黏（粘）性流體動力學基礎流體微團的運動形式與速度分解定理粘性流體的應力狀態廣義牛頓內摩擦定理（本構關系）Navier-Stokes方程粘性流體運動的能量方程粘性流體運動的基本性質粘性流體運動方程組的封閉邊界層近似及其特征平面不可壓縮流體層流邊界層方程平板層流邊界層的相似解邊界層的分離現象1、流體微團運動的基本形式

流體微團在運動過程中，將發生剛體運動（平動和轉動）與變形運動（線變形和角變形運動）。

流體微團的運動形式與速度分解定理平動轉動線變形角變形2、速度分解定理德國物理學家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區分了流體微團的運動形式。設在流場中，相距微量的任意兩點，按泰勒級數展開給出分解。

在速度為

在點處，速度為以x方向速度分量為例，由泰勒級數展開，有將上式分別加、減下列兩項得到如果令：綜合起來，有對于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式其中，第一項表示微團的平動速度，第二項表示微團轉動引起的，第三項表示微團變形引起的。定義如下：流體微團平動速度：流體微團線變形速度：

流體微團角變形速度（剪切變形速度）：流體微團旋轉角速度：3、有旋運動與無旋運動流體質點的渦量定義為表示流體質點繞自身軸旋轉角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無旋流動與有旋運動。4、變形率矩陣（或變形率張量）

在速度分解定理中，最后一項是由流體微團變形引起的，其中稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項與流體微團的粘性應力存在直接關系。

定義，流體微團的變形率矩陣為該矩陣是個對稱矩陣，每個分量的大小與坐標系的選擇有關，但有三個量是與坐標系選擇無關的不變量。它們是：

對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度，或流體微團的相對體積膨脹率。如果選擇坐標軸是三個變形率矩陣的主軸，則此時變形率矩陣的非對角線上的分量為零，相應的變形率矩陣與不變量為粘性流體的應力狀態1、理想流體和粘性流體作用面受力差別流體處于靜止狀態，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運動狀態下，流體質點之間可以存在相對運動，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內部任意面上的力只有正向力，無切向力。粘性流體在運動狀態下，流體質點之間可以存在相對運動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內部任意面上力既有正向力，也有切向力。

2、粘性流體中的應力狀態

在粘性流體運動中，由于存在切向力，過任意一點單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應力可分解為法向應力和切向應力。如果作用面的法線方向與坐標軸重合，則合應力可分解為三個分量，其中垂直于作用面的為法應力，另外兩個與作用面相切為切應力，分別平行于另外兩個坐標軸，為切應力在坐標軸向的投影分量。

由此可見，用兩個下標可把各個應力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標表示作用面的法線方向，第二個下標表示應力分量的投影方向。如，對于x面的合應力可表示為

y面的合應力表達式為

z面的合應力表達式為

如果在同一點上給定三個相互垂直坐標面上的應力，那么過該點任意方向作用面上的應力可通過坐標變換唯一確定。因此，我們把三個坐標面上的九個應力分量稱為該點的應力狀態，由這九個應力分量組成的矩陣稱為應力矩陣（或應力張量）。根據剪力互等定理，在這九分量中，只有六個是獨立的，其中三法向應力和三個切向應力。這個應力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個對稱矩陣。（1）在理想流體中，不存在切應力，三個法向應力相等，等于該點壓強的負值。即（2）在粘性流體中，任意一點的任何三個相互垂直面上的法向應力之和一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點的平均壓強的負值。即（3）在粘性流體中，任意面上的切應力一般不為零。廣義牛頓內摩擦定理（本構關系）1、牛頓內摩擦定理啟發牛頓內摩擦定理得到，粘性流體作直線層狀流動時，流層之間的切應力與速度梯度成正比。即如果用變形率矩陣和應力矩陣表示，有

說明應力矩陣與變形率矩陣成正比。對于一般的三維流動，Stokes（1845年）通過引入三條假定，將牛頓內摩擦定律進行推廣，提出廣義牛頓內摩擦定理。2、Stokes假設（1845年）

