正方形ABC。與正方形ABCD重疊部分面積

扁18(6-1).

S=S正方形A'B,cz)'—4s△4七心9—9(1

當y也即時等號成立.

例11.如圖所示，直立在地面上日勺兩根鋼管A8和CD,AB=10^/3m,CD=3^m,現用鋼絲繩對這

兩根鋼管進行加固，有兩種措施：

（1）如圖（1）設兩根鋼管相距1m,在AB上取一點E,以。為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面日勺尸處,

形成一種直線型日勺加固（圖中虛線所示）.則8E多長時鋼絲繩最短？

⑵如圖⑵設兩根鋼管相距3石m,在上取一點反以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面日勺尸處,

再將鋼絲繩依次固定在。處、8處和￡處，形成一種三角形型日勺加固（圖中虛線所示）.則BE多長時鋼

絲繩最短？

?1圖2

【解】(1)設鋼絲繩長為ym,ZCFD=3,則

電+1r

尸*=普++(其中°<」<為/,-.0=7),,_-3^cos6(sin。

y—1

sin26?cos20

當tan。=石時，即BEndAQ時，ymin=8

(2)設鋼絲繩長為ym,ZCFD=0,則

y=+(l+cos6+sine)(其中0<6<%，tan%==3)9分

小可那+米卜+sme+*)+]15+慈/。

令;/=0得sin9=cos9,當6=■時，即BE=643時ymin=66(夜+2)12分

例12.海岸線肱NA=2仇現用長為/日勺攔網圍成一養殖場，其中

(1)若6。=/,求養殖場面積最大值；

(2)若5、。為定點，BC<1,在折線mBCN內選點。，使BD+DC=/,求四邊形養殖場DA4C

日勺最大面積；

(3)若⑵中B、C可選擇，求四邊形養殖場ACDB面積日勺最大值.

【解】(1)設AB=%,AC=y,%>0,y>0.r二爐+/2-2移cos2e〉2^-2%ycos2。，

「cos。

xy<--------------=；—，5=—xysin26^<；-?2sin8cose=

2-2cos204sin20224sin204sin6^

尸cos0

因此，△ABC面積的最大值為------,當且僅當犬=y時取到.

4sin。

(2)設AB=加,AC=〃(加〃為定值).5c=2。(定值)，由DB+DC=l=2a,知點。在以8、

C為焦點日勺橢圓上，加〃sin2。為定值.只需AD5c面積最大，需此時點。到5c日勺距離最大，即

D必為橢圓短軸頂點.b=J/_02=-。2,S2CD面積的最大值為；?2c必=C?._片,

1F

因此四邊形ACDB面積日勺最大值為5"z?〃?sin29+cqi-c2.

(3)先確定點B、C,使BC</.由⑵知AOBC為等腰三角形時，四邊形ACDB面積最大.確定△BCD

日勺形狀，使B、C分別在AM、AN上滑動，且BC保持定值，由(1)知AB=AC時四邊形ACDB面積最大.

AA,CD^AABD,ZCAD=ZBAD=0,且CD=BD=‘.S=2SA,rn=2---AC?AD-sin6>.

I

由(1)日勺同樣措施知，AD=AC時，三角形ACD面積最大，最大值為114.

I2

因此，四邊形ACDB面積最大值為---百

8tan-

2

2.4以立體幾何為載體的三角應用題

例13.某企業擬建造如圖所示日勺容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器日勺中間為圓柱形，左右

兩端均為半球形，按照設計規定容器日勺體積為些立方米，且/>2r.假設該容器日勺建造費用僅與其表面

3

積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元，設

該容器日勺建造費用為y千元.片1?，

(1)寫出y有關r日勺函數體現式，并求該函數日勺定義域；忸)

(2)求該容器日勺建造費用最小時日勺廠.2;

【解】(D設容器日勺容積為V,

v

+明立"43y80〃+,,38044,20、

由題意知V="廣/+一乃/，又V=-----，故/=----J—=一T一一r=-(--r)

33仃°3/33r2

420

由于/22r,因此0vr<2.因此建造費用y=Ijirix3+4^r2c=l/crx—（--r）x3+4^r2c,

3r

160TT

因此y=4〃（c—2）r9+-----,0<r<2.

r

（2）由（1）侍y=8?（c—2）r----=---------（r3-----）,0<r<2.

rrc—2

由于c>3,所以c—2>0,當/一3_=0時,r=J_22_.

c-2vc-2

令J20=加，則m>0,因止匕y，=8?（c2）（。一加）（/2+9十一2）.

