匯報(bào)人：武小鵬專業(yè)：控制理論與控制工程時(shí)間：2014.11Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波目錄1/201、分?jǐn)?shù)階理論簡(jiǎn)介分?jǐn)?shù)階Grünwald-Letnikov差分方程定義式中Δ表示分?jǐn)?shù)階算子，表示分?jǐn)?shù)階階次向量，下標(biāo)k表示第k時(shí)刻，h表示采樣時(shí)間，對(duì)于離散系統(tǒng)，取h=1，2/201、分?jǐn)?shù)階理論簡(jiǎn)介給出以下整數(shù)階線性離散系統(tǒng)模型

式中，x是狀態(tài)向量，y是量測(cè)輸出向量，下標(biāo)k表示第k時(shí)刻，u是控制輸入向量，A,B和C是適當(dāng)維數(shù)已知矩陣，w和v分別表示系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲，這里都是高斯白噪聲并且協(xié)方差矩陣分別為把上面模型狀態(tài)量的階次由整數(shù)變成分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)階線性離散系統(tǒng)模型3/202、分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法卡爾曼濾波是一種遞推回歸方法，它的基本思想是根據(jù)新量測(cè)的數(shù)據(jù)和由前面一步量測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算而得的估計(jì)值，再來推算出新的估計(jì)值，即新估計(jì)值＝舊估計(jì)值十修正值其本質(zhì)是求出k+1時(shí)刻狀態(tài)量真值的最優(yōu)估計(jì)值，估計(jì)的準(zhǔn)則是以狀態(tài)量的估計(jì)誤差協(xié)方差最小為目標(biāo)，即考慮分?jǐn)?shù)階線性離散系統(tǒng)模型→4/202、分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法給定分?jǐn)?shù)階線性離散系統(tǒng)模型定義1：K時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值與狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差

(是k時(shí)刻及k時(shí)刻之前所有控制量和量測(cè)量的累計(jì)值

)定義2：K時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)值與狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差

5/202、分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法(1)、k+1時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)值表達(dá)式(2)、k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值表達(dá)式(3)、k時(shí)刻卡爾曼濾波增益矩陣分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法包含五大核心公式：6/202、分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法(4)、k+1時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣(5)、k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法圖7/202、分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法例1：高斯白噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法舉例狀態(tài)量X(1)的真實(shí)值和估計(jì)值狀態(tài)量X(2)的真實(shí)值和估計(jì)值8/203、Lévy噪聲簡(jiǎn)介

Lévy過程源于法國(guó)數(shù)學(xué)家保羅·皮埃爾·菜維，是連續(xù)時(shí)間上的一種擁有獨(dú)立穩(wěn)定增量的左極限右連續(xù)(Càdlàg)的隨機(jī)過程。性質(zhì)：1、獨(dú)立增量設(shè)X(t)是一個(gè)連續(xù)時(shí)間上的隨機(jī)過程。也就是說，對(duì)于任何固定的t≥0，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量。過程的增量為差值X(s)?X(t)(任意的時(shí)間t

<

s)。獨(dú)立增量意味著對(duì)于任何時(shí)間s

>

t

>

u

>

v，X(s)?X(t)和X(u)?X(v)相獨(dú)立。2、穩(wěn)定增量

如果增量X(s)?X(t)的分布只依賴于時(shí)間間隔s?t，則稱增量是穩(wěn)定的。3、可分性

Lévy過程與無限可分分布有關(guān)：

a、增量的分布是無窮可分的。即對(duì)任意給定的n，X(t)的分布可以表示為n個(gè)與X(t)/n同分布的隨機(jī)變量的和的分布。

b、反之，對(duì)于每個(gè)無窮可分的分布，可以構(gòu)造出一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的Lévy過程。Lévy過程的一個(gè)例子：Brown運(yùn)動(dòng)9/203、Lévy噪聲簡(jiǎn)介Brown運(yùn)動(dòng)平面圖Brown運(yùn)動(dòng)立體圖Brown運(yùn)動(dòng):看起來連成一片的液體，在高倍顯微鏡下看其實(shí)是由許許多多分子組成的。液體分子不停地做無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，不斷地隨機(jī)撞擊懸浮微粒。當(dāng)懸浮的微粒足夠小的時(shí)候，由于受到的來自各個(gè)方向的液體分子的撞擊作用是不平衡的。在某一瞬間，微粒在另一個(gè)方向受到的撞擊作用超強(qiáng)的時(shí)候，致使微粒又向其它方向運(yùn)動(dòng)，這樣，就引起了微粒的無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)就是布朗運(yùn)動(dòng)。例如，在顯微鏡下觀察懸浮在水中的藤黃粉、花粉微粒，或在無風(fēng)情形觀察空氣中的煙粒、塵埃時(shí)都會(huì)看到這種運(yùn)動(dòng)。

10/203、Lévy噪聲簡(jiǎn)介L(zhǎng)évy

噪聲高斯白噪聲11/204、Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波考慮Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階線性離散系統(tǒng)模型式中，系統(tǒng)噪聲w和量測(cè)噪聲v均為非高斯Lévy噪聲。對(duì)Lévy噪聲的處理有兩種方法：方法一：對(duì)狀態(tài)向量和量測(cè)向量進(jìn)行處理。12/204、Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法五大核心公式：13/204、Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法圖14/204、Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波例2：非高斯Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法舉例狀態(tài)量X(1)的真實(shí)值和估計(jì)值狀態(tài)量X(2)的真實(shí)值和估計(jì)值15/20方法二：對(duì)系統(tǒng)噪聲和量測(cè)輸出噪聲進(jìn)行處理。4、Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波Lévy

噪聲新分?jǐn)?shù)階線性離散系統(tǒng)模型新模型下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法五大核心公式：16/204、Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波上式中新模型下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法圖17/204、Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波例3：非高斯Lévy噪聲下分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波算法舉例狀態(tài)量X(1)的真實(shí)值和估計(jì)值狀態(tài)量X(2)的真實(shí)值和估計(jì)值18/205、結(jié)論和展望結(jié)論：本文分析了兩種非高斯Lévy噪聲的近似處理方法，并推導(dǎo)出兩種濾波算法，仿真結(jié)果表明這兩種近似處理方法和濾波算法都是可行的。展望：

(1)、連續(xù)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波。

(2)、Lév