第三節向量的數量積

【要點歸納】

一、向量的夾角

定義圖示范圍共線與垂直

已知兩個非零向量4若。=0。，則a與b

設6是。與力的夾角，

和b,作況=0,ob=同向；若＜9=180°,

則0的取值范圍是

b,則NAOB就是a則。與b反向；若0

0°業180°

0aA

與b的夾角=90°,則。與力垂直

二、平面向量的數量積

設兩個非零向量。，%的夾角為仇則數量⑷網cos_e叫做。與自的數量積,

定義

記作a-b

M|cos_。叫做向量。在b方向上的投影，

投影

協|cos_。叫做向量b在。方向上的投影

幾何意義數量積ab等于a的長度⑷與b在a的方向上的投影步|cos_6的乘積

三、向量數量積的運算律

1.a，b=b，a；

2.（2。）山=4（。山）="?（勸）;

3.（a+b）?c=a?c+b?c.

四、平面向量數量積的性質及其坐標表示

設非零向量。=但，,]),b=g及),0=〈。，b).

結論幾何表示坐標表示

模\a\=y[a^a|。|=迎+京

數量積ab=\a\\b\cos0ab=x\X2-\-y\yi

.ab片x+.vi”

夾角c°s6一?嘛?cos0I->12Q_i_，

、*+丹*\/.0+）2

ab=GX1X2+）V2=。

創與同創的關系E%2+yiy2|S\/x?+y?N?+貨

五、常用結論

1.兩向量。與b為銳角=a+>0且a與方不共線.

2.兩向量。與力為鈍角oa.bVO且。與〃不共線.

3.(a±b)2=(r±2ab-\-b1.

4.(aA-b)\a—b)=a2—b2.

5.a與b同向時,a-b=\a\\b\.

6.。與。反向時，a-b=~\a\\b\.

【夯實基礎練】

1.(2022?高考全國乙卷數學(理))已知向量出人滿足|。|二1,|6|二百,|。-2"=3,則

。。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解析】??.|d—2bf=|af—4am+4忖『，又：|d|=1,出|=6,|a-2b\=3,

.*.9=1—4t7-Z?+4x3=13-46f-Z??a-b=1o故選：C.

【答案】C

2.(2022?吉林省吉林模擬)已知向量。=(4,3),則與向量。垂直的單位向量的坐標為

()

【解析】易知b=(3,-4)是與a垂直的向量，M=5,

所以與從平行的單位向量為—1b=(3,—-4)或——16=(—32,4—),故選：D.

555555

【答案】D

3.(2022?湖南師大附中三模)藝術家們常用正多邊形來設計漂亮的圖案，我國國旅上五

顆耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個不相鄰的頂點用線

段連接，并去掉正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個正五邊形的中心.如圖，設

。是正五邊形A8CDE的中心，則下列關系錯誤的是()

A

A.AD+DB=OB—OAB.AOBE=0

C.AC+AD=3AOD.AOAD=BOBD

【解析】對?于A,AD+DB=AB1OB-OA=AB,故AiE確,

對于B：因為A8=AE,OB=OE,所以AO_LBE,故B正確，

對于C：由題意。是八48的外心，不是的重心

設CD中點為M,則|AM|=|4O|+|OM|=|AO|+|AO|COS36O=|AO|-2COS218。,

AC+AD=4COS2IS°AO,故C錯誤，

1?,1,

對于D：AOAD=-\ADf=-\BDf=BOBD,故D正確.故選：C

22

【答案】C

4.(2022?重慶一中高三第三次月考)(多選)已知平面向量〃二(1,2),Z?=(-2,-l),則

下列命題中正確的有()

A.a>bB.卜+@=0

C.aLbD.cos(40=/

【解析】對于A,由于向量不能比較大小，故A錯誤；

對于B,+.,?口+1=#可7?=&,故B正確；

對于C,???>5=1X(-2)+2X(-1)=YW0,不成立，故C錯誤;

C0SW=m=，x(^3('1)=-r故口正確?

對于D,故選：BD.

