2024年江蘇省宿遷市中考數學試題含解析數學一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.6的倒數是（）A. B. C.－6 D.62.下列運算正確的是（）A. B. C. D.3.地球與月球的平均距離大約為，數據384000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.4.如圖，直線，直線分別與直線、交于點E、F，且，則等于（）A. B. C. D.5.全國兩會，習近平總書記在參加江蘇代表團審議時指出，我們能不能如期全面建成社會主義現代化強國，關鍵看科技自立自強．將“科技、自立、自強”六個字分別寫在某正方體表面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與“強”字所在面相對面上的漢字是（）A.自 B.立 C.科 D.技6.我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設繩長為x尺，則可列方程為（）A B.C. D.7.規定：對于任意實數a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（）A. B. C.且 D.且8.如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9.要使有意義，則實數x的取值范圍是________．10.因式分解：________．11.命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是_____________________________________．12.點在第______象限．13.一組數據6，8，10，x的平均數是9，則x的值為________．14.已知圓錐的底面半徑為3，母線長為12，則其側面展開扇形的圓心角的度數為________°．15.如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為________．16.如圖，在中，，AD是高，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交于點E，再分別以B、E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點F，作射線，則________．17.若關于x、y的二元一次方程組的解是，則關于x、y的方程組的解是________．18.如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為________．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.計算：．20.先化簡再求值：，其中．21.如圖，在四邊形中，，且，是的中點．下面是甲、乙兩名同學得到的結論：甲：若連接，則四邊形是菱形；乙：若連接，則是直角三角形．請選擇一名同學的結論給予證明．22.某校為豐富學生的課余生活，開展了多姿多彩的體育活動，開設了五種球類運動項目：A籃球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．為了解學生最喜歡以上哪種球類運動項目，隨機抽取部分學生進行調查（每位學生僅選一種），并繪制了統計圖：某同學不小心將圖中部分數據丟失，請結合統計圖，完成下列問題：（1）本次調查的樣本容量是________，扇形統計圖中C對應圓心角的度數為________（2）請補全條形統計圖；（3）若該校共有2000名學生，請你估計該校最喜歡“E乒乓球”的學生人數．23.某校組織七年級學生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學活動，策劃了四條研學線路供學生選擇：A彭雪楓紀念館，B淮海軍政大禮堂，C愛園烈士陵園，D大王莊黨性教育基地，每名學生只能任意選擇一條線路．（1）小剛選擇線路A的概率為________；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求小剛和小紅選擇同一線路的概率．24.雙塔是古黃河宿遷景觀帶的標志性建筑之一，由九層的九龍塔和七層的七鳳塔構成．某校數學實踐小組開展測量七鳳塔高度的實踐活動，該小組制定了測量方案，在實地測量后撰寫活動報告，報告部分內容如下表：測量七鳳塔高度測量工具測角儀、皮尺等活動形式以小組為單位測量示意圖測量步驟及結果如圖，步驟如下：①在C處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角；②沿著CA方向走到E處，用皮尺測得米；③在E處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角．…已知測角儀的高度為1.2米，點C、E、A在同一水平直線上．根據以上信息，求塔AB的高度，（參考數據：）25.如圖，在中，是直徑，是弦，且，垂足為，，，在的延長線上取一點，連接，使．

（1）求證：是的切線；（2）求的長．26.某商店購進A、B兩種紀念品，已知紀念品A的單價比紀念品B的單價高10元．用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同．（1）求紀念品A、B的單價分別是多少元？（2）商店計劃購買紀念品A、B共400件，且紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，若總費用不超過11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？27.如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點，將拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，點P是拋物線在第四象限內一點，連接并延長，交拋物線于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）設點P的橫坐標為，點Q的橫坐標為，求的值；（3）如圖②，若拋物線與拋物線交于點C，過點C作直線，分別交拋物線和于點M、N（M、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．