第十六章二次根式

16.1二次根式

第HE課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

使學(xué)生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范圍.

經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開(kāi)方數(shù)取值范圍的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.

經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè),并提高應(yīng)用的意

識(shí).

(+教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】了解二次根式的概念，理解二次根式有意義的條件.

【難點(diǎn)】會(huì)求二次根式中字母的取值范圍.

國(guó)教學(xué)過(guò)程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：唐僧師徒在萬(wàn)壽山五莊觀做客.豬八戒來(lái)到后花園,看見(jiàn)人參果樹(shù)上結(jié)滿(mǎn)了人參果,嘴饞得直流口水.

正準(zhǔn)備伸手摘時(shí),突然一道金光,在同一個(gè)枝頭上一大一小的兩個(gè)果子同時(shí)掉了下來(lái),噗的一聲同時(shí)著地.有愛(ài)好

數(shù)學(xué)的電視迷算了人參果下落的時(shí)間力與力之間的關(guān)系式為打,你覺(jué)得他算的正確嗎？

要解決這個(gè)問(wèn)題,我們得從二次根式說(shuō)起.

導(dǎo)入二門(mén).教師出示復(fù)習(xí)題：

(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.

(2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是.

學(xué)生口答：(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16沒(méi)有平方根.

(2)5的平方根是土;5的算術(shù)平方根是.

2.教師出示教材第2頁(yè)“思考”題：

用帶有根號(hào)的式子填空，看看寫(xiě)出的結(jié)果有什么特點(diǎn)：

(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為,面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為.

(2)一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄,長(zhǎng)是寬的2倍,面積為130m2,則它的寬為m.

(3)一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間，(單位:s)與開(kāi)始落下時(shí)離地面的高度力(單位:m)滿(mǎn)足關(guān)

系足5代如果用含有，的式子表示亡,那么t為.

學(xué)生思考后回答,教師補(bǔ)充得出答案：(1),；(2);(3).

1

留新知構(gòu)建

1.二次根式的概念

思路一教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（包括字母或式子表示的非

負(fù)數(shù)）的算術(shù)平方根.

討論:你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎？

學(xué)生小組討論,全班交流.教師由此給出二次根式的定義：

一般地,我們把形如（a20）的式子叫做二次根式，”"稱(chēng)為二次根號(hào).

追問(wèn):在二次根式的概念中，為什么要強(qiáng)調(diào)“a20”?

教師引導(dǎo)學(xué)生舉出例子說(shuō)明,經(jīng)過(guò)討論知道二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

2.例題講解

（教材例1）當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考:二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),則尸2》0.

解：由尸220,得x,2.

當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

n課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

知識(shí)要點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)注意事項(xiàng)

形如，0（a》0）的式子叫

二次根式的概被開(kāi)方數(shù)也可以是含有字母的單項(xiàng)

做二次根式,其中被開(kāi)方

念式、多項(xiàng)式、分式等

數(shù)是a

二次根式有意求解二次根式中字母的取值范圍,要

被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)

義的條件注意根號(hào)下的式子整體不小于零

n板書(shū)設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.二次根式的概念

2.例題講解例1

國(guó)布置作業(yè)

【必做題】教材第3頁(yè)練習(xí)第1,2題;教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第1題.

【選做題】教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第7題.

SL教學(xué)反思

2

我們經(jīng)常說(shuō)過(guò)程比結(jié)果更重要.我對(duì)整節(jié)課的設(shè)計(jì)力求符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的教學(xué)情

境,使學(xué)生始終處在好奇、好學(xué)的高亢的學(xué)習(xí)情緒當(dāng)中，同時(shí),整節(jié)課努力做到先有框架,中有深化,后有突破.學(xué)

生學(xué)有情趣，學(xué)有所獲，并由衷感到:學(xué)習(xí)是快樂(lè)的事，學(xué)會(huì)了更是幸福的事.

在教學(xué)中,我適當(dāng)增加了有拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),想使不同的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展和提高,但受到教材

中練習(xí)題的局限,就當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí),本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù)的練習(xí)沒(méi)有落實(shí)到位.

第②課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解()2=a(2》0)和=2(220),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2.用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義推出()2=a(a》0)和探究=a(a2O),會(huì)用這個(gè)結(jié)論解決具體問(wèn)題.

3.了解代數(shù)式的概念.

(事教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】掌握二次根式的性質(zhì)，并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡(jiǎn).

【難點(diǎn)】能運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).

舊教學(xué)過(guò)程

熨新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一:教師出示問(wèn)題：

先化簡(jiǎn)再求值:當(dāng)，9時(shí)，求值，甲、乙兩人的解答如下：

甲的解答為:原式=卅=>(1-a)=/1-井1;乙的解答為:原式=卅=尹(kl)=2a-l=17.兩種解答中,誰(shuí)的解答是錯(cuò)

誤的呢？

本節(jié)課,我們一起來(lái)學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì),然后就可以解決上面的問(wèn)題了.

導(dǎo)入二:1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)時(shí)，叫什么？當(dāng)水0時(shí),有意義嗎？

學(xué)生口答,老師點(diǎn)評(píng).

通過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道了二次根式具有雙重非負(fù)性.今天我們主要學(xué)習(xí)一些二次根式的其他性質(zhì).

國(guó)新知構(gòu)建

思路一1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a,0)

提問(wèn):你能解釋下列式子的含義嗎？

()；()2,,()2.

3

學(xué)生口述,教師根據(jù)情況評(píng)價(jià).

()2表示4的算術(shù)平方根的平方；()2表示2的算術(shù)平方根的平方;表示的算術(shù)平方根的平方；()2表示0的算術(shù)

平方根的平方.

追問(wèn):根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù).

()2=；(尸=；=；()?=.

學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過(guò)程,說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù).

教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出每一個(gè)式子的含義.

是4的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù),因此有()2=4.是2的算術(shù)平方根,根據(jù)

算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于2的非負(fù)數(shù),因此有(尸=2.是的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是

一個(gè)平方等于的非負(fù)數(shù),因此有=.表示0的算術(shù)平方根,因此有0Wk

討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎？

引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì):一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù),即()Ja(a20).

教材例2計(jì)算：

(DO?；(2)(2廣

學(xué)生獨(dú)立完成,兩名學(xué)生板演,再集體訂正.

2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a20)

提問(wèn):你能解釋下列式子的含義嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出每一個(gè)式子的含義.

表示2的平方的算術(shù)平方根;表示0.1的平方的算術(shù)平方根；表示的平方的算術(shù)平方根;表示0的平方的算術(shù)

平方根.

追問(wèn):根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù).

