第第頁人教版高二上學期數學(選擇性必修1)《1.2空間向量及其線性運算》同步測試題及答案考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本節內容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）已知a→A．與a→共面的單位向量有無數個B．與a→垂直的單位向量有無數個C．與a→平行的單位向量只有一個D．與a→2．（3分）若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡下列各式的結果為ACA．AA1→+AC．AB→+BB3．（3分）若空間四點M、A、B、C共面且OA→+2OBA．1 B．2 C．3 D．64．（3分）（2021秋?襄陽期末）如圖所示，在三棱錐D﹣ABC中，E，F分別是AB，BC的中點，則DA→A．DE→ B．ED→ C．DC→ 5．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M．設AB→=aA．?12a→?12b→?c→6．（3分）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，BC→=3CEA．AB→+13ADC．AB→+137．（3分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出下列各式：①（AB→+BC②（AA1→③（AB→+D④（AD1→其中運算結果為向量ACA．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（3分）已知{a→，b→，c→}是空間的一個基底，若m→=A．﹣3 B．?13 C．3 D二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春?灌云縣校級月考）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為ACA．AB→+AD→+C．AB→+C110．（4分）（2022春?寧德期中）如圖正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，則下列向量相等的是（）A．DO→與BO→ B．AC→與DB→ C．AD→與B111．（4分）（2021秋?重慶期末）若向量{a→，b→，cA．a→+b→，a→?b→，a→+2C．a→?b→，c→，a→+b→+12．（4分）（2021秋?尤溪縣校級月考）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1的中點為O，則下列互為相反向量的是（）A．OA→+ODB．OB→?OCC．OA1→D．OA→+三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?荔灣區校級期中）已知三棱錐O﹣ABC，其中D是線段BC的中點，如圖所示，用基向量OA→，OB→，OC→表示向量AD→的表達式為14．（4分）（2021秋?民勤縣校級期末）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是BC，C1D1的中點，若MN→=aAB→+bAD→+cAA1→，則a15．（4分）（2022春?天寧區校級期中）設e1→，e2→是兩個不共線的空間向量，若AB→=2e1→?e2→，BC→=3e16．（4分）（2022春?張掖期中）對于空間任意一點O，以下條件可以判定點P、A、B共線的是（填序號）．①OP→②5OP→③OP→④OP→四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021秋?江岸區校級月考）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中點，化簡下列各式：（1）AB→（2）AB→（3）1218．（6分）（2021秋?鄒城市期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D19．（8分）（2021秋?尤溪縣校級月考）如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對角線，O為△ABC的重心．（1）求證：OA→（2）化簡：SA→20．（8分）（2021秋?平邑縣校級月考）如圖所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足AM→=kAC1→，BN→=kBC→（0≤k≤21．（8分）（2021秋?侯馬市校級期中）如圖所示，已知幾何體ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面體．設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC1B1對角線BC1上的點，且C1N=14C1B，設MN→=xAB→+yAD→+z22．（8分）（2021秋?龍華區校級月考）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1F在對角線A1C上，且A1F→=23FC（1）用a→，b→，c→（2）求證：E，F，B三點共線．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）已知a→A．與a→共面的單位向量有無數個B．與a→垂直的單位向量有無數個C．與a→平行的單位向量只有一個D．與a→【解題思路】利用向量的定義，有大小，有方向兩個方面進行判斷，即可確定每個選項的正確性．【解答過程】解：與a→共面的單位向量，方向可任意，所以有無數個，故A與a→垂直的單位向量，方向可任意，所以有無數個，故B與a→平行的單位向量，方向有兩個方向，故不唯一，故C與a→同向的單位向量，方向唯一，故只有一個，故D故選：C．2．（3分）若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡下列各式的結果為ACA．AA1→+AC．AB→+BB【解題思路】可先畫出正方體，根據圖形及相等向量、向量加法的集合意義即可化簡每個選項，從而得出正確答案．【解答過程】解：如圖，A.AA1B.AB→C.AB→D.AB1→∴B正確．故選：B．3．（3分）若空間四點M、A、B、C共面且OA→+2OBA．1 B．2 C．3 D．6【解題思路】化簡可得OM→=1【解答過程】解：依題意OM→由四點共面，則系數和1k+2k+故選：D．4．（3分）（2021秋?襄陽期末）如圖所示，在三棱錐D﹣ABC中，E，F分別是AB，BC的中點，則DA→A．DE→ B．ED→ C．DC→ 【解題思路】直接利用向量的線性運算的應用求出結果．【解答過程】解：在三棱錐D﹣ABC中，E，F分別是AB，BC的中點，則AE→=1所以DA→故選：D．5．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M．設AB→=aA．?12a→?12b→?c→【解題思路】利用空間向量的線性運算求解即可．【解答過程】解：∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M，∴B1M→=B故選：C．6．（3分）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，BC→=3CEA．AB→+13ADC．AB→+13【解題思路】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可．【解答過程】解：∵BC→∴D=AB=AB故選：A．