1第二章

自動控制系統的基本理論知識2內容簡介2.1自動控制系統的基本概念2.2連續系統的數學模型2.3拉普拉斯變換及其應用2.4傳遞函數2.5方塊圖2.6典型一階和二階閉環系統分析2.7系統穩定性和穩態誤差分析重點：連續控制系統的數學模型、傳遞函數及方塊圖化簡、典型一階和二階閉環系統的結構和原理、系統穩定性及穩態誤差分析。難點：傳遞函數及方塊圖化簡、系統穩定性及穩態誤差分析。32.1自動控制系統的基本概念2.1.1自動控制系統自動控制自動控制系統由控制器、執行機構、被控對象等部件為了一定的目的有機的聯結成的一個進行自動控制的總體，稱為自動控制系統控制系統自動控制系統人工控制系統4自動控制理論是以自動控制系統為研究對象，用動力學的方法在運動中考察系統，揭示出所有類型或某些類型系統所共有的普遍規律，并在此基礎上指出將理論用于工程實際的途徑自動控制理論的任務就是采用數學的方法對自動控制系統進行分析與綜合分析：系統模型

性能綜合：性能

系統模型2.1.2自動控制理論5經典控制理論：研究單輸入單輸出（SISO）線性系統采用時域分析法、頻率響應法和根軌跡法現代控制理論：研究MIMO、時變參數、非線性系統采用狀態空間法延伸自動控制理論經典控制理論現代控制理論2.1.2自動控制理論62.1.3自動控制系統的分類按信號傳遞路徑分類：開環控制系統和閉環控制系統按參考輸入信號分類：恒值控制、隨動控制和程序控制系統按系統數學性質分類：線性系統和非線性系統按時間信號分類：連續控制系統和離散控制系統按端口關系分類：單輸入-單輸出系統和多輸入-多輸出系統

71開環（前饋）控制系統控制器被控對象輸入量擾動輸出量系統的被控制量（輸出量）對系統的給定量（輸入量）沒有影響，即被控制量只受控于給定量，而對給定量無反作用，這類系統稱為開環系統，或前饋控制系統~220V調壓變壓器電熱絲爐子8特點：作用信號由輸入到輸出單方向傳遞，不對輸出量進行檢測，或雖進行檢測也不對系統起控制作用外部條件和系統內部參數保持不變時，對于一個確定的輸入量，總存在一個與之對應的輸出量控制精度取決于控制器及被控對象的參數穩定性，易受干擾影響，缺乏精確性和適應性92閉環（反饋）控制系統閉環控制系統是指系統的被控量經反饋裝置反饋給控制器，并根據給定量與反饋量之間的偏差產生控制作用，并力圖減小偏差，使被控量趨于給定量的系統反饋控制系統是在負反饋的基礎上，用“檢測誤差用以糾正誤差”這一原理組成的系統。由于此類系統信息的傳遞途徑有一個自己閉合的環路，所以稱為閉環控制系統執行機構電熱器前置放大爐子功率放大給定電壓熱電偶M比較u調壓變壓器~220V減速器輸入變換電壓放大執行機構功率放大減速器電熱器調壓器爐子+熱電偶期望溫度實際溫度-11特點：由負反饋構成閉環，利用誤差信號進行控制對于外界擾動和系統內部參數的變化等引起的誤差能夠自動糾正系統元件參數配合不當，容易產生振蕩，使系統不能正常工作，因而存在穩定性問題閉環控制系統與開環控制系統的主要區別在于閉環控制系統有一條從系統輸出端經過測量元件到輸入端的反饋通路輸入量控制器被控對象擾動輸出量反饋元件+-122.1.4自動控制系統的基本組成H輸入變換元件串聯校正放大變換元件執行元件被控對象并聯校正反饋元件控制指令++--參考輸入比較元件誤差信號主反饋信號輸出信號VCG0Gc1G1G2G3Gc2擾動信號13術語解釋：輸入變換元件：用于產生參考輸入信號，是進行物理量大小和性質變換的元件反饋元件：是測量元件，用來測量被控制量的實際值，同時起著物理量大小和性質變換的作用比較元件：用來比較參考輸入信號和主反饋信號，并產生反映兩者差值信號的元件或電路放大變換元件：把誤差信號放大并進行能量形式轉換，使之達到足夠幅值和功率的元件執行元件：根據控制信號直接對被控對象進行操縱的元件被控對象：控制系統所要操縱的對象，其輸出量即為系統的被控制量前向通路：從輸入端到輸出端的單方向通路反饋通路：從輸出端到輸入端的反方向通路14術語解釋：校正元件：為改善系統的控制性能而加入的元件。主反饋信號：由輸出端反饋到輸入端的信號。反饋信號可以是被控制量本身，也可以是它的函數或導數。誤差信號：參考輸入信號與主反饋信號之差。串聯校正元件：串聯在系統前向通路內的校正裝置并聯校正元件：與系統部分元件接成局部反饋的校正裝置輸入信號：包括參考輸入信號和擾動信號參考輸入：系統的給定輸入信號，或稱為給定值擾動信號：外界或系統內部影響系統輸出的干擾信號輸出信號：是其變化規律要加以控制的信號。輸出信號應與輸入給定信號間保持一定的函數關系15一個處于靜止或平衡工作狀態的系統，當受到任何輸入的激勵，就可能偏離平衡狀態。當激勵消失后，再經過一段暫態過程后，系統中的狀態若能恢復到原先的平衡狀態，則系統稱為穩定的。一個控制系統必須是穩定的，而且必須滿足一定的穩定裕量，以保證當系統參數發生某些變化時，也能夠使系統保證穩定的工作狀態。1穩定性2.1.5對控制系統的基本要求系統品質指標的基本要求為：系統的穩定性、動態特性和穩態特性16動態特性穩定的控制系統受到外加控制信號或擾動的作用后，系統要恢復穩定或達到一新的平衡狀態。但由于系統內部各參數（如質量、慣性、電容、電感、電源、功率）的限制，使得系統的各狀態不能瞬時變化，而要經過一個過程。系統狀態隨時間t變化的這一過程稱為動態過程或過渡過程。動態特性即是反映在這一過程中，系統跟蹤控制信號或抑制擾動的速度快慢，系統響應過程的振蕩大小及平穩、均勻的程度等。一個動態特性好的系統既要過渡過程時間短，又要過渡平穩、振蕩幅度小。2.1.5對控制系統的基本要求173穩態特性系統在過渡過程結束后，主反饋量與參考輸入量的誤差值，反映了系統的控制精度，兩者的差值越小，則說明系統的控制精度越高。2.1.5對控制系統的基本要求182.1.5對控制系統的基本要求對于一個控制系統首要的要求就是系統的絕對穩定性。在系統穩定的前提下，要求系統的動態性能和穩態性能要好對于系統的性能要求可以概括為：響應速度要快動態過程平穩跟蹤值要準確19由于控制系統的控制目的、要求和對象的不同，因而各系統的對動態特性和穩態特性的要求也不同對于同一個系統，穩定性、動態特性和穩態特性的穩定、快速、準確這三個要求是相互制約的提高過程快速性，則會使系統振蕩性加強；改善系統相對穩定性，則又可能會使控制過程時間延長，反應遲緩；提高系統控制穩態的精度，則會引起動態性能（過渡過程時間及振蕩性）的變化2.1.5對控制系統的基本要求202.1.6控制系統常用的典型測試信號