學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過(guò)程,說(shuō)出得到結(jié)論的依據(jù).

討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎？

引導(dǎo)學(xué)生歸納得出:一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù).即=a(a》0).

(教材例3)化簡(jiǎn)：

(1)；(2).

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)=a(a，0)進(jìn)行分析：(1)因?yàn)?6=41所以=,再計(jì)算即可得出結(jié)果.(2)因?yàn)?-5)2=6,所以=.

學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正.

解：⑴=4.(2)=5.

4

巨課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:

知識(shí)要點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)注意事項(xiàng)

()任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的

被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)

0)平方,其結(jié)果仍然是它本身

任何實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方

=|a|=底數(shù)a可以是任何實(shí)數(shù)

根是它的絕對(duì)值

用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的①式子中不能出現(xiàn)“=,半,二

字母連接起來(lái)的式子叫代數(shù)；②單個(gè)的數(shù)字或單個(gè)的字

代數(shù)式

式母也是代數(shù)式

叵板書(shū)設(shè)計(jì)

第2課時(shí)

1.二次根式的性質(zhì)l:()2=a(a>0)

例1

2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a，0)

例2

布置作業(yè)

教材第4頁(yè)練習(xí)第1,2題;教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第2,3,4,5,6題.

舊教學(xué)反思

本節(jié)課通過(guò)“觀察一一歸納一一運(yùn)用”的模式，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成與掌握變得簡(jiǎn)單起來(lái)，將一個(gè)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)

落實(shí)到位,適當(dāng)增加了拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),使不同的學(xué)生得到了不同的發(fā)展和提高.

16.2二次根式的乘除

第U課時(shí)

①教學(xué)目標(biāo)

1.理解=?(a20,b》0),使學(xué)生能夠利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).

2.掌握二次根式的乘法法則,會(huì)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.

(,教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】會(huì)利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式,會(huì)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.

【難點(diǎn)】二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.

5

舊教學(xué)過(guò)程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

古希臘的幾何家海倫的鄰居家有一塊三角形的菜地,測(cè)得三邊的長(zhǎng)分別為7m,5m,8m,海倫很快就算出了這

塊菜地的面積，鄰居想了很久也算不出來(lái),你知道海倫是如何將這塊地的面積計(jì)算出來(lái)的嗎？

原來(lái)海倫先算出三角形的周長(zhǎng)的一半為10叫再根據(jù)計(jì)算三角形的面積公式得=6),可是后面這個(gè)式子該如

何化簡(jiǎn)呢?這節(jié)課我們一起來(lái)進(jìn)行探討.

導(dǎo)入二：

我們知道長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬,一個(gè)一組鄰邊長(zhǎng)為2和3的長(zhǎng)方形,你能算出它的面積嗎?其實(shí)這個(gè)長(zhǎng)方

形的面積是2X3,你能算出這個(gè)結(jié)果,求出長(zhǎng)方形的面積嗎？

場(chǎng)新知構(gòu)建

1.二次根式的乘法

思路一

計(jì)算下列各式,觀察計(jì)算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(1)X=,=；

(2)X=,=：

(3)X=,=.

參考上面的結(jié)果，用“>，<或=”填空.

X,X,X.

老師糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤后，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)和總結(jié)式子有什么規(guī)律,指出幾名學(xué)生回答，其余

學(xué)生補(bǔ)充.

老師點(diǎn)評(píng)：(D被開(kāi)方數(shù)都是正數(shù)；(2)兩個(gè)二次根式的乘法等于一個(gè)二次根式,并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相

乘,作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開(kāi)方數(shù).

提問(wèn):二次根式的乘法法則是什么?字母表達(dá)式是怎樣的？

學(xué)生總結(jié)二次根式的法則：?=(a>0,方20),即二次根式相乘,把被開(kāi)方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.

由上面的特殊例子引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：?=(a>0,6》0),即二次根式相乘,把被開(kāi)方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.

嘗試練習(xí)(教材例1):

計(jì)算：⑴X;(2)X

學(xué)生獨(dú)立做完后，同桌內(nèi)確定答案,并記錄下自己的錯(cuò)誤之處,以便后面交流.

6

2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

(教材例1)計(jì)算：

(1)；(2)

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面嘗試練習(xí)分析:根據(jù)二次根式的乘法法則?=(a20,620)進(jìn)行計(jì)算.

(教材例2)化簡(jiǎn)：

(1)；(2).

教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn):被開(kāi)方數(shù)4a審含4,才,加這樣的因數(shù)或因式,它們被開(kāi)方后可以移到根號(hào)外,是開(kāi)得盡方的因

數(shù)或因式.根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)=?進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn).

(教材例3)計(jì)算：

時(shí)課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

1.?=(a20,6》0),即兩個(gè)二次根式相乘,把被開(kāi)方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.二次根式的乘法法則可以推廣到多個(gè)

二次根式進(jìn)行相乘的運(yùn)算,如??=(a20,方20,c,0).

2.=?(a》0,biO),用語(yǔ)言敘述為:積的算術(shù)平方根,等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

n板書(shū)設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.二次根式的乘法

2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

3.例題講解

例1例2例3

后布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第7頁(yè)練習(xí)第1,2,3題;教材第10頁(yè)習(xí)題16.2第1題.

【選做題】

教材第11頁(yè)習(xí)題16.2第6題.

舊教學(xué)反思

7

本節(jié)課以問(wèn)題的方式提出要解決的問(wèn)題,讓學(xué)生觀察、計(jì)算、歸納，不斷進(jìn)行自主探究，在探究過(guò)程中注意觀

察知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的全過(guò)程,從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)情感和學(xué)習(xí)品質(zhì)得到升華,學(xué)生的創(chuàng)新精神得到發(fā)展.本課時(shí)設(shè)計(jì)

充分反映了課堂教學(xué)的靈活性與探究性，基本達(dá)到了通過(guò)再創(chuàng)造培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力的教學(xué)目標(biāo).

第②課時(shí)

q教學(xué)目標(biāo)

i.會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的除法運(yùn)算.

2.使學(xué)生能利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算.

3.理解最簡(jiǎn)二次根式的概念,并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式.

(+教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的除法運(yùn)算,會(huì)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算.

【難點(diǎn)】二次根式的除法與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.

國(guó)教學(xué)過(guò)程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一:化育中學(xué)有一塊直角三角形的花臺(tái),計(jì)劃讓九年級(jí)的同學(xué)負(fù)責(zé)花臺(tái)周?chē)那鍧嵭l(wèi)生.已知直角邊4/

m,g3m,你能求出斜邊形的邊長(zhǎng)嗎?在學(xué)習(xí)了下一章后，根據(jù)勾股定理得但=.

