2024-2025學年天津市紅橋區高二上學期期末數學模擬檢測試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼.答題時，務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.2．本卷共9題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某學校共有學生2700人，其中男生1200人，女生1500人.現按男生、女生進行分層，用分層隨機抽樣的方法，從該校全體學生中抽取人進行調查研究.若抽到男生20人，則（

）A．60 B．45 C．35 D．25【正確答案】B【知識點】抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容量的計算【思路】由分層抽樣中各層樣本數的確定方法求解即可；由題意男生有1200人，調查研究中男生被抽到20人，所以分層抽樣的比例為，所以故選：B.2．由三個數字組成的無重復數字的兩位數中，任取1個數，恰為偶數的概率是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【知識點】計算古典概型問題的概率【思路】利用古典概型概率公式求解即可.由題意得三個數字中只有1個偶數，且設概率為，所以，即任取1個數，恰為偶數的概率是，故B正確.故選：B3．給定數組，則錯誤的是（）A．中位數為3 B．標準差為C．眾數為2和3 D．第85百分位數為4【正確答案】D【知識點】總體百分位數的估計、計算幾個數據的極差、方差、標準差、計算幾個數的中位數、計算幾個數的眾數【思路】求得數組的中位數判斷選項A；求得數組的標準差判斷選項B；求得數組的眾數判斷選項C；求得數組的第85百分位數判斷選項D.將數組從小到大依次排列為則中位數為，故選項A判斷正確；平均數為標準差為，故選項B判斷正確；眾數為2和3，故選項C判斷正確；由，可得第85百分位數為5.故選項D判斷錯誤.故選：D4．從1、2、…、9中任取兩數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②至少有一個是奇數和兩個數都是奇數；③至少有一個是奇數和兩個數都是偶數；④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數．在上述事件中，是對立事件的是（

）A．①； B．②④； C．③； D．①③．【正確答案】C【知識點】寫出某事件的對立事件、互斥事件與對立事件關系的辨析【思路】根據題意，分析從1，2，3，，9中任取兩數，其中可能的情況即基本事件，進而依次分析四個事件，看其中包含的事件是否對立，即可得答案．根據題意，從1，2，3，，9中任取兩數，其中可能的情況有“兩個奇數”，“兩個偶數”，“一個奇數與一個偶數”三種情況；依次分析所給的4個事件可得，①恰有一個偶數和恰有一個奇數都是“一個奇數與一個偶數”一種情況，不是對立事件；②至少有一個奇數包括“兩個奇數”與“一個奇數與一個偶數”兩種情況，與兩個都是奇數不是對立事件；③至少有一個奇數包括“兩個奇數”與“一個奇數與一個偶數”兩種情況，和“兩個都是偶數”是對立事件；④至少有一個奇數包括“兩個奇數”與“一個奇數與一個偶數”兩種情況，至少有一個偶數包括“兩個偶數”與“一個奇數與一個偶數”兩種情況，不是對立事件.故選：C．5．要調查某地區高中學生身體素質，從高中生中抽取100人進行跳遠測試，根據測試成績制作頻率分布直方圖如下圖，現再從這100人中用分層抽樣的方法抽取20人，應從間抽取人數為b，則b為（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【正確答案】C【知識點】由頻率分布直方圖計算頻率、頻數、樣本容量、總體容量、抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容量的計算【思路】先由頻率之和為解得值，計算可得之間的學生人數，根據抽樣比可求得.由題得，所以．在之間的學生：人，現再從這人中用分層抽樣的方法抽取人，應從間抽取人數為，故.故選：C．6．數列滿足，，則（

）A．2 B．3 C．6 D．8【正確答案】C【知識點】根據數列遞推公式寫出數列的項【思路】根據數列中項的關系式，即可求解..故選：C7．在等比數列中，，公比，則與的等比中項是（

）A．2 B．4 C．2 D．4【正確答案】D【知識點】等比數列下標和性質及應用、等比數列通項公式的基本量計算、確定等比中項【思路】先通過等比數列的通項公式計算，進而可得其等比中項.解：因為，所以與的等比中項是，故選：D.8．記為等差數列的前n項和，若，，則（

