2024-2025學年河北省石家莊市高三上學期天域聯考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則實數（

）A． B． C．11 D．23．已知函數，其圖象無限接近直線但又不與該直線相交，則的解集為（

）A． B． C． D．4．已知等差數列的前n項和為，，，則當取得最大值時，n的值為（

）A．5 B．6 C．5或6 D．6或75．如圖，某公園需要修建一段圍繞綠地的彎曲綠道（圖中虛線）與兩條直道（圖中實線）平滑連續（相切），已知環繞綠地的彎曲綠道為某三次函數圖象的一部分，則該函數的解析式為（

）A． B． C． D．6．設為拋物線的焦點，點為上一點，過作軸的垂線，垂足為，若，則（

）A． B． C． D．7．已知函數，在上恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．從重量分別為1，2，3，4，…，10克的砝碼（每種砝碼各2個）中選出若干個，使其重量恰為9克的方法總數為m，下列各式的展式中的系數為m的選項是（

）A．B．C．D．二、多選題（本大題共3小題）9．一位植物學家想要研究某類植物生長1年之后的高度，他隨機抽取了n株此類作物，測得它們生長1年之后的高度（單位：cm），將收集到的數據按照，，，，，，分組，畫出頻率分布直方圖，已知隨機抽取的植物生長1年之后高度低于60cm的有20株，則以下結論中正確的是（

）

A． B．此次檢測植物生長高度的第80百分位數約為80C．此次檢測植物生長高度的眾數的估計值為80 D．此次檢測植物生長高度在之間的有50株10．已知曲線C：，為C上一點，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．不存在點，使得 D．的取值范圍為11．已知對于任意不為0的實數x，函數均滿足，則（

）A． B．關于對稱C．若為公比為4的正項等比數列，則 D．三、填空題（本大題共3小題）12．將半徑為1的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐簡的高為.13．已知，，則．14．互不相等的正實數是的任意順序排列，設隨機變量X，Y滿足：，滿足且的排列有個，的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，邊上的中線，求的面積．16．如圖，三棱錐中，底面ABC，，D是平面ABC內的一點．(1)若平面PAB，求三棱錐的體積；(2)若，當直線PD與平面ABC所成角的正弦值為時，求二面角的正切值．17．已知函數(1)討論函數的單調性；(2)若函數有極值點，判斷的零點個數．18．已知橢圓的上頂點為，設點軸上的兩個動點和滿足，且當位于橢圓的右焦點時，.(1)求橢圓的方程；(2)設直線和分別交橢圓于和兩點，求證：直線經過定點.19．已知等差數列，若存在有窮等比數列，滿足，其中，則稱數列為數列的長度為的“等比伴隨數列”．(1)數列的通項公式為，寫出數列的一個長度為的“等比伴隨數列”；(2)等差數列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數列”，其中，求的最大值；(3)數列的通項公式為，數列為數列的長度為的“等比伴隨數列”，其中，求的最大值．

