第八章非線性控制系統分析

8.1非線性控制系統概述

8.2相平面分析法

8.3描述函數法

小結習題8.1非線性控制系統概述

在構成系統的環節中有一個或一個以上的非線性特性時,即稱此系統為非線性系統。用線性方程組來描述系統,只不過是在一定的范圍內和一定的近似程度上對系統的性質所作的一種理想化的抽象。用線性方法研究控制系統,所得的結論往往是近似的,當控制系統中非線性因素較強時(稱為本質非線性),用線性方法得到的結論,必然誤差很大,甚至完全錯誤。非線性對象的運動規律要用非線性代數方程和(或)非線性微分方程描述,而不能用線性方程組描述。一般地,非線性系統的數學模型可以表示為(8.1)其中,f(·)和g(·)為非線性函數。8.1.1非線性特性的分類非線性特性種類很多,且對非線性系統尚不存在統一的分析方法,所以將非線性特性分類,然后根據各個非線性的類型進行分析得到具體的結論,才能用于實際。按非線性環節的物理性能及非線性特性的形狀劃分,非線性特性有死區特性、飽和特性、間隙特性和繼電器特性等,見圖8-1。圖8-1典型非線性特性

1.死區特性死區又稱不靈敏區,通常以閾值、分辨率等指標衡量。死區特性如圖8-1(a)所示。常見于測量、放大元件中,一般的機械系統、電機等,都不同程度地存在死區。其特點是當輸入信號在零值附近的某一小范圍之內時,沒有輸出。只有當輸入信號大于此范圍時,才有輸出。執行機構中的靜摩擦影響也可以用死區特性表示。控制系統中存在死區特性,將導致系統產生穩態誤差,其中測量元件的死區特性尤為明顯。摩擦死區特性可能造成系統的低速不均勻,甚至使隨動系統不能準確跟蹤目標。

2.飽和特性

飽和也是一種常見的非線性,在鐵磁元件及各種放大器中都存在,其特點是當輸入信號超過某一范圍后,輸出信號不再隨輸入信號變化而保持某一常值(參見圖8-1(b))。飽和特性將使系統在大信號作用之下的等效增益降低,深度飽和情況下,甚至使系統喪失閉環控制作用。還有些系統中有意地利用飽和特性作信號限幅,限制某些物理參量,保證系統安全合理地工作。

3.間隙特性間隙又稱回環。傳動機構的間隙是一種常見的回環非線性特性(參見圖8-1(c))。在齒輪傳動中,由于間隙存在,當主動齒輪方向改變時,從動輪保持原位不動,直到間隙消除后才改變轉動方向。鐵磁元件中的磁滯現象也是一種回環特性。間隙特性對系統影響較為復雜,一般來說,它將使系統穩態誤差增大，頻率響應的相位遲后也增大,從而使系統動態性能惡化。采用雙片彈性齒輪(無隙齒輪)可消除間隙對系統的不利影響。

4.繼電器特性由于繼電器吸合電壓與釋放電壓不等,使其特性中包含了死區、回環及飽和特性(參見圖8-1(d))。當a＝0時的特性稱為理想繼電器特性。繼電器的切換特性使用得當可改善系統的性能。如從非線性環節的輸出與輸入之間存在的函數關系劃分,非線性特性又可分為單值函數非線性與多值函數非線性兩類。例如死區特性、飽和特性及理想繼電器特性都屬于輸出與輸入間為單值函數關系的非線性特性。間隙特性和繼電器特性則屬于輸出與輸入之間為多值函數關系的非線性特性。8.1.2非線性系統的特征

1.穩定性分析復雜按照平衡狀態的定義,在無外作用且系統輸出的各階導數等于零時,系統處于平衡狀態。顯然,對于線性系統只有一個平衡狀態c＝0,線性系統的穩定性即為該平衡狀態的穩定性,而且取決于系統本身的結構和參數,與外作用和初始條件無關。而非線性系統可能存在多個平衡狀態,各平衡狀態可能是穩定的也可能是不穩定的。非線性系統的穩定性不僅與系統的結構和參數有關,也與初始條件以及系統的輸入信號的類型和幅值有關。2.可能存在自持振蕩現象所謂自持振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時,系統內部產生的具有固定振幅和頻率的穩定周期運動。線性系統的運動狀態只有收斂和發散,只有在臨界穩定的情況下才能產生周期運動,但由于環境或裝置老化等不可避免的因素存在,使這種臨界振蕩只可能是暫時的。而非線性系統則不同,即使無外加信號,系統也可能產生一定幅度和頻率的持續性振蕩,這是非線性系統所特有的。必須指出,長時間大幅度的振蕩會造成機械磨損,增加控制誤差,因此許多情況下不希望自持振蕩發生。但在控制中通過引入高頻小幅度的顫振,可克服間歇、死區等非線性因素的不良影響。而在振動試驗中,還必須使系統產生穩定的周期運動。因此研究自持振蕩的產生條件與抑制,確定其頻率與幅度,是非線性系統分析的重要內容。

