第18講機械能守恒定律及其應用——劃重點之精細講義系列考點一機械能守恒的理解和判斷一．重力做功與重力勢能1．重力做功的特點(1)重力做功與路徑無關，只與始末位置的高度差有關．(2)重力做功不引起物體機械能的變化．2．重力勢能(1)公式：Ep＝mgh.(2)特性：①矢標性：重力勢能是標量，但有正、負，其意義是表示物體的重力勢能比它在參考平面上大還是小，這與功的正、負的物理意義不同．②系統性：重力勢能是物體和地球共有的．③相對性：重力勢能的大小與參考平面的選取有關．重力勢能的變化是絕對的，與參考平面的選取無關．3．重力做功與重力勢能變化的關系(1)定性關系：重力對物體做正功，重力勢能就減少；重力對物體做負功，重力勢能就增加．(2)定量關系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.二．彈性勢能1．大小彈簧的彈性勢能的大小與彈簧的形變量及勁度系數有關．2．彈力做功與彈性勢能變化的關系彈力做正功，彈性勢能減小，彈力做負功，彈性勢能增加．三．機械能守恒定律1．機械能動能和勢能統稱為機械能，其中勢能包括重力勢能和彈性勢能．2．機械能守恒定律(1)內容：在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能和勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變．(2)守恒的條件：只有重力或彈力做功．1．對機械能守恒條件的理解(1)只受重力作用，例如不考慮空氣阻力的各種拋體運動，物體的機械能守恒．(2)除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數和為零．(3)除重力外，只有系統內的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢能減少量，那么系統的機械能守恒．注意：并非物體的機械能守恒，如與彈簧相連的小球下擺的過程機械能減少．2．機械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用機械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機械能守恒．(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒．(3)利用能量轉化判斷：若物體或系統與外界沒有能量交換，物體或系統內也沒有機械能與其他形式能的轉化，則機械能守恒．【典例1】關于機械能是否守恒，下列說法正確的是()A．做勻速直線運動的物體機械能一定守恒B．做勻速圓周運動的物體機械能一定守恒C．做變速運動的物體機械能可能守恒D．合力對物體做功不為零，機械能一定不守恒【典例2】(多選)如圖所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是()A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A機械能守恒B．乙圖中，物體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質量時，A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統機械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒【典例3】(多選)如圖所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物體由靜止沿斜面下滑，在物體下滑過程中，下列說法正確的是()A．物體的重力勢能減少，動能增加，機械能減小B．斜面的機械能不變C．斜面對物體的作用力垂直于接觸面，不對物體做功D．物體和斜面組成的系統機械能守恒【典例4】(多選)如圖所示，用輕彈簧相連的物塊A和B放在光滑的水平面上，物塊A緊靠豎直墻壁，一顆子彈沿水平方向射入物塊B后留在其中，由子彈、彈簧和A、B所組成的系統在下列依次進行的過程中，機械能守恒的是()A．子彈射入物塊B的過程B．物塊B帶著子彈向左運動，直到彈簧壓縮量最大的過程C．彈簧推著帶子彈的物塊B向右運動，直到彈簧恢復原長的過程D．帶著子彈的物塊B因慣性繼續向右運動，直到彈簧伸長量達最大的過程(1)機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力為零；“只有重力或彈力做功”不等于“只受重力或彈力作用”．(2)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒．(3)對于系統機械能是否守恒，可以根據能量的轉化進行判斷．考點二單個物體的機械能守恒定律的應用1.應用機械能守恒定律的基本思路(1)選取研究對象eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(單個物體,多個物體組成的系統,系統內有彈簧))(2)受力分析和各力做功情況分析，確定是否符合機械能守恒條件．(3)確定初末狀態的機械能或運動過程中物體機械能的轉化情況．(4)選擇合適的表達式列出方程，進行求解．(5)對計算結果進行必要的討論和說明．2.三種守恒表達式的比較表達角度表達公式表達意義注意事項守恒觀點Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′系統初狀態的機械能的總和與末狀態機械能的總和相等應用時應選好重力勢能的零勢能面，且初、末狀態必須用同一零勢能面計算勢能轉化觀點ΔEk＝－ΔEp表示系統(或物體)機械能守恒時，系統減少(或增加)的重力勢能等于系統增加(或減少)的動能應用時關鍵在于分清重力勢能的增加量或減少量，可不選零勢能面而直接計算初、末狀態的勢能差轉移觀點ΔE增＝ΔE減若系統由A、B兩部分組成，則A部分物體機械能的增加量與B部分物體機械能的減少量相等常用于解決兩個或多個物體組成的系統的機械能守恒問題【典例1】如圖所示，將一質量為m＝0.1kg的小球自水平平臺右端O點以初速度v0水平拋出，小球飛離平臺后由A點沿切線落入豎直光滑圓軌道ABC，并沿軌道恰好通過最高點C，圓軌道ABC的形狀為半徑R＝2.5m的圓截去了左上角127°的圓弧，CB為其豎直直徑(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度g取10m/s2，空氣阻力不計)，求：(1)小球經過C點速度vC的大小；(2)小球運動到軌道最低點B時軌道對小球的支持力大小；(3)平臺末端O點到A點的豎直高度H.【典例2】(多選)如圖所示，豎直面內光滑的eq\f(3,4)圓形導軌固定在一水平地面上，半徑為R.一個質量為m的小球從距水平地面正上方h高處的P點由靜止開始自由下落，恰好從N點沿切線方向進入圓軌道．不考慮空氣阻力，則下列說法正確的是()A．適當調整高度h，可使小球從軌道最高點M飛出后，恰好落在軌道右端口N處B．若h＝2R，則小球在軌道最低點對軌道的壓力為5mgC．只有h大于等于2.5R時，小球才能到達圓軌道的最高點MD．若h＝R，則小球能上升到圓軌道左側離地高度為R的位置，該過程重力做功為mgR【典例3】如圖所示，豎直平面內的一半徑R＝0.50m的光滑圓弧槽BCD，B點與圓心O等高，一水平面與圓弧槽相接于D點，質量m＝0.10kg的小球從B點正上方H＝0.95m高處的A點自由下落，由B點進入圓弧軌道，從D點飛出后落在水平面上的Q點，DQ間的距離x＝2.4m，球從D點飛出后的運動過程中相對水平面上升的最大高度h＝0.80m，g取10m/s2，不計空氣阻力，求：(1)小球經過C點時軌道對它的支持力大小FN；(2)小球經過最高點P的速度大小vP；(3)D點與圓心O的高度差hOD.機械能守恒定律的應用技巧(1)機械能守恒定律是一種“能——能轉化”關系，其守恒是有條件的，因此，應用時首先要對研究對象在所研究的過程中機械能是否守恒做出判斷．(2)如果系統(除地球外)只有一個物體，用守恒式列方程較方便；對于由兩個或兩個以上物體組成的系統，用轉化式或轉移式列方程較簡便．考點三輕桿模型中的機械能守恒1.模型構建輕桿兩端各固定一個物體，整個系統一起沿斜面運動或繞某點轉動，該系統即為機械能守恒中的輕桿模型．2.模型條件（1）忽略空氣阻力和各種摩擦．（2）平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等．3.模型特點（1）桿對物體的作用力并不總是指向桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒．（2）對于桿和球組成的系統，沒有外力對系統做功，因此系統的總機械能守恒．【典例1】質量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質桿固定連接，桿長為L，在離P球eq\f(L,3)處有一個光滑固定軸O，如圖所示．現在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低點位置時，求：(1)小球P的速度大小；(2)在此過程中小球P機械能的變化量．【典例2】如圖所示，傾角為θ的光滑斜面上放有兩個質量均為m的小球A和B，兩球之間用一根長為L的輕桿相連，下面的小球B離斜面底端的高度為h.