28.在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數式表示）．數學一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.6的倒數是（）A. B. C.－6 D.6【答案】B【解析】【分析】乘積是1的兩個數互為倒數．據此即可獲得答案．【詳解】解：∵，∴6的倒數是．故選：B．【點睛】本題主要考查了倒數的知識，熟練掌握倒數的定義是解題關鍵．2.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了合并同類項、同底數冪的乘法、同底數冪的除法、積的乘方等知識點，靈活運用相關知識點成為解題的關鍵．根據合并同類項、同底數冪的乘法、同底數冪的除法、積的乘方逐項判斷即可．【詳解】解：A.與不是同類項，不能合并，該選項錯誤，不符合題意；B.，該選項正確，符合題意；C.，該選項錯誤，不符合題意；D.，該選項錯誤，不符合題意．故選：B．3.地球與月球的平均距離大約為，數據384000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查用科學記數法表示較大的數．絕對值大于1的數可以用科學記數法表示，一般形式為，為正整數，且比原數的整數位數少1，據此可以解答．【詳解】解：384000用科學記數法表示為．故選：B．4.如圖，直線，直線分別與直線、交于點E、F，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．先根據平行線的性質得出，再根據鄰補角求出結果即可．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：C．5.全國兩會，習近平總書記在參加江蘇代表團審議時指出，我們能不能如期全面建成社會主義現代化強國，關鍵看科技自立自強．將“科技、自立、自強”六個字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與“強”字所在面相對面上的漢字是（）A.自 B.立 C.科 D.技【答案】C【解析】【分析】本題考查正方體相對兩個面上的文字，還原正方體是正確解答的關鍵．根據正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．【詳解】解：將“自”作為底面，則折起來“強”在前面，“立”在右面，“科”在后面，∴與“強”字所在面相對面上的漢字是“科”，故選：C．6.我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設繩長為x尺，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實際應用，利用井的深度不變建立方程是解題的關鍵．【詳解】解：設繩長x尺，列方程為，故選A．7.規定：對于任意實數a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據題意得到，再由有兩個不相等的實數根得到，且，即可得到答案.【詳解】解：∵，∴，即，∵關于x的方程有兩個不相等的實數根，∴，且，解得且，故選：D．8.如圖，點A在雙曲線上，連接AO并延長，交雙曲線于點B，點C為x軸上一點，且，連接，若的面積是6，則k的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數的的幾何意義，掌握反比例函數的幾何意義是解題的關鍵．過點A作軸，過點B作軸，根據相似三角形的判定和性質得出，確定，然后結合圖形及面積求解即可．【詳解】解：過點A作軸，過點B作軸，如圖所示：∴，∴，∵點A在雙曲線上，點B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，軸，∴，∵，∴，∴∴∴，故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9.要使有意義，則實數x的取值范圍是________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件及解不等式，熟知二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0是解題的關鍵．根據二次根式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵二次根式要有意義，∴，∴，故答案為；．10.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】直接提出公因式，即可解答．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法是解題的關鍵．11.命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是_____________________________________．【答案】同位角相等，兩直線平行【解析】【分析】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．將原命題的條件與結論互換即可得到其逆命題．【詳解】解：命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是同位角相等，兩直線平行．故答案為：同位角相等，兩直線平行12.點在第______象限．【答案】四【解析】【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根據各象限內點的坐標特征解答即可．【詳解】解：點的橫坐標，縱坐標，點在第四象限．故答案為：四．13.一組數據6，8，10，x的平均數是9，則x的值為________．【答案】12【解析】【分析】本題考查了算術平均數，解題的關鍵是掌握算術平均數得計算公式．根據平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數列式計算即可．【詳解】解：一組數據6，8，10，的平均數是9，，解得．故答案為：12．14.已知圓錐的底面半徑為3，母線長為12，則其側面展開扇形的圓心角的度數為________°．