典型測試信號是簡單的時間函數，便于對控制系統進行數學處理和實驗分析選取典型測試信號的原則：選取輸入信號的典型形式應大致反映系統的實際工作情況要從系統工作最不利的情況出發來選取典型測試信號選取的典型測試信號要盡可能簡單211.階躍輸入函數該函數表示參考輸入量的一種瞬變t0r(t)R階躍輸入函數式中：R為恒值；

u(t)為單位階躍函數，即R=122u(t-

)表示一個經過延遲時間

的單位階躍函數t0r(t)1

帶延遲的單位階躍函數232斜坡（速度）函數該函數表示一勻速信號，該信號對時間t的變化率是一常數，斜坡函數等于階躍函數對t的積分。t0r(t)

tg=RRt式中：R為常數；為單位速度函數243拋物線（加速度）函數該函數表示勻加速信號，由等速函數對t積分而得。式中：R為常數；為單位加速度函數254脈沖函數式中：A為常數；h為脈沖寬度當A=1，h

0，1/h

時稱為理想單位脈沖，其表達式為：單位脈沖函數可看作單位階躍函數對時間的導數，u(t)只在t=0時有突變，所以u(t)在t=0的導數為，而在其它處為0。t0r(t)h265正弦函數式中：A為振幅；

為相位移；

為振蕩角頻率272.2連續系統的數學模型數學模型分類靜態模型：在靜態條件下，描述各變量之間關系的數學方程動態模型：用微分方程描述的各變量在動態過程中關系數學模型的表示方法圖形表示：信號流圖、方塊圖及頻率特性圖等微分方程：是最基本的形式，但求解困難

