1.1電路與信號1.2電路模型1.3電路變量1.4電路元件1.5基爾霍夫定律1.6信號的運算習題1第1章電路與信號的基本概念

1.1電路與信號

1.1.1信號及其描述

人類的社會活動離不開傳遞消息。一般將語言、文字、圖像或數據等統稱為消息(Message)，在消息中包含有一定數量的信息(Information)。但是，信息的傳送一般都不是直接的，它必須借助于一定形式的信號(光信號、聲信號、電信號等)，才能遠距離快速傳輸和進行各種處理。我們的祖先利用烽火傳遞邊疆警報，古希臘人以火炬的位置表示字母符號，這些都是借助光信號傳送消息。人們相互問候、發布新聞、擊鼓鳴金傳送命令，這是利用了聲信號。19世紀以來，電報、電話相繼發明，無線電傳輸技術迅速發展，互聯網迅速普及，使電信號廣泛應用于廣播圖像或傳輸數據。

那么，什么是信號(Signal)？廣義地說，信號是隨時間變化的某種物理量。信號是消息的表現形式，它是通信傳輸的客觀對象，而消息則是信號的具體內容，它蘊藏在信號之中。在可以作為信號的多種物理量中，電量是最常用的物理量。因為電量不僅容易產生和控制，而且它與非電量之間的轉換比較容易，如話音信號通過話筒就能變成相應的電信號。因此，本書只討論應用廣泛的電信號，它通常是隨時間變化的電壓或電流，在某些情況下也可以是電荷或磁通。

信號是隨時間而變化的，在數學上可以用時間t的函數f(t)來表示，因此，“信號”與“函數”兩個名詞常常通用。按時間函數的確定性，信號可分為確定信號和隨機信號兩類。確定信號(DeterminateSignal)是指一個可以表示為確定的時間函數的信號，對于指定的某一時刻，信號有確定的值，如正弦信號、周期脈沖信號等。隨機信號(RandomSignal)則與之不同，它不是一個確定的時間函數，通常只知道它取某一數值的概率，如噪音信號等。本課程只討論確定信號，它也是研究隨機信號特性的重要基礎。

確定信號按其變化有無重復性的特點，可以分為周期信號與非周期信號；按其存在時間是否為連續的特點，又可分為連續時間信號和離散時間信號。除若干個不連續點外，在所討論的任意時刻都有定義的信號稱為連續時間信號，簡稱連續信號，如直流信號、矩形脈沖信號、單邊指數信號和正弦信號等，分別如圖1-1(a)~(d)所示。

僅在某些不連續規定的時刻有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號，如圖1-1(e)所示。圖1-1連續信號和離散信號(a)直流信號；(b)矩形脈沖信號；(c)單邊指數信號；(d)正弦信號；(e)離散信號信號可以從時間特性和頻率特性兩個方面來描述。信號的特性首先表現為它隨時間變化的規律，即“時間特性”，比如它出現時間的先后、持續時間的長短、重復周期的大小及隨時間變化的快慢等。因此，可以用時間域的數學表達式(時域函數)來描述信號，或繪出函數的圖像，即信號的波形。另一方面，信號的特性又表現為它的頻率成分分布的規律，即“頻率特性”。因為任意信號在一定條件下總可以分解為許多不同頻率的正弦分量之和，即具有一定的頻率分量，各頻率分量具有相對的大小，主要頻率分量占有一定的頻率范圍等。因此，信號又可以用頻域函數來描述，這需要用到相應的正交變換，如傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換等。1.1.2實際電路

實際電路是由各種電器按一定的方式互相連接而構成的電流的通路。它的主要功能是實現電能或電信號的產生、傳輸、轉換和處理。例如日常使用的收音機和電視機，它們能對接收到的微弱的無線電信號進行各種加工處理，最后提供人們所需要的聲音和圖像；又如計算機可對輸入的數據進行指定的計算、存儲和控制等。總之，實際電路種類繁多、千差萬別，電路的各部分及其周圍空間又伴隨著各種電磁現象和能量交換，從而形成了一個復雜的物理系統。系統是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。通常將施加于系統的作用稱為系統的輸入(激勵)，而將要求系統完成的功能稱為系統的輸出(響應)。分析一個實際系統，首先要對實際系統建立數學模型，在數學模型的基礎上，運用數學方法求其解答，最后又回到實際系統，對結果作出物理解釋，并賦予物理意義。所謂系統的數學模型，是指系統物理特性的抽象，即以數學表達式或具有理想特性的符號圖形來表征系統的特性。輸入和輸出均為連續時間信號的系統稱為連續時間系統。輸入和輸出均為離散時間信號的系統稱為離散時間系統。模擬通信系統是連續時間系統，而數字計算機則是離散時間系統。連續時間系統的數學模型用微分方程來描述，而離散時間系統的數學模型則用差分方程來描述。