3.頻率響應發生畸變穩定的線性系統的頻率響應,即正弦信號作用下的穩態輸出量是與輸入同頻率的正弦信號,其幅值A和相位φ為輸入正弦信號頻率ω的函數。而非線性系統的頻率響應除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量(基波分量)外,還含有關于ω的高次諧波分量,使輸出波形發生非線性畸變。若系統含有多值非線性環節,輸出的各次諧波分量的幅值還可能發生躍變。8.1.3非線性系統的分析與設計方法系統分析和設計的目的是通過求取系統的運動形式,以解決穩定性問題為中心,對系統實施有效的控制。由于非線性系統形式多樣,受數學工具限制,一般情況下難以求得非線性方程的解析解,只能采用工程上適用的近似方法。在實際工程問題中,如果不需精確求解輸出函數,往往把分析的重點放在以下三個方面:某一平衡點是否穩定,如果不穩定應如何校正;系統中是否會產生自持振蕩,如何確定其周期和振幅;如何利用或消除自持振蕩以獲得需要的性能指標。比較基本的非線性系統的研究方法有如下幾種:

1.小范圍線性近似法這是一種在平衡點的近似線性化方法,通過在平衡點附近泰勒展開,可將一個非線性微分方程化為線性微分方程,然后按線性系統的理論進行處理。該方法局限于小區域研究。

2.逐段線性近似法將非線性系統近似為幾個線性區域,每個區域用相應的線性微分方程描述,將各段的解合在一起即可得到系統的全解。

3.相平面法相平面法是非線性系統的圖解法,由于平面在幾何上是二維的,因此只適用于階數最高為二階的系統。

4.描述函數法描述函數法是非線性系統的頻域法,適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統。

5.李雅普諾夫法李雅普諾夫法是根據廣義能量概念確定非線性系統穩定性的方法,原則上適用于所有非線性系統,但對于很多系統,尋找李雅普諾夫函數相當困難。

6.計算機仿真利用計算機模擬,可以滿意地解決實際工程中相當多的非線性系統問題。這是研究非線性系統的一種非常有效的方法,但它只能給出數值解,無法得到解析解,因此缺乏對一般非線性系統的指導意義。8.2相平面分析法

相平面法是求解一階或二階線性或非線性系統的一種圖解方法。它可以給出某一平衡狀態穩定性的信息和系統運動的直觀圖像。它可以看作狀態空間法在一階和二階情況下的應用。所以,它屬于時間域的分析方法。設二階線性系統如圖8-2(a)所示。設輸入r為常數,誤差e為變量,可以列寫微分方程:(8.2)取狀態變量x1=e,x2=e,可列寫狀態方程:.(8.3)給定初始條件x1(0)=e(0),x2(0)=e(0),就可以確定解e(t)和e(t)。圖8-2(b)和(c)分別表示當系統平衡狀態在原點x1＝x2＝0,而輸入為單位階躍函數,即e(0)=1、e(0)=0時,上述狀態方程的解e(t)和e(t)。....圖8-2二階線性系統及其狀態圖和相平面圖用MATLAB繪制圖8-2(b)、(c)和(d)的參考程序如下：

sys=tf(［110］,［111］)subplot(2,1,1);［x,t］=step(sys);plot(t,x)subplot(2,1,2);［xx,t］=impulse(sys);plot(t,xx)

figuret=0∶0.1∶50

x1=step(sys,t)x2=impulse(sys,t)a=［111］

n=length(a)-1p=roots(a)v=rot90(vander(p))

y0=［00］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2)hnd=plot(x1+y1′,x2+y2′)set(hnd,′linewidth′,1.3)holdony0=［0.51］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)y0=［0.20.8］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)y0=［-0.5-1］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)y0=［-0.8-1］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)一般的二階系統均可以表示為上式可改寫為取x為相平面圖的橫坐標,x為縱坐標,則是相軌跡的斜率,相軌跡上任何一點都滿足這個方程。該方程的解 表示相軌跡曲線方程。相平面法的主要工作是作相軌跡,有了相平面圖,系統的性能也就表示出來了。.(8.4)(8.5)8.2.1相平面圖的繪制方法

1.解析法解析法適用于由較簡單的微分方程描述的系統。

【例8-1】

單位質量的自由落體運動。

解以地面為參考零點,向上為正,則當忽略大氣影響時,單位質量的自由落體運動為由式(8.5)得所以積分得作相平面圖,如圖8-3所示。圖8-3單位質量自由落體相平面圖

由分析可知,其相平面圖為一簇拋物線。在上半平面,由于速度為正,所以位移增大,箭頭向右;在下半平面,由于速度為負,所以位移減小,箭頭向左。設質量體從地面往上拋,此時位移量x為零,而速度量為正,設該初始點為A點,該質量體將沿由A點開始的相軌跡運動,隨著質量體的高度增大,速度越來越小,到達B點時質量體達最高點,而速度為零,然后又沿BC曲線自由落體下降,直至到達地面C點,此時位移量為零,而速度為負的最大值。如果初始點不同,質量體將沿不同的曲線運動。如設圖中的D點為初始點,表示質量體從高度為D的地方放開,質量體將沿DE曲線自由落體下降到地面E點。【例8-2】

