最小二乘擬合實驗報告南昌工程學院《計算方法》實驗報告課程名稱計算方法系院理學院專業信息與計算科學班級12級一班學生姓名魏志輝學號2012101316《最小二乘求解》引言在科學實驗和生產實踐中，經常要從一組實驗數據出發，尋求函數y=f（x）的一個近似表達式y=φ(x)，稱為經驗公式，從幾何上來看，這就是一個曲線擬合的問題。多項式的插值雖然在一定程度上解決了由函數表求函數近似表達式的問題，但用它來解決這里的問題，是有明顯的缺陷的。首先，由實驗提供的數據往往有測試誤差。如果要求近似曲線y=φ(x)嚴格地通過所給的每個數據點，就會使曲線保留原來的測試誤差，因輸入及m，n生成中間矩陣C輸入及m，n生成中間矩陣C生成法方程組的系數矩陣生成法方程組的右端向量解法方程組得輸出i=1，2，…，mj=2，3，…，n+1 整體流程圖 生成矩陣C流程圖程序代碼及注釋%最小二乘擬合%a為線性擬合中的常數，b為一次項系數%t為均方誤差，maxi為最大偏差function[a,b,t,maxi]=polyfit(x0,y0,n)m=length(x0);p=length(y0);%x0和y0長度不等時，報錯ifm~=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!\n');end%生成中間矩陣Cfori=1:mC(i,1)=1;forj=2:n+1C(i,j)=x0(i)*C(i,j-1);endend%生成系數矩陣AA=C'*C;%將題目中的y的每項求自然對數后得到y1fori=1:my1(i)=log(y0(i));end%生成法方程組的右端向量BB=C'*y1';%求解擬合系數X=A\B;%題中，a=exp（X(1)），b=X(2)a=exp(X(1));b=X(2);%先求偏差平方和，再求均方誤差sum=0;fork=1:my2(k)=a*exp(b*x0(k));l(k)=y0(k)-y2(k);sum=sum+l(k).^2;endt=sqrt(sum);%最大偏差為偏差矩陣中絕對值最大的一項maxi=max(max(abs(l)));end算例分析1、測試示例>>x=1:18;>>y=[0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8];>>[abtmax]=polyfit(x,y,1)Error!Pleaseinputagain!a=0.7185b=0.2227t=31.6255max=22.06312、計算過程（1）首先輸入已知點>>x=1:19;>>y=[0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8];（2）輸出結果>>[abtmax]=polyfit(x,y,1)a=0.6814b=0.2306t=38.3255max=27.3047其中，a，b，t，max分別為常數項，一次項系數，均方誤差，最大偏差。討論與結論時間復雜度：>>tic;[abtmax]=polyfit(x,y,1);tocElapsedtimeis0.859861seconds.說明該算法具有一定的復雜性。直觀展示：輸入以下命令：>>x=1:19;>>y=[0.8982.383.071.842.021.942.222.774.024.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8];>>fori=1:19y0(i)=log(y(i));end>>x0=0:0.01:20;>>y1=0.6814*exp(0.2306*x0);>>plot(x,y,'+')>>holdon>>plot(x0,y1)>>plot(x,y0,'+')>>y2=log(0.6814)+0.2306*x0;>>holdon>>plot(