H^一、立體幾何

一、多項選擇題

1.（2021.全國高考真題）在正三棱柱中，AB=AAX=\,點P滿足

BP=ABC+4BB「其中；lw[0,l],那么0

A.當;1=1時，△ABJ的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐尸一A/。的體積為定值

C.當4=g時，有且僅有一個點尸，使得

D.當4=g時，有且僅有一個點產，使得其3，平面

二、單項選擇題

2.（2021?浙江高考真題）如圖正方體48CD—A耳GR,M,N分別是A。，0田的

中點，那么0

A.直線A。與直線垂直，直線MN〃平面A5CD

B.直線A。與直線平行，直線MN_L平面3。。的

C.直線4。與直線相交，直線MN//平面ABCD

D.直線片。與直線。出異面，直線平面80。與

3.（2021?浙江高考真題）某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積是0

A.-B.3C.—D.3五

22

4.（2021?全國高考真題（理））己如4,B,。是半徑為1的球O的球面上的三個點，

且AC_L8C,AC=BC=1,那么三棱錐O—A5C的體積為0

A.也B.3C.叵D.2

121244

5.（2021?全國高考真題（文））在一個正方體中，過頂點4的三條棱的中點分別為應

F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如下圖，那

么相應的側視圖是0

6.（2021?全國高考真題（理））在正方體ABCO-A,四G0中，尸為用。的中點，那么

直線尸8與4R所成的角為0

71

D.

*6

7.（2021?全國高考真題）圓錐的底面半徑為血,其側面展開圖為一個半圓，那么該圓

錐的母線長為0

A.2B.2血C.4D.4&

8.（2021?天津高考真題）假設棱長為26的正方體的頂點都在同一球面上，那么該球

的外表積為（）

A.12乃B.24乃C.36萬D.144萬

9.（2021?北京高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如下圖，該三棱柱的

外表積為（）.

A.6+6B.6+26C.12+6D.12+26

10.〔2021?浙江高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如下圖，那么該幾何體的體

積（單位：cnP）是（）

714,

A.—B.—C.3D.6

33

11.（2021?海南高考真題）日展是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的唇

針投射到懸面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點A的緯

度是指。人與地球赤道所在平面所成角，點人處的水平面是指過點4且與OA垂直的平

面.在點4處放置一個日展，假設獸面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40。,

那么唇針與點A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

12.（2021?全國高考真題（文））以下圖為某幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積

是0

A.6+40B.4+4頁C.6+273D.4+26

13.（2021?全國高考真題（理））A,8,C為球。的球面上的三個點，為的

外接圓，假設的面積為4u,AB=BC=AC=OO^那么球。的外表積為0

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

14.12021?全國高考真題〔理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀

可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角

形的面積，那么其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為0

A布-1^5-1y/54-1>/5+1

A?-----R.-----rC.------nD.------

4242

15.（2021?全國高考真題（理））AABC是面積為我的等邊三角形，且其頂點都在球

4

O的球面上.假設球。的外表積為16不，那么。到平面ABC的距離為0

A.73B.-C.1D.—

22

16.（2021?全國高考真題（理））如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一

個端點在正視圖中對應的點為M，在俯視圖中對應的點為N,那么該端點在側視圖中

對應的點為0

A.EB.FC.GD.H

17.（2021?浙江高考真題）祖唯是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“基勢既同，

那么積不容異”稱為祖隨原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式匕上體=Sh,其中S

是柱體的底面積，力是柱體的高.假設某柱體的三視圖如下圖（單位：cm）,那么該柱

體的體積（單位：cn?）是

A.158B.162

C.182D.324

18.（2021?全國高考真題（理））如圖，點N為正方形ABCD的中心，AECD為正三

角形，平面ECD_L平面A8CRM是線段的中點，那么

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM豐EN,且直線是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM*EN,且直線是異面直線