(Stokes，英國數學家、力學家，1819-1903年）（1）流體是連續的，它的應力矩陣與變形率矩陣成線性關系，與流體的平動和轉動無關。（2）流體是各向同性的，其應力與變形率的關系與坐標系的選擇和位置無關。（3）當流體靜止時，變形率為零，流體中的應力為流體靜壓強。由第三條件假定可知，在靜止狀態下，流體的應力只有正應力，無切應力。即

因此，在靜止狀態下，流體的應力狀態為

根據第一條假定，并受第三條假定的啟發，可將應力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關系式（本構關系）。式中，系數a、b是與坐標選擇無關的標量。參照牛頓內摩擦定理，系數a只取決于流體的物理性質，可取由于系數b與坐標系的轉動無關，因此可以推斷，要保持應力與變形率成線性關系，系數b只能由應力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構成。即令式中，為待定系數。將a、b代入，有取等式兩邊矩陣主對角線上的三個分量之和，可得出

歸并同類項，得到在靜止狀態下，速度的散度為零，且有于是，有由于b1和b2均為常數，且要求p0在靜止狀態的任何情況下均成立，則然后代入第一式中，有如果令稱為流體壓強。則本構關系為上式即為廣義牛頓內摩擦定理（為牛頓流體的本構方程）。用指標形式，上式可表示為對于不可壓縮流體,有如果用坐標系表示，有粘性切應力：法向應力：Navier-Stokes方程1、流體運動的基本方程

利用牛頓第二定理推導以應力形式表示的流體運動微分方程。(在流場中取一個微分六面體流體微團進行分析，以x方向為例，建立運動方程）。整理后，得到

這是以應力形式表示的流體運動微分方程，具有普遍意義，既適應于理想流體，也適應于粘性流體。這是一組不封閉的方程，在質量力已知的情況下，方程中多了6個應力分量，要想得到封閉形式，必須引入本構關系，如粘性流體的廣義牛頓內摩擦定律。2、Navier-Stokes方程組（粘性流體運動方程組）人類對流體運動的描述歷史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科學家）定性。1755年Euler（瑞士科學家，1707-1783）推導出理想流體運動方程。1822年Navier（1785-1836，法國科學家）開始考慮粘性

1829年Poisson(1781-1846)、1843年SaintVenant（1795-1886)、1845年Stokes(1819-1903，英國科學家)結束，完成了推導過程，提出現在形式的粘性流體運動方程。（歷時90年）以x方向的方程為例，給出推導。引入廣義牛頓內摩擦定理，即代入得到

對于y和z方向的方程為

這就是描述粘性流體運動的N-S方程組，適應于可壓縮和不可壓縮流體。

寫成張量的形式為對于不可縮流體，，且粘性系數近似看作常數，方程組可得到簡化。仍以x向方程進行說明。

由此可得到張量形式矢量形式

為了研究流體的有旋性，Lamb等將速度的隨體導數加以分解，把渦量分離出來，形成如下形式的Lamb型方程。

3、Bernoulli積分

伯努利家族（瑞士）前后四代，數十人，形成歷史上罕見的數學大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯·伯努利）,1623-1708，瑞士伯努利數學家族第一代。

Bernoulli,Johann（約翰伯努利），1667-1748，伯努利數

學家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼爾伯努利），1700-1782，伯努利數學家族第三代，Johann.伯努利的兒子，著有《流體動力學》（1738），將微積分方法運用到流體動力學中，提出著名的伯努利方程。與Bernoulli積分理想流體運動方程類似，積分N-S方程假定：（1）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動；（3）質量力有勢；（4）沿流線積分。沿流線積分N-S方程，可推導出粘性流體的能量方程。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項因粘性引起的損失項，表示流體質點克服粘性應力所消耗的能量。在粘性不可壓縮定常流動中，任取一條流線，在流線上某處取一微段ds，該處所對應的流速為沿流線積分N-S方程，有在定常流情況下，跡線和流線重合。流線微段與速度之間的關系為質量力有勢，因此有不可壓縮定常流動，有粘性項寫成為在流線微段上，微分形式為

