2020年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）

數學

本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在

試卷上作答無效，考試結束后，將本試卷和答案卡一并交回,

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中,

選出符合題目要求的一項。

1.已知集合A={-l,0,l,2},S={x|0<x<3}?則=

A.{-1,0,1}

B.{0,1}

C.{-1,1,2）

D.{1,2}

【答案】D

2.在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1,2）,則i?z二

A.l+2i

B.-2+i

C.l-2i

D.-2-i

【答案】B

3.在（4-2）'的展開式中，產的系數為

A.-5

B.5

C.-10

D.10

【答案】C

4.某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為

A.6++

B.6+26

C.12+6

正(主)視圖例(左)視圖

D.12+2>/3

【答案】D

俯視圖

5.已知半徑為1的圓經過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為

(A)4

(B)5

(06

(D)7

【答案】A

6.己知函數〃司=2'-冗-1,則不等式/(外＞0的解集是

(A)(-1,1)

(B)(9,-1)0(1,")

(0(0,1)

(D)(-oo,0)U(t+°o)

【答案】D

7.設拋物線的頂點為。，焦點為產，準線為/,P是拋物線上異于。的一點，

過P作尸。，/于。，則線段尸。的垂直平分線

(A)經過點。

(B)經過點產

(0平行于直線OP

(D)垂直于直線。尸

【答案】B

8.在等差數列｛〃"｝中，〃產9,05r記…%(〃=L幺…)，則數列｛1｝

（A）有最大項，有最小項

（B）有最大項，無最小項

（O無最大項，有最小項

（D）無最大項，無最小項

【答案】B

9.己知a,/3eR,貝!!“存在攵￡Z使得a=Qr+(-1)””是“sina=sin#"的

（A）充分而不必要條件

（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件

【答案】C

10.2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（nDay）.歷史上，求圓周率冗的

方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似，數學家阿爾?卡西的方法是:

當正整數〃充分大時，計算單位圓的內接正6〃邊形的周長和外切正6〃邊形（各

邊均與圓相切的正6〃邊形）的周長，將它們的算術平均數作為2冗的近似值，按

照阿爾?卡西的方法，n的近似值的表達式是

30°30°

(A)3n(sin—+tan—)

n

(B)6〃(sin迎+tan亞)

nn

(C)3〃(sin竺+3監

nn

(D)6心in"+tan空)

nn

【答案】B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數f(x)=」一+加r的定義域是_______.

x+1

【答案】{x|x>0}

12.已知雙曲線。:工-工=1,則C的右焦點的坐標為：C的焦點到

63

其漸近線的距離是.

【答案】(3,0),"

13.已知正方形A8CO的邊長為2,點P滿足麗=；(而+而)，則|而|

=；PBPD=.

【答案】底1T

14.若函數/(x)=sin(x+0)+cosx的最大值為2,則常數°的一個取值為

7T7T

［答案］2+kn,keZ(或2,此答案不唯一)

15.為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求企業加強污水治理，排放未達

標的企業要限期整改，設企業的污水排放量w與時間，的關系為w=/a),用

—粵二的大小評價在口,切這段時間內企業污水治理能力的強弱。已知整改

b-a

期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.

給出下列四個

結論：

①在也由］這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強;

②在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③在13時刻，甲、乙兩企業的污水排放都己達標；

④甲企業在［0/J也冉］,比內］這三段時間中，在［0在］的污水治理能力最強.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②③

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或

證明過程。

綜合題分割

16.(本小題13分)

如圖，在正方體ABC/)-A4GA中，E為3片的中點,

(I)求證：8G□平面A.E；

(II)求直線A4t與平面所成角的正弦值。

1工）毛出為博力

火Wa-R）A呢巧甚彳句皿也不5

八%n仍

Vgqf而A%E,AP《前APR

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被。5外旅欣力Z

R）E（D.Z,。。（2,。,））份（。，。，2）

A.n（O,Z,D/產（2,。/。）

加A（0,。，Z）

役他2E表句*勺卞M伙?力七）,

[m,工=0才?獷：；：0名丁）叫12,k2

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夕而=|附《涵，：7|二=?去?=不

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A）錢峋5面APE所說隼力明又伍力今

綜合題分割

17.（本小題13分）

在口48。中，a+b=\\y再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為

已知，求：

（I）a的值；

（II）sinC和口ABC的面積.