【答案】【解析】【分析】本題考查圓錐的側面積，以及扇形面積，解決本題的關鍵是掌握圓錐的側面積公式，以及扇形面積公式．設側面展開扇形的圓心角的度數為度，根據“圓錐的側面積扇形面積”建立等式求解，即可解題．【詳解】解：設側面展開扇形的圓心角的度數為度，側面展開扇形的面積為：，解得，故答案為：．15.如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正多形的內角和和內角以及弧長公式，根據六邊形是正六邊形，根據正多邊內角和等于，求出內角，再根據弧長公式即可得出答案．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，∴，故答案為：．16.如圖，在中，，AD是高，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交于點E，再分別以B、E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點F，作射線，則________．【答案】##10度【解析】【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內角和定理，根據題意得出平分，然后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：因為，所以，根據題意得：平分，所以，因為AD為高，所以，所以,所以，故答案為：．17.若關于x、y的二元一次方程組的解是，則關于x、y的方程組的解是________．【答案】【解析】【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把，代入，得到，整體代入中，得到方程組，加減消元法解方程組即可．【詳解】解：把代入，得：，∵，∴，即：，，得：，∵方程組有解，∴，∴，把代入①，得：，解得：；∴方程組的解集為：；故答案為：．18.如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為________．【答案】【解析】【分析】利用一次函數求出點A的坐標，利用勾股定理求出，當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，由對稱性質可知，，，當軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，作于點，有，設，則，利用銳角三角函數建立等式求出，證明，再利用相似三角形性質求出，最后根據求解，即可解題．【詳解】解：點A在直線上，且點A的橫坐標為4，點A的坐標為，，當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，由對稱性質可知，，當軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，由對稱性質可知，，作于點，有，設，則，，，解得，經檢驗是方程的解，，，，，，，，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱性質，勾股定理，銳角三角函數，相似三角形性質和判定，角平分線性質，垂線段最短，一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據軸對稱性質和垂線段最短找出最短的情況．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.計算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了實數的混合運算，根據零指數冪、特殊角三角函數值、絕對值計算即可．【詳解】．20.先化簡再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先對括號里面的通分，再利用平方差公式展開，最后約分，然后再代入x的值代入計算，并利用二次根式的性質化簡．【詳解】解：，當時，原式．21.如圖，在四邊形中，，且，是的中點．下面是甲、乙兩名同學得到的結論：甲：若連接，則四邊形是菱形；乙：若連接，則是直角三角形．請選擇一名同學的結論給予證明．【答案】見解析【解析】【分析】選擇甲：由，是的中點．得，從而得四邊形是平行四邊形，再根據，即可證明結論成立；選擇乙：連接、DE，DE交于，分別證明四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，得AC⊥DE，，再根據平行線的性質及垂線定義即可得證．【詳解】證明：選擇甲：如圖1，∵，是的中點．∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；選擇乙：如圖，連接、DE，DE交于，∵，是的中點．∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；∴AC⊥DE，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴∴，∴是直角三角形．【點睛】本題主要考查了菱形、平行四邊形的判定及性質、垂線定義、平行線的性質，熟練掌握菱形、平行四邊形的判定及性質是解題的關鍵．22.某校為豐富學生的課余生活，開展了多姿多彩的體育活動，開設了五種球類運動項目：A籃球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．為了解學生最喜歡以上哪種球類運動項目，隨機抽取部分學生進行調查（每位學生僅選一種），并繪制了統計圖：某同學不小心將圖中部分數據丟失，請結合統計圖，完成下列問題：（1）本次調查樣本容量是________，扇形統計圖中C對應圓心角的度數為________（2）請補全條形統計圖；（3）若該校共有2000名學生，請你估計該校最喜歡“E乒乓球”的學生人數．【答案】（1）200；36（2）見解析（3）460人【解析】【分析】本題主要考查了條形統計圖和扇形統計圖，樣本估計總體：（1）用最喜歡“D羽毛球”的學生人數除以其所占的百分比，可得樣本容量，再用360度乘以最喜歡“B足球”的學生人數所占的百分比，即可求解；（2）求出最喜歡“B足球”的學生人數，即可求解；（3）用2000乘以最喜歡“E乒乓球”的學生人數所占的百分比，即可求解．