第三章量子力學中的力學量本章要求1了解希耳伯特空間,態矢量,內積等概念,了解算符的性質和運算規則。2掌握動量算符的本征值方程及其本征函數的箱歸一化問題。3掌握角動量算符的本征值方程、本征函數（球諧函數）及本征值問題。掌握角動量算符的對易關系。4掌握氫原子的量子力學處理方法和相關的結果。了解氫原子內電子坐標取值的概率分布、電流密度分布和原子磁矩的概念。5掌握厄密算符的性質：本征值為實數，本征函數的正交性和完備性。6理解和掌握測不準關系。教學內容

§1表示力學量的算符§2動量算符和角動量算符§3電子在庫侖場中的運動§4氫原子§5厄密算符的本征值與本征函數§6算符與力學量的關系§7共同本征函數§8測不準關系（一）算符定義（二）算符的一般特性§1算符的運算規則代表對波函數進行某種運算或變換的符號?u=v表示

?

把函數u

變成

v，?就是這種變換的算符。1）du/dx=v，

d/dx

就是算符，其作用是對函數u微商，故稱為微商算符。2）xu=v，

x也是算符。它對u作用是使u變成v。由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數上，對波函數做相應的運算才有意義，例如：（一）算符定義（1）線性算符?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2，其中c1,c2是任意復常數，

ψ1,ψ1是任意兩個波函數。（2）算符相等開方算符、取復共軛就不是線性算符。注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態疊加原理的反映。（二）算符的一般特性若兩個算符?、?對體系的任何波函數ψ的運算結果都相同，即?ψ=

?ψ，則算符?

和算符?

相等，記為?=?。（3）算符之和顯然，算符求和滿足交換率和結合率。可以證明線性算符之和仍為線性算符。若兩個算符?、?之和定義為：對體系的任何波函數ψ有：(?＋?)ψ=?ψ+?ψ（4）算符之積一般來說算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數運算規則的唯一不同之處。若??≠??，則稱?與?不對易。對易關系算符之積定義為：對于任意波函數ψ，有(??)ψ=?(?ψ)寫成通式:量子力學中最基本的對易關系（5）對易括號為了表述簡潔，運算便利和研究量子力學與經典力學的關系，人們定義了對易括號：

[?,?]≡??-??不難證明對易括號滿足如下對易關系：

1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

上面的第四式稱為

Jacobi恒等式。（6）逆算符1.定義:設?ψ=φ,能夠唯一的解出

ψ,則可定義算符?之逆?-1為:?-1φ=ψ2.性質I:若算符?之逆?-1存在,則

??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0證:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因為ψ是任意函數,所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性質II:若?,?均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1單位算符I:IΨ=Ψ,Ψ為任意波函數設給定一函數F(x),其各階導數均存在,其冪級數展開收斂則可定義算符?的函數F(?)為:（8）復共軛算符算符?的復共軛算符?*就是把?表達式中的所有量換成復共軛。例如:坐標表象中（7）算符函數利用波函數標準條件:當|x|→∞時ψ,

→0。由于ψ、φ是任意波函數,

所以同理可證:（9）轉置算符(10)厄密共軛算符由此可得：算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:(?

?)+=?+

?+

(?

??...)+=...?+

?+

?+(11)厄密算符1.定義:滿足下列關系的算符稱為厄密算符.性質I:

兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質II:

兩個厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對易。因為

(??)+=?+?+=??≠??僅當

[?,?]=0

成立時,

(??)+=??