二階系統的微分方程為試繪制系統的相平面圖。

解根據式(8.5),上述微分方程可以改寫為用分離變量法對x和x分別積分,得.記等式右端由初始條件決定的非負的量為(ωA)2,得相軌跡方程如下:這是以原點為中心的橢圓或圓簇的方程,相軌跡如圖8-4所示。可見,該系統為自持振蕩,初始條件不同,橢圓的大小也隨之變化,中間的一個橢圓是初始條件為(1,0)的相軌跡。由以上兩例,可看到相平面圖的一些性質:(1)當選擇取x作為橫坐標,x作為縱坐標時,則在上半平面(x＞0),系統狀態沿相軌跡曲線運動的方向是x增大的方向,即向右移動;類似地,在下半平面,相軌跡向左移動。..圖8-4二階系統相軌跡(2)相軌跡的斜率由式(8.5)表示。相平面上的一個點(x,x])只要不同時滿足x=0和f(x,x)=0,則該點相軌跡的斜率就由式(8.5)唯一確定。也就是說,通過該點的相軌跡只有一條,各條相軌跡曲線不會在該點相交。同時滿足x=0和f(x,x)=0的點稱為奇點。該點相軌跡的斜率是0/0型,是不定的。通過該點的相軌跡可能不止一條,且彼此斜率也不相同,即相軌跡曲線簇在該點發生相交。

(3)自持振蕩的相軌跡是封閉曲線。....(4)在相軌跡通過x軸的點,相軌跡通常與x軸垂直相交。因為在x軸的點,x=0,除去f(x,x)=0的奇點外,在這些點相軌跡的斜率為dx/dx=∞,即相軌跡與x軸垂直相交。在作相軌跡時,考慮對稱性往往能使作圖簡化。如果關于x軸對稱的兩個點(x,x)和(x,-x),滿足.....即f(x,x)是x的奇函數,則相軌跡關于x軸對稱。..如果關于軸對稱的兩個點(x,x)和(-x,x),滿足..即f(x,x)是x的偶函數,則相軌跡關于x軸對稱。如果關于原點對稱的兩個點(x,x)和(-x,-x),滿足....則相軌跡關于原點對稱。

能用解析法作相平面圖的系統只局限于比較簡單的系統,對于大多數非線性系統很難用解析法求出解。從另一角度考慮,如果能夠求出系統的解析解,系統的運動特性也已經清楚了,也就不必要用相平面法分析系統了。因此,對于分析非線性系統更實用的是圖解法,我們介紹的是等傾線法。

2.等傾線法

我們知道,平面上任一光滑的曲線都可以由一系列短的折線近似代替。等傾線是指相平面上相軌跡斜率相等的諸點的連線。設斜率為k,則由式(8.5)得

即(8.6)圖8-5等傾線【例8-3】

繪制下列系統的相軌跡。解系統方程可以改寫為令相軌跡斜率為k,代入上式得到相軌跡的等傾線方程

可見,等傾線是通過原點的直線簇,等傾線的斜率等于-ω2/(2ζω+k),而k則是在相軌跡通過等傾線處的斜率。設系統參數ζ＝0.5,ω＝1。求得對應于不同k值的等傾線,如圖8-6所示。用MATLAB繪制圖8-6的程序如下：

k=-1.2;x1=-5∶0.1∶10;x2=-x1/(1+k)plot(x1,x2)圖8-6等傾線法繪制的二階系統相軌跡

初始點為A的相軌跡可以按下述方法給出。在k＝－1和k＝－1.2的兩等傾線之間繪制相軌跡時,一條短線段近似替代相軌跡曲線,其斜率取為起始等傾線的斜率,即－1(如果稍微精確一點,可取兩等傾線斜率的平均數,即－1.1)。此短線段交k＝－1.2的等傾線于B點,近似認為此短線段AB是相軌跡的一部分。同樣,從B點出發,在k＝－1.2和k＝－1.4的兩等傾線之間繪制斜率為－1.2的短線段,它交k＝－1.4的等傾線于C點,近似認為此短線段BC是相軌跡的一部分。重復上述作圖方法,依次求得折線ABCDE…直至原點。就用這條折線作為由初始點A出發的相軌跡曲線。