【小問1詳解】解：本次調查的樣本容量是；扇形統計圖中C對應圓心角的度數為；故答案為：200；36【小問2詳解】解：最喜歡“B足球”學生人數為人，補全條形統計圖，如圖：【小問3詳解】解：人，即該校最喜歡“E乒乓球”的學生人數為460人．23.某校組織七年級學生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學活動，策劃了四條研學線路供學生選擇：A彭雪楓紀念館，B淮海軍政大禮堂，C愛園烈士陵園，D大王莊黨性教育基地，每名學生只能任意選擇一條線路．（1）小剛選擇線路A的概率為________；（2）請用畫樹狀圖或列表方法，求小剛和小紅選擇同一線路的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了簡單概率公式的計算，列表或樹狀圖求概率，熟悉概率公式和列表或樹狀圖求概率是解題的關鍵，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果數．（1）根據簡單概率的公式計算即可，概率=所求情況數與總情況數之比；（2）根據列表法即可求得概率．【小問1詳解】解：依題意，共四條研學線路，每條線路被選擇的可能性相同．小剛選擇線路A的概率為；故答案為：【小問2詳解】解：依題意，列表可得小剛\小紅ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD由列表可得，共有16種等可能性結果，其中相同線路的可能結果有4種，小剛和小紅選擇同一線路的概率為．24.雙塔是古黃河宿遷景觀帶的標志性建筑之一，由九層的九龍塔和七層的七鳳塔構成．某校數學實踐小組開展測量七鳳塔高度的實踐活動，該小組制定了測量方案，在實地測量后撰寫活動報告，報告部分內容如下表：測量七鳳塔高度測量工具測角儀、皮尺等活動形式以小組為單位測量示意圖測量步驟及結果如圖，步驟如下：①在C處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角；②沿著CA方向走到E處，用皮尺測得米；③在E處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角．…已知測角儀高度為1.2米，點C、E、A在同一水平直線上．根據以上信息，求塔AB的高度，（參考數據：）【答案】73.2米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟練掌握解直角三角形的方法是解題的關鍵．根據題意得到米，米，，，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：由題意得，米，米，，，在中，，，在中，，，米，，解得，（米，答：塔的高度為73.2米．25.如圖，在中，是直徑，是弦，且，垂足為，，，在的延長線上取一點，連接，使．

（1）求證：是的切線；（2）求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）連接，根據等腰三角形的性質得到，等量代換得到，得到，根據切線的判定定理得到結論；（2）根據垂徑定理得到，根據勾股定理得到，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【小問1詳解】證明：連接，

，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；【小問2詳解】解：是直徑，是弦，且，，，，，，，，，，，．26.某商店購進A、B兩種紀念品，已知紀念品A的單價比紀念品B的單價高10元．用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同．（1）求紀念品A、B的單價分別是多少元？（2）商店計劃購買紀念品A、B共400件，且紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，若總費用不超過11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？【答案】（1）紀念品A、B的單價分別是元和元（2）A種紀念品購進件，B種紀念品購進件，兩種紀念品使總費用最少【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是正確分析題目中的等量關系．（1）設A種紀念品的單價是x元，則B種紀念品的單價是元，利用數量總價單價，結合“用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同”，可得出關于x的分式方程，解之即可；（2）設購買a件A種紀念品，總費用為元，利用總價單價數量，可得出關于a的一次函數，求出a的取值范圍，根據函數的增減性解題即可．【小問1詳解】解：設A種紀念品的單價為元，則B種紀念品的單價為元，，解得：x=30，經檢驗x=30是原方程的解，∴B種紀念品的單價為元，答：紀念品A、B的單價分別是元和元．【小問2詳解】解：設A種紀念品購進件，總費用為元，則，又∵，解得，∵，∴y隨x的增大而增大，∴當時，購買這兩種紀念品使總費用最少，這時A種紀念品購進件，B種紀念品購進件，兩種紀念品使總費用最少．27.如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點，將拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，點P是拋物線在第四象限內一點，連接并延長，交拋物線于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）設點P的橫坐標為，點Q的橫坐標為，求的值；（3）如圖②，若拋物線與拋物線交于點C，過點C作直線，分別交拋物線和于點M、N（M、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）是定值，．【解析】【分析】此題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式、函數圖象的交點問題、一元二次方程根與系數關系等知識，準確利用待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．