答案1．【正確答案】D【詳解】因為，所以.故選：D2．【正確答案】D【詳解】，因為，則，解得.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】由題意：當時，，因為，當時，，所以.所以，所以.故選：B4．【正確答案】C【詳解】因為：，所以，所以.所以數列單調遞減，又，所以，當時，.所以當或時，相等且最大.故選：C5．【正確答案】A【詳解】由題意設三次函數的解析式為，即，，∴，解得，∴，故選：A．6．【正確答案】D【詳解】因為為拋物線的焦點，所以，所以拋物線的焦點的坐標為，由拋物線定義可知2，又，所以，解得，故，所以為原點，從而.故選：D.7．【正確答案】A【詳解】因為.由.因為，且在上恰有4個零點.所以，.故選：A8．【正確答案】C【詳解】一個砝碼有9一種情況，方法有種；兩個砝碼有，，，幾種情況，方法有種；三個砝碼有，，，，，幾種情況，方法有種；四個砝碼有，，，幾種情況，方法有種；五個砝碼有一種情況，方法有種，所以總計方法總數種.對A，系數可為單獨組成，其他為常數，則有種，系數為；由兩項與或與或與或與組成，系數為；由三項、與或、與組成，系數為；所以選項系數為7，故不符合，所以A錯誤；對B，的系數可為10個因式中選個帶的，剩下個因式選常數項組成，所以的系數為，故B錯誤；對C，，系數為單獨組成，其他為常數，則有種，系數為，由兩項組成，系數為與組成，其他為常數，，系數為，系數為與組成，其他為常數，，系數為，系數為與組成，其他為常數，，系數為，系數為與組成，其他為常數，，系數為，同理由三項組成，，，，，幾種情況，其他項為常數，則系數為，同理由四項組成，，，幾種情況，其他為常數，則系數，同理由五項組成，其他項為常數，則系數為，綜上系數為，故C正確；對D，，系數直接由一項組成，其他是常數項，可有種情況，系數為4，由兩項組成，系數為與組成，其他為常數，，系數為，系數還有兩項與或與或與這幾種情況組成，其他為常數；還有三項組成、四項組成、五項組成等等，所以系數大于m，故D錯誤.故選：C9．【正確答案】AD【詳解】對于A，植物生長1年之后高度低于60cm的頻率為，所以，解得.故A正確；對于B，設這組數據的第80百分位數為m，則，解得.故B錯誤；對于C，由眾數的定義知，估計這組數據的眾數為85.故C錯誤；對于D，此次檢測植物生長高度在之間的頻率為，所以此次檢測植物生長高度在之間的有株.故D正確.故選：AD10．【正確答案】BCD【詳解】由題設得：曲線為，可得曲線圖形，A：由曲線方程及圖形可知，故A錯誤；B：因為，由圖可知當在時，才能最小，，時等號成立，故B正確；C：因為直線與漸近線平行，由圖可知與曲線沒有公共點，即不存在點，使得，故C正確；D：因為表示點到直線距離的倍，又直線與漸近線平行且距離為1，故，由圖可知當在時，到直線距離有最大值，設，則到直線距離為，當時等號成立，即，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD．11．【正確答案】ACD【詳解】對A，中，令得，所以，故選項A正確；對B，令，則由得，①由得，②從而，即，所以亦即的圖象關于點中心對稱，但為了排除選項B，必須舉出除之外的反例，這樣的反例有無數個，比如，所以選項B錯誤；對C，由①②知即，故，所以，令，則，從而，C正確；對D，因為，結合選項C知，則，所以選項D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】如圖所示，由題意可知圓錐的母線，設圓錐的半徑為，高為，則圓錐底面周長等于半圓形紙片弧長，故得，故.故13．【正確答案】/【詳解】因為，且，，所以.所以.所以.故14．【正確答案】6【詳解】根據題意，1，2，3，4的全排列有種，其中滿足且的排列有：1243，1342，1432，2341，2431，3421，共6種；因為隨機變量滿足：所以當或時，；當或時，；當或時，；因為滿足或，即滿足的排列有：1234，1243，2134，2143，3412，3421，4312，4321，共8種；所以的概率；故6；15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為，，所以由正弦定理得，又因為B∈0,π，所以，所以，所以即，又因為，所以，所以，所以.（2）因為，所以即，所以，所以由余弦定理得，解得，所以.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖：在中，，，，所以為直角三角形，且.又平面，平面，所以，P平面，，所以平面.又平面，所以.所以，所以.（2）如圖：因為底面，所以為直線與平面所成的角.因為，，所以，.又，，所以.取中點，連接，則又，平面，，所以平面.所以為在平面內的射影.在中，，，所以.在中，，，，因為，所以為直角三角形，且.設二面角為，則，所以.17．【正確答案】(1)當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.(2)當時，函數無零點；當時，函數有1個零點；當時，函數有2個零點.【詳解】（1）因為，（）所以，（）.當時，在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上單調遞減；當時，由；由.所以在上單調遞增，在上單調遞減.綜上可知：當時，在0,+∞上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）可知，當時，有極大值點，.若，此時函數無零點；若，此時，函數有個零點；若，當時，，所以函數在上有個零點；當時，，所以函數在上有個零點.所以時，函數有個零點.綜上：當時，函數無零點；當時，函數有個零點；當時，函數有個零點.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為橢圓的上頂點為，所以，在當位于橢圓的右焦點時，中，有，即，所以，于是，所以橢圓的方程為；（2）設，則，因為，所以，即，設直線和的斜率分別為和，則（定值），（法一）因為直線的方程為，則，化簡得，解得，于是，同理可得，又由，整理得，所以，于是直線的方程為，化簡得，所以直線經過定點.（法二）設直線的方程為，因為橢圓方程為，即，所以，所以，整理得，于是，所以，解得，即直線的方程為，令，有，所以直線經過定點.19．【正確答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【詳解】（1）因為，所以，因為，所以數列滿足要求，所以數列的一個長度為的“等比伴隨數列”為（答案不唯一）.（2）由題意可知，，所以，聯立，所以，即，聯立，所以，即，聯立，所以，即，由上可知，，當時