在上面的問(wèn)題中,你會(huì)計(jì)算的結(jié)果嗎?學(xué)習(xí)這節(jié)課后,你將很容易地解答這類(lèi)問(wèn)題.

導(dǎo)入二：1.請(qǐng)同學(xué)們回憶?=(a20,g0)是如何得到的？

學(xué)生回憶二次根式乘法的運(yùn)算法則的推導(dǎo)過(guò)程,并總結(jié)學(xué)習(xí)方法.

2.計(jì)算下面的式子,并請(qǐng)每一個(gè)同學(xué)舉出一個(gè)例子.

(1)=,=；(2)=,=；

教師巡視學(xué)生舉例和計(jì)算結(jié)果是否正確.

這些式子的計(jì)算涉及我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的二次根式的除法等相關(guān)內(nèi)容,讓我們一起來(lái)探究

匿新知構(gòu)建

1.二次根式的除法

思路一計(jì)算下列各式,觀察計(jì)算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(1)=,=；

(2)=,=;

(3)=,=.

8

參考上面的結(jié)果，用“>”或“="填空.

老師糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤后，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)和總結(jié)式子有什么規(guī)律,指出幾名學(xué)生回答,其余

學(xué)生補(bǔ)充.

提問(wèn):二次根式的除法法則是什么?字母表達(dá)式是怎樣的？

學(xué)生總結(jié)二次根式除法的法則：

即兩個(gè)二次根式相除,把被開(kāi)方數(shù)相除,根指數(shù)不變.

追問(wèn):ab的取值范圍為什么不同？

學(xué)生思考,交流:因?yàn)榉帜覆荒転?,所以b^O.當(dāng)水0,ZK0時(shí),，無(wú)意義,因此b>0.

(教材例4)計(jì)算：

(1)；(2)+.

學(xué)生利用=(a20,力0)進(jìn)行計(jì)算,根據(jù)學(xué)生計(jì)算情況指點(diǎn).對(duì)于(2)題,需將除法轉(zhuǎn)化成乘法后,再進(jìn)行化簡(jiǎn).

解：(1)==2.(2)+===3.

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)

思路

(1)=,=；

(2)二，二;

(3)=,=.

參考上面的結(jié)果，用“>”或“="填空.

你認(rèn)為=(a，0,b>0).

學(xué)生計(jì)算后比較每一組的結(jié)果,說(shuō)出自己的發(fā)現(xiàn),教師明確商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

=(a》0,6>0),即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

［過(guò)渡語(yǔ)］二次根式的乘法公式可以逆用,那么除法公式可以逆用嗎？

學(xué)生閱讀教材第8頁(yè)內(nèi)容:把=(a，0,?0)反過(guò)來(lái)，就得到=(a,0,6>0),利用它就可以將二次根式化簡(jiǎn).

(教材例5)化簡(jiǎn)：

(1)；(2).

學(xué)生獨(dú)立完成后,找學(xué)生口述解題過(guò)程,教師將過(guò)程寫(xiě)在黑板上.

引導(dǎo)學(xué)生歸納:商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，

即=（a》0,6>0）.

9

3.最簡(jiǎn)二次根式

［過(guò)渡語(yǔ)］你能用積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)嗎？

化簡(jiǎn):=；=.

學(xué)生獨(dú)自練習(xí)后，教師講解.

由于27可以分解為3?X3,根據(jù)=?（a，0"，0）,則有=X=3,可以根據(jù)=（a》0,垃0）得，再利用分?jǐn)?shù)的基本

性質(zhì)可以變形，則有==.

追問(wèn):觀察化簡(jiǎn)結(jié)果3和，它們有什么特點(diǎn)？自己可以再舉例說(shuō)明.

引導(dǎo)學(xué)生從上面兩小題化簡(jiǎn)的過(guò)程來(lái)看：

（1）把被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)（或因式）開(kāi)出來(lái)；

（2）把被開(kāi)方數(shù)中所含有的分母化去.

進(jìn)一步歸納總結(jié):如果二次根式滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；（2）被開(kāi)方

數(shù)中不含有分母.那么這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.

4.例題講解

（教材例6）計(jì)算：

（1）；（2）;（3）.

先引導(dǎo)學(xué)生分析本題3道小題,根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式,在自己練

習(xí)后小組交流.

［解題策略］化簡(jiǎn)二次根式的方法:①把被開(kāi)方數(shù)化為能開(kāi)得盡方的因數(shù)（或因式）與其他因數(shù)（或因式）積的

形式,再開(kāi)平方即可;②被開(kāi)方數(shù)是小數(shù)的,要化成分?jǐn)?shù),可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),使得化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)不含分

母;③當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是和（或差）的形式時(shí),要把被開(kāi)方數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)或分解因式,再化簡(jiǎn).

（教材例7）設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S,相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a,b.已知92,少,求a.

學(xué)生先分析題意,獨(dú)立列出式子,再代值計(jì)算.

分析：；S=ab,：.，，將S6的值代入進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

叵課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

1.=（a,0,力0）,即兩個(gè)二次根式相除,把被開(kāi)方數(shù)相除,根指數(shù)不變.

2.=（a20,6>0）,即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

3.如果一個(gè)二次根式滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

我們稱(chēng)這樣的二次根式為最簡(jiǎn)二次根式.

區(qū)板書(shū)設(shè)計(jì)

10

第1課時(shí)

1.二次根式的除法例1

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)例2

3.最簡(jiǎn)二次根式

應(yīng)布置作業(yè)

教材第10頁(yè)練習(xí)第1,2,3題;教材第10頁(yè)習(xí)題16.2第2,3,4題.

舊教學(xué)反思

本節(jié)課以問(wèn)題的方式提出要解決的問(wèn)題,讓學(xué)生觀察、計(jì)算、歸納,運(yùn)用類(lèi)比學(xué)習(xí)的方法探究得出二次根式的

除法法則.在探究過(guò)程中注意觀察知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的全過(guò)程,從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)情感和學(xué)習(xí)品質(zhì)得到升華,學(xué)生

的創(chuàng)新精神得到發(fā)展.本課時(shí)設(shè)計(jì)充分反映了課堂教學(xué)的靈活性與探究性,基本達(dá)到了通過(guò)再創(chuàng)造培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新

精神和創(chuàng)造能力的教學(xué)目標(biāo).

16.3二次根式的加減

①教學(xué)目標(biāo)

1.將二次根式化成被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式,再進(jìn)行合并.

2.能對(duì)含有二次根式的式子進(jìn)行加減運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用.

