專題18：全等三角形

一、選擇題

1、（4分）（2017?蘭州）如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點G在CD

上，DE=2,將正方形DEFG繞點D順時針旋轉60。，得到正方形DEFG,此時

點G，在AC上，連接CE，，則CE，+CG，=（）

E

A.V2+V6B.Vs+lC.V3+V2D.V3+V6

【分析】解法一：作GT_LCD于I,GR_LBC于R,E，H_LBC交BC的延長線于

H.連接RP.則四邊形RCIG是正方形.首先證明點P在線段BC上，再證明

CH=HE，即可解決問題.

解法二：首先證明CG，+CE，=AC,作G，M_LAD于M.解直角三角形求出DM,

AM,AD即可；

【解答】解法一：作G1J_CD于I,GR_LBC于R,EH_LBC交BC的延長線于

H.連接RF.則四邊形RCKF是正方形.

VZDGT^ZIGR-^%

AZDGZI=ZRGT\

在△GID和△GRF中，

'G'D二G'F

,NDG，=NRG'F'，

G'I=GyR

.??△G'lD四△G'RF,

???NG'ID=NG'RF'=90。,

???點F在線段BC±,

在RtZXE'F'H中，???E'F'=2,/E'F'H=30°,

???EH=LEF=I,FHM，

2

易證△RGF^^HFE,

???RF=EH,RGRC=FH,

???CH=RF=EH

?,?CE』也,

VRG,=HF,=V3，

:?CG=^^G=遙,

??.CE』CG，=VW^.

故選A.

解法二：作G，M_LAD于M.

易證△DAGNZ^DCE',

???AG'=CE,

???CG'+CE，=AC,

在RtZiDMG，中，???DG，=2,/MDG，=30。,

AMG^l,DM=V3，

VZMAG'=45°,NAMG'=90°,

???NMAG'=NMG'A=45。，

???AM=MG'=1,

AAD=1+V3>

VAC=V2AD,

?*.AC=V2+'V6.

故選A.

【點評】本題考查旋轉變換、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定

理、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全

等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

2、（3分）（2017?廣東）如圖，己知正方形ABCD,點E是BC邊的中點，DE

與AC相交于點F,連接BF,下列結論：?SAABF=SAADF;②SACDF=4S^CEF;③S

△ADF^ZS/iCEF；?SAADF=2SACDF?其中正確的是（）

A.??B.②③C.①④D.(2)@

【分析】由△AFD四ZXAFB,即可推出SAABF=SAADF，故①正確，由

BE=EC=1BC=1AD,AD〃EC,推出至二旦匹工，可得SMDF=2SMEF，SA

22ADAFDF2

ADI^^SACEF*SAADF=2S^CDF>故②③錯誤④IE確，由此即可判斷.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

???AD〃CB,AD=BC=AB,ZFAD=ZFAB,

在AAFD和4AFB中，

'AF二AF

,NFAD=NFAB，

AD=AB

.?.△AFD^AAFB,

*??SAABF=SAADF?故①正確，

VBE=EC=ABC=XAD,AD/7EC,

22

?

??EC，"_ICF'-_IEF'—_1—f

ADAFDF2

S^CDF=2SACEF?SAADF=4SACEF>SAADF=2SACDF>

故②③錯誤④正確，

故選C.

【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、平行線分線段成比

例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

3、（3分）（2017?貴港）如圖，在正方形ABCD中，。是對角線AC與BD的交

點，M是BC邊上的動點（點M不與B,C重合），CN_LDM,CN與AB交于

點N,連接OM,ON,MN.下列五個結論：@ACNB^ADMC；②△CONg

222

△DOM；?AOMN^AOAD；?AN+CM=MN；⑤若AB=2,貝ijSAOMN的最

小值是工，其中正確結論的個數是（）

2

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據正方形的性質，依次判定△CNBg/\DMC,AOCM^AOBN,△

CON^ADOM,AOMN^AOAD,根據全等三角形的性質以及勾股定理進行計

算即可得出結論.

【解答】解：???正方形ABCD中，CD=BC,ZBCD=90°,

.*.ZBCN+ZDCN=90°,

又??，CN_LDM,

???ZCDM+ZDCN=90°,

AZBCN=ZCDM,

又?:ZCBN=ZDCM=90°,

AACNB^ADMC(ASA),故①正確;

根據4CNB0△DMC,可得CM=BN,

又TNOCM=NOBN=45。，OC=OB,

/.△OCM^AOBN(SAS),

AOM=ON,ZCOM=ZBON.