Vc-2r

Q

（1）當。<加<2即c>/時，易得〃=根是函數y的極小值點，也是最小值點。

9

（2）當m22即時，當一￡（0,2）時,y'vO,函數單調遞減，

9

因此「2是函數y日勺最小值點，綜上所述，當3<c</時，建造費用最小時〃=2;

920

當時,建造費用最小時廠=總

27^2

例14.某部門要設計一種如圖所示日勺燈架，用來安裝球心為。，半徑為R（米）日勺球形燈泡.該燈架

由燈托、燈桿、燈腳三個部件構成，其中圓弧形燈托￡4￡用石。,石。所在圓日勺圓心都是0、半徑都是R

（米）、圓弧日勺圓心角都是0（弧度）；燈桿EP垂直于地面，桿頂E到地面日勺距離為〃（米），且/?>r；燈

腳或1,FBi,FCi,FA是正四棱錐尸-AiBCbDi日勺四條側棱，正方

形AiBiCi。日勺外接圓半徑為R（米），四條燈腳與燈桿所在直線日勺夾

角都為8（弧度）.已知燈桿、燈腳造價都是每米a（元），燈托造價

是每米3（元），其中R,/?,a都為常數.設該燈架日勺總造價為y（元）.

3'

（1）求y有關。日勺函數關系式；

（2）當。取何值時，y獲得最小值？

【解】（1）延長￡尸與地面交于。由題意：幺尸。=。，且

FO\=-^~,從而EF=fi—R

tan。tan。)仆sin，

y=49畤+(久—R4R、nAO4—cos/7

------1------)ct.y—---1------------------)+nci，

tan6sin03sin0

f、、幾￡,八、484—cos6

(2)設.，

3sine/

小，4sin2e+3-12cos8_(l-2cos^)(7+2cos6^)n

v/(")=-------------；----------=----------------z-------------=0..,.u=——.

3sin26>3sin263

當Oe(O,1)時，y'<0；6e(K)時，y'>0,

設夕e(4,2),其中tanq="<l,...4<2

2h4

0=g時，y最小.

答：當。=工時，燈架造價獲得最小值.

3

例15.要制作一種由同底圓錐和圓柱構成日勺儲油罐(如圖)，設計規定：圓錐和圓柱日勺總高度和圓柱

底面半徑相等，都為，米.市場上，圓柱側面用料單價為每平方米“元，圓錐側面用料單價分別是圓柱側面

用料單價和圓柱底面用料單價日勺4倍和2倍.設圓錐母線和底面所成角為。(弓叭，總費用為y(元).

(1)寫出。日勺取值范圍；/\

(2)將y表到達。日勺函數關系式；、

(3)當。為何值時，總費用y最小?

【解】設圓錐日勺高為々米，母線長為/米，圓柱日勺高為色米；圓柱日勺側面用料單價為每平方米2“元，圓錐

日勺側面用料單價為每平方米4a元.

(1)。6(0,3

(2)圓錐日勺側面用料費用為4w〃，圓柱日勺側面費用為2w叫，圓柱的)地面費用為2a

2

則y=4cl兀rl+2a兀丫1tl+2a7ir

2r2r

=2a7irQl+均+r)=2a7ir[--------F2(r一4)+r],=2a7rr[--------1-2(r-rtanO)+r]

cos0cos0

2

=layir1[(---------tan9)+3].

cosS

(3)設/⑹=:一tan6,其中6e(0,f).貝ljfX0)=空吧?，

cos“4cos8

當。=￡時，/W=2sinf：1=o；

6cos0

當6e(0,￡)時，/(e)=空吧9<o；當今時，r(e)=2sm」1>0；

6cos-064cos-0

則當。=工時，/(。)獲得最小值，則當。=工時，費用y最小.

