第2章投影的基本知識2.1三投影面體系2.2點的投影2.3直線的投影2.4平面的投影

2.1三投影面體系

2.1.1投影法及其分類

1．投影法的基本概念

將投射線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得到圖形的方法稱為投影法。根據投影法所得到的圖形稱為投影圖(簡稱投影)。要得到投影必須有三個元素：光線、形體和投影面。光線可以是平行的(如日光)或者從一個中心點發出的(如白熾燈泡發出的光線)。形體可以是平面或者一個空間立體，投影法中得到投影的投影面通常采用平面，如圖2-1所示。圖2-1中心投影法

2．投影法的種類

1)中心投影法

投影線交匯于一點的投影法稱為中心投影法，如圖2-1所示。投影線的交匯點稱為投影中心，如圖2-1中的S點。用中心投影法繪制出的圖形符合人的視覺規律，因此經常用此法繪制一些需要強調視覺效果的圖形，比如建筑效果圖等。由于用中心投影法繪制圖形的方法復雜，效率低，又不容易進行尺寸標注，因此此方法在機械制圖中很少使用。

2)平行投影法

投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。在平行投影法中，又根據投射線與投影面的相對位置不同分為正投影法和斜投影法。

投射線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法，由此法得到的投影圖稱為正投影圖(正投影)，如圖2-2(a)所示。

投射線不垂直于投影面的平行投影法稱為斜投影法，由此法得到的圖形稱為斜投影圖(斜投影)，如圖2-2(b)所示。圖2-2平行投影法由于正投影圖能真實地表達空間物體的形狀和大小，不僅度量性好，作圖也比較方便，因此在機械工程圖中得到了廣泛應用。本課程主要研究正投影法。后面各章除特別說明外，所述投影均指正投影。2.1.2正投影的特性

制作正投影時，當形體(平面或直線)與投影面之間處于某種特殊位置時，這些形體的投影會表現出不同的特性。研究這些特性對繪制和理解形體的投影圖有非常重要的作用。

1．真實性

當物體上的平面(或直線)與投影面平行時，其投影反映實形(或實長)，這種投影特性稱為真實性，如圖2-3(a)所示。

2．積聚性

當物體上的平面(或直線)與投影面垂直時，在投影面上的投影積聚為一條線(或一個點)，這種投影特性稱為積聚性，如圖2-3(b)所示。圖2-3正投影的特性

3．類似性

當物體上的平面(或直線)與投影面傾斜時，其投影的面積變小(或長度變短)，但投影的形狀仍與原來的形狀類似，這種投影特性稱為類似性，如圖2-3(c)所示。2.1.3三面投影

如圖2-4所示，三個不同物體向同一投影面正投影后，所得投影相同，由此說明，一個投影是不能確定物體的唯一形狀和結構的。為了確定物體的唯一結構和形狀，需要采用多個投影面進行正投影。從多個方向對形體進行觀察和描述，繪制出的視圖可以確定形體的唯一形狀和大小。圖2-4不同形體可以得到相同的投影

1．三投影面體系

通常選用三個互相垂直相交的投影面，建立一個三投影面體系，如圖2-5所示。三個投影面分別稱為：正立投影面，簡稱正面，以V表示；水平投影面，簡稱水平面，以H表示；側立投影面，簡稱側面，以W表示。三個投影面之間的交線OX、OY、OZ稱為投影軸，三根互相垂直的投影軸的交點O稱為原點。圖2-5三面投影體系

2．三視圖的形成

如圖2-6所示，將物體放在三投影面體系中，用正投影法向三個投影面投影，就得到了物體的三面投影。這三面投影圖也叫三面視圖，簡稱三視圖。其中：由前向后投射在V面所得的視圖稱為主視圖；由上向下投射在H面所得的視圖稱為俯視圖；由左向右投射在W面所得的視圖稱為左視圖。圖2-6三視圖的形成

3．三面投影體系的展開

為了方便畫圖和看圖，假想三個投影面展開、攤平在同一平面(紙面)上，并且規定：正面V不動；水平面H繞OX軸向下旋轉90°；側面W繞OZ軸向右旋轉90°，如圖2-7所示。圖2-7三面投影視圖的展開三視圖的配置關系為：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方，如圖2-8(a)所示。

