§7.3二元一次不等式(組)與簡單的

線性規劃問題基礎知識自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.二元一次不等式表示的平面區域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側所有點組成的

.我們把直線畫成虛線以表示區域

邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區域時，此區域應

邊界直線，則把邊界直線畫成

.(2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都

，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的

即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線是Ax＋By＋C＝0哪一側的平面區域.知識梳理平面區域不包括包括實線相同符號2.線性規劃相關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式組目標函數欲求

或

的函數線性目標函數關于x，y的

解析式一次最大值最小值一次可行解滿足

的解可行域所有

組成的集合最優解使目標函數取得

或

的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的

或______問題線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要結論畫二元一次不等式表示的平面區域的直線定界，特殊點定域：(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證.知識拓展1.利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域：對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有(1)當B(Ax＋By＋C)>0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；(2)當B(Ax＋By＋C)<0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方.2.最優解和可行解的關系：最優解必定是可行解，但可行解不一定是最優解.最優解不一定唯一，有時唯一，有時有多個.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的交集.(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方.(

)(3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)√×√(4)第二、四象限表示的平面區域可以用不等式xy<0表示.(

)(5)線性目標函數的最優解是唯一的.(

)(6)最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解.(

)(7)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.(

)√×√×考點自測1.(教材改編)已知點A(1,0)，B(－2，m)，若A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側，則m的取值集合是__________.答案解析因為A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側，所以把點A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符號相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>.2.(教材改編)如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是__________.答案解析不等式y≤2x＋1表示直線y＝2x＋1下方的平面區域及直線上的點，不等式x＋2y>4表示直線x＋2y＝4上方的平面區域，所以這兩個平面區域的公共部分就是

所表示的平面區域.3.(2016·北京改編)若x，y滿足

則2x＋y的最大值為____.答案解析4不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.令z＝2x＋y，則y＝－2x＋z，作直線2x＋y＝0并平移，當直線過點A時，截距最大，即z取得最大值，所以A點坐標為(1,2)，可得2x＋y的最大值為2×1＋2＝4.幾何畫板展示4.(教材改編)若

則z＝x－y的最大值為______.答案解析1根據題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界).令z＝0，作直線l：y－x＝0.當直線l向下平移時，所對應的z＝x－y的函數值隨之增大，當直線l經過可行域的頂點M時，z＝x－y取得最大值.頂點M是直線x＋y＝1與直線y＝0的交點，解方程組得頂點M的坐標為(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.幾何畫板展示5.(教材改編)投資生產A產品時，每生產100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產B產品時，每生產100噸需要資金300萬元，需場地100平方米.現某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為(用x，y分別表示生產A，B產品的噸數，x和y的單位是百噸).答案解析用表格列出各數據

AB總數產品噸數xy

資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.題型分類深度剖析題型一二元一次不等式(組)表示的平面區域命題點1不含參數的平面區域問題例1

(1)不等式組

所表示的平面區域的面積等于____.答案解析由題意得不等式組表示的平面區域如圖陰影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，則△ABC的面積為(2)(教材改編)畫出二元一次不等式組

表示的平面區域.解答先畫出直線x－y＋5＝0(畫成虛線)，∴原點不在x－y＋5<0表示的平面區域內，即x－y＋5<0表示直線x－y＋5＝0左上方點的集合，同理可得：x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方點的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左邊的點的集合.故此二元一次不等式組表示的平面區域為圖中陰影部分所示.取O(0,0)代入x－y＋5＝5>0，命題點2含參數的平面區域問題例2

(1)(2015·重慶改編)若不等式組

表示的平面區域為三角形，且其面積等于

，則m的值為____.答案解析1不等式組表示的平面區域如圖，則圖中A點縱坐標yA＝1＋m，B點縱坐標yB＝

，C點橫坐標xC＝－2m，又∵當m＝－3時，不滿足題意，應舍去，∴m＝1.∴m＝1或m＝－3，(2)若不等式組

所表示的平面區域被直線y＝kx＋

分為面積相等的兩部分，則k的值是_____.答案解析不等式組表示的平面區域如圖所示.由于直線y＝kx＋

過定點.因此只有直線過AB中點時，直線y＝kx＋

能平分平面區域.因為A(1,1)，B(0,4)，所以AB中點D.(1)求平面區域的面積：①首先畫出不等式組表示的平面區域，若不能直接畫出，應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題，從而再作出平面區域；②對平面區域進行分析，若為三角形應確定底與高，若為規則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和即可.(2)利用幾何意義求解的平面區域問題，也應作出平面圖形，利用數形結合的方法去求解.思維升華跟蹤訓練1