19.（2021?浙江高考真題）祖晅是我國南北朝時代的偉大科學家.他提出的“事勢既同，

那么積不容易〃稱為祖唾原理，利用該原理可以得到柱體體積公式維七體=5/2,其中S是

柱體的底面積，力是柱體的高，假設某柱體的三視圖如下圖，那么該柱體的體積是

A.158B.162

C.182D.32

20.（2021.浙江高考真題）設三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是

棱01上的點（不含端點），記直線依與直線AC所成角為。，直線依與平面ABC所

成角為4，二面角尸―AC—5的平面角為V,那么

A.0<y、a<yB.p<a,（3<y

C.p<a,y<aD.a<B、y<0

21.（2021?全國高考真題（理））三棱錐/>/5。的四個頂點在球。的球面上，以二P8;PC,

△A4C是邊長為2的正三角形，E,尸分別是辦，A4的中點，ZCEF=90°,那么球。

的體積為

A.8"乃B.4顯九C.2妍萬D.娓兀

22.（2021?全國高考真題（文））設a,4為兩個平面，那么。〃夕的充要條件是

A.。內有無數(shù)條直線與萬平行

B.a內有兩條相交直線與尸平行

C.?,4平行于同一條直線

D.a,垂直于同一平面

23.12021?上海高考真題）平面a、依/兩兩垂直，直線。、。、c滿足：

aqa,力,那么直線a、b、。不可能滿足以下哪種關系

A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面

24.（2021?浙江高考真題）直線加〃和平面a,〃ua,那么“加比”是"m〃a”的

0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

25.（2021?上海高考真題）？九章算術?中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱

錐為陽馬，設AA是正六棱柱的一條側棱，如圖，假設陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、

以AA為底面矩形的一邊，那么這樣的陽馬的個數(shù)是0

A.4B.8C.12D.16

26.（2021?浙江高考真題）四棱錐S-的底面是正方形，側棱長均相等，E是線

段A5上的點（不含端點），設跖與5C所成的角為4，SE與平面ABCD所成的角

為4,二面角S—AB—C的平面角為“，那么

A.OX<02<O.B.0,<02<0,C.0,<0,<02D.02<0.<0,

27.（2021?全國高考真題（文））在長方體ABC。—44GA中，AB=BC=2,AC,

與平面BqGC所成的角為30，那么該長方體的體積為

A.8B.672c.Sy/2D.86

28.（2021?北京高考真題（理））某四棱錐的三視圖如下圖，在此四棱錐的側面中，直

角三角形的個數(shù)為

A.1B.2

C.3D.4

29.12021?全國高考真題（文））某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如下圖，

圓柱外表上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱外表上的點N在左視圖上的對應點

為B,那么在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為

A.25/17B.2石C.3D.2

30.12021?全國高考真題（理））設A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，

.?.ABC為等邊三角形且其面積為9G，那么三棱錐O-4BC體積的最大值為

A.12x/3B.185/3C.24百D.5473

31.（2021?全國高考真題［理））中國古建筑借助樺卯將木構件連接起來，構件的凸出

局部叫樺頭，凹進局部叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是樺頭.假設如圖擺放的木

構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，那么咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是

A.：B.

C.

D.

32.（2021?浙江高考真題）某幾何體的三視圖如下圖（單位：cm）,那么該幾何體的體

積（單位：cm3）是0

A.2B.4C.6D.8

33.（2021?全國高考真題（文））在正方體中，七為棱CG的中點，

那么異面直線AE與。。所成角的正切值為

A0R向「有D近

A.---D.---C.U.

2222

34.（2021?全國高考真題（文））圓柱的上、下底面的中心分別為。廣。2,過直線?。2

的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，那么該圓柱的外表積為

A.12夜兀B.1271C.8在兀D.1071

35.（2021?全國高考真題〔理））在長方體中，AB=BC=\,

例=也，那么異面直線4。與。片所成角的余弦值為

A.1B.好C.D.在

5652

36.（2021?全國高考真題［理））正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角

都相等，那么。截此正方體所得截面面積的最大值為

A.更B.逼C.逑D.?

4342

37.（2021?全國高考真題（文））如圖，在以下四個正方體中，A、8為正方體的兩個

頂點,M、N、。為所在棱的中點，那么在這四個正方體中，直線A8與平面MNQ

不平行的是（）

未命名

未命名

三、解答題

38.(2021?全國高考真題)如圖，在三棱錐A—8CD中，平面ABDJ_平面SCO,

AB=ADt。為30的中點.

(1)證明：0ALCD；

(2)假設上08是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AO上，DE=2EA,且二面角

E-8C-。的大小為45。，求三棱錐A—BCD的體積.

39.(2021?全國高考真題(文))如圖，四棱錐尸一ABC。的底面是矩形，P￡>_L底面

ABCD,M為的中點，且PBLAM.