兩球從靜止開始下滑，不計球與地面碰撞時的機械能損失，且地面光滑，求：(1)兩球在光滑水平面上運動時的速度大小；(2)整個運動過程中桿對A球所做的功．【典例3】如圖所示，質量分別為2m、3m的小球A和小球B分別固定在由輕質桿構成的直角尺的兩端，直角尺的定點O處有光滑的固定轉動軸，AO、BO的長分別為2L和L，開始時直角尺的AO桿部分處于水平位置而B在O的正下方，讓該系統由靜止開始自由轉動，求：(1)當小球A到達最低點時，小球A的速度大小和小球A對AO桿作用力的大小；(2)小球A由初始位置到達最低點的過程中，桿AO和桿BO分別對小球A和小球B所做的功；(3)B球能上升的最大高度h.【典例4】如圖所示，固定的豎直光滑長桿上套有質量為m的小圓環，圓環與水平狀態的輕質彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長狀態．現讓圓環由靜止開始下滑，已知彈簧原長為L，圓環下滑到最大距離時彈簧的長度變為2L(未超過彈性限度)，則在圓環下滑到最大距離的過程中()A．圓環的機械能守恒B．彈簧彈性勢能變化了eq\r(3)mgLC．圓環下滑到最大距離時，所受合力為零D．圓環重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變【典例5】如圖所示，跨過同一高度處的定滑輪的細線連接著質量相同的物體A和B，A套在光滑水平桿上，定滑輪離水平桿的高度h＝0.2m，開始時讓連著A的細線與水平桿的夾角θ1＝37°，由靜止釋放B，當細線與水平桿的夾角θ2＝53°時，A的速度為多大？在以后的運動過程中，A所獲得的最大速度為多大？(設B不會碰到水平桿，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，取g＝10m/s2)在利用輕桿模型求解問題時應注意以下兩點：（1）本類題目易誤認為兩球的線速度相等，還易誤認為單個小球的機械能守恒．（2）桿對球的作用力方向不再沿著桿，桿對小球P做正功從而使它的機械能增加，同時桿對小球Q做負功，使小球Q的機械能減少，系統的機械能守恒.考點四用機械能守恒定律解決非質點問題在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理．物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒．一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則：物體各部分的重心位置，根據初末狀態物體重力勢能的變化列式求解．【典例1】如圖所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動．AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連．一條長為L的均勻柔軟鏈條開始時靜止的放在ABC面上，其一端D至B的距離為L－a.現自由釋放鏈條，則：(1)鏈條下滑過程中，系統的機械能是否守恒？簡述理由；(2)鏈條的D端滑到B點時，鏈條的速率為多大？【典例2】如圖所示，粗細均勻，兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動，當兩液面高度相等時，右側液面下降的速度為()A.eq\r(\f(1,8)gh) B．eq\r(\f(1,6)gh)C.eq\r(\f(1,4)gh) D.eq\r(\f(1,2)gh)【典例3】如圖所示，長為L的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，且使長度的eq\f(1,4)垂在桌邊，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度大小為()A.eq\r(\f(3,2)gL) B.eq\f(\r(gL),4)C.eq\f(\r(15gL),4) D．4eq\r(gL)1．下列關于機械能守恒的說法中，正確的是()A．若只有重力做功，則物體機械能一定守恒B．若物體的機械能守恒，一定是只受重力C．做勻變速運動的物體機械能一定守恒D．物體所受合力不為零，機械能一定守恒2．不計空氣阻力，下列運動的物體中機械能不守恒的是()A．起重機吊起物體勻速上升B．物體做平拋運動C．圓錐擺球在水平面內做勻速圓周運動D．一個輕質彈簧上端固定，下端系一個重物，重物在豎直方向上下振動(以物體和彈簧整體為研究對象)3.在一次課外趣味游戲中，有四位同學分別將四個質量不同的光滑小球沿豎直放置的內壁光滑的半球形碗的碗口內側同時由靜止釋放，碗口水平，如圖所示．