在信息科學與技術領域中，常常利用通信系統、控制系統和計算機系統進行信號的傳輸、交換與處理。這些系統的主要部件中包括大量多種類型的電路。電路也稱電網絡或網絡。有時認為系統比電路更復雜，規模更大。然而，更確切地說，系統與電路二詞的主要差異體現在觀察事物的著眼點或處理問題的角度不同。系統問題注意全局，而電路問題則關心局部。例如，僅由一個電阻和一個電容組成的簡單電路，在電路分析中，注意其各支路、回路的電流和電壓；而從系統的觀點來看，可以研究它如何構成微分或積分功能的運算器。

近年來，大規模集成電路技術的發展以及各種復雜系統部件的直接采用，使系統、電路以及器件等名詞的劃分發生困難。在本課程中，系統、電路與網絡等名詞通用。廣義地講，系統的概念不僅限于電路、通信、控制等方面，它涉及的范圍十分廣泛，還包括電力系統、機械系統等物理系統和政治結構、經濟組織、生產管理等非物理系統。本課程僅研究電路系統，所述的網絡也是指電網絡而不是指信息網絡(通信網)。

信號、電路與系統之間有著十分密切的聯系。離開了信號，電路與系統將失去意義。信號作為待傳輸消息的表現形式，可以看做運載消息的工具，需要電路或系統來實現傳輸或加工。從傳輸的觀點來看，信號通過系統后，由于系統的職能作用而使信號的時間特性及頻率特性發生變化，從而產生新的信號。從系統響應的觀點來看，系統在信號的激勵下，將必然作出相應的反應，從而完成系統的職能作用。

1.2電路模型

當電路工作時，各種電路器件所發生的電磁現象相當復雜，如果一起考慮，就會給電路分析帶來困難，甚至變成不可能。因此，必須將構成實際電路的各種電工或電子器件理想化和模型化。理想化就是保留所發生電磁現象的主要方面而忽略微不足道的方面；模型化就是用一種抽象的電路元件來表征所發生的某種電磁特征。例如，理想電阻元件僅表征消耗電能并轉變成非電能的特征，理想電容元件僅表征存儲或釋放電場能量的特征，理想電感元件僅表征存儲或釋放磁場能量的特征，它們分別是實際電路中電阻器、電容器和電感器在一定條件下的近似化、理想化。上述三種理想電路元件均具有兩個端子，稱為二端元件，又稱單口元件。除二端元件外

還有多端元件，如受控源、耦合電感、變壓器等四端元件。

通常，當電路器件的尺寸遠小于電路最高工作頻率所對應的波長時，可以認為元件的參數“集總”于一個點上，形成所謂的集總參數元件，簡稱集總元件。

理想元件是抽象的模型，沒有體積大小，是集總參數元件。由集總參數元件構成的電路稱為集總參數電路，簡稱集總電路。在集總電路中，任何時刻該電路任何地方的電流、電壓都是與其空間位置無關的確定值。由理想元件組成的電路稱為電路模型。今后所提到的電路，除特別指明外均為電路模型，所提到的元件均為理想元件。

應該指出，實際電路用電路模型來近似表示是有條件的。一種電路模型只有在一定條件下才是適用的，條件變了，電路模型也要作相應的改變。例如，我國電力系統照明用電的頻率為50Hz，其波長為6000km。對于大多數用電設備來說，其元件尺寸與之相比可忽略不計，采用集總參數概念是合適的。而遠距離的通信線路和電力輸電線路則不滿足上述條件，就不能用集總參數來分析。又如在微波電路中，信號的波長λ=0.1～10cm，此時波長與元件尺寸屬同一數量級，信號在電路中傳輸時元件尺寸不能忽略；電路中的電流、電壓不僅是時間的函數，也是空間位置的函數；某一時刻從電路或器件一端流入的電流不一定等于另一端流出的電流，此時集總參數模型失效，應當采用分布參數或電磁場理論來分析。有關這部分內容將在后續課程中學習。圖1-2手電筒電路模型本課程只對集總參數電路進行分析，集總參數的條件即集總假設是電路分析的重要假設。當滿足集總參數條件時，就可以采用由分立元件模型組成的集總參數電路模型。圖1-2所示電路就是一個手電筒電路的集總參數電路模型。圖中電源元件US與電阻元件RS的組合表示干電池，是提供電能的能源；電阻元件r表示手電筒金屬殼體的電阻；電阻元件RL表示燈泡，是用電設備，稱為負載；圖中連線為理想導線。

1.3電路變量

電流、電壓、電荷、磁鏈、功率和能量是描述電路工作狀態和元件工作特性的六個變量，一般都是時間的函數。其中電流和電壓是電路分析中最常用的兩個基本變量，本節著重討論電流、電壓的參考方向，以及電路功率和能量的計算。1.3.1電流及其參考方向

單位時間內通過導體橫截面的電荷量定義為電流強度，簡稱電流，用符號i表示，即

(1-1)