（1）利用待定系數法求出，再根據平移規律即可求出拋物線的表達式；（2）設點P的坐標為，待定系數法求出直線的解析式為，聯立與得到，解得，即可求出答案；（3）由（1）可得，，與聯立得到，求出點C的坐標為，又由點M的坐標為，利用待定系數法求出直線的解析式為，與聯立得到，則，得到，即可得到，得到定值．【小問1詳解】解：∵拋物線與x軸交于兩點，∴，解得，∴，∵拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，∴即【小問2詳解】解：設點P的坐標為，設直線的解析式為，把點A和點P的坐標代入得到，則解得，∴直線的解析式為，聯立與得到，解得，則【小問3詳解】解：由（1）可得，，與聯立得到，，解得，此時∴點C的坐標為，∵點M的橫坐標為m，且在上，∴即點M的坐標為設直線的解析式為，把點C和點M的坐標代入得到，則解得，∴直線的解析式為，與聯立得到，，整理得到，則，即，即，即為定值．28.在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕；操作三：如圖③，在邊上選一點F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點分別為G、H．根據以上操作，得________．【探究證明】（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接，過點G作的垂線，分別交于點P、Q、M．求證：．【深入研究】若，請求出的值（用含k的代數式表示）．【答案】[操作判斷]45；[探究證明]（1）等腰直角三角形，理由見詳解；（2）見詳解；[深入研究]【解析】【分析】[操作判斷]根據正方形的性質以及折疊的性質即可求解；[探究證明]（1）先證明，再證明，則，繼而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，則，因此；[深入研究]連接，先證明，則，由，設，則，而，則，可得，，，那么，故．【詳解】[操作判斷]解：如圖，由題意得，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，即，故答案為：45；[探究證明]解：（1）如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；（2）如圖，由翻折得，，∵四邊形是正方形，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；[深入研究]解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，∵是對角線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴,∵，∴設，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形背景下的折疊問題，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，折疊的性質，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．2024年江蘇省無錫市數學中考試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的．）1.4的倒數是（）A. B. C.2 D.2.在函數中，自變量的取值范圍是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.4.一組數據：31，32，35，37，35，這組數據的平均數和中位數分別是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，345.下列圖形是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.正五邊形6.已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為（）A. B. C. D.7.《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經過多少天相遇？設經過天相遇，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.8.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到．當落在上時，的度數為（）A. B. C. D.9.如圖，在菱形中，，是中點，則的值為（）A. B. C. D.10.已知是的函數，若存在實數，當時，的取值范圍是．我們將稱為這個函數的“級關聯范圍”．例如：函數，存在，，當時，，即，所以是函數的“2級關聯范圍”．下列結論：①是函數的“1級關聯范圍”；②不是函數的“2級關聯范圍”；③函數總存在“3級關聯范圍”；④函數不存在“4級關聯范圍”．其中正確的為（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．12.在科技創新的強力驅動下，中國高鐵事業飛速發展，高鐵技術已經領跑世界．截至2023年底，我國高鐵營業里程達到．數據45000用科學記數法表示為______．13.正十二邊形的內角和等于______度．14.命題“若，則”______命題．（填“真”或“假”）15.某個函數的圖象關于原點對稱，且當時，隨的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數表達式：______．16.在中，，，，分別是的中點，則的周長為______．17.在探究“反比例函數的圖象與性質”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊分別落在軸負半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發現兩點恰好都落在函數的圖象上，則的值為______．18.如圖，在中，，，直線，是上的動點（端點除外），射線交于點．在射線上取一點，使得，作，交射線于點．設，．當時，______；在點運動的過程中，關于的函數表達式為______．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）19.