考點(diǎn)04募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(9種題型4個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn))

O【課程安排細(xì)目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、易錯(cuò)分析

五、刷好題

六.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題(共1小題)

1.(2021?上海)下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是()

A./(x)=/B./(x)=sin.rC.f(x)=2XD./(x)=1

二.填空題(共5小題)

‘知x+b,7=0ia,bi

2.(2021?上海)若方程組(111無(wú)解，則1=_______.

a2x+b2y=c2a2b2

3.(2021?上海)已知/(x)=旦+2,則(1)=.

x

4.(2020?上海)已知函數(shù)/(x)=.?,f1(x)是的反函數(shù)，則Cv)=.

5.(2020?上海)已知/(x)=后1，其反函數(shù)為fl(x),若fl(x)-a=fCx+a)有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍

為.

6.(2022?上海)設(shè)函數(shù)=9的反函數(shù)為fl(x),則(27)=.

Q二、考點(diǎn)清單

一.哥函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

輕函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)叫做轉(zhuǎn)函數(shù)，其中x是自變量，〃是常數(shù).

P

解析式：)，=犬=乂口

定義域：當(dāng)。為不同的數(shù)值時(shí)，轅函數(shù)的定義域的不同情況如下：

1.如果。為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果4為偶數(shù)，則

x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；

2.如果同時(shí)夕為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù).

當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，，幕函數(shù)的值域的不同情況如下：

1.在/大于()時(shí)，函數(shù)的值域總是大于。的實(shí)數(shù).

2.在/小于。時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)楸绷愕膶?shí)數(shù).

而只有。為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域.

由于x大于0是對(duì)〃的任意取值都有意義的.

二.塞函數(shù)的圖象

三.賽函數(shù)的性質(zhì)

所有的哥函數(shù)在(0,+8)上都有各芻的定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1).

(1)當(dāng)〃>0時(shí)，轅函數(shù)有下列性質(zhì)：

。、圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)(0,0)；

氏在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨工的增大而增大；

c、在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖象開(kāi)口向上：OVaVl時(shí)，圖象開(kāi)口向右；

d、函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).

(2)當(dāng)aVO時(shí)，幕函數(shù))，=/有下列性質(zhì)：

小圖象都通過(guò)點(diǎn)(1，1);

方、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開(kāi)口向上；

c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸上方趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在)，軸右方無(wú)限逼近$軸，當(dāng)x趨于

+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸.

(3)當(dāng)。=0時(shí)，暴函數(shù)y=d有下列性質(zhì)：

。、)，=1°是直線)，=1去掉一點(diǎn)(0,1),它的圖象不是直線.

四.有理數(shù)指數(shù)幕及根式

【根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)品】

JR

規(guī)定：an=貨(a>0,m,n>l)

11

n=-----=—(。>0,//??〃WN,n>\)

ar監(jiān)

a

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)呆沒(méi)有意義

【有理數(shù)指數(shù)轅】

(1)’泵的有關(guān)概念：

m

①正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a"底(?>0；〃?，//GN,?且〃>1)；

211

②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)'暴：2^---―^<?>0,?eN*,且〃>1)；

-6

nVa

a

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累無(wú)意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)：

①a"=a"s(a>0,r,sEQ)；

②(ar)s=ars(?>0,r,5GQ)；

③(ah)r=arbr(4>O,%>0,r€Q).

五.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

1、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，一般會(huì)以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn)，所以要分開(kāi)討論，首先討論。的取值范圍即。>1,0<

a<\的情況.再討論g(x)的增減，然后遵循同增、同減即為增，一減一增即為減的原則進(jìn)行判斷.

2、同增同減的規(guī)律：

(1))，="如果。>1,則函數(shù)單調(diào)遞增；

(2)如果OVaVl,則函數(shù)單調(diào)遞減.

