高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省遼陽市2024屆高三上學期期末數學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由、，故.故選：A.2.若復數，則z的虛部是（）A. B.5 C.1 D.【答案】C【解析】，故z的虛部為1.故選：C.3.函數的圖象在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數，可得，所以且，所以所求切線方程為，即.故選：B.4.在的展開式中，項的系數為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的展開式的通項為，令解得，所以項的系數為，故選：A5.古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割率.黃金分割率的值也可以用表示，即，設為正五邊形的一個內角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A.6.已知是偶函數，在上單調遞增，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的圖象可由的圖象向右平移1個單位得到，因為偶函數，則其圖象關于軸對稱，所以的圖象關于直線對稱，又在上單調遞增，則在上單調遞減，又，則有，當，即時，需，解得或；當，即時，需，無解；綜上，不等式的解集為.故選：D7.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當四面體的體積最大時，點O到平面ABD的距離為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知當平面平面時四面體的體積最大時，因為為正三角形，，，所以，則，當平面平面時，取線段中點，則點為直角三角形外心，連接，則易知平面，所以四面體外接球球心在上，因為為正三角形，所以四面體外接球球心即為的中心，則，設點到面的距離為，點到面的距離為，由得，因邊長為2，所以，，中，，所以，則，所以點到面的距離為.故選：C.8.在中，，D為AB的中點，，P為CD上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為D為AB的中點，則，可得，即，解得，又因為P為CD上一點，設，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.二、選擇題9.某市組織舉辦了信息安全知識競賽.已知某?，F有高一學生1200人、高二學生1000人、高三學生1800人，利用分層抽樣的方式隨機抽取100人參加校內選拔賽，賽后前10名學生成績（滿分100分）為75，78，80，84，84，85，88，92，92，92，則（）A.選拔賽中高一學生有30人B.選拔賽前10名學生成績的第60百分位數為85C.選拔賽前10名學生成績的平均數為85D.選拔賽前10名學生成績的方差為33.2【答案】ACD【解析】選拔賽中高一學生有人，所以A正確；因為，所以選拔賽前10名學生成績的第60百分位數為，所以B錯誤；因為，所以C正確；因為，所以D正確.故選：ACD10.已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點，分別為它的左、右頂點，是橢圓上的一個動點，且的最大值為，則下列選項正確的是（）A.當不與左、右端點重合時，的周長為定值B.當時，C.有且僅有4個點，使得為直角三角形D.當直線的斜率為1時，直線的斜率為【答案】ABD【解析】對于A：因為，當且僅當為右頂點時取等號，又因為的最大值為，所以，因為，所以，所以橢圓的方程為，因為的周長為，故A正確；對于B：當時，，所以，所以，所以，因為，所以，故B正確；對于C：設橢圓的上頂點為，因為，所以，所以的最大值為，所以存在個點，使得，又因為存在個點使，存在個點使，所以存在個點，使得為直角三角形，故C錯誤；對于D：因為，設，則，所以，所以，因為，所以，故D正確，故選：ABD.11.已知正方體的棱長為2，E，F分別為AD，的中點，則（）A.B.過，B，F的截面面積為C.直線BF與AC所成角的余弦值為D.EF與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對于A，取的中點為，連接,故,由于相交，所以不可能平行，故A錯誤，對于B，取的中點為，連接,則四邊形即為截面，由于,故四邊形為等腰梯形，過作，則,所以,故B正確，對于C，由于，所以即為直線BF與AC所成角或其補角，,所以,故C正確，對于D，由于平面，所以即為與平面所成角,故,故D正確，故選：BCD.12.已知函數，且對恒成立，則（）A.B.的圖象關于點對稱C.若方程在上有2個實數解，則D.的圖象與直線恰有5個交點【答案】BCD【解析】對于A，因為對恒成立，所以圖象關于直線對稱，則，即，解得，故A錯誤；對于B，，所以的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，當時，，因為在上有2個實數解，所以，解得，故C正確；對于D，直線經過點與，而與分別是函數的零點與其圖象的最高點，如圖所示：結合圖象可知的圖象與直線恰有5個交點，故D正確.故選：BCD．三、填空題13.已知函數，若，則______．【答案】1【解析】因為，所以，即，故答案為：1.14.已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為16，到軸的距離為10，則_______.【答案】12【解析】由題意可知拋物線的準線方程為，根據拋物線的定義可得，所以.故答案為：12.15.已知直線是圓的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則__________.【答案】【解析】由，得，所以圓的圓心為，半徑為3.因為直線是圓的對稱軸，所以經過點.由，得，所以的坐標為.因為圓的半徑為3，所以.故答案為：.16.如圖，將個整數放入的宮格中，使得任意一行及任意一列的乘積為2或－2，記將個整數放入的宮格有種放法，則______，______．【答案】32【解析】根據題意可以得到，所以得到宮格中的放置共有，根據正負號和正負號共有種情況，則通項公式，則;因此，所以.故答案為：；四、解答題17.記正項數列的前n項和為，，．①；②；③．從以上三個條件中選擇一個解決下面問題．（1）求的通項公式；（2）若求數列的前項和．解：（1）選①，，（i），（ii）（i）（ii）得，，，，又，所以數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，則，.