【答案】BD

5.（2022?重慶市第八中學高三第四次調研檢測）（多選）四邊形A8CO為邊長為1的正方

形，M為邊的中點，貝U（）

A.AB=2MDB.DM-CB=AMCAD+MC=MA

D.AMBC=\

【解析】如圖，

A：AB=2OM=—2MZ）,故A錯誤；

B：AM=AD+DM=BC+DM=DM-CB,故B正確；

C：MA=MD+DA=-DM-AD=CM-AD,故C錯誤；

D：AMBC=（AD+DM）-BC=ADBC+DM-BC,由BCLDM,得

DMBC=O,所以4"-8。=/1。8。+0=,。『=1,故口正確.故選：BD

【答案】BD

6.（2022?重慶市第八中學高三第三次調研檢測）（多選）已如正三角形ABC的邊長為2,

設。為BC的中點，則下列結論正確的是（）

A.A3與的夾角為60。B.i（AB+AC）=AD

C.\AB-CLi=\D.（AB+ACj_L8C

【解析】因為A后與Bd的夾角為120。，故A錯誤；

因為O為8C的中點，所以;（A》+4d）=gx2AO=Ab,故B正確；

因為卜8-。4=卜8+而=&>=2x等=6，故C不正確；

因為A3+AC=2Ai>,在等邊三角形中，ADLBC，所以（AB+AC）_L8C,故D

正確.故選：BD

【答案】BD

7.（2022?重慶市第八中學高三（下）第二次調研檢測）已知。，6為單位向量，且

[2。一@二6，則力的夾角為（）

n7i-"24

A.—B.—C.—D.

6433

【解析】把'一*石左右兩邊同時平方得：4回2_4〃/+仰=3,由于

〃為單位向量，.?.4-4cos（a0+l=3ncos（〃,b）=].故〃，方的夾角為2■.故選：C.

【答案】C

8.（2022?重慶市第八中學高三第五次月考）設向量2=（2,0）,/?=（1,1）,則。與4一6

夾角的余弦值為()

72V2

A.0B.--C.----D.1

22

d\d-b]2J?

【解析】=(1,-1)，/.cos<d,a-b>=7Ti4=~廣=——.故選：B.

同?d-b2J22

【答案】B

9.（2022?四川省樹德中學高三（下）開學考試）已知向量AB=（2,l）,AC=（a,4）,若

AB1AC,則|BC|二（）

A.V2B.#C.2石D.5

【解析】由題意可得ABAC=2a+4=0,解得a=-2,所以

BC=AC-AB=（-4,3）,因此|8C|=J（-4]+3?=5.故選：D

【答案】D

10.（2022?四川省南充高級中學高三第一次月考）已知4,人是相互垂直的單位向量，與

a力共面的向量c滿足則c的模為（）

A.1B.y/lC.2D.25/2

【解析】a,5是相互垂直的單位向量，不妨設〃=（1,0）,〃=（0』），設"=（工?）,

由a-c=>c=2,可得x=y=2,即c=（2,2）,則1的模為口=萬"二逐二2血.故

選：D

【答案】D

11.（2022?四川省成都市石室中學高三二模）已知向量。和b的夾角為30,忖=1,

|^|=>/3?則k+20=（）

A.1+2百B.M

C.113+46D.3>/2

【解析】根據向量的運算法則和數量積的定義，可得

1+20=+2/?)="2+4a.b+4b2=^12+4x1x^/3xcos30°+4x^>/3j=V19

.故選：B.

【答案】B

12.（2022?四川省成都市第七中學高三（下）開學考試）已知向量。，力滿足

卜卜慟=卜+。卜1,則卜+20=（）

A.G

【解析】由卜+耳

解之

|?+2Z?|=yl^a+2bj=

【答案】A

13.（2022?遼寧省大連市第二十四中學等校高三聯合模擬）已知單位向量。和匕滿足

,一4=6,則a與方的夾角為（）

71e2兀八笈r54

A.-B.C.—D.—

6336

【解析】由題設，,一q=3,+母，則a-2a?〃+//=3（J+2々力+〃2）,

F2PF—2.———19一

/.a+4ab+b=0,又。和b為單位向量，，85<。,6>=——，又va,Z?[0,乃],

2

:?<a、b>=—.故選：B

3

【答案】B

14.（2022?江蘇省蘇州中學等四校高三（下）期初聯合檢測）在△ABC中，48=4,AC=2

點E,尸分別是AB,AC的中點，則（BF+CE）?3C=（）

A.-6B.6C.-12D.12

【解析】???BF=BC+CF=BC+^CA=BC+^BA-BCj=^BA+BCy

CE=1（CA+CB）,???8/+CE=g（8A+CA）=—g（A8+AC）,

???（8/+CE）.8C=-g（A3+4C）（AC—AB）=mAB?—AC）又AB=4,AC=2,

???（BF+C^）BC=6,故選：B.

【答案】B

15.（2022?吉林省東北師范大學附屬中學等五校高三聯考）已知向量。，b滿足忖=2,

忖=5且〃與b的夾角為e，則詞=（）

A.6B.8C.10D.12

【解析】由題設，（a+Z?）-（24—/?）=2J+a.8一片=8+2&x^--3=8.故選：

B.

