高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市部分區2023-2024學年高一上學期期末聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，，，集合的關系是集合間的包含關系，用符號是錯誤的，故ABD錯誤，C正確.故選：C.2.已知全集，能表示集合，，關系的圖是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，因為，所以BA，B正確.故選：B.3.若命題：，，的否定為（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】該命題為全稱量詞命題，則命題的否定是否定結論，同時把全稱量詞改為存在量詞，所以命題的否定是，，.故選：D.4.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】要使函數有意義，則應有，解得且，所以函數的定義域為.故選：D.5.函數零點所在區間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，函數和都是減函數，所以函數在區間上單調遞減，，，因為，所以，又，，所以，又函數在上連續，根據零點存在性定理可得零點所在的區間為.故選：.6.是冪函數在上單調遞減的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要件【答案】C【解析】由冪函數在上單調遞減，得，解得，反之，，冪函數在上單調遞減，所以是冪函數在上單調遞減的充要條件.故選：C.7.已知，，，則，，大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為是減函數，所以，所以，因為是增函數，所以，所以，因為是增函數，所以，所以，所以.故選：A.8.當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，即，且，所以，當且僅當，即時等號成立，因為不等式恒成立，所以，即，解得，故的取值范圍為.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數中，既是偶函數又在區間單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】函數是非奇非偶函數，是上的奇函數，BD不是；顯然函數、都是R上的偶函數，在區間上都單調遞增，AC是.故選：AC.10.設，則下列命題錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】若，顯然，，但是和都不成立，因此選項都不對；若，顯然，但是不成立，因此選項C不正確；因為，所以，因此選項D正確.故選：ABC.11.如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系為（，且）.下列說法正確的是（）A.浮萍每月的增長率為2B.第6個月時，浮萍面積為C.浮萍每月增加的面積都相等D.若浮萍蔓延到所經過的時間分別是，則【答案】BD【解析】由圖可知，函數圖象經過，即，則，所以，所以不是常數，則浮藻每個月的面積是上個月的2倍，則每個月的增長率為，故A錯誤，C錯誤；當時，，故B正確；若藍藻面積蔓延到所經過的時間分別是，則，，，則，由指數函數的單調性知，故D正確.故選：BD.12.1837年，狄利克雷提出了函數的現代定義，即如果變量與變量相關，使得根據某個規則，每個值都對應唯一一個值，那么就是關于自變量的函數．并舉出了個著名的函數-狄利克雷函數：，下列說法正確的有（）A. B.的值域為C. D.【答案】AD【解析】當，此時，當，，此時，則，故A正確；對B，由題意可知，故B錯誤；對C，由題意可知均為有理數，所以，故C錯誤；對D，若，則，則，若，則，則，綜上可得：，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5共20分．13.若，則函數的最小值為__________.【答案】6【解析】因為，所以，所以，當且僅當即時等號成立.故答案為：6.14.已知是定義在上的奇函數，且當時，，則______.【答案】2【解析】因為當時，，所以，又因為是定義在上的奇函數，所以.故答案為：2.15.已知函數滿足：；當時，.則滿足這兩個條件的一個函數為______.【答案】（或者，答案不唯一）【解析】由，知滿足條件，又時，，可得，故滿足這兩個條件的一個函數為.故答案為：（或者，答案不唯一）.16.設函數，當時，的單調遞增區間為______，若且，使得成立，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】當時，，其圖象如下圖：由圖知，函數的單調遞增區間為；，其圖象關于對稱，顯然當時，由二次函數對稱知且，使得成立，符合題意；則時，當時，關于對稱的曲線為，聯立，得或（舍去），所以當時，滿足，即，符合題意；當時，曲線，與曲線無公共點，不符合題意；綜上，實數的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共有6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17計算：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）當時，所以，因為，所以，所以.（2）因為，所以，當時，符合題意，則，即，當時，則只需，解得，綜上可得實數的取值范圍為.19.已知關于的不等式.（1）若該不等式的解集為，求和的值；（2）若，求該不等式的解集.解：（1）因為不等式的解集為，所以二次方程的根為，由韋達定理可得，解得.（2）若，則不等式為，即，令，得，當，即時，；當，即時，無解；當，即時，，綜上：時，解集為；時，解集為；時，解集為.20.已知函數，且．（1）求實數的值；（2）判斷函數在上的單調性，并證明你的結論；（3）求函數在上的值域．解：（1）∵，且，，.（2）函數在上單調遞增，證明：任取，且，則∵，，即，∴函數在上單調遞增．（3）由（2）得在上單調遞增，∴在上單調遞增，又，∴在上的值域為．21.學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有60分鐘，現需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分）的函數關系．要求及圖示如下：①函數是區間上的增函數；③每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；④每天運動時間為20分鐘時，當天得分為2分；⑤每天運動時間為60分鐘時，當天得分不超過5分．現有以下三個函數模型供選擇：（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）．（1）請你根據條件及圖像從中選擇一個合適的函數模型，并求出函數的解析式；（2）求每天得分不少于3分，至少需要鍛煉多少分鐘．（注：，結果保留整數）．解：（1）由圖可知，該函數的增長速度較慢，對于模型（1），，為線性增長，不合題意；對于模型（2），是指數型的函數，其增長是先慢后爆炸型增長，不合適；對于模型（3），對數型的函數增長速度較慢，符合題意，故選項模型（3），此時，所求函數過點，則，解得，故所求函數為，經檢驗，當時，，符合題意，綜上所述，函數的解析式為.（2）由（1）得，因為每天得分不少于3分，所以，即，所以，即，所以每天得分不少于3分，至少需要鍛煉37分鐘.22.已知函數圖象經過點和點，.（1）求函數的解析式；（2）若關于的方程在區間上有實數根，求的取值范圍；（3）設，若對于任意，都有，求的取值范圍.解：（1）依題意可得，解得，所以.（2）因為關于的方程在