7．（3分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出下列各式：①（AB→+BC②（AA1→③（AB→+D④（AD1→其中運算結果為向量ACA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】結合圖形，對每一個算式進行判斷即可．【解答過程】解：∵①（AB→+BC②（AA1③（AB→+DD1→）④（AD1→∴以上4個算式運算的結果都是向量AC故選：D．8．（3分）已知{a→，b→，c→}是空間的一個基底，若m→=a→A．﹣3 B．?13 C．3 D【解題思路】由m→∥n→，可得n→=λ【解答過程】解：m→n→=x(a→+b→)?y(b→+c→)+3(a→+c因為m→∥n→，所以即x+3=λx?y=2λ3?y=?3λ，解得所以xy=故選：C．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022春?灌云縣校級月考）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為ACA．AB→+AD→+C．AB→+C1【解題思路】利用向量的線性表示分別求出各選項中的向量即可判斷．【解答過程】解：AB→+ADAA1→AB→+CAA→1+故選：BD．10．（4分）（2022春?寧德期中）如圖正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，則下列向量相等的是（）A．DO→與BO→ B．AC→與DB→ C．AD→與B1【解題思路】根據相等向量的定義，結合正四棱柱的結構特征依次判斷選項即可．【解答過程】解：由正四棱柱可知，A：|DO→|=|BO→B：|AC→|=|DB→C：|AD→|=|B→D：|A1B→|=|D1故選：CD．11．（4分）（2021秋?重慶期末）若向量{a→，b→，cA．a→+b→，a→?b→，a→+2C．a→?b→，c→，a→+b→+【解題思路】直接利用向量的基底和向量的線性運算的應用判斷A、B、C、D的結論．【解答過程】解：對于A：由于向量{a→，b→，c→}構成空間的一個基底，且滿足a對于B：由于a→?b對于C：由于a→+b對于D：由于a→?2b故選：ABD．12．（4分）（2021秋?尤溪縣校級月考）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1的中點為O，則下列互為相反向量的是（）A．OA→+ODB．OB→?OCC．OA1→D．OA→+【解題思路】可畫出圖形，根據圖形即可判斷每個選項的兩向量是否互為相反向量．【解答過程】解：如圖，根據圖形可看出：選項A，D的兩向量互為相反向量；OB→?OC→=CB→，OA1→?故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?荔灣區校級期中）已知三棱錐O﹣ABC，其中D是線段BC的中點，如圖所示，用基向量OA→，OB→，OC→表示向量AD→的表達式為【解題思路】根據向量的線性運算求出向量AD→【解答過程】解：結合圖像得：AD→=OB=OB→?=?故答案為：?OA14．（4分）（2021秋?民勤縣校級期末）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是BC，C1D1的中點，若MN→=aAB→+bAD→+cAA1→，則【解題思路】利用向量加法公式直接求解．【解答過程】解：在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是BC，C1D1的中點，MN→=1=?∵MN→=aAB→+b∴a=?12，b=12∴a﹣b﹣c＝﹣2．故答案為：﹣2．15．（4分）（2022春?天寧區校級期中）設e1→，e2→是兩個不共線的空間向量，若AB→=2e1→?e2→，BC→=3e【解題思路】先由AC→=AB→+BC→求出AC→，在根據A，C，D三點共線，得到AC→∥【解答過程】解：∵AB→=2e1→?∴AC→又∵A，C，D三點共線，∴AC→∴2﹣5k＝0，∴k=2故答案為：2516．（4分）（2022春?張掖期中）對于空間任意一點O，以下條件可以判定點P、A、B共線的是①③（填序號）．①OP→②5OP→③OP→④OP→【解題思路】由空間共線向量定理即可求解．【解答過程】解：對于①，∵OP→=OA→+t∴OP→?OA→=tAB→（t≠0∴點P、A、B共線，故①正確；對于②，∵5OP→=OA→+AB∴P、O、B共線，點P、A、B不一定共線，故②錯誤；對于③，∵OP→=OA→+AB→（t≠0∴AP→=?tAB→（t≠0），∴AP→，AB→共線，∴對于④，∵OP→=?OA∴OP→=?2OA∴BP→=?2OA→，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行時，點P、A、故選：①③．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021秋?江岸區校級月考）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中點，化簡下列各式：（1）AB→（2）AB→（3）12【解題思路】直接利用相等向量以及向量的加法和減法進行轉化即可．【解答過程】解：（1）AB→（2）AB→（3）1218．（6分）（2021秋?鄒城市期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D【解題思路】法一：分別求出EF→，FB法二：求出EF→=23FB→，結合EF∩FB＝F，從而證明【解答過程】證明：【方法一】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接EF，FB，A1B．因為A1E→所以EF=2=2FB→=A=3顯然，EF→=2又EF∩FB＝F，所以E，F，B三點共線．【方法二】證明：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接EF，FB．由題意，A1E→易得EF→所以EF→∥FB→．又EF∩FB＝F，故E，19．（8分）（2021秋?尤溪縣校級月考）如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對角線，O為△ABC的重心．（1）求證：OA→（2）化簡：SA→【解題思路】（1）根據O為△ABC的重心，用AB→、AC→、BC→表示OA→、（2）根據空間向量的線性表示與運算法則，計算即可．【解答過程】（1）證明：因為O為△ABC的重心，所以OA→=?AO→=?23×1同理OB→=?1OC→=?1所以①+②+③得OA→（2）解：因為CO→所以SA=CA20．（8分）（2021秋?平邑縣校級月考）如圖所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足AM→=kAC1→，BN→=kBC→（0≤k≤【解題思路】利用向量的線性運算即可判斷向量MN→是否與向量AB→，【解答過程】解：∵AN→=AB→+BN→=AB→+kAM→=kAC1∴MN→=AN→?AM→∴向量MN→與向量AB→，21．（8分）（2021秋?侯馬市校級期中）如圖所示，已知幾何體ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面體．設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC1B1對角線BC1上的點，且C1N=14C1B，設MN→=xAB→+yAD→+z【解題思路】直接利用向量的加法和線性運算的應用