數學表示傳遞函數或頻率特性：適用于單輸入單輸出系統 狀態變量表達式：適于多變量系統及最優控制問題數字計算機上的程序綜合28建立數學模型方法

分析法：從系統或元件所依據的物理規律出發，通過分析和推導，建立數學模型，并通過實驗驗證實驗法：加入一定形式的輸入信號，求取輸出響應的方法建立數學模型的原則分清主次，合理簡化，建立適當的數學模型。既要便于對系統模型進行數學處理，又要保證分析研究的精確度由選定的系統分析方法建立相應的數學模型。經典控制理論常用：微分方程、傳遞函數或頻率特性292.2.1控制系統的微分方程控制系統的運動規律，一般是以時間t為自變量，可采用線性常系數微分方程來描述的，表示如下：或者：式中：30建立系統微分方程的步驟：分析系統工作原理和系統中各變量之間的關系，將系統劃分成若干個環節，確定系統和每一個環節的輸入量和輸出量環節是指可以組成獨立運動方程的那一部分通過反映環節內在運動規律的基本物理或化學定律，依次列寫各環節的原始運動方程式，在保證分析精度的條件下進行適當的簡化。同時要考慮元件之間的相互影響，即所謂的負載效應簡化的方法：忽略一些次要因素；使非線性函數線性化等常用的物理定律：牛頓定律；能量守恒定律；歐姆定律等若原始運動方程不能直接用分析法得到，應借助于實驗數據，然后歸納出與實驗數據相符的描述方程31消去中間變量，得到只含有輸入量和輸出量的方程式，并把與輸入量有關的各項放在方程的右邊，與輸出量有關的各項放在方程的左邊，即：由于一般物理系統中均有質量、慣性或滯后的儲能元件，所以方程左邊的導數階次總比右邊的高（有時兩邊相等），即：mn3322.2.2線性微分方程的性質可加性：同一線性系統對若干個輸入共同作用時所引起的輸出響應，等于各個輸入單獨作用于系統時輸出響應的疊加。線性系統x1(t)y1(t)線性系統x2(t)y2(t)線性系統x1(t)+kx2(t)y1(t)+ky2(t)齊次性：線性系統的輸入若變化k倍，則其輸出響應也變化k倍參數定常性：系統的參數，或者說元件的參數均為常數，則稱為定常系統。否則稱為時變系統或變系數系統。332.2.3電學系統微分方程的建立在電學系統中，需要遵循元件約束和網絡約束。在元件約束中只考慮集總參數的線性約束，在網絡約束中只考慮電網絡的基本約束1元件約束電路分析中的基本線性元件有三種，電阻R、電容C和電感L，它們的V-I關系必須遵循廣義歐姆定律uRiRR電阻R34電容CuCiCCuLiLL電感L352網絡約束電網絡的基本約束為基爾霍夫的兩個定律：回路電壓定律：節點電流定律：例1

由電阻R與電容C組成的一階濾波電路如圖所示，寫出以ui為輸入u0為輸出的微分方程解：由電學基本定律得：輸出變量最高階導數為一階，因此該微分方程為一階微分方程消去中間變量i(t)uiu0RCi例2

由電阻R和電感L組成的串聯電路如圖所示。當外加電壓變化時，回路電流發生響應變化，試寫出微分方程式解：（1）確定輸入量和輸出量取電路的輸入量為u1(t)，輸出量為為i(t)（2）由回路電壓定律得：規范化：iu1u2RL例3

上例中若以u1(t)為輸入量，電感兩端電壓u2(t)為輸出量，試寫出微分方程式解：由基爾霍夫定律得：i(t)為中間變量，(1)式整理得：(3)式代入(2)式消去i(t)得：iu1u2RL例4

由兩級RC網絡組成濾波電路如圖所示，寫出以ui為輸入，u0

為輸出的微分方程。解：對于回路L1有：對于回路L2有：元件約束為：u0uii1i2R1R2C1C2i1-i2)()()(11tututuiCR=+0)()()(221=++-tututuCRC消去中間變量i1(t)，i2(t)

，uC1(t)得：設時間常數為：方程可寫為：因為輸出變量的最高階導數為二階，該微分方程為二階微分方程，又由于各階導數的系數都是常系數，所以該系統又稱為二階線性定常系統。412.3拉普拉斯變換及其應用2.3.1拉氏變換的定義一個實變量t的函數f(t)，其線性積分表達式如下：如果該線性積分存在，則稱其為函數f(t)的拉氏變換。變換后的函數是復變量s的函數，記作F(s)或L[

f(t)]，即式中：F(s)稱為象函數；f(t)稱為原函數422.3.2常用函數的拉氏變換單位階躍函數t0r(t)1單位階躍輸入函數其數學表達式為：其拉氏變換為：43t0r(t)單位斜坡函數其拉氏變換為：拉氏變換對照表拉氏變換的重要性質482.3.3拉普拉斯反變換如果已知象函數F(s)求原函數，稱為拉氏反變換，其公式為：上式為復變函數的積分，顯然用其求反變換極其復雜，因此常采用部分分式法求取拉氏反變換，即將F(s)分解成一些有理分式之和，然后利用拉氏變換對照表查出對應的f(t)49把上式用部分分式展開，利用查找拉氏變換表求出原函數在線性定常系統中，系統微分方程經拉氏變換后可寫成下列一般形式：式中：分子中的-z1，-z2，

-zm稱為F(s)的零點；分母中的-p1，-p2，

-pn稱為F(s)的極點50F(s)的分母X(s)的各種不同情況分析

X(s)=0無重極點各極點均不相同，故F(s)可以分解成n個部分分式之和：Ai為常數，可由下式求得：或各項系數求出后，由拉氏變換表即可查得F(s)的反變換為：解：將F(s)分解成部分分式，則：式中：于是：的反變換求342)(