與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項與粘性有關的項，物理上表示單位質量流體質點克服粘性應力所做的功，代表機械能的損失，不可能再被流體質點機械運動所利用。故稱其為單位質量流體的機械能損失或能量損失。對于質量力只有重力的情況，方程的形式變為

方程兩邊同除以g，得到表示單位重量流體總機械能量沿流線的變化。

如果令能量方程變為單位重量流體所具有的機械能為；單位重量流體粘性力所做的功為。沿著同一條流線積分，得到

上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位重量流體的所具有的機械能總是沿程減小的，不能保持守恒（理想流體時，總機械能是保持守恒的，無機械能損失），減小的部分代表流體質點克服粘性應力做功所消耗的機械能量。粘性流體Bernoulli積分方程說明，粘性流體在流動中，無論勢能、壓能和動能如何轉化，但總機械能是沿程減小的，總是從機械能高的地方流向機械能低的地方。粘性流體運動的能量方程1、熱力學第一定理能量方程是熱力學第一定理在運動流體中的表現形式。熱力學第一定理表示：單位時間內作用于系統上所有力對系統所做的功與單位時間內輸入系統的熱量之和等于系統總能量的變化率。即其中，Q為單位時間輸入系統的總熱量，包括熱輻射和熱傳導；W為單位時間作用于系統上所有力對系統所做的功。作用力包括表面力和體積力。2、能量方程推導在粘性流體空間中，任取一個微分平行六面體的流體微團作為系統，六面體為控制體，則該系統單位時間內總能量的變化率應等于單位時間作用于系統上所有作用力的功與外界傳給系統的熱量之和。用e表示單位質量流體所具有的內能，那么單位質量流體所具有的總能量（內能+動能）為

單位時間內，微元流體系統總能量的變化率為

作用系統上的力包括：通過控制面作用于系統上的表面力和系統上的質量力。單位時間內，所有作用力對系統所做的功為：質量力功率：x方向表面力的功率：同理可得，y和z方向的功率為總功率為

單位時間內，外界傳給系統的總熱量Q包括熱輻射和熱傳導。令q表示單位時間因熱輻射傳給單位質量流體的熱量，總的輻射熱量為由Fourier定理可得，通過控制面傳給系統的熱量。對于x方向，單位時間通過控制面傳入系統的熱量為同理可得，y和z方向的熱傳導量。單位時間內，總的熱傳導量為將以上各式代入整理得到該方程為能量方程的微分形式。寫成張量形式為另外，如果用ui乘以運動方程，有代入能量方程，得到另一種形式的能量方程。

上式的物理意義是：在單位時間內，單位體積流體內能的變化率等于流體變形時表面力作功與外部傳入熱量之和。其中，表面力作功包括壓力作功和剪切力作功，壓力作功表示流體變形時法向力作膨脹功，剪切力作功表示流體運動是克服摩擦力作功，這部分是由于流體粘性引起的，將流體部分機械能不可逆轉化為熱能而消耗掉。利用廣義牛頓內摩擦定理，可得其中，為耗散函數。

這樣，能量方程也可寫成為說明，單位體積流體內能的變化率等于法向力作功、外加熱量以及由于粘性而消耗的機械能之和。由連續方程，有代入能量方程中，得到對于不可壓縮流體，有

粘性流體運動的基本性質包括：運動的有旋性，旋渦的擴散性，能量的耗散性。

1、粘性流體運動的渦量輸運方程為了討論旋渦在粘性流體流動中的性質和規律，推導渦量輸運方程是必要的。其Lamb型方程是引入廣義牛頓內摩擦定理粘性流體運動的基本性質Lamb型方程變為對上式兩邊取旋度，得到整理后得到