規定正電荷運動的方向為電流的真實方向。

大小和方向都不隨時間改變的電流稱為恒定電流，簡稱直流，用大寫字母I表示。在這種情況下，通過導體橫截面的電荷量q與時間t成正比，即

(1-2)在國際單位制(SI)中，電流、電荷和時間的單位分別為安［培］(簡稱安，符號為A)、庫［侖］(簡稱庫，符號為C)和秒(符號為s)。1安=1庫／秒。在通信和計算機技術中常用毫安(mA)、微安(μA)作為電流單位，它們的關系是

1mA=10-3A

1μA=10-6A

在電路分析中，電流的大小和方向是描述電流變量不可缺少的兩個方面。但是對于一個給定的電路，要直接給出某一電路元件中的電流真實方向是十分困難的，如交流電路中電流的真實方向經常在改變。即使在直流電路中，要指出復雜電路中某一電路元件的電流真實方向也不是一件容易的事。為此，引入電流參考方向的概念。

對于連接電路a、b兩點間的二端元件，流經它的電流i的參考方向常用箭頭表示，如圖1-3所示。電流的參考方向可以任意選定，但一經選定，就不再改變，以此作為分析計算的依據。經過計算，如電流值為正值，則表示參考方向與電流真實方向一致；如電流值為負值，則表示參考方向與真實方向相反。圖1-3電流參考方向電流參考方向亦可用字符i的雙下標表示，如圖1-3中的電流iab表示電流參考方向由a指向b。

電流是代數量，既有數值又有與之相應的參考方向才有明確的物理意義。只有數值而無參考方向的電流是沒有意義的。所以在求解電路時，必須首先選定電流的參考方向。

電路圖中箭頭所標電流方向都是電流的參考方向。電流的參考方向又叫電流的正方向。1.3.2電壓及其參考方向

單位正電荷由a點移到b點時電場力所作的功稱為a、b兩點間的電位差，即a、b間的電壓，用符號u表示，即

(1-3)

習慣上把電位降低的方向(高電位指向低電位)規定為電壓的方向。通常電壓的高電位端標為“+”極，低電位端標為“-”極。大小和方向都不隨時間改變的電壓稱為恒定電壓或直流電壓，用大寫字母U表示。在這種情況下，電場力作的功與電荷量成正比，即

(1-4)

在國際單位制中，電壓、能量(功)的單位分別為伏［特］(簡稱伏，符號為V)和焦［耳］(簡稱焦，符號為J)。1伏=1焦／庫。在通信和計算機技術中常用毫伏(mV)、微伏(μV)作為電壓的單位，它們的關系是

1mV=10-3V

1μV=10-6V像需要為電流選定參考方向一樣，也需要為電壓選定參考方向(也稱參考極性)。在電路圖上用“+”表示參考極性的高電位端，“-”表示參考極性的低電位端，如圖1-4(a)所示。電壓的參考極性同樣是任意選定的。經過計算，如電壓值為正值，則表示電壓的參考極性與真實極性一致；如電壓值為負值，則表示電壓的參考極性與真實極性相反。圖1-4電壓的參考方向電壓參考方向亦可用字符u的雙下標表示，對于圖1-4(a)，可用uab表示a點為參考正極性端“+”，b點為參考負極性端“-”。當u>0時，從a到b為電位降或電壓降；當u<0時，從a到b為電位升或電壓升。

有時也可用箭頭表示電壓的參考方向。如圖1-4(b)所示箭頭的方向是電位降低的方向。

與電流參考方向類似，不標注電壓參考方向的情況下，電壓的正負是毫無意義的。所以在求解電路時也必須首先選定電壓的參考方向。1.3.3關聯參考方向

在電路分析中，電流與電壓的參考方向是任意選定的，兩者之間獨立無關。但是為了方便起見，對于同一元件或同一段電路，習慣上常采用“關聯”參考方向，即電流的參考方向與電壓參考“+”極到“-”極的方向選為一致，如圖1-5(a)所示。關聯參考方向又稱為一致參考方向。

當電流、電壓采用關聯參考方向時，在電路圖上只需標電流參考方向和電壓參考極性中的任意一種即可。

電流和電壓的參考方向選為相反時稱為非關聯參考方向，如圖1-5(b)所示。圖1-5參考方向(a)關聯參考方向；(b)非關聯參考方向1.3.4功率和能量

功率與電壓和電流密切相關。正電荷從電路元件上電壓“+”極經元件移到“-”極是電場力對電荷作功的結果，這時元件吸收能量；反之，正電荷從電路元件上電壓“-”極經元件移到“+”極，必須由外力(化學力、電磁力等)對電荷作功以克服電場力，這時元件發出能量。

單位時間內電場力所作的功稱為功率，用字符p表示，即

(1-5)對于如圖1-5(a)所示的二端電路，當電壓、電流參考方向關聯時，得

(1-6)