2+++=ssssF

例

X(s)=0有重極點設-p0為r階重極點，-pr+1，-pr+2，…

，-pn為單根，則可展開成下式：式中Ar+1，…

，An的計算與單極點情況下求待定系數相同；而重極點項的系數Ar，Ar-1，…

，A1的計算公式如下：53求出待定系數后代入F(s)，再取反變換可求得：上式中各項系數為：于是：55

X(s)=0有共軛復數極點如果F(s)含有一對共軛復數極點-p1，-p2

，可以展開成：式中A1，，A2可按下式求解：因為-p1是復數值，故上式兩邊都是復數值，令兩邊的實部和虛部分別相等，即可求得A1，

A2

。三個極點分別為s1=0，s2,3=-0.5j0.866，上式中各項系數為：令兩邊的實部和虛部分別相等，則得下列方程組：582.3.4拉氏變換法求解微分方程求解微分方程的方法數學分析方法拉氏變換法拉氏變換法求解微分方程步驟如下：考慮初始條件，對微分方程進行拉氏變化，將時域的微分方程變換為S域的代數方程求解代數方程得到微分方程在S域的解求S域的拉氏反變換，即可得到微分方程的時域解微分方程S域解代數方程拉氏變換

時域解拉氏反變換例：已知微分方程為：輸入信號u=(t)，初始條件為y(0)=0，y’(0)=0，求系統的輸出y(t)解：方程兩邊做拉氏變換：代入初值，得輸出響應的拉氏變換為：作拉氏反變換，得時間響應為：utytyty=++)(2)('2)(''221)(2++=sssY1)1(12++=stetytsin)(-=例：

RC濾波電路如圖所示，輸入電壓ui(t)=5V，電容的初始電壓u0(0)分別為0V和1V時，分別求時間解u0(t)解：RC電路的微分方程為：方程兩邊做拉氏變換：由拉氏變換的線性定理得：由拉氏變換的微分定理得：)()()(00tutudttduRCi=+[])()()(00tutudttduRCiLL=ú?ùê?é+u0ui=10K=10

RC輸出的拉氏變換為：（1）u

0(0)=0V時：代入，整理得：，，將ssUCKRi5)(1010===m)11.0(5)(0+=sssU1055+-=ss（2）u

0(0)=1V時：)11.0(51.0)(0++=ssssU1045+-=ss632.4傳遞函數2.4.1定義實例：在初始條件為零的情況下，上式進行拉氏變換得：取輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比得：在線性定常數系統中，當初始條件全為零時，系統或部件輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比稱為系統或部件的傳遞函數)()()(00tutudttduRCi=+)()()1(0sUsURCsi=+11)()(0+=RCssUsUiuiuoRC64設描述系統的微分方程為：式中：令所有的初始條件為0，即：輸出信號及其各階導數初始狀態為0；輸入信號及其各階導數初始狀態為065將方程兩邊做拉氏變換，得：取輸出的拉氏變換Y(s)與輸入的拉氏變換X(s)之比，得到系統或部件的傳遞函數的一般形式：66傳遞函數的零極點表達式為：式中：Kr為增益因子-zi為傳遞函數的零點（即分子多項式等于零的根），-pj為傳遞函數的極點（即分母多項式等于零的根）672.4.2傳遞函數的求取方法方法一：一般元件或系統的傳遞函數的求取方法列出元件或系統的微分方程；在零初始條件下對方程進行拉氏變換；取輸出與輸入的復變量之比。方法二：利用系統的沖擊響應求系統的傳遞函數測量系統的沖擊響應：當輸入x(t)為脈沖信號

(t)時，系統輸出y(t)為沖擊響應g(t)；根據系統傳遞函數與沖擊響應求系統的傳遞函數。方法三：利用頻率特性法，以實驗進行測定682.4.3傳遞函數的性質傳遞函數是物理系統在復域的動態數學模型，它只與系統或元件本身內部結構參數有關，與輸入量、初始條件等外部參數無關實際系統的傳遞函數是復變數s的有理分式，傳遞函數的分母的階次大于等于分子的階次（即n

m），其所有系數均為實數傳遞函數不能反映系統或元件的物理組成，物理性質截然不同的元件或系統可以有相同的傳遞函數傳遞函數的拉氏反變換就是系統的單位脈沖響應；反之，系統單位脈沖響應的拉氏變換就是系統的傳遞函數。兩者有一一對應的關系傳遞函數僅適用于線性定常系統或元件692.4.4典型環節及其傳遞函數比例環節其傳遞函數為：式中K為增益特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲70慣性環節其傳遞函數為：式中T為時間常數特點：含有一個儲能元件，對突變的輸入，輸出不能立即復現，輸出無振蕩71積分環節其傳遞函數為：特點：輸出量與輸入量的積分成比例，當輸入消失。輸出具有記憶功能72微分環節其傳遞函數為：特點：輸出量正比于輸入量的變化速度，能預示輸入信號的變化趨勢73振蕩環節其傳遞函數為：特點：環節中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現震蕩式中：為阻尼比（0<1，欠阻尼)

n為自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）74純時間滯后環節其傳遞函數為：特點：輸出量能準確復現輸入量，但需延遲一固定的時間間隔式中：為延遲時間752.4.5復數阻抗電阻R線性元件的復數阻抗是依據線性元件的V-I關系而建立的。時域上的關系所遵循的是歐姆定律，在變換域中也有相同的形式。可以把復數阻抗所遵循的V-I關系稱為廣義歐姆定律，而且符合傳遞函數的定義uRiRR76電容CuCiCCiLLuL電感L例

