.1.4概率的基本性質課后篇鞏固提升基礎達標練1.從1,2,3,…,9中任取兩數,其中:①恰有一個偶數和恰有一個奇數;②至少有一個奇數和兩個都是奇數;③至少有一個奇數和兩個都是偶數;④至少有一個奇數和至少有一個偶數.在上述事務中,兩個事務互為對立的是()A.① B.②④ C.③ D.①③解析從1~9中任取兩數,有以下三種狀況:(1)兩個均為奇數;(2)兩個均為偶數;(3)一個奇數和一個偶數.故選C.答案C2.(2024山東濟南高一檢測)從一批羽毛球產品中任取一個,其質量小于4.8g的概率為0.3,質量不超過4.85g的概率為0.32,那么質量在[4.8,4.85]范圍內的概率是()A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68解析設質量小于4.8g為事務A,不超過4.85g為事務B,在[4.8,4.85]范圍內為事務C,則A∪C=B,又A與C互斥,所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02.答案C3.(2024河北武邑宏達學校高二開學考試)從一箱產品中隨機地抽取一件,設事務A={抽到一等品},事務B={抽到二等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2.則事務“抽到的不是一等品”的概率為()A.0.8 B.0.65 C.0.35 D.0.2解析依題意,事務“抽到的不是一等品”的對立事務為事務A,所以事務“抽到的不是一等品”的概率為P()=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案C4.盒子中有若干個紅球和黃球,已知從盒子中取出2個球都是紅球的概率為,從盒子中取出2個球都是黃球的概率是,則從盒子中隨意取出2個球恰好是同一顏色的概率是()A. B. C. D.解析設A=“從中取出2個球都是紅球”,B=“從中取出2個球都是黃球”,C=“隨意取出2個球恰好是同一顏色”,則C=A∪B,且事務A與B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=,即隨意取出2個球恰好是同一顏色的概率為.故選A.答案A5.(多選題)(2024全國高一課時練習)下列各對事務中,是互斥事務的是()A.運動員甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”B.甲、乙兩名運動員各射擊一次,“甲射中10環”與“乙射中9環”C.甲、乙兩名運動員各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲,乙都沒有射中目標”D.甲、乙兩名運動員各射擊一次,“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”解析A選項,甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”兩個事務不行能同時發生,二者是互斥事務;B選項,甲、乙各射擊一次,甲射中10環,且乙射中9環時,“甲射中10環”與“乙射中9環”同時發生,二者不是互斥事務;C選項,甲、乙各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”不行能同時發生,二者是互斥事務;D選項,甲、乙各射擊一次,“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”可能會同時發生,二者不是互斥事務.答案AC6.若事務A,B互斥,P(A)=3P(B),P(A∪B)=0.8,則P(A)=.

解析∵A,B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B).又∵P(A)=3P(B),∴4P(B)=0.8,P(B)=0.2.∴P(A)=0.6.答案0.67.同時拋擲兩枚骰子,沒有5點和6點的概率為,則至少有一個5點或6點的概率是.

解析記事務A=“同時拋擲兩枚骰子,沒有5點和6點”,則有P(A)=,則為“同時拋擲兩枚骰子,至少有一個5點或6點”,與A為對立事務.所以P()=1-P(A)=1-.答案8.如圖所示,靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環Ⅱ、Ⅲ構成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35,0.30,0.25,則射手命中圓環Ⅱ或Ⅲ的概率為.不命中靶的概率是.

解析射手命中Ⅱ或Ⅲ的概率為P=0.30+0.25=0.55.射手命中圓面Ⅰ為事務A,命中圓環Ⅱ為事務B,命中圓環Ⅲ為事務C,不中靶為事務D,則A,B,C互斥,故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因為中靶和不中靶是對立事務,故不命中靶的概率為P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.答案0.550.109.某服務電話,打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1;響第2聲時被接的概率是0.2;響第3聲時被接的概率是0.3;響第4聲時被接的概率是0.35.(1)打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少?(2)打進的電話響4聲而不被接的概率是多少?解(1)設事務“電話響第k聲時被接”為Ak(k∈N),那么事務Ak彼此互斥,設“打進的電話在響5聲之前被接”為事務A,依據互斥事務概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)事務“打進的電話響4聲而不被接”是事務,“打進的電話在響5聲之前被接”的對立事務,記為A,依據對立事務的概率公式,得P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.實力提升練1.若A,B為互斥事務,則()A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1解析由已知中A,B為互斥事務,由互斥事務概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,當A,B為對立事務時,P(A)+P(B)=1.故選D.答案D2.拋擲一枚質地勻稱的骰子,向上的一面出現隨意一種點數的概率都是,記事務A為“向上的點數是奇數”,事務B為“向上的點數不超過3”,則概率P(A∪B)=()A. B. C. D.解析∵拋擲一枚質地勻稱的骰子,向上的一面出現隨意一種點數的概率都是,∴P(A)=,P(B)=,P(AB)=,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=.故選C.答案C3.(2024全國高一課時練習)在拋擲一枚骰子的試驗中,事務A表示“不大于4的偶數點出現”,事務B表示“小于5的點數出現”,則事務A+發生的概率為(表示B的對立事務).

解析由題意,可知拋擲一枚骰子樣本點的個數為6,則事務A表示“不大于4的偶數點出現”的概率為P(A)=,事務B表示“小于5的點數出現”的概率為P(B)=,則P()=.∵A與互斥,∴P(A+)=P(A)+P()=.答案4.某公務員去外地開會,他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別是0.3,0.2,0.1,0.4,求:(1)他乘火車或乘飛機去的概率;(2)他不乘輪船去的概率.解設他乘火車去開會為事務A,乘輪船去開會為事務B,乘汽車去開會為事務C,乘飛機去開會為事務D,它們彼此互斥,則P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4.(1)P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.(2)(方法一)設他不乘輪船去開會為事務E,則P(E)=P(A∪C∪D)=P(A)+P(C)+P(D)=0.3+0.1+0.4=0.8.(方法二)E與B是對立事務,則P(E)=1-P(B)=1-0.2=0.8.5.某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,支配一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據,如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值;(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市全部顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為一個容量為100的簡潔隨機樣本,顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計,其估計值為=1.9(分鐘).(2)記A為事務“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”,A1,A2分別表示事務“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”,“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”,將頻率視為概率,得P(A1)=,P(A2)=.P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1-.故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.素養培優練(2024江西高三月考)在明代珠算獨創之前,我們的先祖從春秋起先多是用算籌為工具來記數、列式和計算.算籌事實上是一根根相同長度的小木棍,如圖,是利用算籌表示數1~9的一種方法,例如:47可以表示為“”,已知用算籌表示一個不含“0”且沒有重復數字的三位數共有504種等可能的結果,則這個數至少要用8根小木棍的概率為()中國古代的算籌數碼A. B. C. D.解析至少要用8根小木棍的