數量積向量積混合積第二節數量積向量積混合積

關于向量與向量的乘法，根據實際問題的需要，我們定義了向量的兩種乘積，即向量的數量積和向量積．一、向量的數量積設有一物體在常力F的作用下，沿直線由點A移動到點B，求力F對物體所作的功W（見圖7-18）．圖7-18一、向量的數量積

由物理學知識得其中θ為F與的夾角.由上例可見，這是一個由兩個向量確定一個數量的運算，關于這一類運算，在實際問題中很多，為此，給出向量數量積的定義．一、向量的數量積定義1

設有兩個非零向量a與b，它們正向間的夾角為θ(0≤θ≤π)，則稱|a|·|b|·cosθ為兩向量a與b的數量積（又稱點積），記為a·b，即a·b=|a|·|b|·cosθ.(7-1)由于|b|cosθ=Prjab，|a|cosθ=Prjba，所以兩向量a與b的數量積式(7-1)又可表示為a·b=|a|·Prjab=|b|Prjba.(7-2)一、向量的數量積容易驗證兩向量a與b的數量積符合下列運算規律：（1）交換律：a·b=b·a.

（2）分配律：(a＋b)·c=a·c＋b·c.

（3）結合律：λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)．此外，向量a與b的數量積還具有如下性質：（1）a·a=|a|2.

（2）任意兩個非零向量a，b互相垂直的充要條件是a·b=0.一、向量的數量積

（3）兩個非零向量的夾角余弦可用點積表示，即

（7-3）設a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，則a·b=x1x2+y1y2+z1z2．事實上，對于坐標向量i，j，k，有i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=k·i=0．于是a·b=(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)=(x1i＋y1j＋z1k)·x2i＋(x1i＋y1j＋z1k)·y2j＋(x1i＋y1j＋z1k)·z2k=x1x2(i·i)＋y1y2(j·j)＋z1z2(k·k)．一、向量的數量積即a·b=x1x2＋y1y2＋z1z2．(7-4)

從而a與b的夾角余弦還可表示為

（7-5）一、向量的數量積

已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求

解

因為所以【例1】一、向量的數量積

設力F={1,3,5}作用在一物體上，物體的位移是s={2,－1,3}，求力F對物體做的功W．

解W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．【例2】一、向量的數量積

已知三角形的三個頂點為A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求證：△ABC為直角三角形，并求∠A．

解又因為【例3】一、向量的數量積

所以，即△ABC為直角三角形．又因為所以一、向量的數量積

在xOy坐標面上求向量b，使之與向量a={1,－2,2}垂直，且與a的模相等．

解

設b={x，y，z}，因b在xOy面上，故z=0，即b={x，y，0}．又因為|b|=|a|，而所以|b|=3，即有x2+y2=32=9．又由b⊥a，故a·b=1·x+(-2)y+2×0=x－2y=0．【例4】一、向量的數量積

于是，所求向量二、向量的向量積

在研究物體的轉動問題時，不但要考慮物體所受的力，而且還要考慮這些力所產生的力矩．請看下面表達力矩的方法．設有一杠桿，其支點為O，有一力F作用于杠桿點A處，力F與的夾角為θ（見圖7-19）．由力學知識，我們知道力F對支點O的力矩是一個向量M，它的模為而M的方向（按右手系法則確定）垂直于OA和F所確定的平面．根據此類實際問題研究的需要，我們引入向量積的定義．二、向量的向量積圖7-19二、向量的向量積定義2

設a，b為兩個非零向量，我們定義向量a與b的向量積（又稱叉積）．向量積是滿足下面條件的一個向量，記為a×b，它的模和方向分別為（1）|a×b|=|a|·|b|·sinθ(θ為a與b夾角).（2）a×b垂直于a與b所確定的平面，且a，b，a×b符合右手規則（見圖7-20），從幾何上看|a×b|等于以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積．圖7-20二、向量的向量積由向量積的定義可知向量積滿足以下規律和性質：（1）b×a=-a×b.

（2）結合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).

（3）分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，a×(b+c)=a×b+a×c.

（4）兩個非零向量a與b平行的充要條件是a×b=0.

（5）a×a=0．二、向量的向量積

特別地，對坐標向量i，j，k，有i×i=j×j=k×k=0，i×j=k，j×k=i，k×i=j，i×k=-j，k×j=-i，j×i=-k．下面利用上述性質，給出向量積的坐標表達式．設a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2},則二、向量的向量積

為便于記憶a×b的坐標表示，可借用三階行列式的記號來表示：二、向量的向量積

設

解【例5】二、向量的向量積

求以A(1,1,1),B(2,3,2),C(3,3,2)為頂點的三角形的面積S．

解

△ABC的面積等于為鄰邊的平行四邊形面積的一半，而所以【例6】二、向量的向量積

求與向量都垂直的單位向量n0．

解

不妨設計算得所以【例7】三、向量的混合積定義3

設有三個向量a，b，c，先對其中兩個向量作向量積，然后再用其結果和第三個向量作數量積，最后結果是一個數，我們稱a·(b×c)為混合積，記作［abc］，即［abc］=a·(b×c)．混合積的幾何意義：［abc］是一個數，它的絕對值等于以向量a，b，c為棱的平行六面體的體積的值．如果a,b,c符合右手系法則，則混合積為正，否則為負．三、向量的混合積

事實上，由圖7-21可知［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ為a與b×c的夾角，h為兩平行底面間的距離．顯然a在b×c方向的投影為±h，θ為銳角時取正，θ為鈍角時取負．注意到|b×c|等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積，所以|b×c|h為以a，b，c為棱的平行六面體的體積的值．如果a，b，c符合右手系法則，θ為銳角，［abc］>0；否則，θ為鈍角，［abc］<0．圖7-21三、向量的混合積混合積的坐標表示：設a={ax,ay,az},b={bx,by,bz},c={cx,cy,cz}，則（7-6）

混合積的性質：（1）［abc］=［cab］=［bca］=－［cba］=－［bac］=－［acb］.（2）三個向量a，b，c共面的充要條件是［abc］=0．三、向量的混合積

已知四面體O－ABC四個頂點坐標為A(1,1,1),B(2,3,4,),C(1,3,5),O(2,2,6)，求