(1)證明：平面平面P8￡>；

(2)假設PQ=DC=1,求四棱錐P—A3CD的體積.

40.(2021.浙江高考真題)如圖，在四棱錐夕-A3c。中，底面A8CO是平行四邊形，

ZABC=120°,/IB=1,BC=4,PA=V15，M,N分別為8C,PC的中點，

PDLDCPM工MD.

(1)證明：AB1PM；

(2)求更線AN與平面尸ZW所成角的正弦值.

41.(2021?全國高考真題(文))直三棱柱A8C—44G中，側面44田田為正方形，

AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點，BFLA^.

(1)求三棱錐/一E8C的體積；

(2)。為棱上的點，證明：BFA.DE.

42.12021?全國高考真題［理))直三棱柱ABC-中，側面44出田為正方形，

AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點，。為棱A4上的點.BF1

(1)證明：BhDE；

(2)當與。為何值時，面66CC與面OFE所成的二面角的正弦值最小？

43.(2021?全國高考真題(理))如圖，四棱錐的底面是矩形，?D_L底面

ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點，且

(1)求BC；

(2)求二面角—B的正弦值.

44.(2021?海南高考真題)如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，P。！底面A8CZ).設

平面PAD與平面PBC的交線為/.

(1)證明：/，平面產。。；

⑵PD=AD=\,。為/上的點，求P8與平面QC。所成角的正弦值.

45.(2021?天津高考真題)如圖，在三棱柱中，CG，平面

ABCiAClBCyAC=BC=2fCC「3,點、D,E分別在棱A,%和棱C6上，且

AD=\CE=2,M為棱A4的中點.

(I)求證：qA/lB.D；

(II)求二面角8-gE-0的正弦值；

(III)求直線A6與平面。片E所成角的正弦值.

46.(2021?北京高考真題)如圖，在正方體ABC。—44GR中，E為84的中點.

(I)求證：BCJ/平面ARE；

(II)求直線A4與平面ARE所成角的正弦值.

47.(2021?浙江高考真題)如圖，三棱臺A8C—DE尸中，平面ACFO_L平面A8C,

ZACB=ZACD=45°tDC=2BC.

(I)證明：EFLDB；

(II)求與面。8c所成角的正弦值.

48.(2021?海南高考真題)如圖，四棱錐尸-48CO的底面為正方形，PO_L底面ABCQ.設

平面PAD與平面PBC的交線為/.

(1)證明：LL平面POC：

(2)PD=AD=\,。為/上的點，求P8與平面QCO所成角的正弦值的最大值.

49.(2021?江蘇高考真題)在三棱錐A—BCO中，CB=CD=6BD=2,O為8。的中點,

4。_1_平面88,40=2,E為AC的中點.

(1)求直線4B與OK所成角的余弦值；

(2)假設點尸在5。上，滿足8尸二18。，設二面角尸一DE—。的大小為"求sin。的

4

值.

50.(2021?江蘇高考真題)在三棱柱ABC-A1BG中，ABLAC,8CJ?平面ABC,E,F

分別是AC,89的中點.

(1)求證：￡尸〃平面ABiG；

(2)求證：平面A3iC_L平面

51.(2021?全國高考真題(理))如圖，在長方體ABC。-44GA中，點瓦尸分別在

棱DD「BBi上,且2DE=ED],BF=2FBi.

(1)證明：點G在平面AE尸內；

(2)假設A8=2，AD=bM=3,求二面角4一七/一A的正弦值.

52.(2021?全國高考真題(文))如圖，在長方體A8CO—4旦GR中，點尸分別

在棱。R,上，且2DE=ER,BF=2FB、.證明：

(1)當鉆=BC時，EF1AC；

(2)點G在平面AE/內.

53.(2021?全國高考真題(文))如圖，力為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，^ABC

是底面的內接正三角形，P為DO上一點,ZAPC=90°.

(1)證明：平面B4B_L平面剛C：

(2)設00=0,圓錐的側面積為后，求三棱錐P-4BC的體積.

54.(2021?全國高考真題[理))如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，4E為

底面直徑，AE=4).GABC是底面的內接正三角形，尸為。。上一點，PO=昆DO.

6

(1)證明：Q4_L平面P5C；

(2)求二面角3—PC—E的余弦值.