畫圖時，投影面的邊框線和投影軸均不必畫出，同時按上述方法展開，即按投影關系配置視圖時，也不需要說明視圖名稱，最后得到的三視圖如圖2-8(b)所示。圖2-8物體的三視圖

4．視圖與物體之間的關系

物體上有上、下、左、右、前、后六個方向的位置關系，如圖2-9(a)所示。每一個視圖只反映四個方向的位置關系，如圖2-9(b)所示。其中：主視圖反映了物體的左、右、上、下之間的位置關系，即反映了物體上的長度和高度；俯視圖反映了物體的前、后、左、右之間的位置關系，即反映物體上的寬度和長度；左視圖反映了物體的前、后、上、下之間的位置關系，即反映了物體上的寬度和高度，如圖2-9(c)所示。圖2-9三視圖中的尺寸與方向

5．三視圖之間的投影關系

由上面的討論可知，在三視圖中：主、俯視圖同時反映了物體上的長度；主、左視圖同時反映了物體上的高度；俯、左視圖同時反映了物體上的寬度，如圖2-10所示。同時，三視圖又是按上述的規定方法展開的，所以，三個視圖之間的投影關系可以總結如下：

主、俯視圖——長對正；

主、左視圖——高平齊；

俯、左視圖——寬相等。

這個“三等”關系就是物體三視圖的投影規律。它對于物體整體是如此，同時對于物體上的直線、點也都是適用的。圖2-10三視圖之間的投影關系

6．畫物體的三視圖

下面舉例來說明運用三視圖之間的位置關系和投影關系畫出三視圖的方法和步驟。

(1)分析物體。分析物體上的面、線與三個投影面的位置關系，再根據正投影特性判斷其投影情況，然后綜合出各個視圖。

(2)確定圖幅和比例。根據物體上最大的長度、寬度和高度及物體的復雜程度確定繪圖的圖幅和比例。

(3)選擇主視圖的投影方向。以最能反映物體形狀特征和位置特征且使三個視圖投影虛線少的方向作為正投影方向。

(4)布圖，畫底圖。畫作圖基準線、定位線，畫三視圖底圖。從主視圖畫起，三個視圖配合著畫圖。

(5)檢查、修改底圖。

(6)加深描粗圖線，完成三視圖，如圖2-11所示。

畫三視圖時，作圖所需尺寸可在模型(在軸測圖中可以沿前后、左右或上下三個方向)上去量，每個尺寸測量一次就夠了。相鄰視圖之間相應的投影尺寸關系可用丁字尺來保持高相等，用三角板與丁字尺配合起來保持長相等，用分規或作45°斜線來保持寬相等。

模型的三視圖舉例如圖2-12和圖2-13所示。圖2-11三視圖繪制方法圖2-12模型三視圖舉例1圖2-13模型三視圖舉例2

2.2點的投影

通過2.1節的學習及畫圖實踐，可以體會到畫一個物體的三視圖實質上是畫出組成物體的各個面的投影，而各個面是由各棱線圍成的，棱線是由兩個端點決定的，如圖2-14所示。因此，為了迅速、正確地畫出物體的視圖，還需研究構成物體的基本幾何元素點、線、面的投影。圖2-14三棱錐的三視圖和立體圖如圖2-15(a)所示，設有一空間點A，由點A分別向H、V和W面投影，可得到A點的水平投影a、正面投影a′和側面投影a″。圖中每兩條投影線確定一個平面，它們與三投影軸分別相交于aX、aY和aZ，以空間點A、三個投影a、a′和a″以及aX、aY、aZ和原點O為頂點可構成一個長方體。