條件①：c=7,cosA=-y;

1a

條件②：cosA=—?cos8=—o

816

注:如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分。

<7./①出短瓏潴心片憶姐A.

得浸（〃-〃）力4卜

1

、:〃二8

（I）A￡0x），二號

中一—,去短，

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⑴二期》太，A”4—件軍

*"3=",抬佃母），：冢B=卯

協以伏巽,若漏,

加:''-2^'，、'.△=6.

（"）S；nOS"（A+6）=刖08十期As；,

二女杜n//,、、.b二工

、、、，二以扇葭［yxtxXx-^=

綜合題分割

18.（本小題14分）

某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方

案二。為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數

據如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100A

方案二350人250人150人250人

假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立。

（I）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（II）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3

人中恰有2人支持方案一的概率；

（III）將該校學生支持方案二的概率估計值記為玲。假設該校一年級有500名

男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為P1,

試比較死與Pl的大小。（結論不要求證明）

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Pm八

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7行

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綜合題分割

19.（本小題15分）

2

已知函數f(x)=12-XO

（I）求曲線y=/（x）的斜率等于-2的切線方程；

（II）設曲線y=/（x）在點心〃力）處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為

SQ）,求S⑴的最小值.

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X

7GLxx-X

邦＞0X犯"

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二s徹徐二找破7

綜合題分割

20.（本小題15分）

己知橢圓C：5+4=l過點A(-2,-l),且a=2。。

crh2

(I)求橢圓C的方程；

(II)過點8(-4,0)的直線/交橢圓C于點M,N,直線AM,NA分別交直線

工=_4于點P,Q.求也的值.

1幽

/()人)

小。今〃“泌?'八

二〃也T叱LI

3牌卜I期??福4

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綜合題分割

21.(本小題15分)

已知｛q｝是無窮數列，給出兩個性質:

①對于｛〃”｝中任意兩項4,為(/>/),在｛凡｝中都存在一項《“，使得生=令

②對于｛。〃｝中任意一項atl(nN3),在｛〃“｝中都存在兩項ak,a\k>l)，使得an=—

(I)若4=〃(〃=1,2,...),判斷數列｛%｝是否滿足性質①，說明理由；

(II)若q=2〃T(〃=1,2,...),判斷數列｛4｝是否同時滿足性質①和性質②，說明

理由；

(III)若｛q｝是遞增數列，且同時滿足性質①和性質②，證明：｛4｝為等比數歹IJ.