AZDOC+ZCOM=ZCOB+ZBPN,即NDOM=NCON,

XVDO=CO,

/.△CON^ADOM(SAS),故②正確;

,/ZBON+ZBOM=ZCOM+ZBOM=90°,

AZMON=90°,即aMON是等腰直角三角形，

又,??△AOD是等腰直角三角形，

.-.△OMN^AOAD,故③正確；

VAB=BC,CM=BN,

ABM=AN,

又???RtZ\BMN中，BM2+BN2=MN2,

AAN2+CM2=MN2,故④正確；

VAOCM^AOBN,

???四邊形BMON的面積=ABOC的面積=1,即四邊形BMON的面積是定值1,

???當^NINB的面積最大時，aMNO的面積最小，

設BN=x=CM,則BM=2-x,

AAMNB的面積=Lx(2-x)=-lx2+x,

22

???當x=l時，△MNB的面積有最大值工，

2

此時SAOMN的最小值是1-故⑤正確；

22

綜上所述，正確結論的個數是5個，

故選：D.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定

與性質，相似三角形的判定以及勾股定理的綜合應用，解題時注意二次函數的最

值的運用.

4、（4分）（2017?黔東南州）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，FE1AB,

AF=2AE,FC交BD于O,則NDOC的度數為（）

A.60°B.67.5°C.75°D.54°

【分析】如圖，連接DF、BF.如圖，連接DF、BF.首先證明NFDB二1NFAB=30。,

2

再證明△FADgZ\FBC,推出NADF=NFCB=15。，由此即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接DF、BF.

VFE±AB,AE=EB,

AFA=FB,

VAF=2AE,

；?AF二AB=FB,

???△AFB是等邊三角形，

VAF=AD=AB,

???點A是4DBF的外接圓的圓心，

.?.ZFDB=1ZFAB=3O°,

2

???四邊形ABCD是正方形，

/.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,ZADB=ZDBC=45°,

/.ZFAD=ZFBC,

/.△FAD^AFBC,

AZADF=ZFCB=15°,

JZDOC=ZOBC+ZOCB=60°.

故選A.

解法二：連接BF.易知NFCB=15。，ZDOC=ZOBC+ZFCB=45°+15o=60°

【點評】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、圓等知識，解題的

關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加輔助圓解決問題，屬于中考選擇題

中的壓軸題.

5、（3分）（2017?衢州）如圖,矩形紙片ABCD中，AB=4,BC=6,將ZiABC沿

AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F,則DF的長等于（）

E

A.二B."C.1D.司

5334

【分析】根據折疊的性質得到AE二AB,ZE=ZB=90°,易證RtZ^AEFgRtZXCDF,

即可得到結論EF=DF；易得FC=FA,設FA=x,則FC=x,FD=6-x,在RlZXCDF

中利用勾股定理得到關于x的方程X?=42+(6-x)2,解方程求出X.

【解答】解：???矩形ABCD沿對角線AC對折，使aABC落在4ACE的位置，

.?.AE=AB,ZE=ZB=90°,

又;四邊形ABCD為矩形，

AAB=CD,

AAE=DC,

而NAFE二NDFC,

VffiAAEF^ACDF中，

rZAFE=ZCFD

<NE=ND，

AE=CD

/.△AEF^ACDF(AAS),

AEF=DF；

???四邊形ABCD為矩形，

???AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

AFC=FA,

設FA=x,則FC=x,FD=6-x,

在RtZ^CDF中，CF2=CD2+DF2,即X2=4?+(6-X)2,解得x=H

3

則FD=6-x二旦

3

故選：B.

【點評】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊

相等.也考查了矩形的性質和三角形全等的判定與性質以及勾股定理.

6、（3分）（2017?眉山）如圖，EF過口ABCD對角線的交點O,交AD于E,交

BC于F,若口ABCD的周長為18,OE=1.5,則四邊形EFCD的周長為（）

A.14B.13C.12D.10

【分析】先利用平行四邊形的性質求出AB=CD,BC二AD,AD+CD=9,可利用

全等的性質得到△AEO@Z\CFO,求出OE=OF=1.5,即可求出四邊形的周長.

【解答】解：,??四邊形ABCD是平行四邊形，周長為18,

AAB=CD,BC=AD,OA=OC,AD//BC,

ACD+AD=9,ZOAE=ZOCF,

'NOAE二NOCF

在AAEO和△CFO中，OA=0C

ZAOE=ZCOF

AAAEO^ACFO(ASA),

.e.OE=OF=L5,AE=CF,

貝ljEFCD的周長=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.

故選C.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握平

行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

7、（3分）（2017?隨州）如圖，在矩形ABCD中，AB<BC,E為CD邊的中點,

將AADE繞點E順時針旋轉180。，點D的對應點為C,點A的對應點為F,過

點E作ME_LAF交BC于點M,連接AM、BD交于點N,現有下列結論：

①AM=AD+MC；@AM=DE+BM；③DE?=AD?CM；④點N為AABM的外心.其

中正確的個數為（）

【分析】根據全等三角形的性質以及線段垂直平分線的性質，即可得出

AM=MC+AD；根據當AB=BC時，四邊形ABCD為正方形進行判斷，即可得出

當ABVBC時，AM=DEiBM不成立；根據ME_LIT,EC±MF,運用射影定理

即可得出EC2=CMXCF,據此可得DE2=AD*CM成立；根據N不是AM的中點,

可得點N不是aABM的外心.