將各投影面展開(展開方法同2.1.3節)可得A點的投影圖，如圖2-15(b)所示。在點的投影圖中一般不畫出投影面的邊界線，也不標出投影面的名稱和投射線與投影軸的交點aX、aY、aZ等，而只畫出坐標軸OX、OY、OZ(簡稱X、Y、Z軸)及點的投影a、a′和a″，如圖2-15(c)所示。圖2-15點在三面投影體系中的投影如果把三投影面體系看做空間直角坐標系，把投影面H、V、W視為坐標面，投影軸OX、OY、OZ視為坐標軸，則空間點A分別到三個坐標面的距離Aa″、Aa′、Aa可用點A的三個直角坐標XA、YA和ZA表示，記為A(XA，YA，ZA)。同時，點A的三個投影a、a′、a″也可用坐標來確定，即水平投影a由XA和YA確定，反映了空間點A到W面和V面的距離Aa″和Aa′；正面投影a′由XA和ZA確定，反映了空間點A到W面和H面的距離Aa″和Aa；側面投影a″由YA和ZA確定，反映了空間點A到V面和H面的距離Aa′和Aa。根據上述分析，可以得到點在三面投影體系中的投影規律：

(1)點的正面、水平投影連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX軸。

(2)點的正面、側面投影連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ軸。

(3)點的水平投影到OX軸的距離等于側面投影到OZ軸的距離，即aaX＝a″aZ＝YA。

為了表示aaX＝a″aZ＝?YA的關系，常用過原點O的45°斜線或以O為圓心的圓弧把水平投影和側面投影之間的投影連線聯系起來，如圖2-15(c)所示。

例2.1

已知空間點A(20，10，15)，試作它的三面投影圖。

作圖步驟：

(1)如圖2-16所示，在展開的三面投影體系中，由原點O向左沿軸OX量取20mm得aX，過aX作OX軸的垂線，在垂線上自aX向下量取10mm得水平投影a，再向上量取25mm得正面投影a′。圖2-16點的三面投影與坐標的關系

(2)過a′作OZ軸的垂線交OZ軸于aZ，在垂線上自aZ向右量取10mm得a″(a″也可由a通過作圓弧或45°斜線求得)。

a、a′、a″為A點的三面投影。

例2.2

已知B點的正面投影b′和水平投影b，求該點的側面投影b″，如圖2-17(a)所示。圖2-17已知點的兩面投影繪制點的第三面投影

分析：

由點的投影規律可知：側面投影和正面投影連線垂直于Z軸，即bb′⊥OZ軸，所以b″一定在過b′且垂直于OZ軸的直線上，又因為水平投影到X軸的距離等于側面投影到Z軸的距離，所以可以求得b″，如圖2-17所示。

作圖：

如圖2-17(b)所示，由b′作OZ軸的垂線與OZ軸相交于bZ，在此垂線上自bZ向右量取bbX＝b″bZ，即得B點的側面投影。也可以過O點繪制45°斜線，然后過b點繪制水平線，交于45°斜線后，向上繪制OYW垂直線與過b′點繪制的水平線相交得到bbX＝b″bZ的關系。

例2.3

已知空間點A(15，10，20)，B點在A點的正右方5，C點在A點的左方5、前方5、下方5，求作A、B、C點的三面投影。

分析：

A點的投影可根據投影與直角坐標之間的關系及點的三面投影規律作出。

B點在A點的正右方5，說明B點的Y、Z坐標值與A點相同，X坐標值比A點的X坐標值小5，則B點的投影可根據它們之間的關系作出。從三視圖所反映物體的位置關系可知，X軸方向是長度方向，通過X坐標的大小可知它們的左右相對位置；Y軸方向是寬度方向，通過Y坐標的大小可知它們的前后相對位置；Z軸方向是高度方向，通過Z坐標的大小可知它們的上下相對位置。對于兩點的相對位置，可由兩點各方向的坐標值大小來確定。所以，點C的投影可根據相對坐標作出。作圖方法如圖2-18所示。

由于A、B兩點的Y、Z坐標值相同，它們的側面投影重合，因此此兩點稱為側立投影面的重影點，此時，兩點必位于該投影面的同一條投射線上。重影點的可見性由不重合投影的相對位置來判斷(或由第三坐標大小來判斷，大的可見，小的不可見，不可見的投影加括號)。圖2-18根據點的坐標和相對坐標繪制點的三面投影