3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

(1)復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)增函數(shù)復(fù)合：那么隨著自變量X的增大，y值也在不斷的增大；

(2)復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)減函數(shù)的復(fù)合：那么隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大，內(nèi)層函數(shù)的y值就在不斷的減小，而內(nèi)

層函數(shù)的丫值就是整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量x.因此，即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大時(shí)，內(nèi)層函數(shù)的丫值就在不斷的

減小，即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量x不斷減小，又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)也為減函數(shù)，所以整個(gè)復(fù)合函數(shù)的丫值就在增大.因

此可得“同增”若復(fù)合函數(shù)為一增一減兩個(gè)函數(shù)復(fù)合：內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，則若隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大，內(nèi)

層函數(shù)的y值也在不斷的增大，即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量x不斷增大，又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為減函數(shù)，所以整個(gè)復(fù)合函

數(shù)的丫值就在減小.反之亦然，因此可得“異減”.

六.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

.b=NoTogaN=b；

(JogaN=N；logaaN=N

指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類(lèi)型：

(1)c/'x>=b<^f(x)=log疝；log/'(x)=bf(x)=/(定義法)

（2）Cl1X）可（X）=g（X）；\Ogaf（X）=10gag（X）可（X）=g（X）>（）（同底法）

（3）d'<=V（x）k）g〃i〃=gix）log,"”（兩邊取對(duì)數(shù)法）

（4）logaf（x）=log/'g（x）=log（/（x）=——-——logg（x）；（換底法）

log.aba

（5）Alog2x+Blogfa+C=0（A（av）2+B（?+C=0）（設(shè)f=log?x或，="）（換元法）

a

七.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①/°與“=旦：②/。以心=N（。>0且"W1）.

loga（MN）=log?M+logu7V；log?—=log?M-log?/V：

N

i

log"M"=〃log“M；log”ylw=—log〃M.

n

八.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

一般地，我們把函數(shù)y=】ogQ（a>0,且。#1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）,值域

是R

九.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

10gaX（a>l）logaX（0<a<l）

圖

象

/

定義域：（0,田）定義域：（0,+QO）

觀

察

圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)：（1,0）圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)：（1,0）

圖

像

在（。,內(nèi)訥是增函數(shù)在（0,短訥是減函數(shù)

（填“增”或“減”）（填“增”或“減”）

十.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)：

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)件

當(dāng)時(shí)，y=log“r在（0,+8）上為增函數(shù)

當(dāng)OVaVl時(shí)，），=logd在（0,+8]上為減函數(shù)

2、特軟點(diǎn)

對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)（1,0）

H.反函數(shù)

【定義】一般地，設(shè)函數(shù)），=/?（%）GWA）的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把％表示出，得到x=

g（y）.若對(duì)于y在中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=g（y）,x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=g（y）就表示y是

自變量，x是因變量是），的函數(shù)，這樣的函數(shù)y=g（x）（yeC）叫做函數(shù),y=/'（x）（xWA）的反函數(shù)，記作y=/"

（x）反函數(shù)（x）的定義域、值域分別是函數(shù)y=/（x）的值域、定義域.

【性質(zhì)】

反函數(shù)其實(shí)就是y=/（x）中，x和），互換了角色。

uv讖方法

一.第函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域（共6小題）

1.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知幕函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2.4）,則它是函數(shù).（判斷奇禍性）

2.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）當(dāng)xE[a,+~）時(shí)，基函數(shù)）=/的圖像總在曠=乂萬(wàn)的圖像上方，則。的取值范圍

為.

3.（2023?黃浦區(qū)模擬）設(shè)〃?WR,若取函數(shù)〉，=乂/-2/1定義域?yàn)镽,且其圖像關(guān)于），軸成軸對(duì)稱(chēng)，則用的值可以

為（）

A.1B.4C.7D.10

4.（2023?黃浦區(qū)二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（216）與（3：機(jī)），則m的值為_(kāi)________.

5.（2023?寶山區(qū)二模）若尋函數(shù)），=丁的圖像經(jīng)過(guò)立1（狗，3），則此尋函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)__________.

6.（2022?黃浦區(qū)二模）已知a€{-2,-1,-X

1,2,3},若易函數(shù)/（幻=爐在區(qū)間（-8,（））上單調(diào)

2

遞增，且其圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則。=_________.

二.募函數(shù)的圖象（共1小題）

m

7.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）如圖所不是函數(shù)y二乂工（小，〃均為正整數(shù)且加，〃互質(zhì)）的圖象，則（）

A.加，〃是奇數(shù)且變＜1B.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且典＜1

nn

C.加是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且典＞1D.〃?，〃是奇數(shù)，且國(guó)＞1

nn

三.有理數(shù)指數(shù)幕及根式（共1小題）

8.（2022?靜安區(qū)二模）解指數(shù)方程2%+3=3?-9：.