55.(2021?全國高考真題(文))如圖，三棱柱ABC-481G的底面是正三角形，側面

83GC是矩形，M,N分別為8C,3G的中點，尸為AM上一點.過和。的平面

交A3于E,交AC于F.

(1)證明；AA\//MN,且平面人M"N_L平面EBiG凡

(2)設0為△ABiG的中心，假設4O=AB=6,4。//平面￡：31。|凡且NMPN二%,求

3

四棱錐3-E8GF的體積.

56.(2021?全國高考真題(理))如圖，三棱柱A3GA由Ci的底面是正三角形，側面6小CC

是矩形，M,N分別為8C,81cl的中點，F(xiàn)為AM上一點，過&G和P的平面交48

于E,交AC于F.

(1)證明：AAi//MN,且平面AiAMNJ_EBGF；

(2)設0為△AliC的中心，假設40〃平面EBGF,且求直線SE與平

面4AMN所成角的正弦值.

57.(2021?江蘇高考真題)如圖，在直三棱柱ABC—4叢G中，D,七分別為BC,AC

的中點，AB=BC.

求證:⑴4Bi〃平面DEG；

(2)BELC\E.

58.(2021.天津高考真題［理))如圖，AE_L平面ABC。，CF//AE,AD//BC.

AD1.AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求證：4歹〃平面ADE：

(II)求直線CE與平面8QE所成角的正弦值；

(III)假設二面角七一8。一尸的余弦值為:，求線段CF的長.

59.(2021?全國高考真題［理))圖1是由矩形4。仍，RS48C和菱形8FGC組成的

一個平面圖形，其中48=1,BE=BF=2,NFBG60。，將其沿AB,BC折起使得BE與

B尸重合，連結。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G。四點共面，且平面A8C_L平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

60.(2021.全國高考真題(文))如圖，直四棱柱ABCD-ABGD的底面是菱形，A4=4,

AB=2,/B4D=60。，E,M,N分別是BC,BBhA/。的中點.

(1)證明：MN〃平面C/DE；

(2)求點。到平面。OE的距離.

61.(2021?全國高考真題(理))

如圖，長方體45aA的底面4BCD是正方形，點￡在棱44上，BE上EG.

(1)證明：BE_L平面E3G；

(2)假設人石-4石，求二面角月ECG的正弦值.

62.(2021?上海高考真題)如醫(yī)，在正三棱錐尸-ABC中，

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=6

(1)假設尸B的中點為M，8C的中點為N,求AC與MN的夾角；

(2)求P—ABC的體積.

63.[2021?上海高考真題)圓錐的頂點為尸，底面圓心為O,半徑為2.

(1)設圓錐的母線長為4,求圓錐的體積：

(2)設尸。=4,OA、。3是底面半徑，且NAQ8=90。，M為線段A8的中點，

如圖.求異面直線PM與。3所成的角的大小.

64.(2021?江蘇高考真題)在平行六面體AB8—4/6A中，AA=±Bg.

求證:(1)A3〃平面4名。；

(2)平面平面ABC.

65.(2021?江蘇高考真題)如圖，在正三棱柱ABC-AiBiG中，尸2,點尸，。分

別為8c的中點.

(1)求異面宜線8P與AG所成角的余弦值；

(2)求直線CG與平面4QG所成角的正弦值.

66.(2021?全國高考真題(文))如圖，矩形A3CO所在平面與半圓弧CD所在平面垂

直，M是CO上異于。，。的點.

(1)證明：平面平面3MC；

(2)在線段AW上是否存在點使得MC〃平面PBD?說明理由.

67.12U21?北京島考真題〔埋“如圖，在二棱柱中，CQ，平面A8C,

D,E,F,G分別為A4,AC,AG，Bq的中點，AB=BC=非,AC=AA]=2.

(1)求證：4C_L平面5￡尸；

(2)求二面角8-3G的余弦值；

13)證明：直線FG與平面BCO相交.

68.(2021?北京高考真題(文)：如圖，在四棱錐P-ABCZ)中，底面ABCD為矩形,

平面R4Z)_L平面ABCQ,PA±PD,PA=PD，E、尸分別為40、尸B的中點.

(I)求證：PELBCx

(II)求證：平面PA8_L平面尸CO；

(III)求證：EF〃平面PCD.