(1)不等式組

表示的平面區域為Ω，直線y＝kx－1與區域Ω有公共點，則實數k的取值范圍為__________.答案解析[3，＋∞)直線y＝kx－1過定點M(0，－1)，由圖可知，當直線y＝kx－1經過直線y＝x＋1與直線x＋y＝3的交點C(1,2)時，k最小，此時kCM＝

＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞).(2)(2016·江蘇徐州四校模擬)若不等式組

表示的平面區域是一個三角形及其內部，則a的取值范圍是_______.答案解析[5,7)不等式x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的平面區域如圖所示.因為原不等式組表示的平面區域是一個三角形及其內部，所以由圖可知5≤a<7.題型二求目標函數的最值問題命題點1求線性目標函數的最值例3

(2016·全國丙卷)若x，y滿足約束條件

則z＝x＋y的最大值為____.答案解析滿足約束條件

的可行域為以A(－2，－1)，B(0,1)，

為頂點的三角形內部及邊界，則y＝－x＋z過點

時取得最大值.命題點2求非線性目標函數的最值解答例4

實數x，y滿足(1)若z＝

，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；幾何畫板展示由

作出可行域，如圖中陰影部分所示.z＝

表示可行域內任一點與坐標原點連線的斜率，因此

的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在).由

得B(1,2)，∴kOB＝

＝2，即zmin＝2，∴z的取值范圍是[2，＋∞).(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍.解答z＝x2＋y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方.因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2.由

得A(0,1)，∴z的取值范圍是[1,5].引申探究1.若z＝

，求z的取值范圍.解答z＝

可以看作過點P(1,1)及(x，y)兩點的直線的斜率.∴z的取值范圍是(－∞，0].2.若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值.解答z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示點P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2，

＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝

＋1＝.命題點3求參數值或取值范圍例5

(1)(2015·山東改編)已知x，y滿足約束條件

若z＝ax＋y的最大值為4，則a的值為____.答案解析2不等式組表示的平面區域如圖陰影部分所示.易知A(2,0)，由

得B(1,1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.當a<0時，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，z＝0，不滿足題意；當a>0時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值，z＝2a＝4，a＝2，滿足題意.當a＝0時，顯然不滿足題意；(2)已知a>0，x，y滿足約束條件

若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝___.答案解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值，∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.(1)先準確作出可行域，再借助目標函數的幾何意義求目標函數的最值.(2)當目標函數是非線性的函數時，常利用目標函數的幾何意義來解題，常見代數式的幾何意義：①表示點(x，y)與原點(0,0)的距離，

表示點(x，y)與點(a，b)的距離；②表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，

表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率.(3)當目標函數中含有參數時，要根據臨界位置確定參數所滿足的條件.思維升華跟蹤訓練2

(1)(2016·江蘇大港中學質檢)設m>1，在約束條件

下，目標函數z＝x＋5y的最大值為4，則m的值為____.答案解析3作出可行域.把目標函數化為y＝

，顯然只有y＝

在y軸上的截距最大時z值最大，根據圖形，目標函數在點A處取得最大值，代入目標函數，解得m＝3.(2)(2016·江蘇天一中學月考)已知x，y滿足約束條件

如果(2，)是z＝ax－y取得最大值時的最優解，則實數a的取值范圍是__________.答案解析畫出可行域如圖，將目標函數化為直線的斜截式方程y＝ax－z，當目標函數的斜率大于等于3y－x＝2的斜率時，直線y＝ax－z在點(2，)處截距最小，即a≥時，(2，)是目標函數z＝ax－y取得最大值時的最優解.題型三線性規劃的實際應用問題例6