上述作圖方法,由于近似和作圖誤差,以及誤差的逐步累積,因此結果可能誤差較大。一般來說,精確度取決于等傾線的密度和相軌跡本身斜率變化的快慢。等傾線愈密,相鄰等傾線的k值之差愈小,取短線段斜率引入的誤差愈小,但作圖的步驟增多,引入的累積作圖誤差增大,且作圖的工作量增大。因此,等傾線的密度要適當,一般每隔5°～10°畫一條等傾線為宜。為提高作圖精度,可采用平均斜率法,即取兩條相鄰等傾線所對應的斜率的平均值作為短線段的斜率。對線性二階系統,等傾線是一些直線。但一般來說,非線性系統的等傾線則是曲線或折線。【例8-4】繪制下列系統的相軌跡。解系統方程可以改寫為則k=-0.2(x2-1)-x/x。相軌跡的等傾線方程為.(8.7)當短線段的傾角為0°時,其斜率k＝0,式(8.7)成為該式表示的曲線上的每一點斜率均為0。當短線段的傾角為45°時,其斜率k＝1,式(8.7)成為該式表示的曲線上的每一點斜率均為1。如此可以作出其它斜率的等傾線,由等傾線方程可知,該系統的等傾線是曲線而非直線。這樣就可以作出如圖8-7所示的斜率的分布場,分別以A點(1.6,2)和B點(1.5,0.5)為初始點,繪制兩條相軌跡如圖8-7實線所示。圖8-7等傾線法繪制的非線性系統相軌跡用MATLAB繪制圖8-7的參考程序如下：

x1=-5∶0.1∶5k=0x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,′k′)holdonx1=-2∶0.1∶2k=-1x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,′k′)x1=-5∶0.1∶5k=1x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,′k′)hnd=line(［0,0］,［-5,10］)set(hnd,′color′,′black′)hnd=line(［-5,5］,［0,0］)set(hnd,′color′,′black′)axis(［-5,5,-5,5］)

［t,x］=ode45(@figure-8-7,［0,12］,［1.50.5］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′)set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure-8-7,［0,12］,［1.62］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′)set(hnd,′linewidth′,1.5)functionxdot=figure-8-7(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=0.2*x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)xdot(1)=x(2)8.2.2奇點和極限環前已提到,同時滿足x=0和f(x,x)=0的點稱為奇點。由定義可知,奇點一定位于相平面的橫軸上,在奇點處,系統的速度和加速度(x=-f(x,x))均為0。對于二階系統來說,系統不再發生運動,處于平衡狀態,故奇點亦稱為平衡點。首先研究線性系統的奇點。二階線性系統的系統方程為....(8.8)即則圖8-8二階線性系統的不同奇點圖8-8二階線性系統的不同奇點圖8-8二階線性系統的不同奇點

當阻尼比0＜ζ＜1時,系統有一對負實部的共軛復根,系統穩定,其相軌跡呈螺旋線型,軌跡簇收斂于奇點,這種奇點稱為穩定焦點。當阻尼比－1＜ζ＜0時,系統有一對正實部的共軛復根,系統不穩定,其相軌跡也呈螺旋線型,但軌跡簇發散至無窮,這種奇點稱為不穩定焦點。當阻尼比ζ＞1時,系統有兩個負實根,系統穩定,相平面內的相軌跡簇無振蕩地收斂于奇點,這種奇點稱為穩定節點。當阻尼比ζ＜－1時,系統有兩個正實根,系統不穩定,相平面內的相軌跡簇直接從奇點發散出來,這種奇點稱為不穩定節點。當阻尼比ζ＝0時,系統有一對共軛虛根,系統等幅振蕩,其相軌跡為一簇圍繞奇點的封閉曲線,這種奇點稱為中心點。如果二階線性系統的項和x項異號,即則系統有一個正實根,有一個負實根,系統是不穩定的,其相軌跡呈鞍形,中心是奇點,這種奇點稱為鞍點。

綜上所述,對應不同的阻尼比ζ,系統的兩個特征根在復平面上的分布也不同,系統的運動以及相平面圖也不同,換言之,特征根在復平面的位置決定了奇點的性質。二階線性系統的相軌跡和奇點的性質,由系統本身的結構與參量決定,而與初始狀態無關。不同的初始狀態只能在相平面上形成一組幾何形狀相似的相軌跡,而不能改變相軌跡的性質。由于相軌跡的性質與系統的初始狀態無關,相平面中局部范圍內相軌跡的性質就有決定性意義,從局部范圍內相軌跡的性質可以推知全局。

在非線性系統中,穩定性分析是針對奇點而言的,在分析中特別關心的是奇點的穩定性和奇點附近的運動,相平面法的任務之一就是分析奇點附近運動的特性。對于非線性系統,可以用小范圍線性化方法求出其在平衡點附近的線性化方程,然后再去分析系統的相軌跡和奇點的情況。設原點是平衡點,即f(0,0)＝0,則原點也是奇點。又設f(x,x)在原點附近是x和x的解析函數,則可以在原點附近展成泰勒級數:..其中，g(x,x)是不低于二階的各項。注意到在原點附近x和x都很小,因此可以略去g(x,x)。代入式(8.4),得...它對應于二階線性微分方程式(8.8)。