RCL網絡如圖所示，試采用復數阻抗法求取該網絡的傳遞函數。解：由復數阻抗法可以寫出分壓公式為：代入各復數阻抗的：求得傳遞函數為：uiu0CRL782.5方塊圖控制系統的方塊圖是系統各元件特性、系統結構的信號流向的圖解表示，在每個方塊中寫入該環節的傳遞函數，以箭頭和字母標明其輸入量和輸出量，按照信號的傳輸方向把各方塊連接起來，就構成了方塊圖，或稱為結構圖2.5.1方塊圖基本單元元部件傳遞函數方塊：用傳遞函數來描述輸入輸出的函數關系信號流線：標有信號流通方向的信號輸入輸出通路信號流線方塊79比較點：又稱合成點或綜合點，是指兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件。進行加減時要統一量綱++ABA+B+-ABA-B+C+-ABA-B+C分支點：又稱引出點或分離點，表示信號測量或引出的位置，同一位置的信號大小和性質完全一樣G1(s)G2(s)802.5.2方塊圖的繪制繪制依據系統各環節的動態微分方程式及其拉式變換（傳遞函數）繪制方法選取系統的有關變量（信號）后，按照變量的傳送順序與變換關系，從輸入信號到輸出信號直接用基本單元組成系統的方塊圖81一階RC網絡

解：利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：例：畫出下列RC電路的方塊圖。822.5.3方塊圖的化簡法則一個實際的控制系統的動態方塊圖通常是比較復雜的，它往往具有多條反饋通道，各個閉合反饋通路之間往往有交叉與重疊，對于這樣復雜的系統，一般總是把動態方塊圖化簡成如下的形式。G1(s)G2(s)+++H(s)-X(s)B(s)E(s)N(s)Y(s)G

(s)+H(s)-X(s)B(s)E(s)Y(s)83保持信號傳遞過程中的數學關系不變前向通道中傳遞函數的乘積不變回路中傳遞函數的乘積不變為了求取系統的各個傳遞函數，從而分析研究系統。不同的系統,化簡的步驟不盡相同，但在化簡時必須遵循如下的原則：84基本連接方式的化簡

在控制系統中，任何復雜系統主要由響應環節的方塊經串聯、并聯和反饋三種基本形式連接而成。85特點：前一環節的輸出量就是后一環節的輸入量

1）串聯連接結論：串聯環節的等效傳遞函數等于所有傳遞函數的乘積n為相串聯的環節數

87

環節的并聯連接

特點：各環節的輸入信號是相同的，均為R(s)，輸出C(s)為各環節的輸出之和2）并聯連接88結論：并聯環節的等效傳遞函數等于所有并聯環節傳遞函數的代數和

n為相并聯的環節數，當然還有“-”的情況

893）反饋連接

特點：存在反饋回路(a)90結論：具有負反饋結構環節傳遞函數等于前向通道的傳遞函數除以1加（若正反饋為減）前向通道與反饋通道傳遞函數的乘積(a)912.信號比較點和信號引出點的等效變換

對于一般系統的方塊圖，系統中常常出現信號或反饋環相互交叉的現象，此時可將信號比較點或信號引出點作適當的等效移動，先消除各種形式的交叉，再進行等效變換即可92變換比較點+-A++BCA-B+C++A+-CBA-B+C+-A++BCA-B+C比較點分解+-A+BCA-B+C93比較點前移GAAGAG

BB+

+

AB/GG

A

B/GAG

B1/GB+

AG

A

BAG

BGB比較點后移GAAGAG

BGB+

G94引出點前移GAAGAGAG

AGG

AG引出點后移GAAGAAG

AG1/G

A95交換比較點，引出點+-ABA-BA-B-++-ABA-BA-BB交換相鄰引出點G1G2ACBBBG1G2ACBBB96例1求C(s)/R(s)要點：從內到外根據負反饋法則逐一求取閉環負反饋傳遞函數k+f-R(s)C(s)+-2.5.4動態方塊圖化簡實例例2求C(s)/R(s)+-R(s)C(s)+-G1G2G3G4要點：區別是閉環還是并聯例3求C(s)/R(s)要點：解決反饋環之間的交連+-R(s)C(s)--G1G2G3G41/G11/G4要點：從內到外逐一求取負反饋傳遞函數+-R(s)C(s)--G1G2G3G4ADBC比較引出例4求C(s)/R(s)要點：確定輸入、輸出；找到前向通道；將動態方塊圖畫成輸入在左輸出在右的習慣形式+-R(s)C(s)+-G1G2G3G4G5G6G7++1002.5.5基本概念和術語前向通路傳遞函數：打開反饋環后，輸出Y(s)與輸入X(s)之比反饋通路傳遞函數：主反饋信號B(s)與輸出Y(s)之比)()()(sHsYsB=G1(s)G2(s)+++H(s)-X(s)B(s)E(s)N(s)Y(s)打開反饋101開環傳遞函數：打開反饋環后，主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。閉環傳遞函數：輸出信號Y(s)與輸入信號X(s)之比。102誤差傳遞函數：誤差信號E(s)與輸入信號X(s)之比。103輸出對擾動的傳遞函數：為了了解干擾對系統的影響，需要求出輸出信號與擾動信號之間的關系，當X(s)=0時，輸出信號Y(s)與擾動信號N(s)之比為輸出對擾動的傳遞函數。此時，系統的方塊圖如下：G2(s)+H(s)-N(s)Y(s)G1(s)104誤差對擾動的傳遞函數：當X(s)=0時，系統的方塊圖如下：G2(s)+H(s)+N(s)E(s)G1(s)-1105系統的總輸出(系統總輸出的象函數)：根據線性系統的疊加原理，當X(s)0，