四.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)（共1小題）

9.（2020?上海模擬）若2〃,2〃，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.—＞—B.m\ni\＞n\n\C.In（〃？-〃）＞0D."VI

mn

五.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共5小題）

10.（2023?黃浦區(qū)模擬）方程2、+log4x=17的解為.

11.（2023?閔行區(qū)二模）若實(shí)數(shù)x、y滿足lgx=m、y=l（）1則4=.

12.（2023?上海模擬）若12"=3人=〃?，且工」=2，則加=

ab

13.（2023?靜安區(qū)二模）若⑹-10'=10,其中x,y￡R,則2x-y的最小值為.

14.（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）若實(shí)數(shù)且log〃7+log〃a=號(hào)，貝【J3/〃“l(fā)nb=.

六.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域（共1小題）

15.（2023?浦東新區(qū)三模）函數(shù)y=/g（1+x）-lg（x-1）的定義域是.

七.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（共2小題）

16.（2023?普陀區(qū)二模）設(shè)。＞0且g1,若在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸log.3+2）與），=log”二^的圖

2x+a

像于直線/對(duì)稱(chēng)，則/與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.

17.（2022?閔行區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=log4（4，m）-Lx的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)。，都滿足/（。）刃

2

（-a）,則實(shí)數(shù)m=.

八.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)（共2小題）

18.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）函數(shù)/（X）=21og?（2r-1）+1（Q0且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,則點(diǎn)夕的坐標(biāo)

為.

19.（2023?上海模擬）不等式/g（x-I）＜1的解集是.（用區(qū)間表示）

九.反函數(shù)（共5小題）

20.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)一模）設(shè)函數(shù)y=f（x）=2'+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,5）,則y=f（x）的反函數(shù)/1（x）

21.（2022?普陀區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）T■的反函數(shù)為f?（x）,若集合人={.可7（x）22,戈口},則由人中所

X-1

有元素所組成的一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

22.（2022?靜安區(qū)二模）若函數(shù)f（x）=23="（x〉。）的反函數(shù)為廣（X），則不等式尸（工）＞3的解集

xx2

是.

23.（2022?黃浦區(qū)二模）設(shè)。為常數(shù)，函數(shù)f（x）=l°g今史

^x+a

（1〕若。=0,求函數(shù)y=/（工）的反函數(shù)y=f1（X）；

（2）若aWO,根據(jù)。的不同取值，討論函數(shù)），=/（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由.

24.（2022?上海模擬）已知函數(shù)/（X）=辦"（〃>0且。工1,常數(shù)女WR）的圖像過(guò)點(diǎn)（7,1）,其反函數(shù)），=尸

（x）的圖像過(guò)點(diǎn)（8,2）,若將y=/r（x）的圖像向左平移3個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位，就得到函數(shù)），=g（x）

的圖像，則g（5）的值為.

Q四、易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)1:用函數(shù)中忽視定義域致錯(cuò)

1

1.已知察函數(shù)yu）=j2,若加+i）勺iio-2〃），則〃的取值范圍為.

易錯(cuò)點(diǎn)2：使用換元法時(shí)沒(méi)有注意注意新元的取值范圍致錯(cuò)

2.已知函數(shù)），=4"-32'+3,若其值域?yàn)閇L刀，則x可能的取值范圍是（）

A.[2,4]B.（一8,0]

C.（0,1]U[2,4]D.（-8,0]U[lz2]

易錯(cuò)點(diǎn)3：對(duì)數(shù)函數(shù)中忽視對(duì)底數(shù)的討論致錯(cuò)

3.已知函數(shù)/U）=log“（8—奴）3>0,且〃戶1）,若人工）>1在區(qū)間[L2]上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

易錯(cuò)點(diǎn)4：忽視對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于零致錯(cuò)

4.函數(shù)ynlogsM+Zx—3）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

5.已如函數(shù)人"2r+5）（a>0.且在區(qū)間（；，3）上單調(diào)遞增.則。的取值范圍為（）

A.（0,-]U[2,+8）B.[1,1）U（1,2]