【解答】解：???E為CD邊的中點,

ADE=CE,

又〈ND=NECF=90°,ZAED=ZFEC,

AAADE^AFCE,

AD=CF,AE=FE,

又,.,ME_LAF,

?,?ME垂直平分AF,

AAM=MF=MC+CF,

???AM=MC+AD,故①正確；

當AB=BC時，即四邊形ABCD為正方形時，

設DE二EC=1,BM=a,則AB=2,BF=4,AM=FM=4-a,

在RtZ\ABM中，22+a2=(4-a)2,

解得a=1.5,即BM=1.5,

???由勾股定理可得AM=2.5,

ADE+BM=2.5=AM,

又,.?ABVBC,

.??AM=DE+BM不成立，故②錯誤；

VME1FF,EC_LMF,

AEC2=CMXCF,

XVEC=DE,AD=CF,

ADE2=AD<M,故③正確；

???ZABM=90°,

AAM是AABM的外接圓的直徑，

VBM<AD,

???當BM〃AD時，典典VI,

ANAD

???N不是AM的中點，

???點N不是△ABM的外心，故④錯誤.

綜上所述，正確的結論有2個,

故選：B.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，

矩形的性質以及旋轉的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是運用全等三角形的對

應邊相等以及相似三角形的龍應邊成比例，解題時注意：三角形外接圓的圓心是

三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，故外心到三角形三個頂點

的距離相等.

8、（3分）（2017?咸寧）在平面直角坐標系xOy中，將一塊含有45。角的直角三

角板如圖放置，直角頂點C的坐標為（1,0）,頂點A的坐標為（0,2）,頂點

B恰好落在第一象限的雙曲線上，現將直角三角板沿x軸正方向平移，當頂點A

恰好落在該雙曲線上時停止運動，則此時點C的對應點C的坐標為（）

A.(2,o)B.(2,0)C.(且0)D.(3,0)

22

【分析】過點B作BD±x軸于點D,易證△ACOgABCD（AAS）,從而可求

出B的坐標，進而可求出反比例函數的解析式，根據解析式與A的坐標即可得

知平移的單位長度，從而求出C的對應點.

【解答】解：過點B作BD±x軸于點D,

VZACO+ZBCD=90°,

ZOAC+ACO=90°,

???ZOAC=ZBCD,

在△ACO與ABCD中，

rZ0AC=ZBCD

<ZA0C=ZBDC

AC=BC

AAACO^ABCD(AAS)

AOC=BD,OA=CD,

VA(0,2),C(1,0)

，OD=3,BD=1,

AB(3,1),

???設反比例函數的解析式為y二瓦

x

將B(3,1)代入尸瓦

x

Ak=3,

?-v?-y3-，

x

???把y=2代入y=S,

x

?Y

??A--^3-9

2

當頂點A恰好落在該雙曲線上時，

此時點A移動了旦個單位長度，

2

???C也移動了S個單位長度，

2

此時點C的對應點C的坐標為(”，0)

2

故選（C）

【點評】本題考查反比例函數的綜合問題，涉及全等三角形的性質與判定，反比

例函數的解析式，平移的性質等知識，綜合程度較高，屬于中等題型.

9、（3分）（2017?濱州）如圖，點P為定角NAOB的平分線上的一個定點，且/

MPN與NAOB互補，若NMPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、

OB相交于M、N兩點，則以下結論：（DPM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不

變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數為（）

【分析】如圖作PEJ_OA于E,PF_LOB于F.只要證明aPOE會aPOF,APEM

四△PFN,即可——判斷.

【解答】解：如圖作PE_LOA于E,PF_LOB于F.

???ZPEO=ZPFO=90°,

AZEPF+ZAOB=I80°,

VZMPN+ZAOB=180°,

AZEPF=ZMPN,

.?.ZEPM=ZFPN,

,.?0P平分NAOB,PE_LOA于E,PFJ_OB于F,

APE=PF,

在aPOE和aPOF中，

「OP二OP,

'PE=PF，

/.△POE^APOF,

???OE=OF,

在aPEM和APEN中，

2MPE二NNPF

<PE=PF，

ZPEM=ZPFN

.,.△PEM^APFN,

AEM=NF,PM=PN,故（1）正確，

??S/iPEM=SAPNF，

；?S四邊形PMON=S四邊形PEOF二定值，故（3）正確，

?.?OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正確,

MN的長度是變化的，故（4）錯誤，

故選B.