3.會(huì)計(jì)算二次根式的加減乘除混合運(yùn)算,能準(zhǔn)確地進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.

（事教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算.

【難點(diǎn)】探索二次根式加減運(yùn)算的方法和準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算.

第HI課時(shí)

。教學(xué)目標(biāo)

理解和掌握二次根式加減的方法.

先提出問(wèn)題,分析問(wèn)題,在分析問(wèn)題過(guò)程中,滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗(yàn),用它來(lái)指導(dǎo)

根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).

（事教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】二次根式加減法的運(yùn)算.

【難點(diǎn)】快速準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式加減法的運(yùn)算.

s教學(xué)過(guò)程

11

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：(出示教材第12頁(yè)問(wèn)題)現(xiàn)有一塊長(zhǎng)7.5d叫寬5dm的木板,能否采用如圖的方式,在這塊木板上截出

兩個(gè)面積分別是8dm?和18dm，的正方形木板？

提問(wèn):①大、小正方形木板的邊長(zhǎng)分別為dm和dm,木板是否夠?qū)?②木板是否夠長(zhǎng)呢?③怎樣計(jì)算+的結(jié)果呢？

引導(dǎo)學(xué)生思考,并進(jìn)行交流.

兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別為dm和dm,均小于5dm,所以木板的寬度夠,下面考慮木板是否夠長(zhǎng),兩個(gè)正方形

的邊長(zhǎng)的和為dm,實(shí)際上是求和的和,然后再比較+與7.5的大小.

怎樣計(jì)算+呢?下邊我們來(lái)探究二次根式的加減.

導(dǎo)入二:我們一起來(lái)回顧一下:最簡(jiǎn)二次根式必須要滿(mǎn)足哪幾個(gè)條件？

(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母；(2)被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

［過(guò)渡語(yǔ)］二次根式的乘除法,可以用被開(kāi)方數(shù)乘或者除以被開(kāi)方數(shù),然后化簡(jiǎn)得出結(jié)果.那么，二次根式的

加法能用被開(kāi)方數(shù)加上或減去被開(kāi)方數(shù)嗎？

提問(wèn):-=正確嗎？

本節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)二次根式的加減之后就會(huì)明白上面的計(jì)算是否正確.

展新知構(gòu)建

1.二次根式的加減法

［過(guò)渡語(yǔ)］我們可否用整式的加減的方法來(lái)計(jì)算二次根式的加減呢？

思路一教師引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)入一中的二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：

追問(wèn):可以像合并同類(lèi)項(xiàng)那樣合并嗎？

學(xué)生小組討論回答:相當(dāng)于x,則合并同類(lèi)項(xiàng)2戶(hù)3A=(2+3)尸5%用類(lèi)比的方法可知:根號(hào)前邊的數(shù)字相當(dāng)于系

數(shù),把系數(shù)相加得：(2+3)=5.

師生歸納:一般地,二次根式相加減時(shí),可先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并.

思路二

(1)合并同類(lèi)項(xiàng)：

①2;t+3;r=;②2a2-3a2+5a2=.

(2)請(qǐng)同學(xué)們用類(lèi)似合并同類(lèi)項(xiàng)的方法計(jì)算下列各題,并說(shuō)說(shuō)計(jì)算過(guò)程有什么規(guī)律.

①2+3=;②2-3+5=.

12

學(xué)生回顧,合并同類(lèi)項(xiàng)就是把系數(shù)相加減,字母部分不變.2戶(hù)3產(chǎn)(2+3)產(chǎn)5%2a2-3，+5a%(2-3+5)3=43,教師

提醒要注意不是同類(lèi)項(xiàng)的不能合并.

追問(wèn):第(1)問(wèn)中的①中x換成,②中才換成,就成了第(2)問(wèn)中的兩個(gè)題目了,又該怎樣運(yùn)算呢？

學(xué)生用類(lèi)似合并同類(lèi)項(xiàng)的方法,得:①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):第(2)問(wèn)中的①和②都是將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并,如果二次根式不是最簡(jiǎn)二次根

式,需先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.例如,+=3+2=5.

教師歸納:二次根式加減時(shí),先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

2.例題講解

(教材例1)計(jì)算：

(D-；(2)+.

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次根式,,,化簡(jiǎn),并進(jìn)行檢查、指正.

由學(xué)生獨(dú)立完成解答過(guò)程,按照被開(kāi)方數(shù)相同的合并在一起.

(教材例2)計(jì)算：

(1)2-6+3;

(2)+.

指導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn),再加減,并追問(wèn):與能合并嗎？

學(xué)生能成功化簡(jiǎn),并在明白與的被開(kāi)方數(shù)不相同,不能合并的基礎(chǔ)上,再計(jì)算.

［方法歸納］二次根式的加減運(yùn)算,第一步是將不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式；第二步是將被開(kāi)方數(shù)

相同的最簡(jiǎn)二次根式合并,如果有括號(hào),先去括號(hào).

時(shí)課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

二次根式的加減運(yùn)算,可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

①二次根式加減的實(shí)質(zhì)是將被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并,與整式加減中合并同類(lèi)項(xiàng)類(lèi)似,即只把系

數(shù)相加減,根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變；

②在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)還要注意,根號(hào)外的因式就是這個(gè)根式的系數(shù),二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化為假分?jǐn)?shù)的形

式；

③被開(kāi)方數(shù)不相同的最簡(jiǎn)二次根式不能合并,對(duì)于沒(méi)有合并的二次根式一定不能丟掉，其也是結(jié)果的一部分.

J5板書(shū)設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.二次根式的加減法

13

2.例題講解例1例2

場(chǎng)布置作業(yè)

教材第13頁(yè)練習(xí)第1,2,3題;教材第15頁(yè)習(xí)題16.3第1,2,3題.

舊教學(xué)反思

在授課過(guò)程中，以學(xué)生為主體,進(jìn)行探究性學(xué)習(xí),讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出概念.在例題的選擇上由簡(jiǎn)到難,符

合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，便于掌握.在得到定義、法則的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、思考、探究的過(guò)程,體會(huì)學(xué)習(xí)知識(shí)

的成功與快樂(lè).

在教學(xué)過(guò)程中,存在著一些不足之處.一是對(duì)學(xué)情分析不足,主要是過(guò)高估計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,對(duì)以前學(xué)過(guò)的二

次根式的化簡(jiǎn)復(fù)習(xí)工作做得不夠,導(dǎo)致后續(xù)的新知識(shí)的學(xué)習(xí)遇到許多麻煩.二是在學(xué)生自主學(xué)習(xí)方面還存在著不

足.遇到困難有畏難情緒、對(duì)老師的依賴(lài)性太強(qiáng).這些都有待于在今后的教學(xué)中進(jìn)行教育和引導(dǎo).