他們分別記下了這四個小球下滑速率為v時的位置，則這些位置應該在同一個()A．球面 B．拋物面C．水平面 D．橢圓面4.如圖所示，在離水平地面一定高處水平固定一內壁光滑的圓筒，筒內固定一輕質彈簧，彈簧處于自然長度．現將一小球從地面以某一初速度斜向上拋出，剛好能水平進入圓筒中，不計空氣阻力．下列說法中正確的是()A．彈簧獲得的最大彈性勢能小于小球拋出時的動能B．彈簧獲得的最大彈性勢能等于小球拋出時的動能C．小球從拋出到將彈簧壓縮到最短的過程中機械能守恒D．小球拋出的初速度大小僅與圓筒離地面的高度有關5．有一豎直放置的“T”形架，表面光滑，滑塊A、B分別套在水平桿與豎直桿上，A、B用一根不可伸長的輕細繩相連，A、B質量相等，且可看做質點，如圖所示，開始時細繩水平伸直，A、B靜止．由靜止釋放B后，已知當細繩與豎直方向的夾角為60°時，滑塊B沿著豎直桿下滑的速度為v，則連接A、B的繩長為()A.eq\f(4v2,g) B.eq\f(3v2,g)C.eq\f(2v2,3g) D.eq\f(4v2,3g)6．離心軌道是研究機械能守恒和向心力效果的一套較好的器材．如圖甲所示，某課外研究小組將一個壓力傳感器安裝在軌道圓周部分的最低點B處，他們把一個鋼球從軌道上的不同高處由靜止釋放．得到多組壓力傳感器示數F和對應的釋放點的高度h的數據后，作出了如圖乙所示的F-h圖象．不計各處摩擦，取g＝10m/s2.(1)求該研究小組用的離心軌道圓周部分的半徑；(2)當h＝0.6m，小球到達圓周上最高點C點時，軌道對小球的壓力多大？7.如圖所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個質量分別為1kg和2kg的可視為質點的小球A和B，兩球之間用一根長L＝0.2m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h＝0.1m．兩球由靜止開始下滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，g取10m/s2.則下列說法中正確的是()A．整個下滑過程中A球機械能守恒B．整個下滑過程中B球機械能守恒C．整個下滑過程中A球機械能的增加量為eq\f(2,3)JD．整個下滑過程中B球機械能的增加量為eq\f(2,3)J8.(多選)如圖所示，質量分別為m和2m的兩個小球a和b，中間用輕質桿相連，在桿的中點O處有一固定轉動軸，把桿置于水平位置后釋放，在b球順時針擺動到最低位置的過程中()A．b球的重力勢能減少，動能增加，b球機械能守恒B．a球的重力勢能增加，動能也增加，a球機械能不守恒C．a球、b球組成的系統機械能守恒D．a球、b球組成的系統機械能不守恒9.(多選)如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平，質量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，不計小球大小．開始時a球處在圓弧上端A點，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑，下列說法正確的是()A．a球下滑過程中機械能保持不變B．a、b兩球和輕桿組成的系統在下滑過程中機械能保持不變C．a、b滑到水平軌道上時速度為eq\r(2gR)D．從釋放到a、b滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對a球做的功為eq\f(mgR,2)10．(多選)如圖所示，一根長為L不可伸長的輕繩跨過光滑的水平軸O，兩端分別連接質量為2m的小球A和質量為m的物塊B，由圖示位置釋放后，當小球轉動到水平軸正下方時輕繩的中點正好在水平軸O點，且此時物塊B的速度剛好為零，則下列說法中正確的是()A．物塊B一直處于靜止狀態B．小球A從圖示位置運動到水平軸正下方的過程中機械能守恒C．小球A運動到水平軸正下方時的速度大于eq\r(gL)D．小球A從圖示位置運動到水平軸正下方的過程中，小球A與物塊B組成的系統機械能守恒11．(多選)重10N的滑塊在傾角為30°的光滑斜面上，從a點由靜止下滑，到b點接觸到一個輕彈簧，滑塊壓縮彈簧到c點開始彈回，返回b點離開彈簧，最后又回到a點，已知ab＝1m，bc＝0.2m，那么在整個過程中()A．滑塊動能的最大值是6JB．彈簧彈性勢能的最大值是6JC．從c到b彈簧的彈力對滑塊做的功是6JD．整個過程系統機械能守恒12．如圖所示，質量分別為m、2m、m的三個物體A、B、C通過輕繩與勁度系數為k的輕彈簧相連接，并均處于靜止狀態。現在將B、C之間的細繩剪斷，彈簧始終在彈性限度內，不考慮一切阻力，下列說法正確的是（）