另外,對于線性系統來說,奇點的類別完全確定了系統運動的性質。而對于非線性系統來說,奇點的類別只能確定系統在平衡狀態附近的行為,而不能確定整個相平面上的運動狀態。所以還要研究離平衡狀態較遠處的相平面圖。其中極限環具有特別重要的意義。相平面上如果存在一條孤立的相軌跡,而且它附近的其他相軌跡都無限地趨向或者離開這條封閉的相軌跡,則這條封閉相軌跡為極限環。極限環本身作為一條相軌跡來說,既不存在平衡點,也不趨向無窮遠,而是一個封閉的環圈,它把相平面分隔成內部平面和外部平面兩個部分。任何一條相軌跡都不能從內部平面穿過極限環而進入外部平面,也不能從外部平面穿過極限環而進入內部平面。

根據極限環鄰近相軌跡的運動特點,可將極限環分為三種類型:(1)穩定的極限環。如果起始于極限環鄰近范圍的內部或外部的相軌跡最終均卷向極限環,則該極限環稱為穩定的極限環,其內部及外部的相軌跡均為極限環的穩定區域。穩定的極限環對狀態微小的擾動具有穩定性。系統沿極限環的運動表現為自持振蕩。例8-4系統的相軌跡就是穩定的極限環。(2)不穩定的極限環。如果起始于極限環鄰近范圍的內部或外部的相軌跡最終均卷離極限環,則該極限環稱為不穩定極限環。不穩定的極限所表示的周期運動是不穩定的。因為即使系統狀態沿極限環運動,但狀態的微小擾動都將使系統的運動偏離該閉合曲線,并將永遠回不到閉合曲線。不穩定極限環的鄰近范圍其內部及外部均為該極限環的不穩定區域。(3)半穩定的極限環。如果起始于極限環鄰近范圍的內部相軌跡均卷向極限環,外部相軌跡均卷離極限環;或者內部相軌跡均卷離極限環,外部相軌跡均卷向極限環,則這種極限環稱為半穩定極限環。對于半穩定極限環,相軌跡均卷向極限環的內部或外部鄰域稱為該極限環的穩定區域,相軌跡均卷離極限環的內部或外部鄰域稱為該極限環的不穩定區域。同樣，半穩定極限環儀表的等幅振蕩也是一種不穩定的運動。因為即使系統狀態沿極限環運動,但狀態的微小擾動都將使系統的運動偏離該閉合曲線,并將永遠回不到閉合曲線。【例8-5】

已知非線性系統的微分方程為試求系統的奇點,并繪制系統的相平面圖。解系統方程可以改寫為令dx/dx=0,求得系統的兩個奇點(0,0),(-2,0)。.在(0,0)點附近,因為|x|和|x|很小,系統的微分方程可以近似為.特征根為－0.25±j1.39,故奇點(0,0)為穩定焦點。在(-2,0)點附近,令x*=x+2,則系統方程為因為|x*|和|x*|很小,所以系統可以近似為.特征根為1.19和－1.69,故奇點(-2,0)為鞍點。圖8-9非線性系統的相平面圖用MATLAB繪制圖8-9的參考程序如下：［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,1.5］,［46］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′)set(hnd,′linewidth′,1.5)holdon

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,1.8］,［36］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,2.3］,［26］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,6］,［-3.66］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,40］,［-34］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,40］,［-32］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,3.9］,［-3.954］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,1.0］,［-4.53］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,0.7］,［-66］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)hnd=line(［0,0］,［-10,6］);set(hnd,′color′,′black′)hnd=line(［-8,6］,［0,0］);set(hnd,′color′,′black′)functionxdot=figure_8_9(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=-0.5*x(2)-2*x(1)-x(1)^2xdot(1)=x(2)8.2.3從相軌跡求時間信息相軌跡是消去時間后畫出的,盡管它直觀地給出了系統狀態的運動軌跡,但卻將時間信息隱含其中,使時間信息變得不直觀了。有時我們希望給出時間響應以便得到與時間有關的性能指標,這就需通過相軌跡求出時間信息。我們可通過以下方法求出時間信息。因為x=dx/dt,所以.(8.9)通過積分可得(8.10)

當然,對于無解析解的情況,式(8.9)也可以通過選取合理的增量,變成下式求出時間:(8.11)式中,為對應Δx范圍內的x平均值。.8.2.4非線性系統的相平面分析【例8-6】