A

E\............以

O

FB

【點評】本題考查全等三角形的性質、角平分線的性質定理、四邊形的面積等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

10、（3分）（2017?德州）如圖放置的兩個正方形，大正方形ABCD邊長為a,小

正方形CEFG邊長為b（a>b）,M在BC邊上，且BM二b,連接AM,MF,MF

交CG于點P,將AABM繞點A旋轉至△ADN,將AMEF繞點F旋轉至aNGF,

給出以下五個結論：①NMAD=NAND；②CP=b-衛_；③AABM且ANGF；④

a

S四邊形AMFN=a2+b2：⑤A,M,P,D四點共圓，其中正確的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】①根據正方形的性質得到NBAD=NADC=NB=90。，根據旋轉的性質得

至IJJNNAD=NBAM,ZAND=ZAMB,根據余角的性質得到NDAM+NNAD二

ZNAD+ZAND=ZAND+ZNAD=90°,等量代換得到NDAM二NAND,故①正

確；

2

②根據正方形的性質得到PC〃EF,根據相似三角形的性質得到CP=b-UK_；故

a

②正確；

③根據旋轉的性質得到GN=ME,等量代換得到AB=ME=NG,根據全等三角形

的判定定理得到△ABMgZXNGF；故③正確；

④由旋轉的性質得到AM=AN,NF=MF,根據全等三角形的性質得到AM二NF,

推出四邊形AMFN是矩形，根據余角的想知道的NNAM=90。,推出四邊形AMFN

是正方形，于是得到S四邊形AMFN=AM?=a2+b-；故④正確；

⑤根據正方形的性質得到NAMP=90。，ZADP=90°,得至ljNABP+NADP=180。,

于是推出A,M,P,D四點共圓，故⑤正確.

【解答】解：①??,四邊形ABCD是正方形，

/.ZBAD=ZADC=ZB=90°,

AZBAM+ZDAM=90°,

??,將AABM繞點A旋轉至AADN,

AZNAD=ZBAM,ZAND=ZAMB,

JZDAM+NNAD=NNAD+ZAND=ZAND+ZNAD=90°,

???NDAM=NAND,故①正確；

②???四邊形CEFG是正方形，

APC//EF,

/.△MPC^AEMF,

.peg

??而TF

??,大正方形ABCD邊長為a,小正方形CEFG邊長為b(a>b),BM=b,

EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a,

?PCa-b

?.----z:------'

ba

2

,?.CP=b-互K一；故②正確；

a

③???將AMEF繞點F旋轉至aNGF,

.*.GN=ME,

VAB=a,ME=a,

AAB=ME=NG,

rAB=NG=a

在AABM與4NGF中，（NB=/NGF=90°，

GF二BM二b

/.△ABM^ANGF；故③正確；

?V^AABM繞點A旋轉至AADN,

AAM=AN,

???將AMEF繞點F旋轉至ANGF,

ANF=MF,

VAABM^ANGF,

AAM-NF,

???四邊形AMFN是矩形，

VZBAM=ZNAD,

JZBAM+DAM=ZNAD+ZDAN=90°,

...ZNAM=90°,

???四邊形AMFN是正方形，

???在Rt4ABM中，a2+b2=AM2,

二?S四邊形AMFN=AM~=a~+b~；故④正確；

⑤：四邊形AMFN是正方形，

AZAMP=90°,

VZADP=90°,

.*.ZABP+ZADP=180o,

:.A,M,P,D四點共圓，故⑤正確.

故選D.

N

【點評】本題考查了四點共圓，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和

性質，正方形的性質旋轉的性質，勾股定理，正確的理解題意是解題的關鍵.

11、（3分）（2017?威海）如圖，正方形ABCD的邊長為5,點A的坐標為（-4,

0）,點B在y軸上，若反比例函數y=k（kWO）的圖象過點C,則該反比例函

x

數的表達式為（）

A.y=^-B.y=AC.y=i.D.y=A

xxX

【分析】過點C作CE_Ly軸于E,根據正方形的性質可得AB=BC,ZABC=90°,

再根據同角的余角相等求出N'OAB=NCBE,然后利用“角角邊”證明AABO和4

BCE全等，根據全等三角形定應邊相等可得OA=BE=4,CE=OB=3,再求出OE,

然后寫出點C的坐標，再把點C的坐標代入反比例函數解析式計算即可求出k

的值.

【解答】解：如圖，過點C作CE_Ly軸于E,在正方形ABCD中，AB=BC,Z

ABC=90°,

.?.ZABO+ZCBE=90°,

VZOAB+ZABO=90°,

AZOAB=ZCBE,

???點A的坐標為(-4,0),

OA=4,

VAB=5,

*'?OB=y§2_42=3,

在aABO和4BCE中，

'NOAB:NCBE

?ZAOB=ZBEC，

AB=BC

AAABO^ABCE(AAS),

AOA=BE=4,CE=OB=3,

.*.OE=BE-OB=4-3=1,

???點C的坐標為(3,1),

??,反比例函數尸K(kHO)的圖象過點c,

x

k=xy=3X1=3?

工反比例函數的表達式為y=N

x

故選A.

【點評】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，涉及到正方形的性質，

全等三角形的判定與性質，反比例函數圖象上的點的坐標特征，作輔助線構造出

全等三角形并求出點D的坐標是解題的關鍵.