【答案】B

■,、―/11、-

16.（2022?湖南省衡陽市第八中學高三第五次月考）設向量。=（1,0）,6=，則。

I，

與夾角的余弦值為（）

一也

五c

A.0B.—D.1

22

【解析】-^=（1,0）-12切則

<22

/...\a\a-b\；Q

cosla,a-b\—...----T----------l---->——----?故選：B

']H-P-H乒也2

V442

【答案】B

17.(2022?黑龍江省高三(下)校際聯合考試)已知忖=逐，Z?=(1,2),且〃〃6,

ab<0,則。的坐標為()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,

-2)

【解析】1X2—2X(-1)=4W0,B選項向量與行不平行，同理C選項向量與b不平

行，又lxl+2x2>0.A選項也不合題意，只有D滿足題意.故選：D

【答案】D

18.(2022?河北省衡水中學高三三模)已知向量。，b的夾角為6,\a+b\=2y/3,

\a-h\=2,則。.力二()

A.2B.2aC.2>/3D.4百

【解析】由|〃+們=2石，得42+2〃為+/=12,由|d—b|=2,得

。2-2。2+人2=4,從而有4a為=8,即。力=2.故選：A

【答案】A

19.(2022?海南省嘉積中學高三(下)四校聯考)平面向量出〃滿足同=1,網=2,且

萬_1_(4一方)，貝“4-2.=()

A.V13B.13C.721D.21

【解析】由〃_L(d-b)得：a^a-b)=d2-ab=0,所以ab=/2=i,其中

(a-2Z?)2=a2-4?Z?+4Z?2=1-4+16=13,故卜—=布.故選：A

【答案】A

20.(2022-安徽省六安一中高三第四次月考)已知向量口匕滿足

d=（l^\\b\=Ua+b\=2,則。在方方向上的投影為（）

1_1

A.1B.—C.-1D.----

22

【解析】由G=（l,石）=同=2,

|a+Z?|=2=>J（a+Z?）=Ja?+片+2a〃=^z|2+|^|~+2ab=2,代值運算得

ab=g故匕在5方向上的投影為“cos。"方>=-^二一3.故選：D

【答案】D

7T

21.（2022?江蘇蘇州模擬）在’.ABC中，A=一，點。在線段48匕點E在線段AC上,

3

且滿足2AD=D6=2,AE=EC=2,CD交BE于F,設AB=a,AC=b>貝1]

AFBC=()

6172932

A.-B.—C--D.——

5555

【解析】設。戶=ADC,EF=JJEB,因為

11-2

AF=AD+DF=-AB+ADC=-AB+A(DA+AC)=-AB+2(—AB+AC)=——AB+2AC,

33333

——,—.1—.―.]一—一111—H

AF=AE+EF=-AC+^EB=-AC+p(EA+AB)=-AC+〃(一AC4-AB)=—^AC+〃AB,

[1-22

所以有<?=><，

1-//,1

-------=X7/=—

2-----------15

12V—?—?1-22?21

因此AP.8C=(弓43+gAC)(-AB+AC)=--AB'+-AC——AC-AB.

55

因為A=四，AB=3,AC=4,

3

121

所以A尸,8C=A/Z?C=--x9+-x16一一x3x4x—=—,故選：B

55525

【答案】B

22.（2022?云南師大附中模擬）已知向量a=（2f,2）,/?=（-/-2,-5）,若向量a與向

量a+Z?的夾角為鈍角，貝V的取值范圍為（）

A.（—3,1）B.（―3,-1）U（—1,1）

C.（-1,3）D.

【解析】因為。+6=（，-2,-3）,又￡與￡+6的夾角為鈍角，

當■與￡+方共線時，-6/-2（/-2）=0j=-，

2

所以。?（〃+份＜0且。與。+B的不共線，即/-21-3＜0且ZHL

2

所以,3j＞故選：D.

【答案】D

23.（2022?廣東省華南師范大學附屬中學高三（上）第三次月考）在也4^。中，點。在AB

上，滿足AO=2O8,若CA=〃，CB=b,則CO=()

12-2-1,

A.一?一bB.—a+—b

3333

3一4￡4-3-

C.—a+—bD.—a+—b

5555

【解析】因為AD=2DB,所以CO=C4+AO=C4+§AB=G4+3(CB—C4)

2—-1—2-1-

=-CB+-CA=-b+-a,

3333

【答案】A

24.（2022?山東省青島市高三（上）期中）在eABC中，=26,BC=4,3=30,P

為邊AC上的動點，則8c的取值范圍是（）

A.[0,12]B.[⑵16]

C.[4,12]D.[4后,161

【解析】因為P在AC上，所以AP=/MC,其中0W4WL

=ABC(AB+BC)-BCAB=(A-\)BC-AB+ABC2

=_2f_x4x2>/3(2-l)+162=42+12,

2

因為0W/IW1,所以4/l+12e[12,16].