2(工)31二3,/八時與二土《

叼z

n(rl、、仕石不謁也抬彼。

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/八▼匕,t：/C&［尸產

⑴?工敘士老縱i有二:2

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11

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2020年普通高等學校招生全國統一考試數學卷

（上海卷）

一、填空題（本題共12小題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7-12題每

題5分）

1.已知集合人={1,2,4},區={2,3,4},求Ari5=_

【分值】4分

【答案】{2用

c1-〃+1

2.hm-----=_________

3n-1

【分值】4分

【答案】3

3.己知復數z滿足z=l-2i（i為虛數單位），貝ij|z|=

【分值】4分

【答案】&

1ac

4.己知行列式2db=6,則行列式"。=______

300j

【分值】4分

【答案】2

5.已知=x3,則（x）=______

【分值】4分

【答案】（XG7?）

6.已知a、b、1、2的中位數為3,平均數為4,則ab二

【分值】4分

【答案】36

x+y>2

7.已知-y>0,貝!]z=y-2x的最大值為

x+2y-3<0

【分值】5分

【答案】-1

8.已知｛q｝是公差不為零的等差數列，且4+/=佝，則

【分值】5分

27

【答案】y

9.從6人中挑選4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1

人,第三天需要2人，則有種排法。

【分值】5分

【答案】180

10.橢圓工+目=1,過右焦點F作直線/交橢圓于P、Q兩點，P在第二象限己

43

知。卜0，"），。'（￡。，"。）都在橢圓上,且幾+丫'。=0，FQ1PQ,則直線/的方

程為________

【分值】5分

【答案】x+y-l=0

11、設若存在定義域R的函數〃力既滿足“對于任意%wR,/（不）的

值為片或與”又滿足“關于x的方程f（x）=〃無實數解”，則a的取值范圍為_

【分值】5分

【答案】（F,O）D（O,1）U（LM）

【解析】題目轉換為是否為實數。，使得存在函數/（力

滿足“對于任意/￡/?,/（/）的值為芯或與”，

又滿足“關于的方程/（力二。無實數解”構造函數；

，貝|J方程=〃

x,x=a

只有0,1兩個實數解。

12、已知。；，。；工，6.....是平面內兩兩互不平等的向量，滿足

―,且后七周⑵（其中i=l,2,J=k）,則K的最大值為

【分值】5分

【答案】6

【解析】根據向量減法的運算規律，

…川口可轉化為以向量［和1

終點為圓心，作半徑/=1和弓=2的

圓，兩圓交點即為滿足題意的,，由

圖知，2的最大值為6.

二、選擇題（本題共有4小題，每題5分，共計20分）

13、下列不等式恒成立的是（）

A、a2+tr<2ab

B、a2+b2>-2ab

C、a+b>-2yj\ab\

D、a+b<2yj\ab\

【分值】5分

【答案】B

【解析】無

14、己知直線/的解析式為3%-4），+1=0,則下列各式是/的參數方程的是（）

x=4+3r

A、＜

y=3-4t

x=4+3r

B、

y=3+4]

小x=l-4t

C、

y=l+3t

x=\+4t

D、

y=l+3r

【分值】5分

【答案】D

【解無

15、在棱長為10的正方體.ABC。-A4GA中，P為左側面A￡@A上一點，

已知點P到AP的距離為3,點p到的距離為2,則過點P且與A。平行的直

線交正方體于P、Q兩點，則。點所在的平面是（）

A.AA.B.B

B.BBgC

C.CCQQ

D.ABCD

【分值】5分

【答案】D

【解析】

延長8c至M點，使得CM=2

延長C0至N點，使得CN=3,

以C、M、N為頂點作矩形，記矩形的另外一個頂點為“,

連接AP、PH、HC,則易得四邊形為平行四邊形，

因為點P在平面APRA內，點”在平面8CG4內，

DiCi

且點P在平面ABC。的上方，點H在平面ABC。下方,

所以線段尸〃必定會在和平面45co相交，

即點Q在平面ABCQ內

16.、若存在awR且arO,對任意的冗wR,均有/(x+〃)v丁(x)+/(〃)恒成立，

則稱函數具有性質P,已知：單調遞減，且/(x)X)恒成立；

&/(力單調遞增，存在/<0使得/(毛)=0,則是f(x)具有性質P的充分條件

是()

A、只有名

B、只有%

C、4和%

D^I和生都不是

【分值】5分

【答案】C

【解析】本題要看清楚一個函數具有性質P的條件是，存在atH且awO,

則對于外。>0時，易得函數/(%)具有性質P；

對于%,只需取白=不，貝ijx+a=x+xo<x,/(a)=/(A^)=O,

所以/(x+?)=毛)</(x)=^(x)+f[a),所以此時函數具有性質P.

三、解答題(本題共5小題，共計76分)

綜合題分割

17、已知邊長為1的正方形ABCD,沿BC旋轉一周得到圓柱體。

(1)求圓柱體的表面積；

(2)正方形ABCD繞BC逆時針旋轉1到A.BCD,,求AR與平面ABCD所成的角。

【分值】

【答案】(1)4Ji；

(2)arcsin—

3

綜合題分割

18、已知f(x)=sintwx(6W>0).

(1)若f(x)的周期是4n，求口，并求此時f(x)=：的解集；

2

(2)已知&=1,g(x)=f2(x)+>/3f(-x)f(^--x),xG0,—,求g(x)的值域.