N(s)0時，系統的總輸出應等于它們各自單獨作用時的輸出之和。根據疊加原理，當X(s)0，

N(s)0時，系統的總誤差為：由于干擾信號極性的隨機性，不能簡單的認為干擾引起的誤差可以部分或全部的抵消給定輸入引起的誤差，而且從最惡劣的情況考慮,兩者引起的誤差的幅值很可能是相加的。系統的總誤差(系統總誤差的象函數)：1062.6典型一階和二階閉環系統分析2.6.1典型時間響應初始狀態為零的系統，在典型輸入作用下輸出量的動態過程，稱為典型時間響應。單位階躍響應系統在單位階躍信號u(t)作用下的響應，稱為單位階躍響應，常以h(t)表示。設系統的閉環傳遞函數為

(s)，則單位階躍響應的拉氏變換式為：故單位階躍響應為：107單位斜坡響應系統在單位斜坡信號t·u(t)作用下的響應，稱為單位斜坡響應，常以ct(t)表示。則單位斜坡響應的拉氏變換式為：故單位斜坡響應為：108單位脈沖響應系統在單位脈沖信號

(t)作用下的響應，稱為單位脈沖響應，常以

k(t)表示。則單位脈沖響應的拉氏變換式為：故單位階躍響應為：和傳遞函數一樣，單位脈沖響應只由系統的動態結構及參數決定，k(t)也可以認為是系統的一種動態數學模型1092.6.2階躍響應的性能指標控制系統追蹤或復現階躍輸入，一般認為是較為惡劣、嚴格的工作條件，故常以階躍響應衡量系統控制性能的好壞時間響應可以劃分為暫態和穩態兩個階段，暫態是指系統響應從開始到接近終了平衡的狀態；穩態是指時間延續較長(t)后的平衡狀態。評價系統的響應，必須對兩個階段的性能給以全面考慮110單位階躍響應曲線和性能指標峰值時間tp：指h(t)曲線中超過穩態值而達到第一個峰值所需要的時間。超調量

：指h(t)中對穩態值的最大超出量與穩態值之比。即：調節時間ts：指響應曲線中，h(t)進入穩態值附近±5

h(

)[或±2

h(

)]誤差帶而不再超出的最小時間。ts也常稱為過渡時間。穩態誤差ess：指響應的穩態值與期望值之差。111峰值時間tp表征響應的初始段快慢，而調節時間ts則表明系統響應的過渡階段的總持續時間，從總體上反映了過程的快速性。超調量

反映了系統響應階段的平穩性。穩態誤差ess

表征的是系統響應的最終（穩態）精度。控制工程中，常以

、ts及ess

三項指標評價系統的穩、快、準。1122.6.3典型一階閉環系統分析所謂一階是指系統閉環傳遞函數分母的最高次冪為1開環傳遞函數為：閉環傳遞函數為：C(s)R(s)積分環節慣性環節數學模型T：一階系統的時間常數；（一階系統閉環傳遞函數分母常數項為1，s一階項的系數即為時間常數T）C(s)R(s)－113單位階躍響應h(t)單位階躍函數輸入的拉氏變換為：將上式展開為部分分式：故單位階躍響應為：穩態分量暫態分量114性能指標在t=0時，響應曲線的初始斜率為：即系統如果能保持初始響應速度，則在t=T時就能達到穩態值（減小T可以提高響應的初速度）。所以，如果已知系統的單位階躍響應，那么單位階躍響應曲線的初始斜率與穩態值相交處所對應的時間就是系統的時間常數Th(t)h(t)在t=T時，h(T)=1–e-1=0.632。說明此時系統的輸出已達到穩態值的63.2%h(t)一階系統的階躍響應沒有超調，其動態性能指標主要是調節時間ts此值與穩態值僅差5%，在工程中此時常看作過渡過程已結束由于T愈大，階躍響應曲線上升斜率愈小，因而在一定條件下，一階系統可近似看成為積分環節當t=3T時：116單位階躍響應其它輸入函數的響應僅需改動R(s)便可求出C(s)例：設一階系統的前向通道傳遞函數為，即積分環節。要求當反饋系數為0.1時，系統閉環單位階躍響應的ts不大于0.1s，問原參數能否滿足此要求？若不能滿足，而主通道參數又不能改變，應如何解決？解：已知系統的閉環傳遞函數為：系統時間常數T=0.1s，故ts=3T=30.1=0.3s不滿足對ts的要求欲使ts減小可采用：改變主通道的積分時間常數改變反饋系數不符合題意設改變后的H(s)=Kt使系統閉環輸出穩態值變化不會改變階躍輸入響應的穩態值通過以上分析增大反饋系數，可以使ts減小，但卻使系統對單位階躍響應的穩態值也發生了變化。如沒有前向通道傳遞函數不能改變的限制，修改前向通道傳遞函數，也可以達到改變ts的目的，且穩態值也不會改變。設kg為前向通道系數，則：1202.6.4典型二階閉環系統分析所謂二階是指系統閉環傳遞函數分母的最高次冪為2閉環傳遞函數為：數學模型開環傳遞函數為：