69.(2021?全國高考真題(理))如圖，四邊形A5CO為正方形，尺尸分別為AO,6c

的中點，以。尸為折痕把折起，使點C到達點P的位置，且PF_LBF.

(1)證明：平面產石尸_L平面ABFD；

(2)求OP與平面A8FD所成角的正弦值.

70.(2021?全國高考真題(理))如圖,邊長為2的正方形A3CD所在的平面與半圓弧00

所在平面垂直，M是C。上異于C,。的點.

(1)證明：平面AMD_L平面BMC；

(2)當三棱錐M—A3C體積最大時，求面M4/與面MCO所成二面角的正弦值.

71.(2021?浙江高考真題)如圖，多面體ABC-AIBIG,AiA,B.B,GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.

(I)證明：AB」平面AHG；

(ID求直線AG與平面ABBi所成的角的正弦值.

72.(2021?全國高考真題(文))如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=BC=2叵,

PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.

(1)證明：PO_L平面A8C；

(2)假設點M在棱BC上，且MC=2M5,求點C到平面POM的距離.

73.[2021?全國高考真題(文))如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3,

ZACM=90。，以AC為折痕將^ACM折起，使點M到達點D的位置,且AB_LD4.

(1)證明：平面ACDJ_平面ABC；

2

(2)。為線段AO上一點，尸為線段5c上一點，且3P=DQ=QD4,求三棱錐

Q—ABP的體積.

74.(2021?山東高考真題(文))由四棱柱48cmic6截去三棱錐G-SCDi后得

到的幾何體如下圖，四邊形A8CO為正方形，。為AC與3。的交點，E為AO的中點，

4E1平面ABCD

11)證明：40〃平面BCG；

12)設M是0。的中點，證明：平面平面BCDi.

四、填空題

75.(2021?全國高考真題(理))以圖①為正視圖，在圖②?④⑤中選兩個分別作為側

視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，那么所選側視圖和俯視圖的編號依次為

(寫出符合要求的一組答案即可).

76.（2021?全國高考真題（文））一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30%那么該圓錐

的側面積為.

77.（2021?海南高考真題）正方體OBCD-AiBiCiDi的棱長為2,M、N分別為B8i、AB

的中點，那么三棱錐A-NM。的體積為

78.（2021?海南高考真題）直四棱柱ABCD-AIICQI的棱長均為2,ZBAD=60°.以。

為球心，y/5為半徑的球面與側面BCC向的交線長為.

79.（2021?江蘇高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成

的.螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半徑為0.5cm,那么此六角螺

帽毛坯的體積是一cm.

80.（2021?全國高考真題（文））圓錐的底面半徑為1,母線長為3,那么該圓錐內半徑

最大的球的體積為.

81.（2021?全國高考真題（理））設有以下四個命題：

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：假設空間兩條直線不相交，那么這兩條直線平行.

P4：假設直線/U平面Q,直線m_L平面a,那么用_L/.

那么下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl八〃4②P］八，2③2Vp3④

82.12021?江蘇高考真題）如圖，長方體A3CD-A旦GA的體積是120,E為CC1的

中點，那么三棱錐E8CO的體積是.

83.（2021?北京高考真題〔理））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三

視圖如下圖.如果網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.

84.（2021.北京高考真題（理））/,機是平面。外的兩條不同直線.給出以下三個論斷：

?/lw：②加〃。：③LL。.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：

85.（2021.全國高考真題（理））學生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術制作模型.如

圖，該模型為長方體A5CO-AMGA挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中

。為長方體的中心，E,￡G”分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AAl=4cm,

3。打印所用原料密度為0.9g/。療，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為

___________g.

86.（2021?天津高考真題（文））四棱錐的底面是邊長為正的正方形，側棱長均為逐.

假設圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側校的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底

面的中心，那么該圓柱的體積為.

87.（2021?全國高考真題（文））NAC8=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點P到NACB

兩邊AC,的距離均為G，那么尸到平面A8C的距離為.

88.（2021?江蘇高考真題）如下圖，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多

面體的體積為.

89.（2021?全國高考真題（文））圓錐的頂點為S,母線81,S3互相垂直，SA與圓錐

底面所成角為30°,假設二S48的面積為8,那么該圓錐的體積為.

90.（2021.全國高考真題（理））圓錐的頂點為S,母線弘，SB所成角的余弦值為

--與圓錐底面所成角為45。，假設上￡45的面積為54?，那么該圓錐的側面

8

積為.