2L4_

【分值】

【答案】(1)切=；，xx|x=1+4Z乃或x=,+4攵;F,ZEZ,;

⑵

2

綜合題分割

19、已知一=里，xe(0,80],且片幽」35(7心(。,4。)(八0),

x

[-A:(X-40)+85,XG(40,80]

(1)若v>95,求x的取值范圍；

(2)已知x=80時，v=50,求x為多少時，q可以取得最大值，并求出該最大值。

【分值】

on

【答案】⑴XG(0,y);

xi時,28800

(2)^max

77

綜合題分割

22

20、雙曲線c：點■等=1,圓G：V+y2=4+。2s>o）在第一象限交點為A,

曲線「于M、N兩點，用b的代數式表示前“病，并求出前屈的取值范圍。

【分值】

【答案】（1）2；

（2）—；

16

（3）（6+2技+oo）；

【解析】（1）若乙=n，因為點A為曲線G與曲線G的交點，

22

v_r=1[&

年+/2=4+/b=2

：.b=2

（2）方法一：由題意易得耳、瑪為曲線的兩焦點,

由雙曲線定義知：|尸閭=|尸周-2a,

|產制=8,2〃=4,：.\PF2\=4

又,：b=5???忻閭=6

在中由余弦定理可得:

附「十|尸國2T耳用2

11

COSZ.FPF=

122.冏卜歸用16

《-匚1

方法二：??”=逐，可得，45~，解得尸(4,后),

*+3)2+y2=64

亞.(-7,75),喈

II

16

(3)設直線/:y=—、％+匕+4

22

b2+4

可得原點o到直線/的距離d=—==上±2=病二

艮不

所以直線/是圓的切線，切點為M,

0?4

所以并設/。“：了二二工，與圓d+V=4+/聯立可得爐+7Tx2=4+加，

bbb

所以得x=b,y=2,即MS,2),

注意到直線/與雙曲線得斜率為負得漸近線平行，

所以只有當力〉2時，直線/才能與曲線「有兩個交點，

x2y24

由《4b2，得/八二-r,

22/a+b~

4+y=4+b~

所以有4〈一*,解得〃〉2+2石，或〃〈2-2石(舍)

4+6~

又因為由在。”?上的投影可知：如?麗川+4

所以0.1/就6、4>6.2&

麗麗?6.24.s）

21.有限數列｛%｝,若滿足Iq-外兇4-/區…§4-6”1，加是項數，則稱｛4｝滿

足性質p.

（1）判斷數列3,2,5』和4,3,2,5,1是否具有性質p,請說明理由.

（2）若4=1,公比為q的等比數列，項數為10,具有性質p,求q的取值范

圍.

（3）若凡是1,2,...,加的一個排列（加之4）4=%+[（A=1,2.加一1）4｝“｛都具

有性質P，求所有滿足條件的｛4｝.

【分值】

【答案】⑴對于第一個數列有|2-3|=1,|5-3|=2,|1-3|=2,

滿足題意，該數列滿足性質p

對于第二個數列有|3-4|=1,|2-4|=2,|5-4|=1不滿足題意，該數列不滿足

性質p.