機械系統中的庫侖摩擦力。對于如圖8-10所示的機械系統,分析其運動特性,其中物體m受到彈簧力和庫侖摩擦力。

解系統可表示為即積分并整理得其中,C為積分常數。圖8-10機械系統

由此可見,當x＞0時,系統相軌跡是中心在(-F/k,0)的一簇橢圓;而當x＜0時,其相軌跡是中心在(F/k,0)的一簇橢圓(見圖8-11)。由圖可見,當物體沿相軌跡運動到x軸的(-F/k,0)和(F/k,0)之間時將停止運動,這是庫侖摩擦力造成的運動死區。x軸從(-F/k,0)到(F/k,0)的部分為奇點。若初始點為A點,則相軌跡為ABC,終止于C點。..圖8-11機械系統的相軌跡

許多與信號有關的非線性控制系統由分區線性系統構成。所以對這類非線性系統可以按照非線性特性將相平面劃分為幾個區域,每個區域對應一個線性系統。分析每一個線性系統奇點的性質,并結合某種作圖方法就可以繪制出該區域內的相軌跡。線性系統的奇點如果在線性系統對應的區域內,就稱為實奇點,否則稱為虛奇點。因為虛奇點對應的運動方程不適用于該虛奇點所在的區域,所以即使虛奇點是穩定的,運動也無法到達該虛奇點。【例8-7】

分段線性的角度隨動系統。圖8-12(a)所示的是某角度隨動系統的方塊圖,其中執行電機近似為一階慣性環節,增益K1(e)是隨信號大小變化的,大信號時的增益為1,小信號時的增益為k(k＜1),其特性如圖8-12(b)所示。分析輸入為階躍信號和斜坡信號時的系統運動情況。

解線性部分的系統方程為由圖8-12(a)可得所以微分方程為由圖8-12(b)可得非線性特性的表達式為由于e和m的關系分為3個線性段,在|e|＞e0時斜率均為1,在|e|＜e0時斜率均為k＜1,所以盡管在相平面上有3個區域(記為Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ),但系統只有兩個不同的微分方程。假設系統原來處于靜止狀態,便可令 。圖8-12分段線性的角度隨動系統(1)階躍輸入r(t)＝1(t)的情形。由于 ,故有(區域Ⅰ和Ⅲ)(區域Ⅱ)(8.12)(8.13)奇點為e=0,e=0,即原點。所以對區域Ⅱ,它是實奇點;對區域Ⅰ和Ⅲ,它是虛奇點。通過選K和T值,使1－4kKT＞0,且使1－4KT＜0。不妨設T＝1,K＝4,k＝0.062,e0＝0.2。輸入較大時,如|e|＞e0,運動方程為式(8.12),1－4KT＜0,為欠阻尼,所以原點是穩定焦點;輸入較小時,如|e|＜e0,運動方程為式(8.13),1－4kKT＞0,為過阻尼,故原點是穩定節點。其相軌跡如圖8-13所示。.圖8-13系統在階躍輸入下的相軌跡

由A點出發的運動以原點為穩定焦點,但到達邊界的B點后,原點又變成了穩定節點。CD段的運動方程又變為式(8.12)。如此每經過邊界時,都改變運動的性質,只有最后進入區域Ⅱ,沿DO段漸近收斂到原點。在這種情況下,調節過程可以加快。因為誤差信號較大時,系統為欠阻尼,運動速度較快,所以使誤差很快變小;而誤差變小后,系統為過阻尼,可以避免振蕩。(2)斜坡輸入r(t)＝R＋Vt的情形。由于r=V,r=0,故有...(區域Ⅰ和Ⅲ)(區域Ⅱ)(8.14)(8.15)

在區域Ⅱ,奇點為e=V/(kK),e=0,記P2＝V/(kK)。在區域Ⅰ和Ⅲ,奇點為e=V/(K),e=0,記P1＝V/(K)。顯然,P2

＞P1。參數設置同上,則1－4kKT＞0,且1－4KT＜0。則e軸上的P2點是穩定節點,P1點是穩定焦點。但它們的位置將與參數設定有關。下面分3種情況討論：..①V＜kKe0。這時P2＝V/(kK)＜e0,所以是實奇點;P1＝V/(K)＜ke0＜e0,所以是虛奇點。設r(t)＝0.3＋0.04t,則又V＝0.04,所以P2＝V/(kK)＝0.16,P1＝V/(K)＝0.01。其相軌跡如圖8-14所示。運動在到達邊界進入區域Ⅱ后改變性質,P2代表穩定的實節點,所以運動收斂到P2,因此穩態誤差ess=P2

。圖8-14系統在斜坡輸入①下的相軌跡②kKe0＜V＜Ke0

。這時P2＝V/(kK)＞e0,所以是虛奇點;P1＝V/(K)＜e0,也是虛奇點。設r(t)＝0.4t,則又V＝0.4,所以P2＝V/(kK)＝1.6,P1＝V/(K)＝0.1。其相軌跡如圖8-15所示。因為兩個奇點都是虛奇點,運動無法收斂到任何奇點,每到達邊界便改變運動方程,最后將終止在邊界處,因此穩態誤差ess=e0。圖8-15系統在斜坡輸入②下的相軌跡③V＞Ke0