91.（2021?天津高考真題（理））正方體A8C￡>—A/iGR的棱長為1,除面A5CO外，

該正方體其余各面的中心分別為點&F,G,H,M（如圖），那么四棱錐的

體積為.

五、雙空題

92.（2021?全國高考真題（文））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印

信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半

正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多

面體表達了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同

一個正方體的外表上，且此正方體的棱長為I.那么該半正多面體共有個面，

其棱長為.

近五年〔2021-2021〕高考數(shù)學真題分類匯編

十一、立體幾何〔答案解析〕

I.BD

【分析】

對于A,由于等價向量關系，聯(lián)系到一個三角形內，進而確定點的坐標；

對于B,將P點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將尸點軌跡確定，進而考慮建立適宜的直角坐標系來求解尸點

的個數(shù)；

對于D,考慮借助向量的平移將尸點軌跡確定，進而考慮建立適宜的直角坐標系來求解尸點

的個數(shù).

【解析】

易知，點尸在矩形BCG與內部(含邊界).

對于A,當;1=1時，BP=BC+juBBpBC+〃CJ，即此時線段CG，△A3」周長

不是定值，故A錯誤；

對于B,當"=1時，BP=^BC++九,故此時P點軌跡為線段用G,而

B[CJ/BC,gG〃平面那么有P到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，

故B正確.

對于C,當；1=3時，BP=；BC+〃取5C,4G中點分別為。，H,那么

BP=BQiQH,所以尸點軌跡為線段QH,不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，

A,p(o,o,//),，那么AP=。，從-1,BP=o,—，

I2)\^)(2J\^)

4尸3尸=〃(〃-1)=0,所以H=0或〃=1.故H,。均滿足，故C錯誤；

對于D,當〃=；時，BP=ABe+；BB「取BBi，CG中點為"，N.BP=BM+九MN，

所以2點軌跡為線段MN.設因為所以=(-岑,為，；，

=|一坐，!，一1,所以？-J=O=y=一1,此時2與N重合，故D正確.

（22）420202

應選：BD.

【小結】

此題主要考杳向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內.

2.A

【分析】

由正方體間的垂直、平行關系，可證MN//A8，AOJ_平面A8R,即可得出結論.

【解析】

連AA，在正方體ABC。—中，

M是A。的中點，所以M為A"中點，

又N是RB的中點，所以MN//AB,

MN平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面A3CO.

因為A8不垂直80，所以MN不垂直3。

那么MV不垂直平面BDD&I,所以選項B,D不正確；

在正方體43。￡＞一4qGA中，AD.LA.D,

A6_L平面所以AB_L4。，

ADinAB=A,所以平面48A,

￡）田匚平面48。，所以

且直線4。,。出是異面直線，

所以選項B錯誤，選項A正確.

應選：A.

【小結】

關鍵點小結：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同

一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.

3.A

【分析】

根據(jù)三視圖可得如下圖的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.

【解析】

幾何體為如下圖的四棱柱ABC。-A4CA，其高為1,底面為等腰梯形4BCO,

該等腰梯形的上底為行，下底為2五，腰長為1，故梯形的高為=孝，

故匕=-x[x^+2>/2)x—xl=-,

應選：A.

4.A

【分析】

由題可得4Abe為等腰直角三角形，得出.A5C外接圓的半徑，那么可求得0到平面

ABC的距離，進而求得體積.

【解析】

???AC_LBC,AC=BC=1,."ABC為等腰直角三角形，「.AB二五，

那么外接圓的半徑為正，又球的半徑為1,

2

設0到平面ABC的距離為d,

所以%.ABC=；SABc.d=；x；xlxlxq=^.

應選：A.

【小結】

關鍵小結：此題考查球內幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到

截面距離的勾股關系求解.

5.D

【分析】

根據(jù)題意及題目所給的正視圖復原出幾何體的直觀圖，結合直觀圖進行判斷.

【解析】

由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如下圖，

所以其側視圖為

應選：D

6.D

【分析】

平移直線至BG，將直線尸3與AR所成的角轉化為所與BQ所成的角，解三角形即

可.