A．在C落地前，A、B、C三者組成的系統機械能守恒B．剪斷細繩前，彈簧的伸長量為C．剪斷細繩后，當B的速度最大時B增加的重力勢能為D．剪斷細繩瞬間，A、B的加速度大小為13．如圖所示，質量為m的小球，用輕軟細繩系在邊長為a的正方形截面木柱的邊A處（木柱水平放置，圖中畫斜線部分為其豎直橫截面），軟繩長4a，質量不計，它所能承受的最大拉力為6mg。開始繩呈水平狀態，若以豎直向下的初速度拋出小球，為使繩能繞在木柱上，且小球始終沿圓弧運動，最后擊中A點，則小球允許的初速度范圍為（）

A． B．C． D．14．如圖所示，某一斜面與水平面平滑連接，一小木塊從斜面由靜止開始滑下，已知小木塊與斜面、水平面間的動摩擦因數相同，取水平面為參考平面，重力勢能Ep、動能Ek、機械能E和產生的內能Q與水平位移x的關系圖線錯誤的是（）

A．

B．

C．

D．

15．如圖所示，小滑塊P、Q的質量均為m，P套在固定光滑豎直桿上，Q放在光滑水平面上。P、Q間通過鉸鏈用長為L的輕桿連接，輕桿與豎直桿的夾角為α，一水平輕彈簧左端與Q相連，右端固定在豎直桿上。當α=30°時，彈簧處于原長，P由靜止釋放，下降到最低點時α變為60°，整個運動過程中，P、Q始終在同一豎直平面內，彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則P下降過程中（

）

A．P、Q組成的系統機械能守恒B．彈簧彈性勢能最大值為C．豎直桿對滑塊P的彈力始終大于彈簧彈力D．滑塊P的動能達到最大時，Q受到地面的支持力大于2mg16．（多選）如圖，輕質彈簧一端與垂直固定在斜面上的板C相連，另一端與物體A相連。物體A置于光滑固定斜面上，斜面的傾角。A上端連接一輕質細線，細線繞過光滑的定滑輪與物體B相連且始終與斜面平行。開始時托住B，A靜止且細線恰好伸直，然后由靜止釋放B。已知物體A、B的質量均為m，彈簧的勁度系數為k，當地重力加速度為g，B始終未與地面接觸。從釋放B到B第一次下落至最低點的過程中，下列說法正確的是（）。A．剛釋放物體B時，物體A受到細線的拉力大小為B．物體A到最高點時，A所受合力大小為C．物體B下落至最低點時，A和彈簧組成系統的機械能最大D．物體A的最大速度為17．（多選）如圖，長為的不可伸長輕繩一端系于固定點O。另一端系一質量的小球，將小球從O點左側與O點等高的A點以一定初速度水平向右拋出，經一段時間后小球運動到O點有下方的B點時，輕繩剛好被拉直，此后小球以O為圓心在豎直平面內做圓周運動。已知O、A的距離為，輕繩剛被拉直時與豎直方向的夾角為。重力加速度取。，不計空氣阻力。下列說法正確的是（）A．小球拋出時的初速度大小B．輕繩被拉直前瞬間小球的速度為C．小球做圓周運動擺到最低點時的動能為D．小球做圓周運動擺到最低點時，輕絕對小球的拉力大小為18．（多選）如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內的光滑水平軌道，相距為，軌道上有兩個物體和B，質量均為，它們通過一根繞過定滑輪的不可伸長的輕繩相連接。在軌道間的繩子與軌道成角的瞬間，物體在下面的軌道上的運動速率為。此時繩子段的中點處有一與繩相對靜止的小水滴與繩子分離。設繩長遠大于滑輪直徑，不計輕繩與滑輪間的摩擦，下列說法正確的是（）

A．位于圖示位置時物體B的速度大小為B．小水滴與繩子分離的瞬間做平拋運動C．在之后的運動過程中當輕繩與水平軌道成角時，物體B的動能為D．小水滴脫離繩子時速度的大小為19．如圖所示，一個半徑為R的eq\f(1,4)圓周的軌道，O點為圓心，B為軌道上的一點，OB與水平方向的夾角為37°.軌道的左側與一固定光滑平臺相連，在平臺上一輕質彈簧左端與豎直擋板相連，彈簧原長時右端在A點．現用一質量為m的小球(與彈簧不連接)壓縮彈簧至P點后釋放．已知重力加速度為g，不計空氣阻力．(1)若小球恰能擊中B點，求剛釋放小球時彈簧的彈性勢能；(2)試通過計算判斷小球落到軌道時速度能否與圓弧垂直；(3)改變釋放點的位置，求小球落到軌道時動能的最小值．20．如圖所示，豎直固定的四分之一粗糙圓軌道下端B點水平，半徑R1=1m，質量M=1kg的長薄板靜置于傾角θ=37°的粗糙斜面CD上，其最上端剛好在斜面頂端C點。一質量為m=1.5kg的滑塊（可看做質點）從圓軌道A點由靜止滑下，運動至B點時對軌道的壓力大小為FN=39N，接著從B點水平拋出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上開始向下運動；當小物體落到