計算：（1）；（2）．20.（1）解方程：；（2）解不等式組：21.如圖，在矩形中，是的中點，連接．求證：（1）；（2）．22.一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同．（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，摸到白球的概率是______；（2）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）23.“五谷者，萬民之命，國之重寶．”夯實糧食安全根基，需要強化農業科技支撐．農業科研人員小李在試驗田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長度的分布情況，開展了一次調查研究．【確定調查方式】（1）小李計劃從試驗田里抽取100個麥穗，將抽取的這100個麥穗的長度作為樣本，下面的抽樣調查方式合理的是______；（只填序號）①抽取長勢最好的100個麥穗的長度作為樣本②抽取長勢最差的100個麥穗的長度作為樣本③隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本【整理分析數據】（2）小李采用合理的調查方式獲得該試驗田100個麥穗的長度（精確到0.1cm），并將調查所得的數據整理如下：試驗田100個麥穗長度頻率分布表長度頻率0.040.450300.09合計1根據以上圖表信息，解答下列問題：①頻率分布表中的______；②請把頻數分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數據）【作出合理估計】（3）請你估計長度不小于的麥穗在該試驗田里所占比例為多少．24.如圖，在中，．（1）尺規作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點，使得；（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請直接寫出的值）25.某校積極開展勞動教育，兩次購買兩種型號的勞動用品，購買記錄如下表：A型勞動用品（件）B型勞動用品（件）合計金額（元）第一次20251150第二次1020800（1）求兩種型號勞動用品的單價；（2）若該校計劃再次購買兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號勞動用品的單價保持不變）26.如圖，是的直徑，內接于，，的延長線相交于點，且．（1）求證：；（2）求的度數．27.【操作觀察】如圖，在四邊形紙片中，，，，，．折疊四邊形紙片，使得點的對應點始終落在上，點的對應點為，折痕與分別交于點．解決問題】（1）當點與點重合時，求的長；（2）設直線與直線相交于點，當時，求的長．28.已知二次函數圖象經過點和點．（1）求這個二次函數的表達式；（2）若點，都在該二次函數的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；（3）點在直線上，點在該二次函數圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．2024年江蘇省無錫市中考試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的．）1.4的倒數是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本題主要了考查倒數的意義，根據乘積是1的兩個數互為倒數求解即可．【詳解】解：4的倒數是，故選：A．2.在函數中，自變量的取值范圍是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.【答案】D【解析】【分析】利用二次根式有意義的條件求解即可.【詳解】根據二次根式有意義的條件，得：，解得，，故選：D【點睛】本題考查了求自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解分式方程，先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后驗根即可．【詳解】解：，，，檢驗，當時，，∴是原分式方程的解，故選：A．4.一組數據：31，32，35，37，35，這組數據的平均數和中位數分別是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，34【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了平均數與中位數的定義，根據平均數與中位數的定義求解即可．【詳解】解：這組數據的平均數是：，這組數據從小大到大排序為：31，32，35，35，37，∵一共有5個數據，∴中位數為第3位數，即35，故選：C．5.下列圖形是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.正五邊形【答案】C【解析】【分析】根據中心對稱圖形的定義依次進行判斷即可得．【詳解】解：A、等邊三角形，不是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；B、直角三角形，不是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；C、平行四邊形，是中心對稱圖形，選項說法正確，符合題意；D、正五邊形，不是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了中心對稱圖形，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形的定義．6.已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓錐的側面積展開圖公式，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積的計算公式：圓錐的側面積底面半徑母線長．【詳解】解：，故選：B．7.《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經過多少天相遇？