66

2.5以追擊問題為載體的J三角應用題

例16.如圖，9是沿太湖南北方向道路，尸為太湖中觀光島嶼，。為停車場，PQ=5.2km.某旅游團

游覽完島嶼后，乘游船回停車場。，已知游船以13km/h日勺速度沿方位角。日勺方向行駛，sin6=1.游船

離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽誤沒有來得及登上游船日勺游客甲為了及時趕到停車地點。與旅游團會合，

立即決定租用小船先抵達湖濱大道M處，然后乘出租汽車到點。(設游客甲抵達湖濱大道后能立即乘到出

租車).假設游客甲乘小船行駛日勺方位角是a,出租汽車日勺速度為66km/h.

4

(1)設sina=g,問小船日勺速度為多少km/h時，游客甲才能和游船同步抵達點。;

(2)設小船速度為10km/h,請你替該游客設計小船行駛日勺方位角a,

當角a余弦值日勺大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間抵達。.

54

【解】⑴如圖，作尸為垂足.sin6>=—,sina=-,

135

在RfAPNQ中，PN=PQsm0=5.2x-^=2(km)

12

QN=尸。cos8=5.2x5=4.8(km).

PN2

在PNM中,MN=------=-=1.5(km)

tana4

3

設游船從P至IJQ所用時間為％h,游客甲從2經"到。所用時間為^h,小船的)速度為匕km/h,則

26

PQ2小PMMQ2.53.351小

力=上=°=—(①,右=——+—=——+——=—+一(M

13135266匕662匕20

5112._25

由已知得：tyH------=%，-------1--------1------=一,??V.=—

202匕202053

???小船日勺速度為亍km/h時，游客甲才能和游船同步抵達Q.

PN，PNQCOQ/7

(2)在拓△PMN中,PM=------=—=—(km),W=-------=--------(km),

sinasinatanasina

-c”“c——r2cosa八、.PMQM14cosa133-5cosa4

..QM=QN-MN=4.8-----------(km).：.t=——+^—=--------+-----------------=—x---------------+—

sintz10665sina5533sin165sina55

..,15sin2(7-(33-5COS6Z)COS?5-33cosa

?t=----x-------------------------------------=1,

165sin2a165sin2a

?,?令，'=0得：cosa=—.當COSQV9時，f>0;當cos。時，f<0.

333333

7T

COS4Z在。W（0,耳）上是減函數，

.??當方位角。滿足COS“=［時，1最小，即游客甲能按計劃以最短時間抵達。.

例17.已知島A南偏東30°方向，距島420海里日勺5處有一緝私艇，一艘走私船正從A處以30海

里每小時日勺航速沿正東方向勻速行駛.假設緝私艇沿直線方向以v海里每小時日勺航速勻速行駛，通過f小時

截住該走私船.

（1）為保證緝私艇在30分鐘內（含30分鐘）截住該走私船，試確定緝私艇航行速度日勺最小值；

（2）與否存在v,使得緝私艇以v海里每小時日勺航行速度行駛，總能有兩種不一樣日勺航行方向截住該走私

船？若存在，試確定v日勺取值范圍；若不存在，請闡明理由.

【解】（1）最小速度為10屈海里每小時；（2）ve（1573,30）

2.6以米勒問題為載體的三角應用題

例18.如圖，有一壁畫，最高點A處離地面47“，最低點8處離地面2根.若從離地高L5加日勺。處欣

賞它，則離墻多遠時，視角。最大？

例19.某愛好小組測量電視塔AE日勺高度H（單位：m）,如示意圖，垂直放置日勺標桿BC日勺高度h=4m,

仰角NABE=a,ZADE=p.

（1）該小組已經測得一組a、|3日勺值，tana=1.24,tanp=1.20,請據此算出H日勺值；

（2）該小組分析若干測得日勺數據后，認為合適調整標桿到電視塔日勺距離d（單位：m）,使a與0之差較

大，可以提高測量精確度.若電視塔日勺實際高度為125m,試問d為多少時，a-|3最大？

類型三：數列應用題

例20.在金融危機中.某鋼材企業積壓了部分圓鋼，經清理知共有根.現將它們堆放在一起.