選②，由，即，，，又，所以數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，則，.選③，由，則，又，所以數列是以1為首項，以1為公差的等差數列，即，，，又，，.（2）由（1）得，，.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且．（1）求角A；（2）求的取值范圍．解：（1）由三角形面積公式可得：，即，則，即，則，則因為，所以.（2），則，由正弦定理得，，又，則，所以19.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，E，F分別是BC，PD的中點．（1）證明：平面PAB．（2）若，求平面AEF與平面PBD夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接分別為的中點，，又分別為的中點，，，因為面，面，面，面，面，面，，面，面，面面，又面，平面PAB．（2）解：設，，，，，又且面，面，面，連接，因為面，所以，因為為等邊三角形，所以，又因為面，所以平面.如圖，以點為原心，建立空間直角坐標系，則，，，，，，則，，設平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令則，即，則，令則，即，設平面AEF與平面PBD夾角為，則，平面AEF與平面PBD夾角的余弦值為.20.某中學選拔出20名學生組成數學奧賽集訓隊，其中高一學生有8名、高二學生有7名、高三學生有5名．（1）若從數學奧賽集訓隊中隨機抽取3人參加一項數學奧賽，求抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一的概率．（2）現學校欲對數學奧賽集訓隊成員進行考核，考核規則如下：考核共4道題，前2道題答對每道題計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計0分，累積計分不低于5分的學生為優秀學員．已知張同學前2道題每道題答對的概率均為，后2道題每道題答對的概率均為，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學在本次考核中累積計分為X，求X的分布列和數學期望，并求張同學在本次考核中獲得優秀學員稱號的概率．解：（1）設事件A為“抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一”，則.（2）由題意可知的取值可為，前兩道題答錯的概率為，后兩道題答錯的概率也為，，，，，，，，故X的分布列為：X0123456P數學期望為，因為累積計分不低于5分的學生為優秀學員，所以張同學在本次考核中獲得優秀學員稱號的概率為.21.在平面直角坐標系內，已知定點，定直線，動點P到點F和直線l的距離的比值為，記動點P的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程．（2）以曲線E上一動點M為切點作E的切線，若直線與直線l交于點N，試探究以線段MN為直徑的圓是否過x軸上的定點．若過定點．求出該定點坐標；若不過，請說明理由．（1）解：設點是所求軌跡上的任意一點，因為定點，定直線l：，動點P到點F和直線l的距離的比值為，可得，化簡得，所以曲線的方程為.（2）解：因為直線與相交，所以的斜率存在，可設的方程為，聯立方程組，整理得，則，可得，即且，所以，即，所以，則，所以，聯立方程組，解得，即，假設以線段為直徑的圓過軸上一定點，設為，則，所以恒成立，即，可得，即，整理得，即，即恒成立，要使得恒成立，則，所以恒過定點，即以線段為直徑的圓過軸上一定點.22.已知函數.（1）當時，求的最大值；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由題可知的定義域為，當時，，因為，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.（2）因為，所以，令，則，當時，由（1）知，不滿足題意；當時，，所以恒成立，不滿足題意；當時，在上恒成立，所以在上單調遞減，所以.①當時，因為，所以，所以在上單調遞減，所以，所以滿足題意，②當時，因為在上單調遞減，且，所以存在，使得，當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以當時，，不滿足題意，綜上所述，.遼寧省遼陽市2024屆高三上學期期末數學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由、，故.故選：A.2.若復數，則z的虛部是（）A. B.5 C.1 D.【答案】C【解析】，故z的虛部為1.故選：C.3.函數的圖象在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數，可得，所以且，所以所求切線方程為，即.故選：B.4.在的展開式中，項的系數為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的展開式的通項為，令解得，所以項的系數為，故選：A5.古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割率.黃金分割率的值也可以用表示，即，設為正五邊形的一個內角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A.6.已知是偶函數，在上單調遞增，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的圖象可由的圖象向右平移1個單位得到，因為偶函數，則其圖象關于軸對稱，所以的圖象關于直線對稱，又在上單調遞增，則在上單調遞減，又，則有，當，即時，需，解得或；當，即時，需，無解；綜上，不等式的解集為.故選：D7.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當四面體的體積最大時，點O到平面ABD的距離為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知當平面平面時四面體的體積最大時，因為為正三角形，，，所以，則，當平面平面時，取線段中點，則點為直角三角形外心，連接，則易知平面，所以四面體外接球球心在上，因為為正三角形，所以四面體外接球球心即為的中心，則，設點到面的距離為，點到面的距離為，由得，因邊長為2，所以，，中，，所以，則，所以點到面的距離為.故選：C.8.