第2課時(shí)

①教學(xué)目標(biāo)

在有理數(shù)的混合運(yùn)算及整式的混合運(yùn)算基礎(chǔ)上,使學(xué)生了解二次根式的混合運(yùn)算與以前所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系,在比

較中得到方法,并能熟練地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.

i.對(duì)二次根式的混合運(yùn)算與整式的混合運(yùn)算及數(shù)的混合運(yùn)算作比較,注意運(yùn)算順序及運(yùn)算律在計(jì)算過(guò)程中的

作用.

2.通過(guò)引導(dǎo),在多解中進(jìn)行比較,尋求有效快捷的計(jì)算方法.

(.教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】能熟練進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.

【難點(diǎn)】靈活運(yùn)用因式分解、約分等技巧，運(yùn)用運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便.

國(guó)教學(xué)過(guò)程

￡新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一:教師節(jié)快要到了，為了表示對(duì)老師的敬意,小波做了兩張大小不同的正方形壁畫(huà)準(zhǔn)備送給老師.其中一張

面積為800cm2,另一張面積為4500cm2,他想如果再用金彩帶鑲上邊會(huì)更漂亮.他現(xiàn)在有一條長(zhǎng)1.2m的金彩帶,

請(qǐng)你幫忙算一算,他的金彩帶夠用嗎?若不夠用,還需要購(gòu)買(mǎi)多長(zhǎng)的金彩帶？

引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算所需金彩帶的總長(zhǎng),列式為4(+),思考計(jì)算方法.

如何計(jì)算呢?通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們就會(huì)很容易解決這一問(wèn)題.

14

導(dǎo)入二:讓我們一起來(lái)回顧一下二次根式的基本運(yùn)算,你會(huì)計(jì)算下面幾個(gè)式子嗎？

計(jì)算：(l)+;(2)X;(3)+.

學(xué)生計(jì)算交流后，提出問(wèn)題：

(+)應(yīng)怎樣計(jì)算?乘法分配律依然可以應(yīng)用嗎？

本節(jié)課我們重點(diǎn)探究整式的乘法法則和公式在二次根式的混合運(yùn)算中仍然適用和二次根式的混合運(yùn)算的問(wèn)題.

除新知構(gòu)建

1.探究整式的乘法法則和公式在二次根式的混合運(yùn)算中仍然適用

思路一

［過(guò)渡語(yǔ)］下面我們看看,整式乘法法則和公式在二次根式混合運(yùn)算中仍然適用嗎？

(1)怎樣計(jì)算4(+)?

引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過(guò)的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(加c)=a"ac嘗試計(jì)算,并全班交流.

4(+)=4+4=4X20+4X30=80+120.

(2)怎樣計(jì)算(+2)(-2)?

引導(dǎo)學(xué)生回憶整式乘法公式,仿照(護(hù)6)(左方)=3-3嘗試計(jì)算,并全班交流.

(+2)(-2)=()2-(2)2=3-8=-5.

(3)(+2)2和(-2)2又該如何計(jì)算呢？

學(xué)生討論,用完全平方公式計(jì)算.

(+2)2=()2+2XX2+(2)J3+4+8=l1+4.

(-2)2=()2-2XX2+(2)2=3-4+8=ll-4.

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):整式的乘法法則和公式在二次根式的混合運(yùn)算中仍然適用.

思路二(1)請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

計(jì)算：

①(2廣力?zx-,

②(2力+3孫

③(2A+3力(2r3力;

④(2A+1)”(2尸1)2.

學(xué)生計(jì)算后,老師點(diǎn)評(píng).這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn).主要有:單項(xiàng)式X單項(xiàng)式;單項(xiàng)式X多項(xiàng)式；

多項(xiàng)式X多項(xiàng)式;多項(xiàng)式+單項(xiàng)式；完全平方公式的運(yùn)用;平方差公式的運(yùn)用.

如果把上面的x,%z改成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢?仍成立.

15

整式運(yùn)算中的X,y,z是一種字母,它的意義十分廣泛,可以代表所有的式子,當(dāng)然也可以代表二次根式,所以整

式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式.

下面,我們來(lái)驗(yàn)證一下用乘法分配律計(jì)算(+)X.

(+)X=(2+3)X=5X=10,

(+)X=X+X=4+6=10.

引導(dǎo)學(xué)生觀察,發(fā)現(xiàn):這兩種方法的結(jié)果是相同的.在二次根式運(yùn)算中,乘法分配律依然可以應(yīng)用.

(2)自己舉例驗(yàn)證平方差公式和完全平方公式是否可以應(yīng)用于二次根式的運(yùn)算.

小組討論后,全班交流.

2.二次根式的混合運(yùn)算

［過(guò)渡語(yǔ)］二次根式的混合運(yùn)算順序也與整式混合運(yùn)算順序一樣嗎？

怎樣計(jì)算(-2)(2-)?

同桌討論,類(lèi)比(廿26)(2,力的計(jì)算方法計(jì)算上式.

教師明確:二次根式的混合運(yùn)算順序與有理數(shù)中的運(yùn)算順序一樣:先乘方,再乘除,最后加減;有括號(hào)時(shí)先算括

號(hào)內(nèi)的.

3.例題講解

［過(guò)渡語(yǔ)］剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿(mǎn)足整數(shù)的運(yùn)算律和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序,下面我們直接運(yùn)用這

些運(yùn)算律和公式來(lái)解決一些問(wèn)題.

(教材例3)計(jì)算：

⑴(+)X;

(2)(4-3)+2.

引導(dǎo)學(xué)生先觀察式子的特點(diǎn)，確定：(1)屬于“多項(xiàng)式X單項(xiàng)式”，直接用乘法分配律計(jì)算；(2)屬于“多項(xiàng)式除以

單項(xiàng)式”，“用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再將結(jié)果加在一起”即可.

(教材例4)計(jì)算：

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)都是“多項(xiàng)式X多項(xiàng)式”的類(lèi)型，可以根據(jù)整式乘法中多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可，

而(2)根據(jù)平方差公式計(jì)算更簡(jiǎn)便.

時(shí)課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

關(guān)于二次根式的四則混合運(yùn)算,實(shí)質(zhì)上就是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.(1)運(yùn)算順序與有理式的運(yùn)算順序相同；(2)運(yùn)算

律仍然適用；(3)與多項(xiàng)式的乘法和因式分解類(lèi)似，可以利用乘法公式與因式分解的方法來(lái)簡(jiǎn)化二次根式的有關(guān)

運(yùn)算.