12、（4分）（2017?淄博）如圖,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,

ZBAC,ZACB的平分線相交于點E,過點E作EF〃BC交AC于點F,則EF

的長為（）

A.5B

24

【分析】延長FE交AB于點D,作EG_LBC、作EH_LAC,由EF〃BC可證四

邊形BDEG是矩形，由角平分線可得ED=EH=EG、ZDAE=ZHAE,從而知四

邊形BDEG是正方形，再證△DAEdHAE、ACGE^ACHE得AD二AH、

CG=CH,設BD=BG=x,貝1JAD=AH=6-x、CG=CH=8-x,由AC=10可得x=2,

即BD=DE=2.AD=4,再證△ADFs^ABC可得DF二生，據此得出EF=DF-

3

DE二生

3

【解答】解：如圖，延長FE交AB于點D,作EG_LBC于點G,作EH_LAC于

點H,

???EF〃BC、ZABC=90°,

???FD_LAB,

VEG1BC,

???四邊形BDEG是矩形，

TAE平分NBAC、CE平分NACB,

AED=EH=EG,ZDAE=ZHAE,

，四邊形BDEG是正方形，

在4DAE和AHAE中，

rZDAE=ZHAE

??,AE=AE，

ZADE=ZAHE

/.△DAE^AHAE(SAS),

AAD=AH,

同理ACGE會Z\CHE,

ACG=CH,

設BD=BG=x,貝ijAD=AH=6-x、CG=CH=8-x,

;AC=VAB2+AC2=V62+82=I。，

A6-x+8-x=10,

解得：x=2,

BD=DE=2,ADM,

VDF//BC,

AAADF^AABC,

?AD二DFpn4-DF

ABBC68

解得：DF=Ai,

3

貝ijEF=DF-DE=H-2=獨，

33

故選：C.

【點評】本題主耍考查相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質及正

方形的判定與性質，熟練掌握角平分線的性質和正方形的判定與性質、相似三角

形的判定與性質是解題的關鍵.

二、填空題

1、（5分）（2017?六盤水）如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、

F分別在邊BC和CD上，則/AEB=75度.

【分析】只要證明△ABEg^ADF,可得NBAE=NDAF=（90°-60°）4-2=15°,

即可解決問題.

【解答】解：,??四邊形ABCD是正方形,

，AB二AD,ZB=ZD=ZBAD=90°,

在RtAABE和RtAADF中，

AB=AD

AE=AF

AAABE^AADF,

AZBAE=ZDAF=(90°-60°)4-2=15°,

AZAEB=75°,

故答案為75.

【點評】本題考查正方形的性質、等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確

尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

2、（4分）（2017?黔東南州）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，己知FB=CE,

AC〃DF,請你添加一個適當的條件NA=ND使得△ABCgADEF.

【分析】根據全等三角形的判定定理填空.

【解答】解：添加NA=ND.理由如下：

VFB=CE,

???BC=EF.

又,；AC〃DF,

AZACB=ZDFE.

'/A二ND

,在aABC與4DEF中，ZACB=ZDFE，

BC=EF

/.△ABC^ADEF(AAS).

故答案是：NA=ND.

【點評】本題主要考查對全等三角形的判定，平行線的性質等知識點的理解和掌

握，熟練地運用全等三角形的判定定理進行證明是解此題的關鍵，是個開放型

的題目，比較典型.

3、（3分）（2017?哈爾濱）如圖，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點，連接

AM,過點D作DE_LAM,垂足為E.若DE=DC=1,AE=2EM,則BM的長為

辰

21?

5-

【分析】由AAS證明△ABMgADEA,得出AM=AD,證出BC=AD=3EM,連

接DM,由HL證明RtZ\DEMgRtADCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,設

EM=CM=x,貝ljBM=2x,AM=BC=3x,在RtZ\ABM中，由勾股定理得出方程，

解方程即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是矩形,

AAB=DC=1,ZB=ZC=90°,AD〃BC,AD=BC,

AZAMB=ZDAE,

VDE=DC,

.*.AB=DE,

VDE±AM,

???ZDEA=ZDEM=90°,

rZAMB=ZDAE

在aABM和4DEA中，］ZB=ZDEA=90"，

AB=DE

AAABM^ADEA(AAS),

AAM=AD,

VAE-2EM,

ABC=AD=3EM,

連接DM,如圖所示：

在RtADEM和RtADCM中，(DM=DM,

lDE=DC

ARtADEM^RtADCM(HL),

AEM=CM,

ABC=3CM,

設EM=CM=x,則BM=2x,AM=BC=3x,

在RtZ\ABM中，由勾股定理得：產+(2x)2=(3x)2,

解得：x=逅，

5

??.BM=_?^；

5

故答案為：迥.

5

【點評】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌

握矩形的性質和勾股定理，證明三角形全等是解決問題的關健.

4、（3分）（2017?包頭）如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，點F是

BC上一點，且FC=2BF,連接AE,EF.若AB=2,AD=3,則cosNAEF的值是

返

2.

【分析】接AF,由矩形的性質得出NB=NC=90。，CD=AB=2,BC=AD=3,證

出AB=FC,BF=CE,由SAS證明△ABF@Z\FCE,得出NBAF=NCFE,AF=FE,

證4AEF是等腰直角三角形，得出NAEF=45。，即可得出答案.

