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文檔簡介

線性方程組解的結構線性方程組解的結構首先討論齊次線性方程組的解的結構.設m×n齊次線性方程組為則其向量形式為x1α1+x2α2+…+xnαn=0（4-6）首先，容易證明齊次線性方程組的解具有下列性質：性質4-1若x=x1，x=x2為齊次線性方程組（4-5）的解，則x=x1+x2也是齊次線性方程組（3-7）的解．性質4-2若x=x1是齊次線性方程組（4-5）的解，k是實數，則x=kx1也是齊次線性方程組（4-5）的解．定義

齊次線性方程組的一組解ξ1,ξ2,…,ξt，如果滿足：（1）齊次線性方程組的任意一個解都能表示成ξ1,ξ2,…,ξt的線性組合.（2）ξ1,ξ2,…,ξt線性無關．那么稱它為齊次線性方程組的一個基礎解系．定理4-2若齊次線性方程組有非零解，則它有基礎解系，且基礎解系所含解的個數等于n-r，這里r表示系數矩陣的秩（n-r也就是自由未知量的個數）．可知，ξ1,ξ2,…,ξn－r是齊次線性方程組的基礎解系，則齊次線性方程組的解可表示為x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r

其中，k1,k2,…,kn－r為任意實數，稱此式為齊次線性方程組的通解．性質4-3設x=η1與x=η2都是非齊次線性方程組（4-7）的解，則x=η2－η1為對應的齊次線性方程組Ax=0

的解．性質4-4設x=η是非齊次線性方程組的解，x=ε是對應的齊次線性方程組的解，則x=ε+η仍是該非齊次線性方程組的解．由性質4可知，若求得非齊次線性方程組的一個特解η*，則非齊次線性方程組的任一解都可表示為x=ε+η*

的形式，其中ε是齊次線性方程組的解．若齊次線性方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r，則非齊次線性方程組的任一解都可以表示為x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r+η*

的形式，其中k1,k2,…,kn－r為任意實數，稱上式為非齊次線性方程組的通解，ξ1,ξ2,…,ξn－r

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