導數的基本概念一、原函數的概念求函數的導數或微分是微分學的基本問題，但在工程與社會實踐中往往會遇到這類問題的逆問題.例如，在物理學中常提出：在已知物體運動速度v=v(t)的情況下，如何求出該物體的運動方程s=s(t)的問題.由微分學知識可知，s′(t)=v(t)，此問題實際上是要求出使s′(t)=v(t)成立的s(t)，這是與求導運算相反的問題.我們稱s(t)為s′(t)［即v(t)］的原函數.

從純數學意義上審視，我們知道，(x2)′=2x，2x是x2的導函數；反之，x2稱為2x的一個原函數.下面給出原函數的定義.引例1.一、原函數的概念原函數定義2.定義1如果在區間D上定義了一個可導函數F(x)，對于區間D上的所有x，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx(x∈D)，(5-1)

則稱F(x)為f(x)在區間D上的一個原函數.

例如，因(x3)′=3x2(－∞<x<+∞)，故x3是3x2在(－∞,+∞)內的一個原函數;又如，(arctanx)′=11+x2，故arctanx是11+x2在(－∞,+∞)內的一個原函數.

一、原函數的概念當等式成立的區間為(－∞,+∞)時可以省略不寫.注一、原函數的概念進一步考慮，如果一個函數存在原函數，原函數有多少個？這些原函數之間又有什么關系呢？請看下面例子：

(x2)′=(x2±1)′=(x2±2)′=…=(x2+C)′=2x，由原函數的定義知：x2，x2±1，x2±2，…，x2+C均為2x的原函數.這說明，一個函數如果有原函數就有無窮多個原函數.那么，在什么條件下，一個函數一定存在原函數?是不是任意給出的函數都有原函數？要回答這個問題請看下面定理.

一、原函數的概念原函數定理3.定理1(原函數存在定理)若函數f(x)在區間D上連續，則f(x)在區間D上一定存在原函數F(x).

該定理將在第五章第二節予以證明.由于初等函數在其定義區間上是連續的，因此，根據定理1可知，初等函數在其定義區間上存在原函數.一、原函數的概念定理2(原函數族定理)如果函數F(x)是f(x)在區間D上的原函數，則(1)F(x)+C也是f(x)在區間D上的原函數，其中C是任意常數.

(2)f(x)在區間D上的任意兩個原函數之間只相差一個常數.

證(1)因為

［F(x)+C］′＝F′(x)＝f(x)，這表明F(x)+C是f(x)的原函數.一、原函數的概念(2)設G(x)和F(x)是f(x)在區間D上任意兩個原函數，則［G(x)－F(x)］′=G′(x)－F′(x)=f(x)－f(x)=0.

根據拉格朗日中值定理的推論2，便可得

G(x)－F(x)=C.

定理2表明，如果找到了f(x)的一個原函數F(x)，那么F(x)+C也是f(x)的原函數；而f(x)的其他任意一個原函數與F(x)之間只相差一個常數，因此f(x)的全體原函數可以表達為F(x)+C.

根據原函數的這種性質，下面引入不定積分的概念.二、不定積分的概念不定積分的定義1.定義2f(x)在區間D上的全體原函數稱為f(x)在區間D上的不定積分，記作

∫f(x)dx，其中“∫”稱為積分號，f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量.

若F(x)是f(x)在區間D上的一個原函數，根據定義2和定理2，有∫f(x)dx=F(x)+C，(5-2)

其中C是任意常數，稱為積分常數.一般情況下積分常數用字母C表示，需要時也可用A，B或C1，C2等表示.

二、不定積分的概念根據定義2可得不定積分的四個重要性質(不定積分與微分的運算關系)：二、不定積分的概念這說明，如果一個函數先積分再微分(或求導)，結果是這兩種運算互相抵消；如果對它先微分(或求導)再積分，其結果與原來的函數相差一個任意常數.這四個性質以后可以當公式直接使用.

二、不定積分的概念【例1】二、不定積分的概念【例2】二、不定積分的概念【例3】二、不定積分的概念【例4】二、不定積分的概念【例5】二、不定積分的概念不定積分的幾何意義2.設y=F(x)是f(x)的一個原函數，函數y=F(x)在平面上表示一條曲線，則該曲線上任意一點(x,y)的切線斜率為f(x)，我們稱函數y=F(x)的圖形為f(x)的一條積分曲線.于是，函數f(x)的不定積分∫f(x)dx=F(x)+C在幾何上表示一族積分曲線，它可由f(x)的某一條積分曲線y=F(x)沿y軸方向上下平移得到.顯然，積分曲線族中每一條積分曲線在橫坐標相同點處的切線相互平行，如圖5-1所示.

圖5-1二、不定積分的概念已知某曲線上任意一點處的切線斜率等于3x2，且該曲線通過點(1,2)，求此曲線方程.解設所求曲線方程為y=F(x)，其中(x,y)是曲線上的任意一點.根據導數的幾何意義及題設條件，有

F′(x)=3x2.

由于(x3)′=3x2，所以x3是3x2的一個原函數，因此

F(x)=∫3x2dx=x3+C.

將題中所給初始