這說明，若電壓與電流采用關聯參考方向時，二端電路吸收的功率可用電壓與電流的乘積來計算。

若二端電路的電壓電流采用非關聯參考方向，如圖1-5(b)所示，則可把電壓或電流看成是關聯參考方向時的負值，故電路吸收功率的公式應改為

p=-ui

(1-7)根據電壓電流是否為關聯參考方向，可選用相應的功率計算公式。但不論是式(1-6)還是式(1-7)都是按吸收功率進行運算的。若計算出功率為正值，均表示吸收了功率；若計算出功率為負值，均表示供出了功率。

若二端電路為直流電路，則電路吸收功率亦不隨時間而改變，式(1-6)和式(1-7)可分別改寫為

P=UI

(1-8)

P=-UI

(1-9)在國際單位制中，功率的單位是瓦［特］(簡稱瓦，符號為W)。1瓦=1焦／秒=1伏·安。

對式(1-5)兩邊從-∞到t積分，可得

(1-10)

式(1-10)表示電壓與電流參考方向關聯時從-∞到t時間內輸入電路的總能量，或稱電路吸收的總能量。

例1-1如圖1-6所示電路，4個方框分別代表一個元件。電流i1=i2=2A，i3=3A，i4=-1A，電壓u1=3V，u2=-5V，

u3=-u4=-8V。試求各元件的功率，并說明它們實際是吸收還是供出了功率。圖1-6例1-1圖

解元件A上，電壓u1和電流i1的參考方向為關聯參考方向，故有

pA=u1i1=3×2=6W

pA>0，表明A吸收6W功率。

元件B上，電壓u2和電流i2的參考方向為非關聯參考方向，故有

pB=-u2i2=-(-5)×2=10W

pB>0，表明B吸收10W功率。元件C上，電壓u3和電流i3的參考方向為關聯參考方向，故有

pC=u3i3=(-8)×3=-24W

pC<0，表明C供出24W功率。

元件D上，電壓u4和電流i4的參考方向為非關聯參考方向，故有

pD=-u4i4=-8×(-1)=8W

pD>0，表明D吸收8W功率。從本例還可看到，電路中各元件吸收功率的總和為

∑p吸=pA+pB+pD=6+10+8=24W

電路中各元件供出功率的總和為

∑p供=pC=24W

對于任何完整的電路，吸收和供出功率的數值正好相等，即∑p吸=∑p供，稱為功率平衡，這是能量守衡原理的具體體現。

1.4電路元件

電路元件是組成電路模型的最小單元。電路元件的特性是由它端子上的電壓、電流關系來表征的，通常稱為伏安關系，記為VCR(VoltageCurrentRelation)，它可以用數學關系式表示，也可以描繪成電壓、電流的關系曲線——伏安特性曲線。

電路元件可以分為兩大類：無源元件和有源元件。無源元件是指在接入任一電路進行工作的全部時間范圍內，總的輸入能量不為負值的元件，用數學式表示為

(1-11)

式中電壓、電流采用關聯參考方向，p(t)=u(t)i(t)為輸入該元件的功率。這個關系式對所有的t，對任何電壓和由此引起的電流都必須成立。任何不滿足式(1-11)條件的元件即為有源元件。有源元件在它接入電路進行工作的某個時間t，式(1-11)中，w(t)<0，即供出能量，甚至任何時刻一直供出能量。

本課程涉及的無源元件有電阻元件、電容元件、電感元件、互感元件和理想變壓器元件，涉及的有源元件有獨立電源、受控電源。本節將介紹電阻元件、獨立電源和受控電源，其余元件將在后面的有關章節中陸續介紹。1.4.1電阻元件

電阻元件是無源元件，是實際電阻器如滑桿電阻器、電燈泡、半導體二極管等所有消耗能量的器件的理想化模型。電阻元件的VCR可用u-i上的一條曲線表示，因而它是一個u-i相約束的元件。

電阻元件按其特性曲線是否為通過原點的直線可分為線性電阻元件和非線性電阻元件；按其特性曲線是否隨時間變化又可分成時變電阻元件和非時變電阻元件。故電阻元件共有線性非時變、非線性非時變、線性時變、非線性時變四種類型，如圖1-7所示。圖1-7電阻元件的伏安特性曲線(a)線性非時變電阻；(b)非線性非時變電阻；(c)線性時變電阻；(d)非線性時變電阻通常所說的電阻元件，習慣上指的是線性非時變電阻元件，又簡稱電阻，其圖形符號如圖1-8所示。電壓、電流在關聯參考方向下，如圖1-7(a)所示的線性非時變電阻的特性曲線的數學描述為

u=R·i(1-12)