這是最一般的渦量輸運方程。該式清楚地表明：流體的粘性、非正壓性和質量力無勢，是破壞旋渦守恒的根源。在這三者中，最常見的是粘性作用。由于（1）如果質量力有勢、流體正壓、且無粘性，則渦量方程簡化為這個方程即為Helmholtz渦量守恒方程。（2）如果質量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量輸運方程變為張量形式為（3）對于二維流動，上式簡化為2、粘性流體運動的有旋性理想流體運動可以是無旋的，也可以是有旋的。但粘性流體運動一般總是有旋的。用反證法可說明這一點。對于不可壓縮粘性流體，其運動方程組為根據場論知識，有代入上式，得到如果流動無旋，則這與不可壓縮理想流體的方程組完全相同，粘性力的作用消失，說明粘性流體流動與理想流體流動完全相同，且原方程的數學性質也發生了變化，由原來的二階偏微分方程組變成一階偏微分方程組。但問題出在固壁邊界上。在粘性流體中，固壁面的邊界條件是：不穿透條件和不滑移條件。即要求降階后的方程組同時滿足這兩個邊界條件一般是不可能的。這說明粘性流體流動一般總是有旋的。

但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流體的速度，也就是固壁面與理想流體質點不存在相對滑移，這時不滑移條件自動滿足，這樣理想流體方程自動滿足固壁面邊界條件。說明在這種情況下，粘性流體流動可以是無渦的。但一般情況下，固壁面與理想流體質點總是存在相對滑移的，受流體粘性的作用，必然要產生旋渦。由此可得出結論：粘性流體旋渦是由存在相對運動的固壁面與流體的粘性相互作用產生的。3、粘性流體旋渦的擴散性

粘性流體中，旋渦的大小不僅可以隨時間產生、發展、衰減、消失，而且還會擴散，渦量從強度大的地方向強度小的地方擴散，直至旋渦強度均衡為止。

以一空間孤立渦線的擴散規律為例說明之。渦線強度的定解問題為這是一個擴散方程的定解問題，其解為4、粘性流體能量的耗散性在粘性流體中，流體運動必然要克服粘性應力作功而消耗機械能。耗散函數的引入是表征這一特性的重要物理量。按照定義，單位時間、單位體積流體所消耗的能量為在直角坐標系中的表達式為

對于粘性流體，只有兩種可能使耗散函數為零的情況，也就是無機械能損失。一種是相當于流體無變形運動，也就是平動和轉動不消耗機械能。另一種是相當于流體運動，無剪切變形，只有各向同性的膨脹或壓縮。這說明，粘性流體的變形運動與機械能損失是同時存在的，而且耗散函數與變形率的平方成正比，因此粘性流體的機械能損失是不可避免的。1、粘性流體運動方程組的封閉性在推導粘性流體方程組時，所引入的獨立未知物理量有：流體密度、流體速度、質量力、粘性系數、熱傳導系數k、壓強p、內能e、溫度T和熱輻射量q，共13個標量。但所導出的方程只有5個，其中1個連續方程、3個運動方程和1個能量方程。要向求解必須給出補充關系，封閉方程。通常，質量力是已知的；粘性系數和熱傳導系數決定于流體性質，也是已知的；熱輻射量已知，這樣未知量的個數變為7個，即3個速度分量，流體密度、壓強、溫度和內能。因此，需要補充2個方程。2、狀態方程

在研究可壓縮流體時，必然涉及熱力學狀態參數對流體運動的影響。表征流體熱力學狀態的物理量稱為熱狀態參數。粘性流體運動方程組的封閉

熱狀態物理量p、T、，這些參數之間的數學關系叫做狀態方程。對于完全氣體，有內能和焓的表達式為3、可壓縮流體的封閉方程組連續方程：

運動方程：廣義牛頓內摩擦定理：能量方程：狀態方程：4、不可壓縮流體方程組連續方程：運動方程：能量方程：5、定解條件定解條件包括：初始條件和邊界條件。（1）初始條件給定初始時刻流場物理量的函數值（速度、壓強、溫度、密度）。（2）邊界條件固壁面條件（滿足不穿透和不滑移條件）。

不同流體分界面條件（在分界面上速度、壓強、溫度是連續的）。進出口邊界條件（給定進口斷面速度、壓強、溫度分布）。邊界層近似及其特征1、邊界層概念的提出業已知道，流動Re數（O.Reynolds，1883年，英國流體力學家）是用以表征流體質點的慣性力與粘性力對比關系的。根據量級分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:慣性力：