。這時P2＝V/(kK)＞V/K＞e0

是虛奇點;P1＝V/(K)＞e0是實奇點。設r(t)＝1.2t,則e(0)=r(0)-c(0)=0,e(0)=r(0)-c(0)=1.2又V＝1.2,所以P2＝V/(kK)＝4.8,P1＝V/(K)＝0.3。其相軌跡如圖8-16所示。初始點A在區域Ⅱ內,所以系統遵循式(8.15)向P2穩定節點運動,而一旦運動到邊界,進入區域Ⅲ后,系統便遵循式(8.14)向P1穩定焦點運動,如此在e0=0.2線兩邊穿越,直至收斂到PP1點,因此穩態誤差ess=P1

。...圖8-16系統在斜坡輸入③下的相軌跡8.3描述函數法8.3.1定義對于線性系統,當輸入是正弦信號時,輸出穩定后是相同頻率的正弦信號,其幅值和相位隨著頻率的變化而變化,這就是利用頻率特性分析系統的頻域法的基礎。對于非線性系統,當輸入是正弦信號時,輸出穩定后通常不是正弦的,而是與輸入同頻率的周期非正弦信號,它可以分解成一系列正弦波的疊加,其基波頻率與輸入正弦信號的頻率相同。設非線性環節的正弦輸入為x(t)=Xsinωt,則輸出為(8.16)式中,(8.17)(8.18)令式(8.17)～(8.20)中,n＝1,2,…。

由于系統通常具有低通濾波特性,其他諧波各項比基波小,所以可以用基波分量近似系統的輸出。假定非線性環節關于原點對稱,則輸出的直流分量等于零,即A0＝0,則

y(t)=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin(ωt+φ1)(8.21)定義非線性環節的描述函數為非線性環節輸出的基波與輸入信號二者的復數符號的比值,即(8.22)式中,N為描述函數,X是正弦輸入信號的幅值,Y1是輸出信號基波的幅值,φ1為輸出信號基波與輸入信號的相位差。

如果非線性環節中不包含儲能機構(即非記憶),即N的特性可以用代數方程(而不是微分方程)描述,則y(t)與頻率無關。描述函數只是輸入信號幅值X的函數,即N＝N(X),而與ω無關。8.3.2典型非線性環節的描述函數

1.飽和特性

若非線性環節具有飽和特性(如圖8-17(a)所示),則

(1)當輸入為正弦信號時,其輸出波形如圖8-17(b)所示。根據輸出波形,飽和非線性環節的輸出由下式表示:(ωt＜β)(β＜ωt＜π-β)(π-β＜ωt＜π)(8.23)由式(8.17)和式(8.18)可求得因代入上式有則(8.24)

當輸入X幅值較小,不超出線性區時,該環節是個比例系數為k的比例環節,所以飽和特性的描述函數為(X≤a)(X>a)由此可見,飽和特性的描述函數N與頻率無關,它僅僅是輸入信號振幅的函數。(8.25)圖8-17飽和特性及其正弦響應

2.死區特性

死區非線性環節的正弦輸入時的輸入輸出關系如圖8-18所示。輸出的時間函數表示為(ωt＜β)(β＜ωt<π-β)(π-β＜ωt＜π)(8.26)圖8-18死區特性及其正弦響應同樣,根據式(8.17)和式(8.18)可求得因代入上式有則當輸入X幅值小于死區a時,輸出為零,因而描述函數N也為零,故死區特性描述函數為(X＞a)(X≤a)可見,死區特性的描述函數N也與頻率無關,只是輸入信號振幅的函數。(8.27)3.繼電器特性圖8-19繼電器特性及其正弦響應輸出的時間函數表示為(ωt＜α)(α＜ωt＜π-β)(π-β＜ωt＜π)(8.28)因a=Xsinα,ma=Xsinβ,且X≥a。根據式(8.17)和式(8.18)可求得因此,繼電器特性的描述函數為(8.29)取a＝0,得理想繼電器特性的描述函數為(8.30)取m＝1,得死區繼電器特性的描述函數為取m＝－1,得滯環繼電器特性的描述函數為(8.32)4.間隙特性對于如圖8-20所示的間隙特性,其輸出的時間函數表示為(ωt＜π/2)(π/2＜ωt＜π-β)(π-β＜ωt＜π)式中,β=arcsin(1-2a/X)。圖8-20間隙特性及其正弦響應根據式(8.17)和式(8.18)可求得因此,間隙特性的描述函數為(X≥a)(8.34)8.3.3利用描述函數法分析非線性系統穩定性對于圖8-21所示的非線性系統,G(s)表示的是系統線性部分的傳遞函數,線性部分具有低通濾波特性,故其極點位于復平面的左半平面。N表示系統非線性部分的描述函數。當非線性環節的輸入為正弦信號時,實際輸出必定含有高次諧波分量,但經線性部分傳遞之后,由于低通濾波的作用,高次諧波分量將被大大削弱,因此閉環通道內近似地只有一次諧波分量,從而保證應用描述函數分析方法所得的結果比較準確。對于實際的非線性系統,大部分都容易滿足這一條件。線性部分的階次越高,低通濾波性能越好。圖8-21含非線性環節的閉環系統