在中，，D為AB的中點，，P為CD上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為D為AB的中點，則，可得，即，解得，又因為P為CD上一點，設，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.二、選擇題9.某市組織舉辦了信息安全知識競賽.已知某?，F有高一學生1200人、高二學生1000人、高三學生1800人，利用分層抽樣的方式隨機抽取100人參加校內選拔賽，賽后前10名學生成績（滿分100分）為75，78，80，84，84，85，88，92，92，92，則（）A.選拔賽中高一學生有30人B.選拔賽前10名學生成績的第60百分位數為85C.選拔賽前10名學生成績的平均數為85D.選拔賽前10名學生成績的方差為33.2【答案】ACD【解析】選拔賽中高一學生有人，所以A正確；因為，所以選拔賽前10名學生成績的第60百分位數為，所以B錯誤；因為，所以C正確；因為，所以D正確.故選：ACD10.已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點，分別為它的左、右頂點，是橢圓上的一個動點，且的最大值為，則下列選項正確的是（）A.當不與左、右端點重合時，的周長為定值B.當時，C.有且僅有4個點，使得為直角三角形D.當直線的斜率為1時，直線的斜率為【答案】ABD【解析】對于A：因為，當且僅當為右頂點時取等號，又因為的最大值為，所以，因為，所以，所以橢圓的方程為，因為的周長為，故A正確；對于B：當時，，所以，所以，所以，因為，所以，故B正確；對于C：設橢圓的上頂點為，因為，所以，所以的最大值為，所以存在個點，使得，又因為存在個點使，存在個點使，所以存在個點，使得為直角三角形，故C錯誤；對于D：因為，設，則，所以，所以，因為，所以，故D正確，故選：ABD.11.已知正方體的棱長為2，E，F分別為AD，的中點，則（）A.B.過，B，F的截面面積為C.直線BF與AC所成角的余弦值為D.EF與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對于A，取的中點為，連接,故,由于相交，所以不可能平行，故A錯誤，對于B，取的中點為，連接,則四邊形即為截面，由于,故四邊形為等腰梯形，過作，則,所以,故B正確，對于C，由于，所以即為直線BF與AC所成角或其補角，,所以,故C正確，對于D，由于平面，所以即為與平面所成角,故,故D正確，故選：BCD.12.已知函數，且對恒成立，則（）A.B.的圖象關于點對稱C.若方程在上有2個實數解，則D.的圖象與直線恰有5個交點【答案】BCD【解析】對于A，因為對恒成立，所以圖象關于直線對稱，則，即，解得，故A錯誤；對于B，，所以的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，當時，，因為在上有2個實數解，所以，解得，故C正確；對于D，直線經過點與，而與分別是函數的零點與其圖象的最高點，如圖所示：結合圖象可知的圖象與直線恰有5個交點，故D正確.故選：BCD．三、填空題13.已知函數，若，則______．【答案】1【解析】因為，所以，即，故答案為：1.14.已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為16，到軸的距離為10，則_______.【答案】12【解析】由題意可知拋物線的準線方程為，根據拋物線的定義可得，所以.故答案為：12.15.已知直線是圓的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則__________.【答案】【解析】由，得，所以圓的圓心為，半徑為3.因為直線是圓的對稱軸，所以經過點.由，得，所以的坐標為.因為圓的半徑為3，所以.故答案為：.16.如圖，將個整數放入的宮格中，使得任意一行及任意一列的乘積為2或－2，記將個整數放入的宮格有種放法，則______，______．【答案】32【解析】根據題意可以得到，所以得到宮格中的放置共有，根據正負號和正負號共有種情況，則通項公式，則;因此，所以.故答案為：；四、解答題17.記正項數列的前n項和為，，．①；②；③．從以上三個條件中選擇一個解決下面問題．（1）求的通項公式；（2）若求數列的前項和．解：（1）選①，，（i），（ii）（i）（ii）得，，，，又，所以數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，則，.選②，由，即，，，又，所以數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，則，.選③，由，則，又，所以數列是以1為首項，以1為公差的等差數列，即，，，又，，.（2）由（1）得，，.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且．（1）求角A；（2）求的取值范圍．解：（1）由三角形面積公式可得：，即，則，即，則，則因為，所以.（2），則，由正弦定理得，，又，則，所以19.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，E，F分別是BC，PD的中點．（1）證明：平面PAB．（2）若，求平面AEF與平面PBD夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接分別為的中點，，又分別為的中點，，，因為面，面，面，面，面，面，，面，面，面面，又面，平面PAB．（2）解：設，，，，，又且面，面，面，連接，因為面，所以，因為為等邊三角形，所以，又因為面，所以平面.如圖，以點為原心，建立空間直角坐標系，則，，，，，，則，，設平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令則，即，則，令則，即，設平面AEF與平面PBD夾角為，則，平面AEF與平面PBD夾角的余弦值為.20.某中學選拔出20名學生組成數學奧賽集訓隊，其中高一學生有8名、高二學生有7名、高三學生有5名．（1）若從數學奧賽集訓隊中隨機抽取3人參加一項數學奧賽，求抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一的概率．（2）現學校欲對數學奧賽集訓隊成員進行考核，考核規則如下：考核共4道題，前2道題答對每道題計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計0分，累積計分不低于5分的學生為優秀學員．已知張同學前2道題每道題答對的概率均為，后2道題每道題答對的概率均為，