粘性力：慣性力/粘性力：

因此，在高Re數下，流體運動的慣性力遠遠大于粘性力。這樣研究忽略粘性力的流動問題是有實際意義的。

這也是早期發展理想流體力學的重要依據，而且確實較成功地解決了與粘性關系不大的一系列流動問題，諸如繞流物體的升力、波動等問題，但對繞流物體阻力、渦的擴散等問題，理想流體力學的解與實際相差甚遠，且甚至得出完全相反的結論，圓柱繞流無阻力的D’Alembert疑題就是一個典型的例子。（D’Alembert，法國力學家，1717-1783）那么，如何考慮流體的粘性，怎樣解決擾流物體的阻力問題，這在當時確實是一個阻礙流體力學發展的難題，直到1904年國際流體力學大師德國學者L.Prandtl通過大量實驗發現，雖然整體流動的Re數很大，但在靠近物面的薄層流體內，流場的特征與理想流動相差甚遠，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無法忽略。Prandtl把這一物面近區粘性力起重要作用的薄層稱為邊界層（Boundarylayer）。Prandtl邊界層概念的提出，為人們如何計入粘性的作用開辟了劃時代的途徑，因此稱其為粘性流體力學之父。對整個流場提出的基本分區是:

（1）整個流動區域可分成理想流體的流動區域（勢流區）和粘性流體的流動區域（粘流區）。（2）在遠離物體的理想流體流動區域，可忽略粘性的影響，按勢流理論處理。（3）粘性流動區域僅限于物面近區的薄層內，稱為邊界層。既然是粘流區，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級，流體質點作有旋運動。2、邊界層的特征（1）邊界層定義嚴格而言，邊界層區與主流區之間無明顯界線，通常以速度達到主流區速度的0.99U作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱為邊界層名義厚度，用表示。（2）邊界層的有渦性粘性流體運動總伴隨渦量的產生、擴散、衰減。邊界層就是渦層，當流體繞過物面時，無滑移邊界條件相當于使物面成為具有一定強度的連續分布的渦源。以二維流動為例說明之。此時，物面上的渦源強度為對于不可壓縮流體，二維流動的渦量輸運方程為上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴散速度與粘性有關，渦量的遷移速度取決于流動速度。（3）邊界層厚度的量級估計根據邊界層內粘性力與慣性力同量級的條件，可估算邊界層的厚度。以平板繞流為例說明。設來流的速度為U，在x方向的長度為L，邊界層厚度為。慣性力：粘性力：

由慣性力與粘性力同量級得到

由此可見，在高Re數下，邊界層的厚度遠小于被繞流物體的特征長度。（4）邊界層各種厚度定義（a）邊界層排移厚度在邊界層內，理想流體的質量流量為其中，ue為邊界層外緣速度。由于粘性的存在，實際流體通過的質量流量為上述兩項之差表示粘性存在而損失的流量，這部分流量被排擠到主流場中，相當于主流區增加了一層流體。主流區所增加的厚度為這部分主流區增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區造成的。因此，稱其為排移厚度。（b）邊界層動量損失厚度在邊界層內，在質量流量不變的條件下，理想流體通過的動量為由于粘性的存在，實際流體通過的動量為

上述兩項之差表示粘性存在而損失的動量，這部分動量損失用外流流速ue（理想流體）折算的動量損失厚度為（c）邊界層能量損失厚度在邊界層內，在質量流量不變的條件下，以外流速度（理想流體）通過的動能為由于粘性的存在，實際流體通過的動能為

上述兩項之差表示粘性存在而損失的動能，這部分動能損失用主流流速ue（理想流體）折算的動能損失厚度為:

上述各種厚度的計算公式，對于不可壓縮流體而言，變為:平面不可壓縮流體層流邊界層方程1、平壁面上邊界層方程根據Prandtl邊界層概念，通過量級比較，可對N-S方程組進行簡化，得到邊界層近似方程。對于二維不可壓縮流動，N-S方程為