設經過天相遇，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，根據題意可得野鴨的速度為，大雁的速度為，設經過天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據此即可列出方程．【詳解】解：設經過天相遇，可列方程為：，故選：A．8.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到．當落在上時，的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，由旋轉的性質可得，由三角形內角和定理可得出，最后根據角的和差關系即可得出答案．【詳解】解：由旋轉的性質可得出，∵，∴，∴，∴，故選：B．9.如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助線，構造直角三角形求解．延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，設，易得，則，進而得出，再得出，最后根據，即可解答．【詳解】解：延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，∵四邊形是菱形，∴，，∴，設，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．10.已知是的函數，若存在實數，當時，的取值范圍是．我們將稱為這個函數的“級關聯范圍”．例如：函數，存在，，當時，，即，所以是函數的“2級關聯范圍”．下列結論：①是函數的“1級關聯范圍”；②不是函數的“2級關聯范圍”；③函數總存在“3級關聯范圍”；④函數不存在“4級關聯范圍”．其中正確的為（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】A【解析】【分析】本題考查了新定義，一次函數的性質，反比例函數的性質，二次函數的性質．推出在時，，即，即可判斷①；推出在時，，即，即可判斷②；③設當，則，當函數存在“3級關聯范圍”時，整理得，即可判斷③；設，則，當函數存在“4級關聯范圍”時，，求出m和n的值，即可判斷④．【詳解】解：①當時，，當時，，∵，∴y隨x的增大而減小，∴在時，，即，∴是函數的“1級關聯范圍”；故①正確，符合題意；②當時，，當時，，∵對稱軸為y軸，，∴當時，y隨x的增大而增大，∴在時，，即，∴是函數的“2級關聯范圍”，故②不正確，不符合題意；③∵，∴該反比例函數圖象位于第一象限，且在第一象限內，y隨x的增大而減小．設當，則，當函數存在“3級關聯范圍”時，整理得：，∵，，∴總存在，∴函數總存在“3級關聯范圍”；故③正確，符合題意；④函數的對稱軸為，∵，∴當時，y隨x的增大而增大，設，則，當函數存在“4級關聯范圍”時，，解得：，∴是函數的“4級關聯范圍”，∴函數存在“4級關聯范圍”，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】【詳解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案：（x+3）（x-3）.12.在科技創新的強力驅動下，中國高鐵事業飛速發展，高鐵技術已經領跑世界．截至2023年底，我國高鐵營業里程達到．數據45000用科學記數法表示為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了用科學記數法表示絕對值大于1的數，解題的關鍵是掌握用科學記數法表示絕對值大于1的數的方法：將原數化為的形式，其中，n為整數，n的值等于把原數變為a時小數點移動的位數．【詳解】解：數據45000用科學記數法表示，故答案為：．13.正十二邊形的內角和等于______度．【答案】##1800度【解析】【分析】本題考查了多邊形的內角和公式，熟悉相關性質是解題的關鍵．根據多邊形的內角和公式進行計算即可．【詳解】解：，∴正十二邊形的內角和等于．故答案為：．14.命題“若，則”是______命題．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質，根據，可得出，進而可判斷出若，則是假命題．【詳解】解：∵∴，∴若，則是假命題，故答案為：假．15.某個函數的圖象關于原點對稱，且當時，隨的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數表達式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，根據反比例函數的性質結合已知條件解題即可．【詳解】解：根據題意有：，故答案為：（答案不唯一）16.在中，，，，分別是的中點，則的周長為______．【答案】9【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．根據三角形的中位線定理得出，即可解答．【詳解】解：∵，，，分別是的中點，∴，∴的周長，故答案為：9．17.在探究“反比例函數的圖象與性質”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊分別落在軸負半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，小明發現兩點恰好都落在函數的圖象上，則的值為______．【答案】2或3【解析】【分析】本題考查了反比例函數，平移，解一元二次方程．先得出點A和點B的坐標，再得出平移后點A和點B對應點的坐標，根據平移后兩點恰好都落在函數的圖象上，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，設平移后點A、B的對應點分別為，∴，∵兩點恰好都落在函數的圖象上，∴把代入得：，解得：或．故答案為：2或3．18.如圖，在中，，，直線，是上的動點（端點除外），射線交于點．在射線上取一點，使得，作，交射線于點．設，．當時，______；在點運動的過程中，關于的函數表達式為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．易得，則，得出，代入數據即可求出；根據，得出，設，則，通過證明，得出，則，進而得出，結合，可得，代入各個數據，即可得出關于的函數表達式．