第5頁/共5頁山西省優生聯考2023-2024學年上學期1月考試高三數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.3.第19屆亞洲運動會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，時值中秋和國慶假期，某班同學利用假期在家通過網絡直播觀看比賽.已知該班有30名學生喜歡看排球比賽，40名同學喜歡看籃球比賽，50名同學喜歡看排球比賽或籃球比賽，若從喜歡看排球比賽的同學中抽取1人，則此同學喜歡看籃球比賽的概率為（）A. B. C. D.4.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.5.已知拋物線的焦點為F，點P在C上，若點，則周長的最小值為（）．A.13 B.12 C.10 D.86.已知、是兩個平面，直線，，若以①；②；③中兩個為條件，另一個為結論構成三個命題，則其中正確的命題有（）A.①③②；①②③ B.①③②；②③①C.①②③；②③① D.①③②；①②③；②③①7.已知函數的圖象與的圖象關于軸對稱，若將的圖象向左至少平移個單位長度后可得到的圖象，則（）A.的圖象關于原點對稱B.C.在上單調遞增D.的圖象關于點對稱8.如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續.設初始正方形的邊長為，依次構造出的小正方形（含初始正方形）的邊長構成數列，若的前n項和為，令，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列代數式的值為的是（）A. B.C. D.10.已知，且，則（）A. B.C. D.11.已知定義在上的函數滿足，且為奇函數，當時，，則（）A.是周期為的周期函數 B.C.當時， D.12.在長方體中，，E是棱的中點，過點B，E，的平面交棱于點F，P為線段上一動點（不含端點），則（）A.三棱錐的體積為定值B.存點P，使得C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.三棱錐外接球表面積的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_______．14.已知函數，若直線與曲線相切，則________________.15.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見.某學習小組通過單光源實驗來演示月球背面.由光源點射出的兩條光線與分別相切于點、，稱兩射線、上切點上方部分的射線與優弧上方所夾的平面區域(含邊界)為圓的“背面”.若以點為圓心，為半徑的圓處于的“背面”，則的最大值為__________.16.已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在的左支上，，，延長交的右支于點，點為雙曲線上任意一點（異于兩點），則直線與的斜率之積__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在等差數列中，，，數列的前項和為，且.（1）求數列和的通項公式；（2）若，求數列前n項和.18.已知中，角所對邊分別為.（1）求；（2）設是邊上的點，且滿足，求內切圓的半徑.19.2020年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．一般正態分布概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若，令，則，且．（ⅰ）利用直方圖得到的正態分布，求；（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求（結果精確到0.001）以及的數學期望．參考數據：，．若，則．20.如圖，在三棱柱中，側面的面積為4，且四棱錐的體積為.（1）求點到平面的距離;（2）若平面平面，側面是正方形，為的中點，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.設，分別是橢圓的左、右