選取長度特征L，速度尺度ue，時間尺度t=L/ue，邊界層近似假定：（1）根據邊界層定義，縱向偏導數遠遠小于橫向偏導數。（2）法向速度遠遠小于縱向速度。（3）邊界層內的壓強與外流速度的平方成正比。將這些量級關系式代入到N-S方程中，得到N-S方程組與各項量級比較:在高Re數情況下，忽略小量得到忽略質量力，由第三個方程得到這說明，在高Re數情況下，在邊界層內壓力沿法向是不變的。

邊界層內的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，p與y無關，僅是x和t的函數。即忽略質量力，Prandtl邊界層方程變為邊界條件：

在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢流方程確定壓強。即

在定常流動情況下，有綜上所述，邊界層基本特性可歸納為2、曲壁面上的邊界層方程在實際流動中所遇到的物面常是彎曲的，因此推導曲壁面上的邊界層方程具有重要意義。在推導中，使用曲壁面上的邊界層坐標系。其中，x軸貼著壁面，y軸垂直于壁面。在邊界層內任取一點M，其坐標

x=ONy=NMM’為M的鄰點，MM’的弧長為ds在x處，設曲壁的曲率半徑為R(x)，有則有

仍以u和v分別表示邊界層坐標系中的x和y方向的速度分量，則由正交曲線坐標系方程，得到運動方程為:

假定物面的曲率半徑R(x)與x向的特征長度L同量級，y的量級與邊界層厚度同量級，故有:量級比較，簡化的邊界層方程為:

這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。為了和流動彎曲所產生的離心力相平衡，必須有y方向的壓力梯度。以下估計這個壓力梯度的量級大小。初步假定邊界層內速度分布為線性分布。從y=0到y=s積分，有在R>>s的情況下，此壓差是個小量，可忽略。由此仍得出在曲壁面的邊界層內，法向壓力不變是個常數。這說明，在曲率半徑不太小且變化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平壁面上的邊界層方程完全相同。1908年，Prandtl學生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。對于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流繞流，邊界層方程為相應的邊界條件為Blasius假設，在平板上邊界層內的速度分布具有相似性特征。即平板層流邊界層的相似解根據量級比較，邊界層厚度的量級為:

引入流函數，可消掉一個連續方程。

由此得到代入方程中，得到化簡后變為邊界條件為Blasius用無窮級數進行了求解。假設：其中，為待定系數。

由邊界條件，可得（1）邊界層厚度（）（2）邊界層位移厚度（3）邊界層動量損失厚度（4）壁面切應力（5）壁面摩擦阻力系數（6）平均壁面摩擦總阻力系數

郭永懷（1953年）對平板前緣點的修正，得到適用范圍：

邊界層動量積分關系式是由Karman1921導出的，對近似求解邊界層特性具有重要作用。適應于層流邊界層和湍流邊界層。今在邊界層內任取一控制體，控制體長度為dx，控制面為Aab、Abc、Acd、Ada。現對控制體應用動量定律，可得由Aab面流入控制體的質量為

由Acd面流出控制體的質量為根據質量守恒定律，通過Abc流入控制體的質量為由Aab面流入控制體的動量為由Acd面流出控制體的動量為通過Abc流入控制體的動量在x方向的分量為在Aab面上的作用力為在Acd面上的作用力為在Abc面上的力為在Aad面上的切應力為

現對控制體建立x方向的動量方程為整理后，得由于由Bernoulli方程，可得這就是邊界層動量積分方程。是一個一階常微分方程，適應于層流和湍流邊界層。如果寫成無量綱形式，有對于零壓梯度的平板邊界層流動，有動量積分方程也可通過直接積分邊界層微分方程獲得。對于二維不可壓縮流體邊界層方程為用ue乘以連續方程，并把動量方程改寫。兩式相減，得到積分上式，有整理后，得到這與Karman方程完全一樣。動量積分方程含有三個未知數，排移厚度、動量損失厚度、壁面切應力。因此，必須尋求補充關系，積分求解。由于三個未知量都取決與邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布，就可以求解。顯然，該方法的精度取決于邊界層內速度分布的合理性。通常假定，邊界層內速度分布為確定系數的條件為邊界層的分離現象1、邊界層分離現象

邊界層中的流體質點受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力的作用始終是阻滯流體質點運動，使流體質點減速，失去動能；壓力的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速前