例2.4

如圖2-19(a)、(b)所示，根據立體圖，完成立體上點的投影以及立體的三面投影。

分析：

因點在立體上的投影位置已知兩面，故另一面投影可根據投影規律直接作出。圖2-19作立體上點的投影

作圖：

在立體的俯視圖和左視圖中找到同一個點的投影，如立體上后、右、下側的點，各自繪制水平線和垂直線，交于一點，過此點繪制45°斜線，如圖2-19(c)所示，利用這個斜線繪制折線，可找出點A的側面投影，點C的正面投影可根據投影規律直接在主視圖中得到。繪制過程中，如果已經知道點的投影在立體的某條線上，則可直接繪制，不必繪制連線。例如，A點的正面投影和側面投影在立體的最高一條線上，不必繪制主視圖和左視圖中點A的投影連線；點B在立體上左、前、上側，可直接在三視圖中找到點B的投影，不必繪制連線。

2.3直?線?的?投?影

1．直線的投影規律

常見的直線是平面立體的棱線，即兩平面的交線。直線的投影一般仍為直線，也有可能成為一個點。作直線的投影時，只需作出確定該直線的任意兩點的投影，將這兩點的同面投影相連，便可得直線的三面投影，如圖2-20(b)所示。另外，已知直線上一點的投影和該直線的方向，也可作出該直線的投影。圖2-20直線的投影

2．直線的分類及其投影特性

根據直線相對投影面的位置不同，直線可分為三類：一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線。后兩類直線統稱為特殊位置線。

空間直線與它的水平投影、正面投影、側面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面H、V、W的傾角，本書中分別用α、β、γ表示，如圖2-20(a)所示。

1)一般位置直線

對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。如圖2-20所示，AB為一般位置直線，它與H、V、W的傾角分別用α、β、γ表示，則直線的投影與其實長有如下關系：

ABcosα＝ab，ABcosβ＝a′b′，ABcosγ＝a″b″

由此可知，一般位置直線的投影特性如下：

三個投影都傾斜于投影軸，三個投影長度均小于實長，三個投影與各投影軸的夾角不反映直線對投影面的真實傾角。

2)投影面平行線

平行于一個投影面而與另外兩個投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。投影面平行線有水平線、正平線和側平線三種。表2-1列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性。現歸納投影面平行線的投影特性如下：

(1)直線在所平行的投影面上的投影反映實長和對另兩個投影面的真實傾角。

(2)直線的另兩個投影分別平行于相應的投影軸，且均小于實長。

3)投影面垂直線

垂直于一個投影面(必與另兩個投影面平行)的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線有鉛垂線、正垂線和側垂線三種。表2-2列出了它們的立體圖、投影圖和投影特性。現歸納投影面垂直線的投影特性如下：

(1)直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點。

(2)直線在另兩個投影面上的投影垂直于相應的投影軸(或同平行于一個投影軸)，且反映實長。表2-1投影面平行線的投影規律

續表

表2-2投影面垂直線

續表

3．直線上的點

直線上的點具有以下特性：

點在直線上，則點的各投影必在該直線的各同面(名)投影上，且點分割直線長度之比等于點的投影分割直線投影長度之比。反之，如果點的各面投影均在直線的同面投影上，且分割直線各投影長度成相同比例，則該點必在此直線上，如圖2-21所示。如果點不在直線上，則點的投影中至少有一個投影不在直線的同面投影上，如圖2-22所示。圖2-21直線上點的投影圖2-22不在直線上點的投影對于投影面的平行線，必須確定點的投影落在反映直線實長的同面投影上，才可確定點在直線上，否則還不能確定。如圖2-23所示，點M和點K的H面投影和V面投影都在直線的同面投影上，僅根據H面投影和V面投影還不能確定這兩個點是否在直線上，必須根據W面投影才能得出結論，確定點K在直線上，點M不在直線上。圖2-23投影面平行線與點的投影關系

4．兩直線的相對位置

兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行和相交兩直線均屬于同一平面(共面)的直線，而交叉兩直線則不屬于同一平面(異面)的直線。表2-3列出了它們的投影圖及投影特性。表2-3兩直線的相對位置