即歐姆定律，也稱線性非時變電阻元件的約束方程。式中R的數值為該直線的斜率，是一個與電壓、電流無關的正常量，稱為電阻元件的電阻量，簡稱電阻。式(1-12)表明在一定電壓下電阻R的增大將使電流減小。可見電阻R是表征電阻元件阻礙電流能力大小的參量。電阻的單位為歐［姆］(簡稱歐，符號為Ω)，1歐=1伏/安。圖1-8線性非時變電阻元件的圖形符號式(1-12)也可以用另一形式表示：

i=G·u

(1-13)

式中G稱為電阻元件的電導量，簡稱電導。式(1-13)表明，在一定電壓下，電導的增大將使電流增大，可見電導G是表征電阻元件傳導電流能力大小的參量。電導的單位為西［門子］(簡稱西，符號為S)，1西=1安／伏。

顯然，電阻元件的電導與電阻互為倒數，即

(1-14)

在電路分析中究竟用電阻還是電導來表征電阻元件，應視有利于表達式的簡潔和運算方便來確定。當電阻元件R→∞或G=0時，其伏安特性曲線與u軸重合，此時電阻元件相當于斷開的導線，稱為開路；當電阻元件R=0或G→∞時，其伏安特性曲線與i軸重合，此時電阻元件相當于一段理想導線，稱為短路。

由式(1-12)或圖1-7(a)可知，電阻元件有一個重要特性，就是在任一時刻電阻端電壓(或電流)是由同一時刻的電流(或電壓)所決定的，而與過去的電壓或電流無關。從這個意義上講，電阻是一種無記憶元件或稱即時元件。所謂無記憶，是指過去的工作經歷對現在的工作無絲毫影響。應該指出，式(1-12)、式(1-13)是電阻元件的電壓、電流采用關聯參考方向下歐姆定律的兩種表示式。若電壓、電流采用非關聯參考方向，則歐姆定律應改為

u=-R·i

(1-15)

i=-G·u

(1-16)

當電壓、電流采用關聯參考方向時，應用式(1-6)、式

(1-12)，得線性非時變電阻元件的瞬時輸入功率為

(1-17)

式(1-17)表明電流通過電阻時要消耗能量，即電阻元件(R>0)是一種耗能元件。作為理想元件，電阻元件上的電壓、電流可以不受限制地滿足歐姆定律。但作為實際的電阻器件如燈泡、電爐等，對電壓、電流或功率卻有一定的限額。過大的電壓或電流會使器件過熱而損壞。因此，在電子設備的設計中，必須考慮器件的額定電流、額定電壓、額定功率以及散熱問題。

例1-2在圖1-9所示電路中，已知電阻兩端瞬時電壓

u=4V，且R=2Ω。試求該瞬時流經電阻的電流i和電阻吸收的功率p。

解在圖1-9所示電路中，電壓、電流采用非關聯參考方向，歐姆定律應使用式(1-15)，即故圖1-9例1-2圖由式(1-7)得瞬時吸收功率為

此例說明電阻元件電壓、電流的實際方向永遠是一致的。在任何情況下，電阻不可能供出功率。1.4.2獨立電源

獨立電源是有源元件，分為獨立電壓源和獨立電流源。

1.電壓源

一個二端元件接到任一電路中，不論流過它的電流是多少，其兩端的電壓始終保持給定的時間函數uS(t)或定值US，該二端元件稱為獨立電壓源，簡稱電壓源。電壓源是實際電壓源忽略其內阻后的理想化模型，具有如下特性：

(1)電壓源的端電壓由元件本身確定，與流經元件的電流無關；

(2)流經電壓源的電流由與電壓源相連接的外電路確定；

(3)端電壓保持定值US的電壓源稱為直流電壓源，端電壓保持給定時間函數uS(t)的電壓源稱為時變電壓源。

電壓源在電路圖中的符號如圖1-10(a)所示，符號中的“+”、“-”表示電壓的參考極性。圖1-10電壓源(a)電路符號；(b)直流電壓源VCR曲線；(c)時變電壓源VCR曲線電壓源的電壓電流關系可用下式表示：

u(t)=uS(t)

(對于任意的i)

(1-18)

其伏安特性曲線如圖1-10(b)和(c)所示。對于直流電壓源，其特性曲線為一條平行i軸的直線，u軸截距US表示直流電壓源的電壓值；對于時變電壓源，其特性曲線為一條平行于i軸但卻隨時間而改變的直線，它在u軸上的截距表示不同時刻時變電壓源的電壓值。

當uS(t)或US為零時，其伏安特性曲線與i軸重合，電壓源相當于短路。

由于流經電壓源的電流由外電路決定，故電流實際上可以從不同方向流經電壓源，因此電壓源可能對外電路提供能量，也可能從外電路吸收能量。

2.電流源

一個二端元件接到任一電路中，不論其兩端電壓是多少，流經它的電流始終保持給定的時間函數iS(t)或定值IS，該二端元件稱為獨立電流源，簡稱電流源。

電流源是實際電流源忽略其內阻后的理想化模型，具有如下特性：

(1)流經電流源的電流由元件本身確定，與其兩端的電壓無關；

(2)電流源兩端的電壓由與電流源相連接的外電路確定；

(3)流經電流源電流保持定值IS的電流源稱為直流電流源，流經電流源電流保持給定時間函數iS(t)的電流源稱為時變電流源。電流源在電路圖中的符號如圖1-11(a)所示，符號中的箭頭表示電流的參考方向。