）A．240 B．225 C．120 D．30【正確答案】A【知識點】利用等差數列的性質計算、求等差數列前n項和、等差數列通項公式的基本量計算【思路】根據等差數列的性質和求和公式可得，，進而可得，結合等差數列性質運算求解即可.因為數列為等差數列，則，即，又因為，可得，則等差數列公差，可得，所以.故選：A.9．一位語文老師在網上購買了四書五經各一套，四書指《大學》《中庸》《論語》《孟子》，五經指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數為（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【正確答案】D【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【思路】計算出所有情況后減去《大學》和《春秋》相鄰的情況即可得.四書、五經必須分別排在一起，共有種，若《大學》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有種，則共有種．故選：D.第Ⅱ卷填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分10．已知數列的前項和滿足，且成等差數列，則；．【正確答案】【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、等差中項的應用、利用an與sn關系求通項或項、寫出等比數列的通項公式【思路】根據題意，得到，得到為等比數列，列出方程組，求得，再由等比數列的通項公式，即可求解.由數列的前項和滿足，當時，，兩式相減可得，又由成等差數列，所以，即，解得，所以數列是以2為公比的等比數列，所以數列的通項公式為.故；.11．已知數列為等比數列，、，則【正確答案】【知識點】等比數列下標和性質及應用、等比數列通項公式的基本量計算【思路】根據等比數列性質，，求出，進而得到答案.因為數列為等比數列，、，所以，所以，又，所以，即，所以.故?212．從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為．【正確答案】/0.3【知識點】計算古典概型問題的概率、實際問題中的組合計數問題【思路】根據古典概型計算即可解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為.解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數為甲、乙都入選的方法數為，所以甲、乙都入選的概率故13．在的展開式中，常數項為．【正確答案】20【知識點】求指定項的系數【思路】根據題意結合二項展開式的通項分析求解即可.因為的展開式的通項為，令，可得，所以常數項為.故20.14．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有種．（用數字填寫答案）【正確答案】【知識點】實際問題中的組合計數問題【思路】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數，再根據從人中任選人的選法種數減去沒有女生的選法種數，即可解出.［方法一］：反面考慮沒有女生入選有種選法，從名學生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案為.【總結】方法一：根據“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數，再利用沒有限制的選法種數減去反面種數即可求出，對于正面分類較多的問題是不錯的方法；方法二：正面分類較少，直接根據女生的人數分類討論求出．15．3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相鄰的排法共有種．（請用具體數字作答）【正確答案】72【知識點】不相鄰排列問題【思路】利用插空法求解即可.3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相鄰的排法共有種故72三、解答題：本大題共4個小題，共40分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．已知的展開式中前三項的二項式系數和為.(1)求；(2)求展開式中的常數項.【正確答案】(1)；(2).【知識點】求指定項的系數、求指定項的二項式系數【思路】（1）寫出前三項二項式系數，根據和為，列方程求出的值；（2）利用通項，并令的指數為0，求出常數項．（1）因為的展開式中前三項的二項式系數分別是，，，所以，即，解得或（2）的展開式中通項為，由時，可得，即第7項為常數項，所以展開式中的常數項為.17．已知等差數列前項和為（），數列是等比數列，，，，.(1)求數列和的通項公式；(2)若，設數列的前項和為，求.【正確答案】(1)，；(2).【知識點】分組（并項）法求和、寫出等比數列的通項公式、裂項相消法求和、利用定義求等差數列通項公式【思路】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為（），根據等差等比數列通項公式基本量的計算可得結果.（2）求出，代入求出，再分組求和，利用裂項求和方法和等比數列的求和公式可求得結果.（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此當為奇數時，，當為偶數時，，所以.18．已知等差數列滿足其中為的前項和，遞增的等比數列滿足：，且，，成等差數列．（1）求數列、的通項公式；（2）設的前項和為，求（3）設，的前n項和為，若恒成立，求實數的最大值．【正確答案】（1）；；（2）；（3）．【知識點】判斷數列的增減性、錯位相減法求和、裂項相消法求和、數列不等式恒成立問題【思路】(1)設等差數列的公差為，由已知條件，結合等差數列的通項公式和求和公式可得，從而可求出首項和公差，即可求出通項公式；設等比數列公比為，由已知條件結合等比數列的通項公式即可求出公比，從而可求出的通項公式.(2)由錯位相減法即可求出前項和.(3)由(1)可知，整理可得，由裂項相消法可得，由恒成立可得恒成立，結合的單調性即可求出實數的最大值.解：(1)設等差數列的公差為，，，.設等比數列公比為（其中），因為，由，可得，解得或（舍去）；所以數列的通項公式為.（2）由（1）得，則①．②由①減去②得，則，所以的前n項和.（3）由(1)可知，，則恒成立，恒成立，單調遞增，時，，最大值為.【總結】方法點睛:常見數列求和的方法有：公式法