(1)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層日勺根數比上一層根數多1根)，并使剩余日勺圓鋼盡量地少，則剩余

了多少根圓鋼？

(2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層日勺根數比上一層根數多1根)，且不少于七層，

(I)共有幾種不一樣日勺方案？

(II)已知每根圓鋼日勺直徑為10cm,為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m,則選擇哪個方案，最

能節省堆放場地？

【解】(1)當縱斷面為正三角形時，設共堆放”層，則從上到下每層圓鋼根數是以1為首項、1為公差日勺等

2009—"S+D〈九

差數列，且剩余日勺圓鋼一定不不小于〃根，從而由12且“eN*得，當”=62時，使剩

"S+D<2009

I2

余日勺圓鋼盡量地少，此時剩余了56根圓鋼；

(2)(I)當縱斷面為等腰梯形時，設共堆放〃層.則從上到下每層圓鋼根數是認為x首項、1為公差日勺等

差數列，從而“％+^"(九-1)=2009,BPn(2x+n-1)=2x2009=2x7x7x41,因〃一1與〃日勺奇偶

性不一樣，因此2%+〃一1與“日勺奇偶性也不一樣，且〃<2為+”一1,從而由上述等式得:

＜或＜或＜或＜共有4種方案可供選擇.

2x+n-l=574[2x+n-l=287[2x+n-l=98[2x+n-l=82

(II)因層數越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，因此由(2)可知：若〃=41,則x=29,闡

明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為400cm,上下底之長為280cm

和680cm,從而梯形之高為200上cm,

而2006+10+10＜400,因此符合條件;

若〃=49,則x=17,闡明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為480ctn,

上下底之長為160cm和640cm,從而梯形之高為24。、回cm,顯然不小于4m,不合條件，舍去；

綜上所述，選擇堆放41層這個方案，最能節省堆放場地.

例21.某啤酒廠為適應市場需要，起引進葡萄酒生產線，同步生產啤酒和葡萄酒，啤酒生產量為16000

噸，葡萄酒生產量1000噸.該廠計劃從起每年啤酒日勺生產量比上一年減少50%,葡萄酒生產量比上一年

增長100%,試問：

(1)哪一年啤酒與葡萄酒日勺年生產量之和最低？

2

(2)從起(包括)，通過多少年葡萄酒日勺生產總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產總量之和日勺一？(生產總

3

量是指各年年產量之和)

【解】設從起，該車第〃年啤酒和葡萄酒年生產量分別為用,噸和2噸，通過〃年后啤酒和葡萄酒各年生

產量日勺總量分別為A,噸和紇噸?

(1)設第〃年啤酒和葡萄酒生產日勺年生產量為噸，根據題意，得

32000

-1,!-1

an=16000(1-50%)"=,bn=1000(1+100%)=500x2",

貝I]Dn=an+b,=+500x2"=500("+2")>500x2J"x2"=8000,

22v2

64

當且僅當一=2",即〃=3時取等號，

2"

故2013年啤酒和葡萄酒生產日勺年生產量最低，為8000噸.

B2

(2)依題意，—^―>-,得a22A,,,

4+為3

?.2=吧少=32。。。?口，―1222^=iooo(2f,

f12"1-2

1----

2

2"-1

1000(2"-1)>32000--^-x2,v2"-l>0,2">64=26,：.n>6.

2

答：從第6年起，葡萄酒各年生產日勺總量不低于啤酒各年生產總量與葡萄酒各年生產總量之和的)一.

3

類型四：線性規劃應用題

例22.某企業計劃在甲、乙兩個電視臺做廣告總時間不超過300分鐘日勺廣告，廣告總費用不超過9萬

元，甲、乙電視臺日勺廣告收費原則分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規定甲、乙兩個電視臺為該企業所

做日勺每分鐘廣告，能給企業帶來