5．一般位置直線求實長和傾角

從前面的內容可以了解投影面的平行線和垂直線，在三面投影中可以直接看出直線的實際長度和該直線與投影面的夾角。對于一般位置直線，直線實長以及該直線與投影面之間的夾角是不能直接看出的。有時為了空間度量和繪制形體實際形狀的需要，必須求出直線的實際長度和直線與投影面之間的夾角。下面介紹兩個求一般位置直線的實長和傾角的方法。方法一：利用直角三角形法求直線的實長、直線和投影面的夾角。

觀察直線兩投影的直觀圖，如圖2-24(a)所示，直線AB在H面和V面上分別有投影ab和a′b′，兩個投影都不平行于投影軸，這是一條一般直線。過空間直線的一個端點B作一條平行于水平投影ab的直線，交A點的投影線于A0點，這樣就構成一個直角三角形A0BA。這個三角形的構成情況是：一個直角邊BA0長度等于直線的水平投影ab，另一個直角邊長度等于直線兩端點A、B到水平投影面的距離之差。由于BA0是一條水平線，在正面的投影平行于OX軸，因此在正面投影中可以很容易地找到兩端點A、B到水平投影面的距離之差。直角三角形A0BA的斜邊即直線的空間實際長度，斜邊AB與直角邊BA0的夾角即直線與水平面的夾角α。利用這個直角三角形的關系，可以很容易地用直線的水平投影和正面投影求出直線的實長以及直線與水平面的夾角。如圖2-24(b)所示，已知直線的兩個投影ab和a′b′，過直線的一個端點繪制一條與直線水平投影ab垂直的直線，在正面投影中求出直線AB到水平投影面距離之差(過直線的一個端點畫直線平行于OX軸即可)，在水平投影中繪制的與ab垂直的直線上截取這段長度(可以用圓規畫弧的方法)，找到A1點，連接A1點與另一個端點，繪制斜邊，即可求得直線的實長。直線實長與直線水平投影ab之間的夾角就是直線的α角。同樣也可以利用直線的水平投影和另一個投影求直線的實長以及直線的β角。此時直角三角形的兩個直角邊分別是直線的正面投影和直線兩端點到正面距離之差。直角三角形的空間概念和作圖方法如圖2-25所示。讀者可以根據圖2-25自己總結空間推理以及作圖方法。圖2-24利用直角三角形法求直線的實長、直線和水平面的夾角圖2-25利用直角三角形法求直線的實長、直線和正投影面的夾角同樣的道理，可以利用直線的側面投影和另一個投影求直線的實長以及直線的γ角，只是此時必須利用直線的側面投影作直角三角形的一個直角邊。讀者可以自己總結空間推理和作圖方法。方法二：利用換面法求直線的實長、直線和投影面的夾角。

如圖2-26(a)所示，作一個新的投影面V1，該面與H面垂直并平行于直線AB，V1與H面的交線為O1X1，O1X1與直線的水平投影ab平行。將直線兩端點A、B分別向新投影面V1投影，得到投影、，從前面已經總結出的投影規律可以得出：到O1X1的距離反映A點的高度，與a′到OX軸的距離相等；到O1X1的距離反映B點的高度，與b′到OX軸的距離相等；與a點的連線垂直于O1X1；與b點的連線垂直于O1X1。可以利用前面學過的作圖方法對圖2-26(b)中的直線投影求實長和夾角。如圖2-26(b)所示，作軸線O1X1平行于ab，分別過a點和b點作軸線O1X1的垂線，截取到O1X1

等于a′到OX軸的距離，截取到O1X1

等于b′到OX軸的距離，得到投影、，連接和，即可得到直線AB的實長。與O1X1的夾角即為直線的α角。圖2-26利用換面法求直線的實長、直線和水平面的夾角同樣也可以利用換面法求出直線的實長，同時求出直線的β角。這時要求新投影面垂直于V面，同時平行于直線。作圖時，要利用直線的正面投影a′b′繪制軸線O1X1，新的投影a1b1度量時要利用直線的水平投影ab。空間構思過程和繪圖方法如圖2-27所示，讀者可利用此方法求出直線的實長，同時求出直線的β角。