（2）由題意可得，|g”-l閆即

兩邊平方得：/-R+1*〃-2_2^-1+1

整理得：（4—1）廣[小（4+1）—2后0

當它1時，得qz（q+1）-2NO,此時關于九恒成立，

所以等價于〃=2時虱7+1）-2,0,所以（q+2）G7—l），0,

所以gW-2或者q2l,所以取

當OVgWl時，得g"7（4+l）—2W0,此時關于〃恒成立，

所以等價于〃=2時夕(夕+D—2W0,所以(q+2)(g—l)W0,

所以—2W衿1,所以取0<qWl。

當一1W10時，得4i[g"T(4+l)-2]W0。

當〃為奇數的時候，得4〃T(q+l)-2W0,很明顯成立，

當〃為偶數的時候，得。5(4+1)-220,很明顯不成立，

故當故WKO時,矛盾，舍去。

當今V—1時，得尸[小的+1)-2卜0。

當〃為奇數的時候，得qJ(q+l)-2WO,很明顯成立，

當〃為偶數的時候，要使(夕+1)-220恒成立，

所以等價于〃=2時q｛q+1)-2^0,所以(g+2)(g-1)N),

所以gW-2或者夕21,所以取qW-2。

綜上可得，^e(^o,-2]U(0,+oo)o

(3)設4=ppe｛3,4,…，加一3,加一2｝

因為q=p,4可以取pT或者〃+1,%可以取〃-2或者p+2。

如果?或者q取了〃-3或者〃+3,將使｛%｝不滿足性質p

所以，｛/｝的前五項有以下組合：

①%=%=p+l,a4=p-2,%=P+2,

②。i=p,%=Oy=p+\,a4=p+2,%=p-2,

③4=p,a2=p+1,%=p-la4=p-2,a5=p+2,

④q=p,a2=p+l,Oy=p-1,%=p+2,a5=p-2,

對于①，4=pT,妝2-4|=2,與他｝滿足性質P矛盾，舍去。

對于②，4=〃一1,妝2-可=2,|4-用=3,%-4=2與也｝滿足性質P矛

盾，舍去。

對于③，4=〃+1,%一可=2,-可=3,-0|=1與｛"｝滿足性質p矛

盾，舍去。

對于④，〃=〃+1，近一4|=2,妝3-41=1，與也｝滿足性質p矛盾，舍去。

所以〃$｛3,4,…，機-3,旭-2｝均不能同時使｛〃”｝,｛〃｝都具有性質p。

當P=1時，有數列｛q｝：1,2,3廣?,利-1,加滿足題意。

當p二用時，時有數列｛4｝：丸〃L1,…,3,2,1滿足題意。

當p=2時，有數列｛4｝：2,1,3,…,機-1,機滿足題意。

當片川時，有數列｛〃〃｝:機一1,利,加一2,加一3,…,3,2,1滿足題意。

故滿足題意的數列只有上面四種。

絕密★啟用前

2020年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）

數學I

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題?第20題，共20題）。本卷滿分為160分，考試時間為120分

鐘。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位

置。

3.請認真核對監考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。

4.作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。

參考公式：

柱體的體積V=S〃，其中S是柱體的底面積，力是柱體的高.

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位

1.已知集合4={-1,0,1,2},8={0,2,3}，則-08=▲.

2.已知i是虛數單位，則復數z=（l+i）（2—i）的實部是▲.

3.已知一蛆數據4,2凡3-&5,6的平均數為4,則a的值是▲.

4.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是

5.如圖是一個算法流程圖，若輸出）'的值為-2,則輸入大的值是▲

r^n

/呼”

(第5題)

22/T

6.在平面直角坐標系X。中，若雙曲線鼻-4=1(。＞0)的一條漸近線方程為、=孚上,

a~52

則該雙曲線的離心率是

7.已知片仆)是奇函數，當應。時，/(X)=X3,則/(-8)的值是

五2

8.已知sin2q+a)=§,貝"sin"的值是

9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的底面正六邊

形邊長為2cm高為2cm，內孔半輕為0.5cm則此六角螺帽毛坯的體積是cm.

(第9題)

10.將函數.v=3sin(2wf)的圖象向右平移[個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的

46

對稱軸的方程是

11.設｛為｝是公差為d的等差數列，｛捌是公比為g的等比數列.已知數列｛%+6｝的前/?項

和S.=〃2—〃+2”—l(〃cN+),則的值是▲.

12.已知5fy2+y4=]*,”R)：則V+y2的最小值是▲

13.在“8C中，AB=4,AC=3,N8AG90。,。在邊8c上，延長47到尸，使得力*=9,

—一3—

若PA=mPB+（Q-m）PC（6為常數）,則8的長度是▲

P

14.在平面直角坐標系X。中，已知P(】§,0),力，8是圓C：V+(y-3)2=36上的兩個

動點，滿足上4二28,則4*8面積的最大值是

二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分14分)

在三棱柱ABC-43G中，ABLAC,BI平面ABC,E,尸分別是ZC,3C的中點.

(1)求證：研|平面481G；

(2)求證：平面281cL平面ABB、.

16.(本小題滿分14分)

在△Z8C中，角力，8,C的對邊分別為a,b,c,已知o=3,c=應,B=45。.

(1)求sinC的值；

4

（2）在邊8c上取一點。，使得cos/4OC=-w,求tanNO4c的值.

17.（本小題滿分14分）

某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線MN

上，橋工8與例/V平行，。。'為鉛垂線（。‘在28上）.經測量，左側曲線49上任一點

。到例/V的距離4（米）與。到。0'的距離a（米）之間滿足關系式匕=右/；右側曲線

80上任一點尸到"/V的距離友（米）與尸到。。'的距離式米）之間滿足關系式

飽=一工護+66已知點8到。。的距離為40米.

