培優拓展(八)數列中的增減項問題數列中的增減項,是指由已知的數列通過插入項、剔除項或合并項等得到新的數列,再研究新數列的求和等問題,是高考命題的熱點.解決此類問題的關鍵,是弄清楚新生成的數列與已知數列的關系,確定其特征,并根據題意和要求解題.角度一數列中的減項問題例1已知數列{an}是等差數列,前n項和為Sn;數列{bn}是各項均為正數的等比數列,前n項和為Tn;且a2=b2=4,a8=b4=16.(1)分別求數列{an},{bn}的通項公式和前n項和Sn,Tn;(2)若將數列{an}中出現的數列{bn}的項剔除后,剩余的項從小到大排列得到數列{cn},記數列{cn}的前n項和為Kn,求K2021.(2)將數列{an}中出現的數列{bn}的項剔除后,剩余的項從小到大排列得到數列{cn},∵b11=211=2

048<a2

021=4

042,b12=212=4

096>a2

021=4

042,b12=212=4

096>a2

032=4

064,∴數列{cn}的前2

021項和需要從數列{an}的前2

032項和中剔除{bn}的前11項,∴K2

021=S2

032-T11=2

0322+2

032-212+2=4

126

962.角度二數列中的并項問題例2設Sn為數列{an}的前n項和,a2=7,且對任意的自然數n,恒有an+3=(1)求數列{an}的通項公式;(2)若集合A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},將集合A∪B中的所有元素按從小到大的順序排列構成數列{bn},記數列{bn}的前n項和為Tn,求T102的值.可得n=1時,a1=2a1-3,解得a1=3;n=2時,2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6,解得a1=3;n=3時,3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9,解得a3=11.當n≥2時,由an+3=,得nan=2Sn-3n,得(n-1)an-1=2Sn-1-3(n-1),兩式相減可得(n-2)an=(n-1)an-1-3,當n≥3時,由上式得(n-3)an-1=(n-2)·an-2-3,上面兩式相減可得an+an-2=2an-1,n≥3,且a1+a3=2a2,所以數列{an}是首項為3,公差為4的等差數列,所以an=3+4(n-1)=4n-1.(2)因為集合A={x|x=4n-1,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},所以集合A∪B中的所有元素的最小值為3,因為35=243<a100=399,且3,32,33,34,35中,3,33,35三個元素是{bn}前102項中的元素,也是A∩B中的元素,所以T102=a1+a2+a3+…+a100+9+81=×100×(3+400-1)+90=20

190.角度三數列中的插項問題例3(2024江蘇南京模擬)已知各項均為正數的數列{an}中,a1=1且滿足

=2an+2an+1,數列{bn}的前n項和為Sn,滿足2Sn+1=3bn.(1)求數列{an},{bn}的通項公式;(2)若在bk與bk+1之間依次插入數列{an}中的k項構成新數列{cn}:b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,b4,…,求數列{cn}中前50項的和T50.針對訓練1.(2024廣東梅州一模)設{an}是等差數列,{bn}是等比數列.已知a1=b1=4,b2=a2+1,b3=2a3-4.(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)數列{an}和{bn}的項從小到大依次排列(相等項計兩項)得到新數列{cn},求{cn}的前50項的和.解

(1)設等差數列{an}的公差為d,等比數列{bn}的公比為q,所以an=3n+1,bn=2n+1.(2)由an=3n+1,bn=2n+1,可得{cn}的前50項中有3個相同的項,為4,16,64.所以當數列{cn}的前50項中含有數列{bn}的前5項時,令3n+1=25+1=64,得n=21,則{cn}的第26項為64,當數列{cn}的前50項中含有數列{bn}的前6項時,令3n+1