n稱為二階系統的自然振蕩角頻率為二階系統的阻尼比式中：R(s)C(s)－121單位階躍響應h(t)單位階躍函數輸入的拉氏變換為：系統的特征方程（系統閉環傳遞函數的分母多項式等于零）該方程的兩個特征根（即閉環極點）為：122欠阻尼(0<<1)狀態0<<1時根的分布s1，s2是一對共軛復根此時，輸出C(s)的表達式為：兩個特征根為：令，上式變為：式中

d稱為阻尼振蕩角頻率穩態分量0<<1時根的分布暫態分量124系統的誤差信號是輸入量與輸出量之差，即系統單位階躍響應的第二項反映的是系統誤差信號的大小變化，誤差信號是一個振蕩角頻率為

d的阻尼振蕩，并以的速率在衰減穩態時，亦即t=

時，輸入量與輸出量之間沒有誤差)()()(tctrte-=125右圖是二階系統單位階躍響應曲線，圖中采用

nt作橫坐標，量綱為弧度，這時單位階躍響應曲線只是

的函數。圖中給出了對應

不同取值的曲線h(t)126無阻尼(=0)狀態h(t)=0時的二階系統根的分布和單位階躍響應曲線此時系統呈不衰減的等幅振蕩，振蕩頻率

n稱為自然振蕩角頻率其特征根為：當

=0時，可看成欠阻尼的一個特殊情況，將=0代入欠阻尼系統單位階躍響應式中得：127臨界阻尼(=1)狀態=1時的二階系統根的分布和單位階躍響應曲線上式表明，臨界阻尼時二階系統的單位階躍響應是穩態值為1的單調上升曲線，整個響應特性不再出現振蕩h(t)當

=1時，特征根為s1,2=-

n

是負實重根128過阻尼(>1)狀態T1、T2稱為過阻尼二階系統的時間常數，其中T1>T2令129當輸入為單位階躍函數時，輸出為：h(t)>1時的二階系統單位階躍響應曲線穩態值隨時間增長而衰減到零整個過程不存在振蕩從以上四種情況分析，說明阻尼比

越小，則超調量越大，上升時間越短。在非振蕩響應曲線中，臨界阻尼具有最短的上升時間h(t)在實際工程中。要兼顧過渡過程和超調量時，阻尼比應選擇在0.4~0.8之間。

值太小（如<0.4），超調太大。故應適當選擇來滿足超調量和過渡過程時間在工程實際中，通過調整系統的開環放大系數K來獲得較理想的值131過渡過程的性能指標由于0<<1和1時系統具有不同形式的響應曲線，因此性能指標的計算方法亦有所不同欠阻尼(0<<1)狀態輸出響應為：峰值時間tp

：將上式對時間求導，并令其等于零，即可求出峰值時間tp即：在n=1時，第一次達到峰值，所以已知欠阻尼狀態下：bpzzpbw+=-+=+narctgntpd21超調量

：代入到因為超調量發生在峰值上，所以將得：已知超調量的定義為：故在單位階躍輸入下：阻尼比越小超調量越大調節時間（過渡過程時間）ts：在欠阻尼情況下，系統對單位階躍輸入信號的瞬態響應呈衰減阻尼振蕩，其包絡線函數為：135從調節時間的定義可得ts是過渡過程曲線到達并永遠保持在規定的允許誤差帶（

=±5

）內所需的最小時間。即：因此可求得時間ts：調節時間與阻尼比的近似關系圖136二階系統超調量與阻尼比關系曲線∴在設計系統時，阻尼比

通常由超調量決定∴調節時間ts由

n決定過阻尼(1)狀態在過阻尼情況下，不存在超調量，僅討論調節時間ts即可從下式來看，要直接求解ts比較困難，需借助于計算機求解，計算結果如右圖所示在工程上可進一步簡化計算，當T1≥4T2時，ts=3T1已滿足工程上的需要了綜上所述，在過阻尼條件下，當系統中兩個不等的負實根相差4倍以上時，系統可近似等效為一個一階系統，其ts=3T1（誤差小于10%）。從圖中可以看出，在1~1.25范圍內取值時，可從圖中查出ts

；當＞1.25時，系統可等效為一階慣性環節一般用右式估算：1384.結論阻尼比：二階系統的一個重要參量，值決定超調量

0＜＜1時，%

＞1時，無超調調節時間ts

0＜＜1時，與n

成反比，確定后，通過改變

n

來改變ts

1時，ts

在工程上，要兼顧ts及

%，常取在0.4~0.8之間，這時

%在25%-1.5%之間階躍輸入穩態誤差ess=0例一角位置隨動系統為單位負反饋系統，其開環傳遞函數如下所示：假設系統中前向通道中放大器的增益KA可調，試計算KA=200情況下，系統被控制量的單位階躍響應性能指標：峰值時間tp