電流源的電壓電流關系可用下式表示：

i(t)=iS(t)

(對于任意的u)

(1-19)

其伏安特性曲線如圖1-11(b)和(c)所示。對于直流電流源，其特性曲線為一條垂直于i軸的直線，i軸截距IS表示直流電流源的電流值；對于時變電流源，其特性曲線為一條垂直于i軸但卻隨時間而改變的直線，它在i軸上的截距表示不同時刻時變電流源的電流值。圖1-11電流源(a)電路符號；(b)直流電流源VCR曲線；(c)時變電流源VCR曲線當iS(t)或IS為零時，其伏安特性曲線與u軸重合，電流源相當于開路。

由于電流源的端電壓由外電路決定，故其兩端電壓可以有不同的真實極性，因此電流源既可能對外電路提供能量，也可能從外電路吸收能量。

例1-3電路如圖1-12所示，已知(a)圖中US=10V，(b)圖中IS=1A。當RL分別為10Ω和100Ω時，求(a)圖中的電流I和(b)圖中的電壓U。

解由圖1-12(a)，應用歐姆定律得

由圖1-12(b)，應用歐姆定律得

圖1-12例1-3圖1.4.3受控電源

前面討論的電壓源和電流源都是獨立電源，這是由于電壓源的端電壓和電流源的電流都是由電源本身決定的，與電源以外的其他電路無關。而受控電源(簡稱受控源)是非獨立電源，其輸出電壓或電流受到電路中某部分的電壓或電流的控制。

受控電源是四端元件，它有兩個控制端(構成輸入端口)與兩個受控端(構成輸出端口)。根據控制量是電壓還是電流，受控的電源是電壓源還是電流源，受控電源有四種基本形式，它們分別是電壓控制電壓源(VCVS)、電流控制電壓源(CCVS)、電壓控制電流源(VCCS)和電流控制電流源(CCCS)。圖1-13所示是它們的電路符號，其中受控源的電源符號用菱形表示。圖1-13受控源的四種類型

(a)VCVS；(b)CCVS；(c)VCCS；(d)CCCS受控源有兩個端口，其特性需用兩個方程來描述。這兩個方程分別從輸入端口和輸出端口列出電壓、電流的關系：式中μ、r、g、β是控制系數。其中μ和β是量綱為1的常量，分別稱為電壓放大系數和電流放大系數；r是具有電阻量綱的常量，稱為轉移電阻；g是具有電導量綱的常量，稱為轉移電導。

受控源是電子器件的理想化模型。如半導體三極管作適當連接時，具有電流放大作用，當輸入電流變化時，輸出電流按一定的放大倍數而隨之改變，即輸出電流受輸入電流所控制，此時三極管可用CCCS模型來表示。受控源可以供出功率，是有源元件，這是與獨立源的性能相似的地方。但受控源又是非獨立源，它不能單獨作為電路的激勵，只有在電路已經被獨立源激勵，控制電壓或控制電流已經建立時，受控電源的輸出端口才有一定的輸出電壓或電流，才有可能向外提供功率。這是受控源與獨立源的不同之處。

受控源在接入電路時，其四個端子可以作不同的連接。由于表征受控源的方程是以電壓和電流為變量的代數方程，因此，受控源也可看做是電阻元件。所以，受控源是兼有“有源性”和“電阻性”雙重特性的元件。

1.5基爾霍夫定律

當多個元件按一定的方式連接起來組成電路時，電路中的各個元件的電流和電壓必然受到兩類約束。一類是元件本身特性對元件電壓和電流的約束，如線性電阻元件的電壓和電流必定滿足歐姆定律，兩者不能同時作自由選擇，這類約束與電路結構無關，稱為元件的伏安關系(VCR)約束，簡稱元件約束。另一類是元件相互連接給元件電流之間和元件電壓之間帶來的約束，稱為拓撲約束。這類約束由基爾霍夫定律體現出來。上述兩類約束關系是電路分析的基本依據。上節已經討論了電阻、獨立電源、受控電源等元件的約束關系，本節闡述基爾霍夫定律。在此之前，首先介紹幾個名詞術語。

支路：電路中一個二端元件稱為一條支路。但為了方便，往往把流過同一個電流的幾個元件的串聯組合定義為一條支路。如圖1-14所示電路中共有3條支路，它們分別由元件1、2，元件3、4，元件5組成。

節點：電路中三條或三條以上支路的聯結點稱為節點。如圖1-14所示電路中共有a、b兩個節點。回路：電路中任一閉合路徑稱為回路。如圖1-14所示電路中共有3個回路，它們是acbda、adba及acba回路。