【解答】解：連接AF,如圖所示：

???四邊形ABCD是矩形，

AZB=ZC=90°,CD=AB=2,BC=AD=3,

VFC=2BF,

ABF=1,FC=2,

???AB=FC,

,?，E是CD的中點，

ACE=1CD=1,

2

ABF=CE,

'AB=FC

在AABF和AFCE中，ZB=ZC

BF=CE

AAABF^AFCE(SAS),

AZBAF=ZCFE,AF=FE,

VZBAF+ZAFB=90°,

，ZCFE+ZAFB=90°,

???ZAFE=180°-90°=90°,

AAAEF是等腰直角三角形，

JZAEF=45°,

???ocsNAEF二返；

2

故答案為：返.

2

【點評】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的

判定與性質、三角函數等知識；熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等是解決問

題的關鍵.

5、（3分）（2017?包頭）如圖，SAABC與4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=

ZDAE,且點D在AB上，點E與點C在AB的兩側，連接BE,CD,點M、

N分別是BE、CD的中點，連接MN,AM,AN.

下列結論：?AACD^AABE；②△ABCs/\AMN；③AAMN是等邊三角形；

④若點D是AB的中點，則SAABC=2SAABE.

其中正確的結論是一①②④.(填寫所有正確結論的序號)

【分析】①根據SAS證明△ACD^^ABE；

②先證明aACN絲△ABM,得AAMN也是等腰三角形，且頂角與4ABC的頂

角相等，所以△ABCs/\AMN；

③由AN=AM,可得AAMN為等腰三角形；

④根據三角形的中線將三角形面積平分得：SaACD=2S&ACN，S.ABE=2S&ABM，則S

△ABC=2SAACD=2SAABE-

【解答】解：①在4ACD和4ABE中，

AC=AB

VNBAO/DAE，

AD=AE

AAACD^AABE(SAS),

所以①正確；

??.'△ACD^AABE,

ACD=BE,ZNCA=ZMBA,

又,；M,N分別為BE,CD的中點,

ACN=BM,

在4ACN和aABM中,

AC=AB

ZACN=ZABM，

CN=BM

AAACN^AABM,

.*.AN=AM,ZCANZBAM,

AZBAC=ZMAN,

VAB=AC,

AZACB=ZABC,

AZABCZAMN,

AAABC^AAMN,

所以②正確；

@VAN=AM,

AAAMN為等腰三角形，

所以③不正確；

?VAACN^AABM,

,,SAACN=SAABM?

??,點M、N分別是BE、CD的中點,

??SIACD=2SAACN，SAABE=2SAABM?

,,SAACD-SAABE?

YD是AB的中點，

??SAABC=2SAACD=2SAABE>

所以④正確；

本題正確的結論有：①②④；

故答案為：①②④.

【點評】本題考查了三角形全等的性質和判定、等腰三角形的性質和判定、三角

形中線的性質、三角形相似的性質和判定，熟練掌握三角形全等的性質和判定及

三角形中線平分面積的性質是關鍵；此類選擇題比較麻煩，類似四個證明題，所

以要認真審題，并做出正確的判斷.

6、（3分）（2017?呼和浩特）如圖，在口ABCD中，ZB=30°,AB=AC,O是兩

條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD,BC于點E,F,點M是

邊AB的一個三等分點，則AAOE與△BMF的面積比為3：4.

【分析】作MH_LBC于H,設AB=AC=m,則BM=Ln,根據

326

平行四邊形的性質求得OA二oc二LAC二』m,解直角三角形求得FC二國，然后

223

根據ASA證得△AOEg△COF,證得AE=FC=1m,進一步求得

3

OE=—AE=^^m,從而求得S“OE=Y3m2，作AN_LBC于N,根據等腰三角形的

2624

性質以及解直角三角形求得BC=V3m,進而求得BF二BC-FC=“m?

返n二型3m分別求得aAOE與4BMF的面積，即可求得結論.

33

【角軍答］解：設AB=AC二m,貝ijBM=A4Tb

3

是兩條對角線的交點，

OA=OC=—AC=Jun，

22

VZB=30°,AB=AC,

AZACB=ZB=30°,

VEF±AC,

1_

/.cosZACB=-^-,BPcos30°=——,

FCFC

3

VAE#FC,

AZEAC=ZFCA,

XVZAOE=ZCOF,AO=CO,

AAAOE^ACOF,

AAE=FC=^m,

3

/.OE=-kAE=^lin,

26

?

SAAOE=LOAOE=LX工1rx返n=返nE

222624

作AN_LBC于N,

VAB=AC,

.二BN=CN」BC,

2

VBN=2ZlAB=2Z3jn,

22

/.BC=V3ni?

ABF=BC-FC=y/~3n-

33

作MH_LBC于H,

VZB=30°,

.,.MH=1BM=AW,

26

2

SABMF=—BF*MH=—XX14n=2Z^m,

223618

V32

?S/kAOE_241rl_3

?.1-r———

SABMFX2_24

181n

故答案為3：4.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質以及解直角三

角形等，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.