才成立。

1．指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。是線性算符

不是線性算符

是線性算符

2．指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。不是厄米算符。是厄米算符。

§3.1表示力學量的算符一、算符１、算符是指作用在一函數上得出另一函數的運算符號。２、算符的本征值方程３、算符的例子<1> 動量算符： 分量式： 動量算符表示動量這個力學量。<2> 坐標算符：<3> 哈密頓算符：經典的哈密頓函數：，將代入中：<4> 量子力學中力學量用算符表示的規則： 如果量子力學中的力學量在經典力學中有相應的力學量的算符由經典表示式中將換為算符而得出：例如，角動量算符：量子力學中的角動量算符：角動量算符三、力學量用厄米算符表示(Hermitoperator)１、當體系處于定態，即哈密頓算符的本征態時，能量有確定值，即本征值。當體系處于動量算符的本征態時，動量有確定值，這個值即在態中的本征值。２、算符表示力學量，當體系處于的本征態時，力學量有確定值，這個值即在態中的本征值。因為所有力學量的數值都是實數，而表示力學量的算符的本征值就是測量此力學量的可能值，所以，表示力學量算符的本征值必須為實數。什么類型的算符，本征值為實數？３、厄米算符量子力學中表示力學量的算符都是厄米算符。定義：若則稱為厄米算符。式中代表所有變量，積分范圍為所有變量變化的整個區域。４、證明厄米算符的本征值是實數。證：驗證：坐標算符和動量算符是厄米算符。坐標值為實數，對動量算符的一個分量，有分部積分例3、下列函數哪些是算符的本征函數，其本征值是什么？①

②

③

④

⑤

①

②

③

④

⑤

(1)（2）利用基本對易關系證明:(3)(4)（一）動量算符

（1）動量算符的厄密性 （2）動量本征方程 （3）箱歸一化（二）角動量算符

（1）角動量算符的形式 （2）角動量本征方程 （3）角動量算符的對易關系 （4）角動量升降階算符§2動量算符和角動量算符（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數在無窮遠處趨于零的邊界條件。（2）動量本征方程其分量形式：證：由證明過程可見，動量算符的厄密性與波函數的邊界條件有關。I.求解這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數。如果取|c|2(2π

)3=1則ψp(r)就可歸一化為δ-函數。解之得到如下一組解：于是：

II.歸一化系數的確定采用分離變量法，令：代入動量本征方程且等式兩邊除以該式，得：xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應點A,A’上加上其波函數相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據上所述，具有連續譜的本征函數如:動量的本征函數是不能歸一化為一的，而只能歸一化為δ-函數。但是，如果我們加上適當的邊界條件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件這表明，px

只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續譜變成了分立譜。所以c=L-3/2，歸一化的本征函數為：波函數變為這時歸一化系數c可由歸一化條件來確定：討論：（1）由px

=2nx

/L,py

=2ny

/L,pz

=2nz

/L, 可以看出，相鄰兩本征值的間隔

p=2

/L與L 成反比。當L選的足夠大時，本征值間隔可任意小， 當L

時，本征值變成為連續譜。（2）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續譜 歸一化為

函數（3）

p(r)×exp[–iEt/

]就是自由粒子波函數，在它所描 寫的狀態中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算 符在這個態中的本征值。（二）角動量算符（1）角動量算符的形式根據量子力學基本假定III，量子力學角動量算符為:(I)直角坐標系角動量平方算符經典力學中，若動量為p，相對點O的位置矢量為r的粒子繞O點的角動量是：（2）角動量算符的對易關系證明：

由于角動量平方算符中含有關于x，y，z偏導數的交叉項,所以直角坐標下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標較為方便.球坐標這表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)對于任意函數f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函數）都有：將上面結果代回原式得：則角動量算符在球坐標中的表達式為：（2）本征方程(I)Lz的本征方程求歸一化系數正交性：I。波函數有限條件，要求

z

為實數；II。波函數單值條件，要求 當φ轉過2π角 回到原位時波函數 值相等，即：合記之得正交歸一化條件：最后得Lz

的本征函數和本征值：討論：厄密性要求第一項為零所以則這正是周期性邊界條件(II)L2的本征值問題L2

的本征值方程可寫為：為使Y(

,

)在

變化的整個區域(0,π)內都是有限的，則必須滿足：

=

（

+1),其中

=0,1,2,...其中Y(

,

)是L2屬于本征值

2的本征函數。此方程就是大家熟悉的球諧函數方程，其求解方法在數學物理方法中已有詳細的講述，得到的結論是：該方程的解就是球函數Ylm(

,

)，其表達式：歸一化系數，由歸一化條件確定其正交歸一條件為：具體計算請參考有關數學物理方法的書籍，