網孔：電路內部不含支路的回路稱為網孔。如圖1-14所示電路中共有acbda及adba兩個網孔，而acba回路不是網孔。

有源網絡：內部包含獨立電源的網絡稱為有源網絡，否則稱為無源網絡。圖1-14具有三條支路兩個節點的電路1.5.1基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律(KCL，Kirchhoff’sCurrentLaw)可表述如下：

對于集總參數電路中的任一節點，在任意時刻，流出該節點電流的和等于流入該節點電流的和。其數學表示式為

∑i出=∑i入

(1-24)

例如，對于圖1-15所示電路中的節點A，根據KCL，在任意時刻有

i4=i1+i6

式中等號左邊為流出該節點的電流之和，等號右邊為流入該節點的電流之和。圖1-15

KCL將上式改寫成如下形式

-i1+i4-i6=0

可見，如果流出節點的電流前面取“+”號，流入節點的電流前面取“-”號，則KCL又可表述如下：

對于集總參數電路中的任一節點，在任意時刻，所有連接于該節點的支路電流的代數和等于零。其數學表示式為

(1-25)式中，ik(t)表示連接該節點的第k條支路電流；n1為與該節點相連接的支路數。式(1-25)稱為節點電流方程或KCL方程，它反映了電路中任一節點各支路電流間的相互約束關系。

KCL不僅適用于節點，還可推廣用于任何一個包括數個節點的封閉面(可稱為廣義節點)。

在如圖1-15所示的電路中，可分別列出A、B、C三個節點的KCL方程。

對A節點：-i1+i4-i6=0

對B節點：-i2-i4+i5=0

對C節點：-i3-i5+i6=0將上述三式相加，得

-i1-i2-i3=0

該式正是圖1-15中虛線所示的封閉面的KCL方程。由此，又可將KCL表述如下：

在集總參數電路中，通過任一封閉面(廣義節點)的支路電流的代數和等于零。

基爾霍夫電流定律的實質是電流連續性原理，是電荷守恒原理的體現。電荷既不能創造也不能消滅。在集總參數電路中，節點是理想導體的聯結點，不可能積聚電荷。在任一時刻流入節點的電荷必然等于流出節點的電荷。

例1-4如圖1-16所示電路，已知i1=-5A，i2=1A，i6=2A。試求i4。

解應用KCL，可用兩種方法求解。

解法一：對節點列KCL方程進行求解。為了求解i4，可對節點b列KCL方程，但該方程中含未知的i3，為此先要對節點a列KCL求出i3。

對節點a，由KCL有

i1+i2+i3=0

即i3=-i1-i2=-(-5)-1=4A

對節點b，由KCL方程有

-i3-

i4+i6=0

即i4=-i3+i6=-4+2=-2A

解法二：作封閉面，列廣義節點KCL方程進行求解。封閉面如圖1-16中虛線所示，由KCL有

i1+i2-i4+i6=0

即i4=i1+i2+i6=-5+1+2=-2A圖1-16例1-4圖1.5.2基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律(KVL，Kirchhoff’sVoltageLaw)可表述如下：

在集總參數電路中，任一時刻沿任一回路的所有支路電壓的代數和等于零。其數學表示式為

(1-26)

式中，uk(t)表示回路中第k條支路的電壓；n2為回路的支路數。式(1-26)稱為回路電壓方程或KVL方程。在建立該方程時，首先應選定一個回路的繞行方向，支路電壓的參考方向與繞行方向一致時取正號，支路電壓參考方向與繞行方向相反時取負號。圖1-17所示為某電路的一個回路，假設回路繞行方向為順時針方向，則KVL方程為

u1-u2+u3-u4=0

該方程反映了組成回路的4條支路電壓的線性約束關系。若已知其中三個支路電壓，則第四個支路電壓隨之而定，不能再作其它的選擇。圖1-17KVL將上式改寫，得

u1+u3=u2+u4

此式表明，在集總參數電路中，任一時刻沿任一回路的支路電壓降之和等于電壓升之和，即

∑u降=∑u升

(1-27)

這是基爾霍夫電壓定律的另一種表示形式。在圖1-17中，節點A、C間并無支路，但仍可把ACDA看成是一個回路，即

uAC+u3-u4=0

可見，基爾霍夫電壓定律不僅適用于實際存在的回路，而且也適用于任一假想的回路。這是基爾霍夫電壓定律的推廣，這種假想的回路又稱為廣義回路。

基爾霍夫電壓定律的實質是能量守恒定律在集總參數電路中的體現。單位正電荷沿回路繞行一周所獲得的能量必須等于所失去的能量。獲得能量，電位則升高；失去能量，電位則降低。所以在回路中電位升之和必然等于電位降之和，即任一回路中各個支路電壓的代數和為零。例1-5已知電路如圖1-18所示，試求電壓uab和uac。