3

弟，|]u[2,+8）D,I，

但五、刷好題

一.選擇題（共2小題）

1.（2021?靜安區(qū)二模）函數(shù)y=WGW0）的反函數(shù)為（）

A.>,=Vx（后0）B.y=-Vx（x2。）C.y=Vx（xW（））D.y=-Vx（xC0）

2.（2021?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（乂）一^的反函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是（-1,3）,則實(shí)數(shù)。的值是（）

x-a-1

A.2B.3C.-3D.-4

二.填空題（共23小題）

3.（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知轉(zhuǎn)函數(shù)），=/（幻的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,a）,則/（3）=

4.（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）己知鼎函數(shù)），=/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，8），則"-2）=.

5.（2021?楊浦區(qū)校級(jí)三模）哥函數(shù)），=m，2M3（eN）在區(qū)間（0,+-）上是減函數(shù)，則〃?=_______.

A1fz??

6.（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)yf/2X-8的定義域?yàn)?

7.（2023春?嘉定區(qū)月考）若log2x=3,貝心=.

111

8.（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)f但）=（111-1）乂2-3^5是幕函數(shù)，則實(shí)數(shù)，尸.

9.（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）把#您Q>0）化成有理數(shù)指數(shù)制的形式為.

10.（2021?黃浦區(qū)三模）設(shè)「（x）為函數(shù)/（x）=log2<4r-1）的反函數(shù)，則當(dāng)f（x）=2fl（x）時(shí)，x的值為.

II.（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）記函數(shù)y=3/8-?所過(guò)定點(diǎn)為尸，若P位于累函數(shù)/J）的圖像上，則/（-

27）=.

12.（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）哥函數(shù)/（x）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,4）,則解析式/（x）=.

13.（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）=（〃P-5/〃+7）f（xW0）是幕函數(shù)，其圖像分布在第一、三象

限，則加=?

14.（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知界:函數(shù)/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,1）,則/（x）的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)____________.

4

15.（2022秋?金山區(qū)期末）將〃?印聲化為有理數(shù)指數(shù)鬲的形式為.

16.（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）若且m2-5in+1=0,n2-5u+\=0,則m2+n2的值為.

17.（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）指數(shù)函數(shù)y=（〃?1尸在區(qū)間［0,2］上的最大值為4,則實(shí)數(shù)。的值是.

18.（2022秋?徐匯區(qū)期末）當(dāng)aWR時(shí)，函數(shù)?2的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

19.（2。22秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)y="+l的圖象過(guò)定點(diǎn).

20.（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）如圖是某池塘中野生水葫蘆的面枳與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象.假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)

函數(shù)，并給出下列說(shuō)法：

①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；

②在第5個(gè)月時(shí)，野生水葫蘆的面積會(huì)超過(guò)30〃?2；

③野生水葫蘆從4加2圓延到12〃?2只需1.5個(gè)月；

④設(shè)野生水葫產(chǎn)蔓延至2〃￡3〃？、6m2所需的時(shí)間分別為八、殍一則有九9=/3；

其中正確的說(shuō)法有.（請(qǐng)把正確的說(shuō)法的序號(hào)都填在橫線上）.

21.（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知a=/g2,則k50=（用〃表示）.

22.（2。22秋?金山區(qū)校級(jí)期末）若l，i2=a,In3=b,則1門(mén)號(hào)）=.（結(jié)果用。、〃表示）.

23.（2021?徐匯區(qū)校級(jí)三模）己知函數(shù)/（x）xe[\,9],g（x）=/（x）-/（x2）的反函數(shù)是鼠?（x）,則

晨|（外的定義域?yàn)?

24.（2021?浦東新區(qū)三模）數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為若點(diǎn)（小S”）（於N*）在函數(shù)y=log21+1）的反函數(shù)的圖

象上，則an=.

25.（2（）21?崇明區(qū)二模）設(shè)/（x）=3,若/（I-〃）-/（〃）＞0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

U八.刷壓軸_________________________________________________

一、單選題

L（2022?上海普陀?統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)小=；]；；：,：；）；—[（。＞0且"1）在區(qū)間（田、心）上是單調(diào)函

數(shù)，若函數(shù)g（x）=|/（x）|-"-；有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

1]（I"fillfl11

【2j[84j[62j164j

2.（2021?上海普陀?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)〃x）==二，設(shè)匕（/=1,2,3）為實(shí)數(shù)，且為+超+占=0.給出下列結(jié)

論；

3

①若，貝|」/（內(nèi)）+/（馬）+/'（占）＜5；

②若E?七?七V0，則fW+f[x2）+/（x3）＞-.