某玩具生產公司每天計劃生產衛兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產一個衛兵需5分鐘，生產一個騎兵需7分鐘，生產一個傘兵需4分鐘，已知總生產時間不超過10小時.若生產一個衛兵可獲利潤5元，生產一個騎兵可獲利潤6元，生產一個傘兵可獲利潤3元.(1)試用每天生產的衛兵個數x與騎兵個數y表示每天的利潤ω(元)；解答依題意每天生產的傘兵個數為100－x－y，所以利潤ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解答約束條件為整理得作初始直線l0：2x＋3y＝0，平移l0，當l0經過點A時，ω有最大值，故每天生產衛兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元.∴最優解為A(50,50)，此時ωmax＝550元.目標函數為ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如圖所示，解線性規劃應用問題的一般步驟(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關系.(2)設元：設問題中起關鍵作用(或關聯較多)的量為未知量x，y，并列出相應的不等式組和目標函數.(3)作圖：準確作出可行域，平移找點(最優解).(4)求解：代入目標函數求解(最大值或最小值).(5)檢驗：根據結果，檢驗反饋.思維升華跟蹤訓練3

(2016·全國乙卷)某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元.該企業現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元.答案解析216000目標函數z＝2100x＋900y.作出可行域為圖中的四邊形及其內部，包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).設生產A產品x件，B產品y件，根據所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為典例

(1)在直角坐標系xOy中，若不等式組

表示一個三角形區域，則實數k的取值范圍是____________________________.(2)已知x，y滿足約束條件

若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝___.含參數的線性規劃問題現場糾錯系列7現場糾錯糾錯心得錯解展示解析

(1)如圖，直線y＝k(x－1)－1過點(1，－1)，作出直線y＝2x，當k<－1或0<k<2或k>2時，不等式組表示一個三角形區域.(2)由不等式組表示的可行域，可知z＝ax＋y在點A(1,1)處取到最大值4，∴a＋1＝4，∴a＝3.答案

(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)

(2)3返回解析(1)直線y＝k(x－1)－1過定點(1，－1)，當這條直線的斜率為負值時，該直線與y軸的交點必須在坐標原點上方，即直線的斜率為(－∞，－1)，只有此時可構成三角形區域.(2)作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.由

得A(1,1).z＝ax＋y等價于y＝－ax＋z，因為z的最大值為4，即直線y＝－ax＋z的縱截距最大為4.若z＝ax＋y在A(1,1)處取得最大值，則縱截距必小于2，故只有直線y＝－ax＋z過點(2,0)且－a<0時符合題意，∴4＝a×2＋0，即a＝2.答案

(1)(－∞，－1)

(2)2返回(1)含參數的平面區域問題，要結合直線的各種情況進行分析，不能憑直覺解答.(2)目標函數含參的線性規劃問題，要根據z的幾何意義確定最優解，切忌搞錯符號.返回課時作業1.已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為________.由[3×(－3)－2×(－1)－a]·[3×4－2×(－6)－a]<0，得(a＋7)(a－24)<0，∴－7<a<24.答案解析(－7,24)123456789101112131415162.(2016·江蘇蘇州暑期檢測)已知變量x，y滿足約束條件

則目標函數z＝2x－y的最大值是_____.答案解析7作出可行域，如圖：由圖可知，當目標函數過點A(5,3)時，z取最大值，所以zmax＝2×5－3＝7.123456789101112131415163.直線2x＋y－10＝0與不等式組

表示的平面區域的公共點有___個.答案解析1由不等式組畫出可行域的平面區域如圖(陰影部分).直線2x＋y－10＝0恰過點A(5,0)，且其斜率k＝－2<kAB＝

，即直線2x＋y－10＝0與平面區域僅有一個公共點A(5,0).123456789101112131415164.若不等式組

表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是________________.答案解析12345678910111213141516不等式組

表示的平面區域如圖(陰影部分)，求A，B兩點的坐標分別為

和(1,0)，若原不等式組表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是0＜a≤1或a≥.123456789101112131415165.(2016·天津改編)設變量x，y滿足約束條件