【解析】

如圖，連接8G，PG，P8,因為AD1〃8C],

所以NPBC、或其補角為直線PB與AD,所成的角，

因為J_平面4與GA，所以又PCJBR,BBICBQI=B',

所以尸￡_L平面P3與，所以尸C|_LPB,

設正方體棱長為2,那么BQ=2挺,PC】=；D\BI=6.,

sinZPBC,=—^=-,所以NPg=j

應選：D

7.B

【分析】

設圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【解析】

設圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，那么;r/=2;rx&,解得

1=2日

應選：B.

8.C

【分析】

求出正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的外表積公式，即可得解.

【解析】

這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，

即也可/可麗7

2

所以，這個球的外表積為S=4;rR2=4"X32=36〃.

應選：C.

【小結】

此題考查正方體的外接球的外表積的求法，求出外接球的半徑是此題的解題關鍵，屬于根底

題.求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：(1)三條棱兩兩互相垂直時，可恢

復為長方體.利用長方體的體對角線為外接球的百杼.求出球的半杼：(2)百棱柱的外接球

可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點,

再根據(jù)勾股定理求球的半徑；(3)如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作

兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.

9.D

【分析】

首先確定幾何體的結構特征，然后求解其外表積即可.

【解析】

由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側面為三個邊長為2的正方形,

那么其夕卜表積為；S-3x(2x2)+2x^x2x2xsin60°j-12+2^3.

應選：D.

【小結】

(1)以三視圖為載體考查幾何體的外表積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治觯瑥?/p>

三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系.

(2)多面體的外表積是各個面的面積之和：組合體的外表積應注意重合局部的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而

外表積是側面積與底面圓的面積之和.

10.A

【分析】

根據(jù)三視圖復原原圖，然后根據(jù)柱體和錐休體積計算公式，計算出幾何休的休積.

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是上半局部是三棱錐，下半局部是三棱柱，

且三棱錐的一個側面垂直于底面，且棱錐的高為1,

棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2,

所以幾何體的體積為：

1(1cAc1C7

-x—x2xlxl+—x2xlx2=-+2=—.

3(2)U)33

應選：A

【小結】

本小題主要考查根據(jù)三視圖計算幾何體的體積，屬于根底題.

11.B

【分析】

畫出過球心和輕針所確定的平面截地球和唇面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質定理和線面垂

直的定義判定有關截線的關系，根據(jù)點A處的緯度，計算出鼻針與點A處的水平面所成角.

【解析】

畫出截面圖如以下圖所示，其中CO是赤道所在平面的截線；/是點A處的水平面的截線,

依題意可知。4_L/；A8是辱針所在直線?加是展面的截線，依題意依題意，辱面和赤道平

面平行，唇針與唇面垂直，

根據(jù)平面平行的性質定埋可得可知m//CD、根據(jù)線面垂直的定義可得AB±m(xù)..

由于NAOC=40。，m〃8,所以NQ4G=NAOC=40。，

由于ZOAG+ZGAE=ZBAE+ZGAE=90°，

所以ZBAE=ZOAG=40°,也即號針與點A處的水平面所成角為/BAE=40°.

應選：B

【小結】

本小題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查球體有關計算，涉及平面平行，線面垂直的性質，

屬于中檔題.

12.C

【分析】

根據(jù)三視圖特征，在正方休中截取出符合題意的立休圖形，求出每個面的面積，即可求得其

外表積.

【解析】

根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

根據(jù)立體圖形可得：S&ABC=^AADC=S&CDB=gx2x2=2

根據(jù)勾股定理可得：AB=AD=DB=2V2

二△A08是邊長為2丘的等邊三角形

根據(jù)三角形面積公式可得：

...該幾何體的外表積是：3x2+28=6+2百.

應選：C.

【小結】

此題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的外表積問題，解題關鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體

圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于根底題.

13.A

【分析】

由可得等邊的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性質，

求出球的半徑，即可得出結論.

【解析】

設圓Oi半徑為，球的半徑為R，依題意，

得萬/=4肛:./?=2,為等邊三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=273，

，OOI=AB=26根據(jù)球的截面性質，平面ABC,

:.OO\_LgA,R=OA=飛OO；+Q=go：+產=4,

???球。的外表積S=44/?2=M不.

應選：A

此題考查球的外表積，應用球的截面性質是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于根底題.

【分析】

設CD=a,PE=b,利用尸。2=!。》總得到關于的方程，解方程即可得到答案.

【解析】

如圖，設CD=a,PE=b,那么