同樣的道理，也可以利用換面法求出直線的實長，同時求出直線的γ角。構思過程和繪圖方法請讀者自行練習解決。圖2-27利用換面法求直線的實長、直線和正面的夾角

2.4平?面?的?投?影

1．平面的表示法

平面可以用各種幾何要素表示。圖2-28畫出了用不同幾何要素表示平面的直觀圖和投影圖。

圖(a)表示不在同一條直線上的三點確定一個平面；

圖(b)表示一直線與直線外一點確定一個平面；

圖(c)表示相交兩直線確定一個平面；

圖(d)表示平行兩直線確定一個平面；

圖(e)表示任意平面圖形如三角形、四邊形、圓形等確定一個平面。圖2-28用不同幾何要素表示平面的直觀圖和投影圖

2．各種位置平面的投影特性

根據空間平面對三個投影面的相對位置，平面可分為三類：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。前兩類平面稱為特殊平面。

1)投影面平行面

平行于一個投影面而垂直于另外兩個投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面分為水平面、正平面和側平面三種。表2-4列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性。現歸納投影面平行面的投影特性如下：

(1)平面在所平行的投影面上的投影反映空間平面的實形。

(2)平面的另兩個投影均積聚為平行于相應投影軸的直線。表2-4投影面平行面的直觀圖、投影圖和投影特性

續表

2)投影面垂直面

垂直于一個投影面而傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面的垂直面。投影面垂直面分為鉛垂面、正垂面和側垂面三種。表2-5列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性。現歸納投影面垂直面的投影特性如下：

平面在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線，該投影與投影軸的夾角分別反映平面與另兩個投影面的真實傾角。

平面的另兩個投影均為類似形。表2-5投影面垂直面的直觀圖、投影圖和投影特性

續表

3)一般位置平面

對三個投影面都傾斜的空間平面稱為一般位置平面。其投影特性為：三個投影都為縮小的類似形，如圖2-29所示。圖2-29一般位置平面的投影

3．平面上的直線和點

1)平面上的直線

欲完成平面上直線的投影，需通過該平面內的已知兩點，或通過該平面上的已知點且平行于該平面內的任一直線。如圖2-30所示，在平面ABC中的兩條邊線AB和AC上分別選擇點M、N，找到這兩個點的兩面投影，連接這兩個投影即可完成直線MN的兩面投影。由于M、N兩點都在平面ABC上，因此直線MN一定在平面ABC上。在平面DEF中選擇點K，找到點K的兩面投影，在兩個投影中都過點K繪制平面內一條直線的平行線，圖中顯示與直線EF平行，完成直線KL的兩面投影，由于點K在平面DEF中，直線KL又與平面內的一條直線平行，因此直線KL一定在平面DEF內。圖2-30平面上的直線

2)平面上的點

欲完成平面上點的投影，可先在該平面內繪制直線，然后按照直線上點的投影方法，完成平面內點的投影，如圖2-31所示。圖2-31平面上用輔助線取點的投影圖2-31(a)中顯示已知平面內點K的一面投影，可過該點繪制平面內的直線MN，完成平面內直線MN的兩面投影，然后完成點K的另一面投影。圖2-31(b)中顯示已知平面內點K的一面投影，可過該點與平面內的已知點(A點)繪制平面內的直線AD，完成平面內直線AD的兩面投影，然后完成點K的另一面投影。圖2-31(c)中顯示已知平面內點K的一面投影，可過該點繪制與平面內已知直線平行的直線MN，完成平面內直線MN的兩面投影，然后完成點K的另一面投影。

例2.5

已知平面的投影和點的投影，判斷點是否在平面內，如圖2-32(a)所示。圖2-32判斷點是否在平面內

分析：

盡管點K的兩面投影都在平面ABC的范圍內，但點K也不一定在平面ABC內。如果點K在平面ABC內，則其投影一定符合平面內點的投影規律，因此可以用作平面上輔助線取點的投影的方法來判斷點K是否在平面ABC內。

作圖：

過k′和平面上已知點A的正面投影a′繪制直線，交直線b′c′于d′點，d′即為D點的正面投影，完成直線AD的兩面投影。由于點D在平面ABC內，因此直線AD一定在平面ABC內。觀察點K的水平投影k是否在直線AD的水平投影ad上，如果在，則點K