16

f5板書(shū)設(shè)計(jì)

第2課時(shí)

1.探究整式的乘法法則和公式在二次根式的混合運(yùn)算中仍然適用

2.二次根式的混合運(yùn)算

3.例題講解例1例2

運(yùn)布置作業(yè)

教材第14頁(yè)練習(xí)第1,2題;教材第15頁(yè)習(xí)題16.3第4題.

舊教學(xué)反思

教學(xué)中強(qiáng)調(diào)了前面學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)二次根式同樣適用,反映了數(shù)學(xué)理論的一貫性,使學(xué)生在學(xué)習(xí)中

感到所學(xué)并不難.整節(jié)課,始終以練習(xí)為主,通過(guò)例題練習(xí),將新舊知識(shí)緊密聯(lián)系在一起,并不斷鞏固運(yùn)算法則和

運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中的運(yùn)用.

過(guò)分注重了探究整式的乘法法則和公式在二次根式的混合運(yùn)算中仍然適用的問(wèn)題,讓學(xué)生運(yùn)用法則和公式計(jì)

算二次根式的混合運(yùn)算的練習(xí)時(shí)間較少,一些學(xué)生還容易出現(xiàn)運(yùn)算順序出現(xiàn)錯(cuò)誤和錯(cuò)用公式的現(xiàn)象.

本/章/復(fù)/習(xí)/教/案

Q教學(xué)目標(biāo)

i.使學(xué)生進(jìn)一步理解二次根式的意義及基本性質(zhì),并能熟練地化簡(jiǎn)含二次根式的式子.

2.熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算.

(.教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】含二次根式的式子的混合運(yùn)算.

【難點(diǎn)】綜合運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則化簡(jiǎn)和計(jì)算含二次根式的式子.

Q知識(shí)總結(jié)

二次根式

17

第十七章勾股定理

?教學(xué)目標(biāo)

1.掌握勾股定理,能應(yīng)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用.

2.掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），會(huì)運(yùn)用勾股定理逆定理解決相關(guān)問(wèn)題.

體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程,經(jīng)歷觀察一一猜想一一歸納——驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程,發(fā)展合情推理的能力,體會(huì)

數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

e教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】會(huì)靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算及解決一些實(shí)際問(wèn)題,掌握勾股定理的逆定理的內(nèi)容及其證明過(guò)程,

并會(huì)應(yīng)用其解決一些實(shí)際問(wèn)題.

【難點(diǎn)】掌握勾股定理的探索過(guò)程及適用范圍,理解勾股定理及其逆定理.

a課時(shí)劃分

17.1勾股定理3課時(shí)

17.2勾股定理的逆定理1課時(shí)

單元概括整合1課時(shí)

17.1勾股定理

第［E課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.了解勾股定理的文化背景，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法.

2.能說(shuō)出勾股定理,并能應(yīng)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

￥教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】探索和驗(yàn)證勾股定理，并能應(yīng)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

【難點(diǎn)】用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理.

舊教學(xué)過(guò)程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一:國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.2002年在北京召

開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì).此圖案就是大會(huì)會(huì)徽的圖案.

18

大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案有什么特殊含義呢?這個(gè)圖案與數(shù)學(xué)中的勾股定理有著密切的關(guān)系.中國(guó)古代人把直角三角形

中較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.上述圖案就揭示了“勾”“股”

“弦”之間的特殊關(guān)系.

我們學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形,知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形,它有許多特殊的性質(zhì).研究特例是數(shù)學(xué)

研究的一個(gè)方法,直角三角形是有一個(gè)角為直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三

角形的三邊之間存在怎樣的關(guān)系呢?我們的探究活動(dòng)就從等腰直角三角形開(kāi)始吧.

導(dǎo)入二:請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察課本封面和本章章前彩圖,說(shuō)一說(shuō)封面和章前彩圖中的圖形表示什么意思?它們之

間有聯(lián)系嗎？

封面是我國(guó)公元3世紀(jì)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“弦圖”，章前彩圖是2002年世界數(shù)學(xué)家大

會(huì)的會(huì)徽,大會(huì)的會(huì)徽使用的主體圖案就是“趙爽弦圖”.

目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào),如地球上人類(lèi)的語(yǔ)言、

音樂(lè)、各種圖形等.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形,如果宇宙人是“文明人”，那么他

們一定會(huì)識(shí)別這種語(yǔ)言的.這個(gè)事實(shí)可以說(shuō)明勾股定理的重大意義.尤其是在兩千年前,是非常了不起的成就.

你知道為什么把這個(gè)圖案作為這次大會(huì)的會(huì)徽嗎?本節(jié)課,我們一起來(lái)解讀圖中的奧秘.

導(dǎo)入三:如圖所示,一座城墻高11.7m,城墻外有一條寬為9m的護(hù)城河,那么一架長(zhǎng)為15m的云梯能否達(dá)到

城墻的頂端？

這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,一個(gè)非常重要的定理——“勾股定理”.

g新知構(gòu)建

1.探索勾股定理

(1)探索等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系.

師:這個(gè)地面圖案中有大大小小、各種“姿勢(shì)”的正方形.畢達(dá)哥拉斯在這些正方形中發(fā)現(xiàn)了什么呢？(出示教

材圖17.1-2)

19

(1)問(wèn)題提出：在圖17.1-2中，是以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形.這三個(gè)正方形面積之間存在

怎樣的關(guān)系?三個(gè)正方形之間的面積關(guān)系說(shuō)明了什么？

(2)學(xué)生活動(dòng):質(zhì)疑、猜測(cè)、探索、交流三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系.

學(xué)生的探索方法可能是:通過(guò)數(shù)正方形內(nèi)等腰直角三角形個(gè)數(shù)的辦法，得出兩個(gè)小正方形的面積之和等于大正

方形的面積.

(3)教師總結(jié):通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù),或者用割補(bǔ)的方法將小正方形中的等腰直角三角形補(bǔ)成一

個(gè)大正方形,得出結(jié)論:小正方形的面積之和等于大正方形的面積,也就是等腰直角三角形兩條直角邊的平方和

等于斜邊的平方.

追問(wèn):在圖17.1-2中，如果選取更大的等腰直角三角形，按照同樣的方法作三個(gè)正方形，這三個(gè)正方形的面

積關(guān)系還一樣嗎?如圖所示.