其中正確的是（）

A.①與②均正確B.①正確，②不正確

C.①不F確,②F確D.①與②均不TF確

二、填空題

/.log,x,x＞0

3.（2022?上海靜安?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)HO,若對(duì)任意aWT，當(dāng)一1＜力金〃時(shí)，總有

〃（/（口|-1"匕成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為.

4.（2021?上海松江?統(tǒng)考一模）對(duì)于定義域?yàn)?。的函?shù)人小若存在內(nèi),/￡。且$區(qū)々，使得

/（引=/（4）=2/（內(nèi)+再），則稱(chēng)函數(shù)危）具有性質(zhì)加，若函數(shù)網(wǎng)力二現(xiàn)2工一1|，工?0,4具有性質(zhì)M，則實(shí)數(shù)。

的最小值為

5.（2021?上海寶山?上海交大附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)廣（力為-營(yíng)cosx+J,司的反函數(shù)，則

4oo

），=/（'）+廣|（X）的最大值為.

6.（2020?上海金山?統(tǒng)考二模）我們把一系列向量4（i=1,2,??/）按次序排成一列，稱(chēng)之為向量列，記作｛《｝,已

知向量列｛《｝滿足

+

q=（1,1）,%=（%,y“）=-y?-PVi"-1）（〃之2），設(shè)?！北硎鞠蛐牵ヅc4_；的夾角，若bn=-（9?對(duì)任意正整數(shù)

24

+…+^^＞loga（l-2a）恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

三、解答題

7.（2021?上海?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（力的定義域是。，若對(duì)于任意的七、x2eD,當(dāng)凡＜々時(shí)，都有

/（x.）＜/（^）,則稱(chēng)函數(shù)/（x）在。上為非減函數(shù).

（1）判斷工（力=/一代，”蟲(chóng)4］與力（耳=卜—1|十卜一2|,xw［L4］是否是非減函數(shù)？

（2）已知函數(shù)弱力=2'+券在［2,4］上為非減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（3）已知函數(shù)力⑴在［0』上為非減函數(shù)，且滿足條件：①〃（。）=0,②力］￡|二9（x），③力（1-"=1-介（力，

求《嬴的信

8.（2020?上海楊浦?統(tǒng)考二模）已知/"）=2如"+，俄+1,其中機(jī)是實(shí)常數(shù).

（1）若力，］＞18,求加的取值范圍；

（2）若/〃＞0,求證：函數(shù)/（'）的零點(diǎn)有且僅有一個(gè)；

（3）若〃,0,設(shè)函數(shù)y=/（x）的反函數(shù)為），=/""）,若4,%，%，%是公差d＞0的等差數(shù)列且均在函數(shù)f（x）的值

域中，求證：尸（《）+尸3）＜尸（出）+尸（6）.

2v,x<0

9.（2021?上海?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（力=?

log2x,x>0

（1）解不等式律/（力40；

（2）設(shè)仁加均為實(shí)數(shù)，當(dāng)X?YO,〃?]時(shí)，的最大值為1,且滿足此條件的任意實(shí)數(shù)x及機(jī)的值，使得關(guān)于x

的不等式『-（攵-2）〃什3攵-10恒成立，求&的取值范圍；

（3）設(shè)，為實(shí)數(shù)，若關(guān)于%的方程/[/（切-1嗎（"刈=。恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根中修，且為＜々，試將

CX.I-1

2'**2+2TI表示為關(guān)丁'的函數(shù)'并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域.

10.（2021?上海寶山?上海交大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知/（外=3-21嗎1,^（x）=log2x.

（1）當(dāng)xe[L4]時(shí)，求函數(shù)y=[/（x）+l]?由X）的值域；

（2）對(duì)任意xe[2",2"],其中常數(shù)〃eN,不等式依（x）恒成立，求實(shí)數(shù)女的取值范圍.