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴；∵，∴，即，整理得：，設，∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∵，∴，即，整理得：，故答案為：2，．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）19.計算：（1）；（2）．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，整式的混合運算，熟練掌握相關運算順序和運算法則是解題的關鍵．（1）先將絕對值，算術平方根，負整數冪化簡，再進行計算即可；（2）先根據去括號法則和完全平方公式將括號展開，再合并同類項即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．20.（1）解方程：；（2）解不等式組：【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，解一元一次不等式組．（1）先移項，再用直接開平方法即可求解；（2）先分別求解兩個不等式，再根據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”即可寫出不等式組的解集．【詳解】（1）解：，，或，解得：．（2）解：，由①可得：，由②可得：，∴原不等式組的解集為．21.如圖，在矩形中，是的中點，連接．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊對等角．（1）根據矩形的性質得出，再根據中點的定義得出，即可根據求證；（2）根據全等的性質得出，根據等邊對等角即可求證．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∵是的中點，∴，在和中，，∴小問2詳解】證明：∵，∴，∴．22.一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同．（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，摸到白球的概率是______；（2）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．（1）直接利用概率公式，即可解答；（2）根據題意列出表格，數出所有的情況數和符合條件的情況數，再根據概率公式，即可解答．【小問1詳解】解：∵袋子中一共有3個球，其中只有一個白球，∴摸到白球的概率，故答案為：；【小問2詳解】解：根據題意列出表格如下：

白紅綠白（白，白）（白，紅）（白，綠）紅（紅，白）（紅，紅）（紅，綠）綠（綠，白）（綠，紅）（綠，綠）由表可知，一共有9種等可能的情況，2次摸到的球顏色不同的情況有6種，∴2次摸到的球顏色不同的概率．23.“五谷者，萬民之命，國之重寶．”夯實糧食安全根基，需要強化農業科技支撐．農業科研人員小李在試驗田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長度的分布情況，開展了一次調查研究．【確定調查方式】（1）小李計劃從試驗田里抽取100個麥穗，將抽取的這100個麥穗的長度作為樣本，下面的抽樣調查方式合理的是______；（只填序號）①抽取長勢最好的100個麥穗的長度作為樣本②抽取長勢最差的100個麥穗的長度作為樣本③隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本【整理分析數據】（2）小李采用合理的調查方式獲得該試驗田100個麥穗的長度（精確到0.1cm），并將調查所得的數據整理如下：試驗田100個麥穗長度頻率分布表長度頻率0.040.450.300.09合計1根據以上圖表信息，解答下列問題：①頻率分布表中的______；②請把頻數分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數據）【作出合理估計】（3）請你估計長度不小于的麥穗在該試驗田里所占比例為多少．【答案】（1）③（2）①0.12，頻數分布直方圖見詳解（3）【解析】【分析】本題主要考查了抽樣調查的合理性，補全頻數分布直方圖的相關知識，掌握抽樣調查以及讀懂頻數分布直方圖是解題的關鍵．（1）根據抽樣調查的特點回答即可．（2）①用1減去其他頻率即可求出m的值．②先求出麥穗長度頻率分布在之間的頻數，然后即可補全頻數分布直方圖（3）把長度不小于的麥穗的頻率相加即可求解．【詳解】解：（1）∵抽樣調查方式樣本的選取需要的是廣泛性和可靠性，∴抽樣調查方式合理的是隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本，故答案為：③（2）①頻率分布表中的，故答案為：0.12，②麥穗長度頻率分布在之間的頻數有：，頻數分布直方圖補全如下：（3），故長度不小于的麥穗在該試驗田里所占比例為．24.如圖，在中，．（1）尺規作圖：作的角平分線，在角平分線上確定點，使得；（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則的長是多少？（請直接寫出的值）【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）作的角平分線和線段的垂直平分線相交于點D，即為所求．（2）過點D作交與點E，過點D作交與點F，先利用角平分線的性質定理證明四邊形為正方形，設，則，，以為等量關系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．【小問1詳解】解：如下圖：即為所求．【小問2詳解】過點D作交與點E，過點D作交與點F，則，又∵∴四邊形為矩形，∵是的平分線，∴，∴四邊形為正方形，∴，設，∴，，在中，，在中，，∵∴∴解得：，∴．【點睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質定理，正方形的判定以及勾股定理的應用，作出圖形以及輔助線是解題的關鍵．25.某校積極開展勞動教育，兩次購買兩種型號的勞動用品，購買記錄如下表：A型勞動用品（件）B型勞動用品（件）合計金額（元）第一次20251150第二次1020800（1）求兩種型號勞動用品的單價；（2）若該校計劃再次購買兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要