解對abcda廣義回路列KVL方程，得

uab-1+5+2=0

即uab=-6V

對acda大回路列KVL方程，得

uac+5+2=0

即uac=-7V

圖1-18例1-5圖

KCL反映了電路中任一節點各支路電流間的相互約束關系；KVL反映了電路中任一回路各支路電壓間的相互約束關系。KCL和KVL反映的約束關系只與電路的連接方式有關，而與支路元件的性質無關。所以無論電路由什么元件組成，也無論元件是線性還是非線性的，時變還是非時變的，只要是集總參數電路，基爾霍夫的這兩個定律總是成立的。

基爾霍夫的這兩個定律是集總參數電路的基本規律。

1.6信號的運算

電路的功能各不相同，有些電路可以產生如方波、正弦信號等電信號，這些電路稱為信號源；另一些電路則具有對信號的處理功能，可實現對信號的運算。1.6.1信號的相加與相乘

兩個信號相加(相乘)可得到一個新的信號，新信號在任意時刻的值等于這兩個信號在該時刻的值之和(積)。信號相加與相乘運算可以通過信號的波形(或信號的表達式)進行。

例1-6已知信號f1(t)和f2(t)的波形如圖1-19(a)和(b)所示。試求f1(t)+f2(t)和f1(t)·f2(t)的波形，并寫出其表達式。

解

f1(t)和f2(t)的表達式分別為它們的和為它們的積為

由此可得f1(t)+f2(t)和f1(t)·f2(t)的波形分別如圖1-19(c)和(d)所示。

本例也可由圖1-19(a)和(b)畫出f1(t)+f2(t)和f1(t)·f2(t)的波形，然后寫出它們的表達式，所得到的結果相同。圖1-19信號的相加與相乘1.6.2信號的導數與積分

信號f(t)的導數是指，可記做f′(t)。從波形看，它

表示信號值隨時間變化的變化率。

信號f(t)的積分是指，可記做f(-1)(t)，從波形

看，它在任意時刻t的值為從-∞到t區間f(t)與時間軸所包圍的面積。

例1-7已知f(t)的波形如圖1-20(a)所示。試作積分運算

，并畫出它的波形。

解由f(t)的波形可以寫出其數學表達式為

信號在t<1時為零，其積分也為零。當1<t<2時，f(t)=1，所以

即信號f(t)與時間軸所包圍的面積隨著t的增大而增大。當t=2時，所包圍的面積達最大為1。

當t>2時，f(t)=0，所以

即信號f(t)與時間軸所包圍的面積不再增大仍保持為1。所以

由積分結果可以作出信號積分的波形如圖1-20(b)所示。圖1-20信號的積分1.6.3信號的時移和折疊

信號f(t)時移±t0(t0>0)，就是將f(t)表達式中所有自變量t用t±t0替換，成為f(t±t0)。需要注意的是，f(t)的時間范圍定義域中的t也要被替換。從波形看，時移信號f(t+t0)的波形比f(t)的波形在時間上超前t0，即f(t+t0)的波形是f(t)的波形向左移動t0；f(t-t0)的波形比f(t)的波形在時間上滯后t0，即f(t-t0)的波形是f(t)的波形向右移動t0。

信號f(t)的折疊就是將f(t)表達式以及定義域中的變量t用-t替換，成為f(-t)。從波形看，f(-t)的波形是f(t)的波形相對于縱軸的鏡像。折疊信號f(-t)時移±t0就是將f(-t)的表達式以及定義域中的所有自變量t用t±t0替換，成為f

［-(t±t0)］=f(-t

t0)。從波形看，f

［-(t+t0)］=f(-t-t0)的波形是f(-t)的波形向左移動t0；

f

［-(t-t0)］=f(-t+t0)的波形是f(-t)的波形向右移動t0。

例1-8已知信號f(t)的表達式為

試求f(t+1)、f(t-1)、f(-t)、f

［-(t+1)］及f［-(t-1)］的表達式，并畫出它們的波形。

解

f(t)的波形如圖1-21(a)所示。對f(t)中的變量t分別用t+1和t-1代換，得由此作出時移信號f(t+1)和f(t-1)的波形如圖1-21(b)所示。圖1-21信號的時移和折疊(a)原信號；(b)時移信號；(c)折疊信號；(d)折疊時移信號對f(t)中的變量t用-t代換得

由此作出折疊信號f(-t)的波形如圖1-21(c)所示。對f(t)中的變量t分別用-(t+1)和-(t-1)代換得由此作出折疊時移信號f(-t-1)和f(-t+1)的波形如圖1-21(d)所示。1.6.4信號的尺度變換

尺度變換就是把信號f(t)以及定義域中的自變量t用at去置換，成為f(at)。其中a

是常數，稱為尺度變換系數。如果a>1，則f(at)的波形是把f(t)的波形以原點(t=0)為基準，沿時間軸壓縮至原來的1/a；如果0<a