考點(diǎn)04募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（9種題型4個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

O【課程安排細(xì)目表】

二、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、易錯(cuò)分析

五、刷好題

六.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共1小題）

1.（2021?上海）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是（）

A.f（x）=/B./（x）=sin.rC.f（x）=2XD./（x）=1

【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義以及映射的定義即可判斷選項(xiàng)是否正確.

【解答】解：選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)是二次函數(shù)，屬于二對(duì)一的映射，

根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，八錯(cuò)誤，

選項(xiàng)&因?yàn)楹瘮?shù)是三角函數(shù)，有周期性和對(duì)稱(chēng)性，屬于多對(duì)一的映射，

根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，屬于一?映射，所以函數(shù)存在反函數(shù)，C正確,

選項(xiàng)。：因?yàn)楹瘮?shù)是常數(shù)函數(shù)，屬于多對(duì)一的映射，所以函數(shù)不存在反函數(shù)，。錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)的定義以及映射的定義，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)以及映射概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共5小題）

aix+biy=cia】L

2.（2021?上海）若方程組＜無(wú)解，則0.

ab

a2x+b2y=c222

【分析】利用二元一次方程組的解的行列式表示進(jìn)行分析即可得到答案.

b

aix+b1y=c1alblJlalC1

【解答】解：對(duì)于方程組《，有口=b2’丫，Dy

acbac

a2x+b2y=c222222

aix+b,7=01

根據(jù)題意，方程組無(wú)解,

a2x+b2y=c2

bl

所以。=0,即口==0，

a2b2

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的解行列式表示法，這種方法可以使得方程組的解與對(duì)應(yīng)系數(shù)之間的關(guān)系

表示的更為清晰，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解行列式表示法中對(duì)應(yīng)的公式.

3.(2021?上海)已知/(x)=—+2,則fl(1)=-3.

x

【分析】利用反函數(shù)的定義，得到/(X)=1，求解入?的值即可.

【解答】解：因?yàn)?'(X)=3+2,

X

令/(X)=1,即3+2=1,解得x=-3,

x

故/I(1)=-3.

故答案為：?3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)握原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，考查了運(yùn)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2020?上海)已知函數(shù)/(x)=xi,f1(x)是/(工)的反函數(shù)，則/I(x)=_x3,xWR.

【分析】由已知求解心然后把工與〉，互換即可求得原函數(shù)的反函數(shù).

【解答】解：由y=/(x)=?,得工=如，

把x與y互換，可得/(x)=/的反函數(shù)為(x)=%.

故答案為：起.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題.

5.(2020?上海)已知/(x)=斤1,其反函數(shù)為(x),若fl(%)-a=f(x+a)有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍

為_(kāi)I—>+0°)

4

【分析】因?yàn)?x)4與,=/(x+a)互為反函數(shù)若(k)a與1y=/(K+a)有實(shí)數(shù)根0y=/(x+a)

與尸x有交點(diǎn)n方程/+a-lX,有根.進(jìn)而得出答案.

【解答】解：因?yàn)閥=f?(外-a與y=/a+”)互為反函數(shù)，

若y=f?(外與y=/(x+”)有實(shí)數(shù)根，

則)，=/(X+〃)與y=x有交點(diǎn)，

所以Yx+a-1=x,

即。=/-1+1=(x--)2+—,

244

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的美系，屬于中檔題.

6.(2022?上海)設(shè)函數(shù)/(x)=/的反函數(shù)為fl(x),則(27)=3.

【分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值.

【解答】解：函數(shù)/(x)=/的反函數(shù)為一1(x),

整理得fT(x)二放；

所以(27)=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

a二、考點(diǎn)清單

一.幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

轉(zhuǎn)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù))，=Y叫做轅函數(shù)，其中X是自變量，4是常數(shù).

P

解析式：)，=/=

定義域：當(dāng)。為不同的數(shù)值時(shí)，箱函數(shù)的定義域的不同情況如下：

1.如果?為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0,不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果q為偶數(shù)，則

x不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；

2.如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù).

當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，塞函數(shù)的值域的不同情況如下：

1.在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于。的實(shí)數(shù).

2.在/小于。時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù).

而只有。為正數(shù)，()才進(jìn)入函數(shù)的值域.

由于x大于0是對(duì)。的任意取值都有意義的.