思路一

［過(guò)渡語(yǔ)］除了等腰直角三角形之外，一些特殊邊長(zhǎng)的直角三角形,還有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方

和的規(guī)律嗎？

(出示教材圖17.1-3)

提出問(wèn)題：(結(jié)合帶提示的下圖)

1.正方形A,B,C的面積分別是多少?它們之間的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明了什么？

2.正方形A',B',C'的面積分別是多少?它們之間的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明了什么？

20

學(xué)生活動(dòng):依據(jù)教材探究的提示,根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng),分別計(jì)算出正方形A,B,A',B'的面積;再通過(guò)建立一

個(gè)大正方形計(jì)算出正方形C,C'的面積.

探究提示:正方形A,B的面積分別為4和9,通過(guò)建立邊長(zhǎng)為5的正方形,計(jì)算出正方形C的面積為25減去四

個(gè)小直角三角形面積和,也就是正方形C的面積為13.

同理,正方形A',B'的面積分別為9和25,通過(guò)建立邊長(zhǎng)為8的正方形,計(jì)算出正方形C'的面積為64減去四

個(gè)小直角三角形面積和,也就是正方形C'的面積為34.

活動(dòng)總結(jié):直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方.

思路二L畫(huà)一個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出姐的長(zhǎng).再畫(huà)一個(gè)兩直角

邊長(zhǎng)分別為5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量形的長(zhǎng).

你是否發(fā)現(xiàn)3、42與￡的關(guān)系,54122和13?的關(guān)系？

學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn):32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.

學(xué)生討論:對(duì)于任意的直角三角形,也有這個(gè)性質(zhì)嗎？

2.如圖所示,每個(gè)小方格的面積均為1,請(qǐng)分別算出圖中正方形A,B,。的面積,看看能得出什么結(jié)論.

4的面積8的面積。的面積

左上圖16925

右下圖4913

探究提示:右下圖正方形。的面積為25減去四個(gè)小直角三角形面積和12,也就是正方形。的面積為13.左上

圖亦是同樣的思考方法.

學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn):小正方形A,B的面積之和等于大正方形C的面積.

追問(wèn)：由以上你能得出什么結(jié)論?若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,則a,b,c有什么關(guān)系？

21

教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出:直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的

平方.數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

2.勾股定理的證明

教師提問(wèn):對(duì)于任意直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生猜想:如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么界6=占

追問(wèn):以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值,一般情況下,如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)

為G我們的猜想仍然成立嗎？

思路一(出示教材圖17.1-5)讓學(xué)生剪4個(gè)全等的直角三角形，拼成如圖所示的圖形，利用面積證明.

圖中大正方形的面積是c2,直角三角形的面積是ab,中間正方形的面積為(6血I則有c2=a6X4+(Zra)l即

a2+Z>2=c2.

教師適時(shí)介紹:這個(gè)圖案是公元3世紀(jì)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”.

趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以按如圖所示圍成一個(gè)大正方形，中間部分是一個(gè)小正方形

(黃實(shí)).我們剛才用割的方法證明使用的就是這個(gè)圖形.

教師在學(xué)生歸納基礎(chǔ)上總結(jié):直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方.中國(guó)人稱(chēng)它為“勾股定理”，

外國(guó)人稱(chēng)它為“畢達(dá)哥拉斯定理”.

思路二學(xué)生利用拼圖游戲驗(yàn)證定理,并思考:能用右圖證明這個(gè)結(jié)論嗎？

已知:在△胸中，N4?90°,ABAC,AABC,的對(duì)邊分別為a,b,c.

求證:a2+Z>2=c2.

(1)讓學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)三角形模型,最好是有顏色的紙,讓學(xué)生拼擺不同的形狀,利用面積相等進(jìn)行證明.

(2)拼成如圖所示,其等量關(guān)系為4Xa什(卜公=4,化簡(jiǎn)可證.

(3)發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形,進(jìn)行證明.

利用下面這些圖也能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

22

教師指導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證.

我們證明了以上結(jié)論的正確性，我們就可稱(chēng)之為定理,這就是著名的“勾股定理”.

請(qǐng)同學(xué)們用不同的表達(dá)方式（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）表述這一定理.

勾股定理的名稱(chēng)介紹：3000多年前,我國(guó)古代有一個(gè)叫商高的人說(shuō)：“把一根直尺折成直角,兩端連接得一直

角三角形,勾廣三，股修四,弦隅五這句話意思是說(shuō)一個(gè)直角三角形較短直角邊（勾）的長(zhǎng)是3,長(zhǎng)的直角邊（股）

的長(zhǎng)是4,那么斜邊（弦）的長(zhǎng)是5.因?yàn)楣垂啥ɡ韮?nèi)容最早出現(xiàn)在商高的話中，所以又稱(chēng)“商高定理”.一千多年

后,西方的畢達(dá)哥拉斯證明了此定理,因此又叫“畢達(dá)哥拉斯定理”，當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為了紀(jì)念這一發(fā)現(xiàn)，殺

了一百頭牛慶功，故而還叫“百牛定理”.一個(gè)定理有如此多的“頭銜”，可見(jiàn)勾股定理的不凡.

思路三

［過(guò)渡語(yǔ)］以上猜想經(jīng)過(guò)古今中外的人多次證明都是成立的.我國(guó)人稱(chēng)它為“勾股定理”，在西方,它被稱(chēng)

作“畢達(dá)哥拉斯定理”.目前世界上可以查到證明勾股定理的方法不下500種.

1876年,美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德利用下圖驗(yàn)證了勾股定理.你也能完成證明過(guò)程嗎？

證明：以a,8為直角邊,以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角形的面積等于ab.把這兩個(gè)直

角三角形拼成如圖所示的形狀,使4￡8三點(diǎn)在一條直線上.

VRtA￡4Z^RtACB￡；

：.Z.ADB-Z.BEC.

?.23>/池層90°,

:.NAE*NBEC=90°.

：.ZDJ?C=18Q°-90°=90°.

...△龍C是一個(gè)等腰直角三角形,它的面積等于c2.

又如后90°,乙期90°,

:.AD〃BC.

A四邊形幽是一個(gè)直角梯形,它的面積等于（界b）2.

.二（96）三2Xa/H-c2.

23

:.a2+A2=c2.

學(xué)生思考后,教師再展示證明過(guò)程.

3.例題講解

(補(bǔ)充)在直角三角形中,各邊的長(zhǎng)如圖,求出未知邊的長(zhǎng)度.

引導(dǎo)分析:如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么才+〃=/通過(guò)對(duì)等式變形,可以得出

直角三角形三邊之間的關(guān)系：c=,左,年.

解：(1)根據(jù)勾股定理，得仍==.

(2)根據(jù)勾股定理，得止=2.