【答案】B

25.(2022?山東省威海市文登區高三(上)期中)向量旋轉具有反映點與點之間特殊對應關

系的特征，在電子信息傳導方面有重要應用.平面向量旋轉公式在中學數學中用于求旋轉相

關點的軌跡方程具有明顯優勢，已知對任意平面向量A8=(x,y),把A8繞其起點沿逆時

針方向旋轉。角得到向量AP=(^cos-ysinxsin+ycos0},叫做把點3繞點A沿

逆時針方向旋轉。角得到點尸，已知平面內點A(l,2),點5。一瓶,2+2夜)，點8繞點

A沿順時針方向旋轉-后得到點P,則點P的坐標為()

4

A.(1,3)B.(-3,1)C.(2,5)D.(-2,3)

【解析】-4(1,2),8(1—0,2+2&),/./^式一應,2夜)，

???點B繞點A沿順時針方向旋轉工等價于點B繞點A沿逆時針方向旋轉？￡,

44

AP=—V2cos——25/2sin——V2sin+2>/2cos-^-j=（1,3^>5^.

【答案】C

26.（2022?高考全國甲卷數學（文））已知向量〃=（機,3）,Z?=（1,川+1）.若。_1_力，則

m=.

33

【解析】由題意知：。力二機+3(m+1)=0,解得巾=一一.故答案為：一一.

44

3

【答案】一-##-0.75

4

27.(2022?黑龍江省哈三中第五次驗收)已知向量〃、8滿足忖=2,忖=3,=一3,

則,+3+.

【解析】p+3^|="4+3q=\la+6ab+9bZ=^4+6x(-3)+9x9=屈.

故答案為：咽.

【答案】V67

28.(2022?四川省成都市石室中學高三一模)已知向量〃=(1,加)，6=(3,-2),且

(a+b^Vb,則〃?=.

【解析】根據題意，向量6=(1,6)不二(3,-2),則￡+%(4,m-2),由(G+B)JLB,

可得(〃+b)?卬4X3+(〃L2)X(—2)=0,解得機=8.故答案為：8.

【答案】8

29.(2022?陜西省西安中學高三二模)已知單位向量〃，。滿足,+.二,一樹，則a與

b的夾角為.

【解析】由單位向量a,匕滿足|a+Z?|=|a-2Z?'|,可得

。2+2。％+戶=/-4。/+4戶，又因為忖=忖=1,可得力二：,設向量〃與/?的

夾角為6,且cos。=芹后=!，因為。6[0,乃],所以。=工.故答案為：

a?8233

【答案】-

3

30.（2022?陜西省西安市高新第一中學高三第八次大練習）已知向量a、〃滿足忖=2,

忖=3,a?Z?=—3,則,+3/?|=.

【解析】卜+3+府+3葉=商+6〃?2+9b=j4+6x（-3）+9x9=>/67.

故答案為：V67.

【答案】而

31.（2022?遼寧省名校高三第四次聯考）己知。是上4BC的外心，且AC=&,則

OAAC=.

【解析】如圖：取AC的中點。，連接。力，因為。是.ABC的外心，所以8_LAC,

所以0443=-40./43=一卜4?卜4=_；卜0卜+4=_:><（及）2=—1,故答案為:

-1.

【答案】-1

32.（2022?江蘇省蘇州中學等四校高三（下）期初聯合檢測）已知a+Z?+2c=0,且

忖=忖=2,利=1,則向量￡與坂的夾角為.

【解析】設向量》與?的夾角為仇則。￡[0,封，???。+匕+2―0,???a+Q—2c,

:.a+b+2ab=4c1,即忖一++2同陣05用4H?,又忖=忖=2,|c|=l,

I2424

/.cos<9=--,A。二絲.故答案為：—.

233

27r

【答案】一##120°

3

33.（2022?黑龍江省哈三中高三二模）已知向量口〃滿足：同=1,5=（-1,、回），a與b

7T

的夾角為巴，則|a-b|=_________.

3

【解析】因為〃二（一1,6）,所以W=J（T）2+（G）2=2,又同=1且d與〃夾

角為?，所