則目標函數z＝2x＋5y的最小值為____.答案解析6由約束條件作出可行域如圖所示，目標函數可化為y＝

，在圖中畫出直線y＝

，平移該直線，易知經過點A時z最小.又知點A的坐標為(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.123456789101112131415166.設x，y滿足約束條件

則z＝2x－y的最大值為_____.答案解析8畫出可行域如圖所示.由z＝2x－y，得y＝2x－z，欲求z的最大值，可將直線y＝2x向下平移，當經過區域內的點，且滿足在y軸上的截距－z最小時，即得z的最大值，如圖，可知當過點A時z最大，即A(5,2)，則zmax＝2×5－2＝8.123456789101112131415167.(2016·江蘇)已知實數x，y滿足

則x2＋y2的取值范圍是________.答案解析已知不等式組所表示的平面區域如圖.x2＋y2表示原點到可行域內的點的距離的平方.解方程組

得A(2,3).由圖可知(x2＋y2)min＝

，(x2＋y2)max＝OA2＝22＋32＝13.123456789101112131415168.(2017·蘇北三市質檢)若實數x，y滿足約束條件|3x－4y－10|的最大值為____.答案解析12345678910111213141516作出實數x，y在約束條件下的平面區域(如圖所示)，令z＝3x－4y－10，則平移直線3x－4y＝0經過點A(1,0)時，zmax＝3－10＝－7；平移直線3x－4y＝0經過點B()時，zmin＝

－3－10＝

，即

≤z＝3x－4y－10≤－7，從而7≤|3x－4y－10|≤，所求的|3x－4y－10|的最大值為.123456789101112131415169.x，y滿足約束條件

若z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為________.答案解析2或－1如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a>0時，要使z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則a＝2；當a<0時，要使z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則a＝－1.1234567891011121314151610.(2016·浙江改編)在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影.由區域

中的點在直線x＋y－2＝0上的投影構成的線段記為AB，則AB＝_____.答案解析12345678910111213141516已知不等式組表示的平面區域如圖中△PMQ所示.因為l與直線x＋y＝0平行.所以區域內的點在直線x＋y－2上的投影構成線段AB，則AB＝PQ.由

解得P(－1,1)，由

解得Q(2，－2).所以AB＝PQ＝1234567891011121314151611.不等式組

的解集記為D.有下面四個命題：p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命題是________.答案解析p1，p212345678910111213141516不等式組

表示的平面區域D如圖中陰影區域所示(含邊界).設z＝x＋2y，作出直線l0：x＋2y＝0，經平移可知直線l：z＝x＋2y經過點A(2，－1)時z取得最小值0，無最大值.對于命題p1：由于z的最小值為0，所以?(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立，因此命題p1為真命題；由于?(x，y)∈D，x＋2y≥0，故?(x，y)∈D，x＋2y≥2，因此命題p2為真命題；由于z＝x＋2y的最小值為0，無最大值，故命題p3與p4錯誤.1234567891011121314151612.若實數x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是____.答案解析3∵x2＋y2≤1，∴6－x－3y>0，當2x＋y－2≥0時，t＝x－2y＋4.點(x，y)可取區域Ⅰ內的點(含邊界).通過作圖可知，當直線t＝x－2y＋4過點A()時，t取最小值，令t＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|，∴tmin＝

＋4＝3.當2x＋y－2<0時，t＝8－3x－4y，點(x，y)可取區域Ⅱ內的點(不含線段AB).通過作圖可知，此時t>8－3×－4×＝3.綜上，tmin＝3，即|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.12345678910111213141516*13.給定區域D：

令點集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定_____條不同的直線.答案解析6作出圖形可知，△ABF所圍成的區域即為區域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的點，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的點，則T中的點共確定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6條不同的直線.1234567891011121314151614.已知D是以點A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)為頂點的三角形區域(包括邊界與內部).如圖所示.(1)寫出表示區域D的不等式組；解答直線AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原點(0,0)在區域D內，故表示區域D的不等式組為12345678910111213141516(2)設點B(－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側，求a的取值范圍.解答根據題意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，解得－18<a<14.故a的取值范圍是(－18,14