［解題策略］在直角三角形中，已知兩邊長(zhǎng),求第三邊長(zhǎng),應(yīng)用勾股定理求解,也可建立方程解決問(wèn)題.

(補(bǔ)充)有兩邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm的直角三角形，其第三邊長(zhǎng)為cm.

(解析)分情況討論:當(dāng)4cm為直角邊長(zhǎng)時(shí),當(dāng)4cm為斜邊長(zhǎng)時(shí),依次求出答案即可.①當(dāng)4cm是直角邊

長(zhǎng)時(shí)，斜邊=5(cm),此時(shí)第三邊長(zhǎng)為5cm;②當(dāng)4cm為斜邊長(zhǎng)時(shí),第三邊==(cm).綜上可得第三邊的長(zhǎng)度為5cm

或cm.故填5或.

［解題策略］注意掌握勾股定理的表達(dá)式,分類(lèi)討論是解決此題的關(guān)鍵,難點(diǎn)在于容易漏解.

E課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

1.如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么甘+6=±即直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的平方和等于

斜邊長(zhǎng)的平方.

2.注意事項(xiàng)：

(1)注意勾股定理的使用條件:只對(duì)直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.

(2)注意分清斜邊和直角邊,避免盲目代入公式致錯(cuò).

(3)注意勾股定理公式的變形:在直角三角形中，已知任意兩邊長(zhǎng),可求第三邊長(zhǎng)，即L,k,衣.

區(qū)板書(shū)設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.探索勾股定理

2.勾股定理的證明

3.例題講解例1例2

24

舊教學(xué)反思

本節(jié)課從知識(shí)與方法、能力與素質(zhì)的層面確定了相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo).把學(xué)生的探索和驗(yàn)證活動(dòng)放在首位,一方面

要求學(xué)生在老師的引導(dǎo)下自主探索，合作交流，另一方面要求學(xué)生對(duì)探究過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法有一定的領(lǐng)

悟和認(rèn)識(shí),達(dá)到培養(yǎng)能力的目的.整節(jié)課以“問(wèn)題情境一一分析探究——得出猜想——實(shí)踐驗(yàn)證一一總結(jié)升華”

為主線,使學(xué)生親身體驗(yàn)勾股定理的探索和驗(yàn)證過(guò)程,努力做到由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂向?qū)嶒?yàn)課堂轉(zhuǎn)變.

第②課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

能說(shuō)出勾股定理,能運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題.

1.通過(guò)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形這一模型,強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)和能力.

2.經(jīng)歷探究勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用過(guò)程,進(jìn)一步體會(huì)勾股定理的應(yīng)用方法.

Q教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.

【難點(diǎn)】勾股定理的靈活運(yùn)用.

13教學(xué)過(guò)程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：電視的尺寸是屏幕對(duì)角線的長(zhǎng)度.小華的爸爸買(mǎi)了一臺(tái)29英寸(74cm)的電視機(jī),小華量電視機(jī)的屏幕

后,發(fā)現(xiàn)屏幕只有58cm長(zhǎng)和46cm寬.他覺(jué)得一定是售貨員搞錯(cuò)了,你同意他的想法嗎?你能解釋是為什么嗎？

引導(dǎo)學(xué)生回憶勾股定理的內(nèi)容，學(xué)生再?lài)L試解決上面的問(wèn)題.

導(dǎo)入二：上節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了勾股定理,它的具體內(nèi)容是什么呢?它有什么作用呢？

教師出示問(wèn)題:求出下列直角三角形中未知的邊.

提出問(wèn)題后讓一位學(xué)生板演,剩下的學(xué)生在課堂作業(yè)本上完成.

教師巡視指導(dǎo)答疑,在活動(dòng)中重點(diǎn)關(guān)注：

(1)學(xué)生能否正確應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算；

(2)在解決直角三角形的問(wèn)題時(shí)，需知道直角三角形的兩個(gè)條件且至少有一個(gè)條件是邊;

(3)讓學(xué)生了解在直角三角形中斜邊最長(zhǎng).

25

國(guó)新知構(gòu)建

［過(guò)渡語(yǔ)］勾股定理應(yīng)用比較廣泛,我們一起來(lái)看看下面幾個(gè)問(wèn)題.

L木板進(jìn)門(mén)問(wèn)題

思路一(D分析導(dǎo)入一提出的問(wèn)題.

教師在學(xué)生討論基礎(chǔ)上明確解決問(wèn)題的方法:計(jì)算電視機(jī)對(duì)角線的長(zhǎng)度,看是否為74cm.

解:根據(jù)勾股定理,得*74(cm).

因此，這臺(tái)電視機(jī)符合規(guī)格.

(2)自學(xué)教材第25頁(yè)例1.

教師提問(wèn)：門(mén)框能通過(guò)薄木板的最大寬度是多少？

學(xué)生帶著問(wèn)題閱讀題目，試寫(xiě)解答過(guò)程.

(3)變式練習(xí)：長(zhǎng)方體盒內(nèi)長(zhǎng)、寬、高分別為3cm,2.4cm和L8cm,盒內(nèi)可放的棍子最長(zhǎng)為cm.

本題需先求出長(zhǎng)和寬組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng),為=(cm).這根最長(zhǎng)的棍子和長(zhǎng)方體的高,以及長(zhǎng)和寬組成的長(zhǎng)

方形的對(duì)角線組成了直角三角形,則棍子最長(zhǎng)為=3(cm).

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié):遇到求木板進(jìn)門(mén)或?qū)⑽矬w放入立體圖形內(nèi)的問(wèn)題，常常需要找到能通過(guò)(放入)物體的最大

長(zhǎng)度,與物體的長(zhǎng)度比較大小,從而判斷是否可以通過(guò)(放入).

思路二(教材例1)一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示,一塊長(zhǎng)3m,寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)?為什

么？

逐步引導(dǎo)提問(wèn)：

(1)木板的短邊比門(mén)的高還要長(zhǎng),是否一定不能通過(guò)?還可以分析比較哪兩個(gè)長(zhǎng)度？

(2)這兩個(gè)長(zhǎng)度一個(gè)是木板的短邊長(zhǎng),另一個(gè)是長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng),能求嗎?如何求？

學(xué)生先嘗試后發(fā)現(xiàn):木板橫著進(jìn),豎著進(jìn),都不能從門(mén)框內(nèi)通過(guò).再試一試斜著能否通過(guò).門(mén)框?qū)蔷€4c的長(zhǎng)

度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度.求出AC,再與木板的寬比較,就能知道木板能否通過(guò).

c

2m

A、------B

1m

解:如圖所示,在Rt△被7中,根據(jù)勾股定理,

26

得初=初+初=1，22=5.

AC