、調節時間ts及超調量

%

。如果增益提高到1500或減小到10，試問對系統的響應有何影響？解：1.KA=200系統為單位負反饋，故得閉環傳遞函數：代入KA=200

，則：對照標準形式：得：根據指標計算公式得：2.KA=1500同法可得：則：提高增益將使響應初始段加快但振蕩強烈，平穩性明顯下降

減小n增大，調節時間并無多大變化3.KA=10算得：系統具有過阻尼：響應雖然無超調，但過程偏于緩慢1425.改善二階系統響應性能的措施從上例中不難發現，系統響應的平穩性和快速性對系統的結構參數的要求往往是矛盾的為提高響應速度而加大開環增益，結果阻尼比又偏小，使振蕩加劇反之，減小增益能顯著改善平穩性，但過程又偏于緩慢可見僅通過調整系統原有部件的有限個參數，有時很難全面滿足性能指標。因此只能另辟新徑來改善系統的品質。可以采取在原反饋系統中加入校正環節，來著重改善系統響應某一方面的性能比例-微分控制的二階系統1++Tds-R(s)E(s)C(s)閉環傳遞函數為：系統同時受誤差信號和誤差微分信號雙重控制，Td稱微分時間常數（微分系數）系統開環傳遞函數為：稱等效阻尼比Tds的設置等效于阻尼比加大，從而使超調減弱，改善了系統的平穩性。甚至在原系統阻尼比很小的情況下，可實現等效阻尼比大于1，完全消除振蕩微分控制是一種超前控制，能在實際超調出現之前，就產生一個適當的修正作用例1：某單位負反饋系統如圖，求系統單位階躍輸入的σ%和ts解：系統閉環傳遞函數：)6.0(1+ssr(t)=1(t)-c(t)例2：若在上例中的前向通道串入一比例微分校正環節，求系統單位階躍輸入的σ%和ts。解：系統閉環傳遞函數：系統的單位階躍響應:-c(t)14.0+sr(t)=1(t))6.0(1+ss(1)例3：若在例1中的系統采用反饋校正環節，求系統單位階躍輸入的σ%和ts解：系統開環傳遞函數：-c(t)s4.0)6.0(1+ssr(t)=1(t)-閉環傳遞函數1502.7系統穩定性、穩態誤差分析如果系統受外界或內部的擾動（包括給定值的變化），偏離了原平衡狀態，而當擾動消失后（包括給定值恢復到原狀態），系統的輸出仍能逐漸恢復到原狀態，則稱系統是穩定的或具有穩定性穩定性是擾動消失后系統自身的一種恢復能力，是系統的一種固有特性，穩定性只取決于系統的結構參數，而與初始條件及外作用無關穩定性是控制系統的重要性能，是系統正常工作的首要條件。分析系統的穩定性是控制系統設計的基本任務之一2.7.1系統穩定性分析151穩定的數學條件閉環系統特征方程為：系統穩定的數學條件為：閉環系統所有特征根均具有負實部（或所有特征根均位于s左半平面），即：Resi

<0(i=1，2，，n）系統閉環傳遞函數：系統穩定性特征根的性質特征方程結構參數∴系統的穩定性只取決于自身而與擾動及其形式以及初始條件無關152代數穩定判據根據穩定條件Resi

<0判斷系統穩定性，需要知道系統所有特征根實部的正、負，求解工作量較大（尤其是高階系統）可采用一種不必解出特征根，而直接判別特征根是否滿足Resi

<0的代數方法，稱為代數穩定判據系統的特征方程為：則系統穩定的充分必要條件為：特征多項式中各項系數大于零，即：153特征多項式各系數構造的n階行列式中，各奇數子行列式或各偶數子行列式大于零，即：或其中：例1

系統特征方程為試判斷系統的穩定性解由特征方程知各項系數均大于零不滿足各奇數子行列式大于零的條件，系統不穩定例2

單位負反饋系統的開環傳遞函數為試求保證系統穩定增益K的可調范圍。解系統閉環特征方程為：展開得：根據穩定條件：

ai>0：則由閉環特征多項式看出，應有K>0

D2>0得:為保證閉環系統穩定增益K的可調范圍是:增大開路增益對系統的穩定性不利156結構不穩定問題僅靠調整各元部件參數無法保證穩定的系統，稱結構不穩定系統K1--HrUHKPL1Q1Q2Q其系統閉環特征方程為：令:則：展開得：缺少s項，即a2=0，系統不穩定。調整Tm及K均構造不出s項，該系統為一結構不穩定系統有兩個1/s環節串聯，且傳遞函數分子中無s項，造成s一次項系數為零某控制系統的結構圖如下所示：157改變結構不穩定可以采用兩種方案：改變1/s環節的性質（減少閉合回路積分環節的數目）由比例反饋KH包圍兩個1/s環節中的任一個HKH-