7.（3分）（2017?常德）如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形的邊上.若

設AE二x,正方形EFGH的面積為y,則y與x的函數關系為y=2x?-4x-4.

【分析】由AAS證明aAHEgABEF,得出AE二BF=x,AH=BE=2-x,再根據

勾股定理，求出EH?,即可得到y與x之間的函數關系式.

【解答】解：如圖所示:

四邊形ABCD是邊長為1的正方形,

???NA=NB=90。，AB=2.

.,.Zl+Z2=90°,

,??四邊形EFGH為正方形,

/.ZHEF=90°,EH=EF.

AZ1+Z3=9O°,

AZ2=Z3,

在aAHE與4BEF中，

'NA=NB

VZ2=Z3，

EH=FE

AAAHE^ABEF(AAS),

AAE=BF=x,AH=BE=2-x,

在RtZ\AHE中，由勾股定理得：

EH2=AE2+AH2=X2+(2-X)2=2X2-4x+4；

即y=2x2-4x+4(0<x<2),

故答案為：y=2x2-4x+4.

【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，本題

難度適中，求出y與x之間的函數關系式是解題的關鍵.

8、(4分)(2017?懷化)如圖，AC二DC,BC=EC,請你添加一個適當的條件：,

使得△ABCdDEC.

EC

【分析】本題要判定^ABC段△口￡（2,己知AC=DC,BC=EC,具備了兩組邊對

應相等，利用SSS即可判定兩三角形全等了.

【解答】解：添加條件是：AB=DE,

rAC=DC

在4ABC與4DEC中，《AB二DE，

BC=EC

/.△ABC^ADEC.

故答案為：AB=DE.本題答案不唯一.

【點評】此題主要考查學生對全等三角形的判定這一知識點的理解和掌握，此題

難度不大，屬于基礎題.

9、（5分）（2017?紹興）如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形,

點G在對角線BD上，GE1CD,GF±BC,AD=1500m,小敏行走的路線為

BTA—GTE,小聰行走的路線為BTATD—E—F.若小敏行走的路程為3100m,

則小聰行走的路程為BQQm.

【分析】連接CG,由正方形的對稱性，易知AG二CG,由正方形的對角線互相

平分一組對角，GE1DC,易得DE=GE.在矩形GECF中，EF=CG.要計算小

聰走的路程，只要得到小聰比小敏多走了多少就行.

【解答】解：連接GC,

???四邊形ABCD為正方形，

所以AD=DC,ZADB=ZCDB=45°,

VZCDB=45°,GE1DC,

???△DEG是等腰直角三角形,

，DE=GE.

在4AGD和4GDC中，

rAD=DC

<ZADG=ZCDG

DG=DG

AAAGD^AGDC

AAG=CG

在矩形GECF中，EF=CG,

AEF=AG.

VBA+AD+DE+EF-BA-AG-GE

=AD=1500m.

丁小敏共走了3100m,

工小聰行走的路程為3100+1500

=4600(m)

故答案為：4600

【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的性質和判定、矩形的性質及等

腰三角形的性質.解決本題的關鍵是證明AG=EF,DE=GE.

10、（3分）（2017?達州）△ABC中，AB=5,AC=3,AD是△ABC的中線,設

AD長為m,則m的取值范圍是l〈mV4.

【分析】作輔助線，構建根據三角形三邊關系得：EC-AC<AE<

AC+EC,即5-3<2m<5+3,所以l<m<4.

【解答】解：延長AD至E,使AD二DE,連接CE,貝ljAE=2m,

VAD^AABC的中線，

ABD=CD,

在aADB和4EDC中，

'ADRE

VZADB=ZEDC，

BD=CD

/.△ADB^AEDC,

AEC=AB=5,

在aAEC中，EC-AC<AE<AC+EC,

即5-3<2m<5+3,

/.l<m<4,

故答案為：lVmV4.

E

【點評】本題考查了三角形三邊關系、三角形全等的性質和判定，屬于基礎題,

輔助線的作法是關鍵.

11、（3分）（2017?南充）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和

b,正方形CEFG繞點C旋轉,給出下列結論：①BE=DG；②BE_LDG；③

DE2+BG2=2a2+b2,其中正確結論是①②（填序號）

【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGC都為正方形，得到四條邊相等，四個

角為直角，利用SAS得到三角形BCE與三角形DCG全等，利用全等三角形對

應邊相等即可得到BE=DG,利用全等三角形對應角相等得到N1=N2,利用等角

的余角相等及直角的定義得到NBOD為直角，利用勾股定理求出所求式子的值

即可.