二.幕函數(shù)的圖象

三.塞函數(shù)的性質(zhì)

所有的幕函數(shù)在（0,+8）上都有各自的定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1,1）.

（1）當(dāng)。＞0時(shí),，幕函數(shù)），=d有下列性質(zhì)：

。、圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）（0,0）；

氏在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨工的增大而增大；

c、在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖象開(kāi)口向上；OVqVl時(shí)，，圖象開(kāi)口向右；

d、函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8）上是增函數(shù).

（2）當(dāng)“VO時(shí)，鬲函數(shù),，=/有下列性質(zhì)：

4、圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）；

氏在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨工的增大而減小，圖象開(kāi)II向上；

c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸上方趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在），軸右方無(wú)限逼近），軸，當(dāng)x趨于

+8時(shí)，圖象在X軸上方無(wú)限地逼近X軸.

（3）當(dāng)”=0時(shí)，幕函數(shù)），=d有下列性質(zhì)：

。、），=1°是直線），=1去掉一點(diǎn)（0,1）,它的圖象不是直線.

四.有理數(shù)指數(shù)累及根式

【根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕】

m__

n

規(guī)定：a=（。＞0，〃］，“WN”,〃＞1）

--11*

nn=——=—±—（。＞（）,雨,neN,n＞l）

a

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴沒(méi)有意義

【有理數(shù)指數(shù)'幕】

（1）界的有關(guān)概念：

m

①正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：戶=貨（。＞0,〃?，"EN*,且〃＞1）；

-11”

②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：an=---=一-=="(a>0?m,/?GN,且〃>1)；

r0

a

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)'累無(wú)意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)暴的性質(zhì)：

?aras=ar+s(a>0,r>.yGQ)；

②(J)s=M'(a>0,r,sWQ)；

③(ab)r=arbr(?>0,b>(),rGQ).

五.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

I、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，一般會(huì)以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn)，所以要分開(kāi)討論，首先討論。的取值范圍即。>1,0<

的情況.再討論g(x)的增減，然后遵循同增、同減即為增，一減一增即為減的原則進(jìn)行判斷.

2、同增同減的規(guī)律：

(1).y=av如果〃>1,則函數(shù)單調(diào)遞增；

(2)如果OVaVl,則函數(shù)單調(diào)遞減.

3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

(I)復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)增函數(shù)復(fù)合：那么隨著臼變量X的增大，丫值也在不斷的增大；

(2)復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)減函數(shù)的復(fù)合：那么隨著內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大，內(nèi)層函數(shù)的y值就在不斷的減小，而內(nèi)

層函數(shù)為y值就是整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量X.因此，即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大時(shí)，內(nèi)層函數(shù)的y值就在不斷的

減小，即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量x不斷減小，又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)也為減函數(shù)，所以整個(gè)復(fù)合函數(shù)的y值就在增大.因

此可得“同增”若更合函數(shù)為一增一減兩個(gè)函數(shù)更合：內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，則若隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大，內(nèi)

層函數(shù)的y值也在不斷的增大，即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量x不斷增大，又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為減函數(shù)，所以整個(gè)復(fù)合函

數(shù)的y值就在減小.反之亦然，因此可得“異減”.

六.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

ab=N=\ogaN=b；

d°g"V=Mloga“N=N

指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類(lèi)型；

(I)，"=/?可(x)=logj?；log/(x)=〃可(x)=ab(定義法)

(2)=ag(x)<^f(x)=g(x)；logqf(x)=logflg(x)(x)=g(x)>0(同底法)

(3)ci<x>=M'v,<=>/(x)\ogma=g(x)log〃?。?兩邊取對(duì)數(shù)法)

(4)logaf(x)=logbg(x)<=>log</(x)=------log%g(x)：(換底法)

log?ba

(5)41ogjx+Blogd+C=0(A(av)2+Bav+C=0)(設(shè)，=logd或?=/)(換元法)

七.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①21°'患=圣②，。以/二及（。>0且aWl）.

Iog?（MN）=log“M+log“N；log/=log“M-log〃N；

N

-i

log“M"=〃log“M；log?A/U=—log?Af.

n

A.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

一般地，我們把函數(shù)），=log"（〃>0,且。片1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+OO）,值域

是R.