線性系統的頻率特性反映正弦信號作用下,系統穩態輸出中與輸入同頻率的分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化,是輸入正弦信號頻率ω的函數;而非線性環節的描述函數則反映非線性系統正弦響應中一次諧波分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化,是輸入正弦信號幅值X的函數,這正是非線性環節的近似頻率特性與線性系統頻率特性的本質區別。對于圖8-21的系統,有其特征方程為1+NG(jω)=0(8.35)

當G(jω)=-1/N時,系統輸出將出現自持振蕩。這相當于在線性系統中,當開環頻率特性Go(jω)=-1時,系統將出現等幅振蕩,此時為臨界穩定的情況。上述-1/N即-1/N(X)稱為非線性環節的負倒描述函數,-1/N(X)曲線上箭頭表示隨X增大,-1/N(X)的變化方向。對于線性系統,我們已經知道可以用奈氏判據來判斷系統的穩定性。在非線性系統中運用奈氏判據時,(-1,j0)點擴展為-1/N曲線。例如,對于圖8-22(a),系統線性部分的頻率特性G(jω)沒有包圍非線性部分負倒描述函數-1/N的曲線,系統是穩定的;圖8-22(b)系統G(jω)軌跡包圍了-1/N的軌跡,系統不穩定;圖8-22(c)系統G(jω)軌跡與-1/N

軌跡相交,系統存在極限環。圖8-22非線性系統奈氏判據應用【例8-8】

已知非線性系統的結構圖如圖8-23所示,試分析系統的穩定性。圖8-23含飽和非線性的非線性系統解前面已推導出飽和非線性的描述函數為(X＞a)(X≤a)則當X≤a時,-1/N=-1/k;當X→∞時,-1/N=-∞。對于線性部分,當ω→0時,G(jω)=∞∠-90°;當ω→+∞時,G(jω)=0∠-270°。G(jω)奈氏曲線與負實軸有一交點,交點坐標為(-KT1T2/(T1+T2),j0),交點頻率為。本題飽和非線性描述函數的負倒特性曲線和線性部分頻率特性的奈氏曲線如圖8-24所示。圖8-24穩定極限環

當線性部分放大倍數K充分大,使得KT1T2/(T1+T2)＞1/k時,G(jω)與-1/N曲線相交,產生極限環。當擾動使得幅值X變大時,-1/N上該點A移到交點左側B點,使得G(jω)曲線不包圍B點,系統穩定,于是其幅值逐漸變小,又回到交點A。當擾動使得幅值X變小時,A點移到交點右側C點,使得G(jω)曲線包圍C點,系統不穩定,于是其幅值逐漸變大,同樣回到交點A。因此,該極限環為穩定極限環,其極限環的頻率等于A點的頻率 ,其極限環的幅值對應-1/N

的A點的幅值。

無論是穩定極限環,還是不穩定極限環,都是系統所不希望的。對于上述系統,只要使線性部分放大倍數K小到使KT1T2/(T1+T2)＜1/k,則系統的G(jω)與-1/N沒有交點,就不會產生極限環。【例8-9】

已知非線性系統的G(jω)曲線與-1/N曲線如圖8-25所示,試分析其穩定性。圖8-25穩定極限環和不穩定極限環

解如果系統工作在A點,當遇到擾動使工作點運動到D點附近,由于G(jω)曲線沒有包圍該點,系統穩定,其幅值逐漸變小,越來越遠離A點;當擾動使工作點離開A點到C點附近,由于G(jω)曲線包圍了該點,系統不穩定,其幅值逐漸變大,同樣遠離A點,向B點的方向運動,因此A點是不穩定的極限環。如果系統工作在B點,當遇到擾動使工作點運動到E點附近,由于G(jω)曲線沒有包圍該點,系統穩定,其幅值變小,工作點又回到了B點;當擾動使工作點運動到F點附近,由于G(jω)曲線包圍了該點,系統不穩定,其幅值變大,同樣回到B點,因此B點是穩定的極限環。從以上例子可以歸納出用描述函數法分析系統穩定性的步驟:(1)將非線性系統化成如圖8-21所示的典型結構圖;(2)由定義求出非線性部分的描述函數N;(3)在復平面作出G(jω)和-1/N的軌跡;(4)判斷系統是否穩定,是否存在極限環;(5)如果系統存在極限環,進一步分析極限環的穩定性,確定它的頻率