【解答】解：設BE,DG交于O,

???四邊形ABCD和EFGC都為正方形，

ABC=CD,CE=CG,NBCD=NECG二90。，

，ZBCE+ZDCE=ZECG+ZDCE=90°+ZDCE,即NBCE二NDCG,

在4BCEffADCG中，

rBC=DC

,ZBCE=ZDCG，

CE=CG

/.△BCE^ADCG（SAS）,

ABE=DG,

AZ1=Z2,

VZ1+Z4=Z3+Z1=9O°,

??.Z2+Z3=90°,

???ZBOC=90°,

???BE_LDG；故①②正確；

連接BD,EG,如圖所示，

???DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2,

則BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2,故③錯誤.

故答案為：①②.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理，熟練

掌握性質與定理是解本題的關鍵.

12、（3分）（2017?十堰）如圖，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG

分別交AE,AF于M,N.下列結論：①AF_LBG；?BN=-1-NF；③耨/?S

四邊形CGNF二冬四邊形ANGD?其中正確的結論的序號是①③.

2

【分析】①易證△ABFgZ\BCG,即可解題;

②易證△BNFsaBCG,即可求得四的值，即可解題;

NF

③作EH_LAF,令AB=3,即可求得MN,BM的值，即可解題;

④連接AG,FG,根據③中結論即可求得S四動形CGNF和S四邊影ANGD，即可解題.

【解答】解：①??,四邊形ABCD為正方形，

???AB=BC=CD,

VBE=EF=FC,CG=2GD,

ABF=CG,

'鄴二BC

???在AABF和ABCG中，NABF=/BCG=90°，

BF=CG

AAABF^ABCG,

AZBAF-ZCBG,

VZBAF+ZBFA=90°,

AZCBG+ZBFA=90°,即AF_LBG；①正確；

②;在4BNF和4BCG中，j/CBG二NNBF,

l.ZBCG=ZBNF=90"

/.△BNF^ABCG,ABN_BC_2,

NFCG2

??.BN=2NF；②錯誤；

3

③作EH_LAF,令AB=3,貝ijBF=2,BE=EF=CF=1,

AF=4AB2+BF2=V^，

S3ABF=4F?BN=X\B?BF，

22

ABN=-^ZH,NF=^BN=-^ZH,

13313

AAN=AF-NF=-^I^,

13

?；E是BF中點,

AEH是4BFN的中位線，

AEH=3^,NH=^/H,BN〃EH,

1313

AAH=11啊里膽，解得：MN二型運，

13AHEH143

ABM=BN-MN=-^ZH,MG=BG-BM=-?2ZH,

1111

.??里3；③正確；

MG8

④連接AG,FG,根據③中結論,

則NG=BG-BN=HH,

13

*?*S四或形CGNF=SACFG+S4GNF=&G?CF+LNF?NG=1+ll=iL

221313

S四邊形ANGD=S△ANG+SAADG=-AN*GN+—AD*DG=-^-+-^-^-,

2226213

?*?S四邊形CGNFH-1~S四邊形ANGD，④錯誤;

2

故答案為①③.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，考查了相似三角形的判定和對應

邊比例相等的性質，本題中令AB=3求得AN,BN,NG,NF的值是解題的關鍵.

13、（3分）（2017?武漢）如圖，在△ABC中，AB=AC=2?：ZBAC=120°,點

D、E都在邊BC上，ZDAE=60°.若BD=2CE,則DE的長為3立-3.

【分析】將4ABD繞點A逆時針旋轉120。得到AACF,連接EF,過點E作EM

_LCF于點M,過點A作ANJLBC于點N,由AB=AC=26、ZBAC=120°,可

得出BC=6、ZB=ZACB=30°,通過角的計算可得出NFAE=60。，結合旋轉的性

質可證出△ADEgZXAFE（SAS）,進而可得出DE=FE,設CE=2x,則CM二x,

EM=V3X>FM=4X-x=3x>EF=ED=6-6x,在Rt/XEFM中利用勾股定理可得出

關于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其代入DE=6-6x中即可求出

DE的長.

【解答】解：將4ABD繞點A逆時針旋轉120。得到aACF，連接EF,過點E

作EM_LCF于點M,過點A作AN_LBC于點N,如圖所示.

VAB=AC=2V3，ZBAC=120°,

ABN=CN,ZB=ZACB=30°.

在RtZ\BAN中，ZB=30°,AB=2V3，

,,AN=XAB=V3??^=VAB2-AN2=^'

乙

ABC=6.

VZBAC=120°,ZDAE=60°：

AZBAD+ZCAE=60°,

???ZFAE=ZFAC+ZCAE=ZBAD+ZCAE=60°.

rAD=AF

在4ADE和4AFE中，＜NDAE=NFAE二60°，

AE=AE

AAADE^AAFE(SAS),

???DE=FE.

VBD=2CE,BD=CF,ZACF=ZB=30°,

???設CE=2x,則CM=x,EM=小，FM=4x-x=3x,EF=ED=6-6x.

在RtZ^EFM中，FE=6-6x,FM=3x,EM=V3x，

AEF2=FM2+EM2,即(6-6x)2=(3x)2+(后)2,

解得：X尸對1,X2=更返(不合題意，舍去)，

22

???DE=6-6