九.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

logaX（a>l）logaX（0<a<l）

圖

象f,

/X=1

定義域：（0,也）定義域：（0什8）

觀

察

圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)：（1,0）圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)：（1,0）

圖

像

在（0.4OO訥是增函數(shù)在（0,*0訥是減函數(shù)

（填“增”或“減”）（填“增”或“減”）

十.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)：

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

當(dāng)時(shí)，y=logd在（0,+8）上為增函數(shù)

當(dāng)OVqVl時(shí)，y=logax在（0,+°°）上為減函數(shù)

2、特疚點(diǎn)

對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)（1,0）

H^一?反函數(shù)

【定義】一般地，設(shè)函數(shù)），=/（x）（AGA）的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,），的關(guān)系，用y把刀表示出，得到x=

g（y）.若對(duì)于y在中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=g（y）,x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=g（y）就表示y是

自變量，x是因變量是y的函數(shù)，這樣的函數(shù)y=g（x）（yEC）叫做函數(shù)y=/（x）GE4）的反函數(shù)，記作

(X)反函數(shù)ju/R(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=/a)的值域、定義域.

【性質(zhì)】

反函數(shù)其實(shí)就是y=/(x)中，X和)，互換了角色。

磁方法

一.塞函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域(共6小題)

1.(2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬)已知轉(zhuǎn)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,4),則它是偶函數(shù).(判斷奇偶性)

【分析】由已知先求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性即可判斷.

【解答】解：設(shè)/(工)=乂，

則/(2)=2〃=4,

所以。=2,/(x)=/為偶函數(shù).

故答案為：偶.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了某函數(shù)解析式的求解及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模)當(dāng).隹口，+8)時(shí)，轅函數(shù)的圖像總在了=乂萬(wàn)的圖像上方，則”的取值范圍為(1,

+0°)

【分析】根據(jù)題意，解不等式〉2〉x5得出公>1,從而得出當(dāng)在(1,+8)時(shí)，塞函數(shù))，=/的圖像總在y=x,

的圖像上方，然后即可求出。的取值范圍.

【解答】解：由乂2>乂萬(wàn)得，?>x>0,解得x>l,

1

???當(dāng)XW(1,+8)時(shí)，辱函數(shù))，=/的圖像總在y=x^的圖像上方，此時(shí),隹［m+8),

???”的取值范圍為：(1，+8).

故答案為：(1，+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)f(x)在g(x)的圖象上方時(shí)，滿足/(%)>g(x),考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2023?黃浦M模擬)設(shè)〃怎R,若惠函數(shù)y=xm2-2/l定義域?yàn)镽.日其圖像關(guān)干y軸成軸對(duì)稱(chēng),則機(jī)的值可以

為()

A.1B.4C.7D.10

【分析】幕函數(shù)y=乂6-2/1的圖像關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)說(shuō)明哥函數(shù)為偶函數(shù)，由此判斷可得利的值.

1(W6R)

【解答】解：由于呆函數(shù)y=xmJ2Wl(/??6R)定義域?yàn)镽,且圖像關(guān)于〉，軸對(duì)稱(chēng)，故塞函數(shù)是偶函數(shù)，

且“2_2m+\=(m-1)2為正的偶數(shù)，

則〃!的值可以為7.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了家困數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2023?黃浦區(qū)二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,16）與（3：相），則〃?的值為81.

【分析】把點(diǎn)（2,16）代入函數(shù)解析式求出〃的值，再把（3,如）代入即可求出機(jī)的值.

【解答】解：???函數(shù)），=/的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,16）與（3,/〃）,

O解得a=4

m=81

即iv.的值為81.

故答案為：81.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了新函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2023?寶山區(qū)二模）若哥函數(shù)），=入〃的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（加，3），則此基函數(shù)的表達(dá)式為

【分析】由題意，利用基函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得a的值，從而得出結(jié)論.

【解答】解：;黑函數(shù)y=/的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（相，3），

aa

?*,（V5）=3,.,.a=3,

則此鼎函數(shù)的表達(dá)式為y=f.

故答案為：＞'=?.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查某函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2022?黃浦區(qū)一模）已知a￡{-2.-1.-A,1,1,2,3}.若基函數(shù)=N在區(qū)間（-8.。）上單調(diào)

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遞增，且其圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則a=-2.

【分析】利用哥函數(shù)的性