800

（1）求橋49的長度；

（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩8和￡尸，且CE為80米，其中C,E

3

在28上（不包括端點）..橋墩E■廠每米造價內萬元）、橋墩8每米造價QZ（萬元）（4>0）,

問。上為多少米時，橋墩與E?尸的總造價最低？

18.（本小題滿分16分）

在平面直角坐標系X0中，三知橢圓石:上+￡=1的左、右焦點分別為H,4，點

43

/在橢圓E上且在第一象限內，AFi工FiFi,直線與橢圓E相交于另一點8.

(1)求44片鳥的周長；

(2)在x軸上任取一點尸，直線力尸與橢圓上的右準線相交于點。，求麗?詼的最

小值；

(3)設點例在橢圓￡上，記△Q48與△M4B的面積分別為S,&,若52=3、，求

點〃的坐標.

19.(本小題滿分16分)

已知關于x的函數y=/(x),y=g(x)與力(x)=H+0(Z,力eR)在區間D上恒有

/(x)>h(x)>g(￡.

(1)若/(x)=f+2第g(x)=-X2+2X,D=(YO,+8),求餌A)的表達式；

(2)若/(x)=x2-x+1,g(x)=k\nx,h(x)=kx-k,D=(0,+QO),求攵的取值范圍；

(3)若/(x)=X4-2X2,g(x)=4X2-8,〃(x)=4(r3-/)x-3/4+2/2(0<|/|<>/2),

D=卜立&],求證：〃-幣.

20.(本小題滿分16分)

已知數列｛4｝(〃€N*)的首項4二1，前"項和為S〃.設H與片是常數，若對一切正整

數〃，均有<_cLJ成立，則稱此數列為'"?K數列.

(1)若等差數列｛4｝是“1?1”數列，求4的值；

(2)若數歹1|｛4｝是“￥-2”數列，且4>0,求數列｛叫的通項公式；

(3)對于給定的J,是否存在三個不同的數列｛%｝為“才?3”數列，且4之()？若存

在，求4的取值范圍；若不存在，說明理由.

數學I試題參考答案

一、填空題:本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.

1.{0,2}2.33.24.-

9

5.-3

3

6.-7.-48.；9.12g

2

4

11.412.-13."或014.10x5

55

-、解rrr牧u顫

15.本小超主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基他知識，考查空

間想象能力和推理論證能力.滿分14分.

證明：因為E,尸分別是AC,4C的中點，所以EF〃AB「

又Eb"平面4&G,A81U平面A4G,

所以〃平面A4G.

(2)因為旦C_L平面A8c,ABu平面ABC,

所以線C_L

ACc

又ABJ.4C,Bgu平面AB?平面AB(,BXC(}AC=C,

所以48_L平面ABC.

又因為48u平面ABB.，所以平面A&C_L平面ABB..

16.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、兩角和與差的三角函數等

基礎知識，考查運算求解能力.滿分14分.

解：（1）在△ABC中，因為a=3,c=&,3=45。，

由余弦定理“2=42+。2一24以058，得從=9+2-2x3x0cos450=5,

所以力=舊.

在△A8C中，由正弦定理上=_J,

sinBsinC

得W-二巫,

sin45°sinC

所以sinC=@.

5

（2）在△ADC中，因為cosNA￡）C=-±,所以NA。。為鈍角，

5

而44。。+/。+/。4。=180。,所以/。為銳角.

________2/ssinC1

故cosC=Vl-sin2C=-,則tanC='，-"=—

cosC2

43

因為cAAsD所以s44n￡)V=C2-€

55

八MsinZADC3

tanZADC=---------

cosZADC4

從而

tan⑷DC+NC)_

tanZADC=tan(l80°-ZADC-ZC)=-tan(ZADC+ZC)=-

1-tanZADCxtanZC

17.本小題主要考查函數的性質、用導數求最值、解方程等基礎知識，考查直觀想象和數

學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.滿分14分.

解：（1）設A4,,35，CA，W都與A/N垂直，A，5，。，6是相應垂足.

由條件知，當。方=40時，

BB.=--—x4O3+6x40=160,貝］1例=160.

800

由-5-04=160.得O'A=80.

40

所以43=04+05=80+40=120(米).

（第17題）

(2)以。為原點，。。，為y軸建立平面直角坐標系(如圖所示).

—

設F(x,y2),xe(0,40),貝U必=一—d+6x,

800

1