高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市2025年1月普通高中學業水平合格性考試數學仿真模擬卷02一、填空題1．已知集合，則.【答案】【解析】因為，所以，故答案為：2．已知i為虛數單位，計算：．【答案】【解析】故答案為：3．已知向量，，則在方向上的數量投影是.【答案】【解析】由向量，，則，，又在方向上的數量投影為，故答案為：.4．若，則有最大值為．【答案】【解析】因為，顯然當時，取得最大值，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.5．表面積為的球的體積為.【答案】【解析】設球的半徑為，則，可得，故該球的體積為.故答案為：.6．在中，，，，則.【答案】【解析】在中，根據余弦定理可得：，設，則，整理可得，解得，故.故答案為：.7．如果100件產品中有3件次品，那么返回抽取的2件產品都是次品的概率是．【答案】【解析】由題意得每一次抽到次品的概率都為，所以返回抽取的2件產品都是次品的概率為.8．若，則．【答案】【解析】.9．上海申花隊一線隊員共26名球員，其年齡分布莖葉圖如圖所示：則申花隊球員年齡的第75百分位數是.【答案】【解析】，該國家隊球員年齡的第75百分位數為第20名球員的年齡為31歲．10．函數的零點是.【答案】【解析】令，得，即函數的零點是.11．如圖，正方體中，為的中點，為正方形的中心，則直線與側面所成角的正切值是.【答案】【解析】如圖所示，連接，在正方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，設正方體的棱長為，則，在直角中，.12．已知，則的解集為．【答案】【解析】函數的定義域為R，，則是R上的奇函數，函數在R上都單調遞減，則函數在R上單調遞減，不等式，因此，即，解得或，所以原不等式的解集為.二、單選題13．若，且滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，A選項錯誤；當，時，，，，B選項錯誤；∵且，∴，C選項正確；當時，，D選項正確.故選：C.14．已知、是平面向量的一組基底．則下列各組向量中，不能作為平面向量的一組基的是（

）A．、 B．、 C．、 D．、【答案】D【解析】A選項，、是平面向量的一組基底，故、為不共線的非零向量，設，故，無解，故、為不共線的非零向量，故可以作為一組基底，A錯誤；B選項，設，解得，無解，故、為不共線的非零向量，B錯誤；C選項，設，故，無解，故，為不共線的非零向量，C錯誤；D選項，，故、共線，故不能作為基底，D正確.故選：D15．已知為冪函數，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】因為是冪函數，所以，得，則，．故選：C16．從放有兩個紅球、一個白球的袋子中一次任意取出兩個球，兩個紅球分別標記為、，白球標記為，則它的一個樣本空間可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】從放有兩個紅球、一個白球的袋子中一次任意取出兩個球的所有可能結果為，所以它的一個樣本空間為.故選：B.17．下列函數中，既是奇函數又在區間上是嚴格減函數的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數的定義域為，不關于原點對稱，所以不是奇函數，故A錯誤；函數的定義域為，關于原點對稱，且，所以函數為奇函數，又恒成立，所以在上為減函數，故B正確；定義域為不關于原點對稱，所以不是奇函數，故C錯誤；由正弦函數的單調性可得在為增函數，又，所以在區間上是嚴格增函數，故D錯誤；故選：B.18．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，得，得，即方程的根為.故選：A.19．若與互為相反數，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】與互為相反數，則，即，則.故選：D.20．下列不等式中，解集為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，令，則，滿足，所以其解集不為，故A錯誤；對于B，令，則，滿足，所以其解集不為，故B錯誤；對于D，令，則，滿足，所以其解集不為，故D錯誤；對于C，由得，即，解得，故其解集為，故C正確.故選：C.21．已知、表示兩個不同的平面，是一條直線且，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由平面與平面垂直的判定定理知，為平面內的一條直線，如果，則，故充分性成立；反過來為平面內的一條直線，由可能有或或與相交（不垂直）三種情況，故必要性不成立．所以“”是“”的充分非必要條件．故選：A．22．為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓（單位：kPa）的分組區間為，.將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，下圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數是（

）.A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】由直方圖可得第一組與第二組的頻率之和為，第一組和第二組共有20人，所以樣本容量為，所以第三組的人數為人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組有療效的有12人.故選：B.23．函數與函數在同一平面直角坐標系中的圖像可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】A選項，由二次函數圖像可知：，由指數型函數圖像可知：，A選項錯誤； B選項，由二次函數圖像可知：，由指數型函數圖像可知：，B選項錯誤；C選項，由二次函數圖像可知：，由指數型函數圖像可知：，C選項正確；D選項，由二次函數圖像可知：，由指數型函數圖像可知：，D選項錯誤；故選：C.24．某公司引進新的生產設備投入生產，新設備生產的產品可獲得的總利潤（單位：百萬元）與新設備運行的時間（單位：年，）滿足，當新設備生產的產品可獲得的年平均利潤最大時，新設備運行的時間（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】依題意，設年平均利潤為，則（），當時，當且僅當，即時取等號；當時，則當時取得最大值且，又，所以當時年平均利潤取得最大值.故選：C25．設，將函數的圖像沿軸向右平移個單位，得到函數的圖像，則（

）A．函數是偶函數B．函數的圖像關于直線對稱C．函數在上是嚴格增函數D．函數在上的值域為【答案】D【解析】因為，將函數的圖像沿軸向右平移個單位得到，又，所以為奇函數，故A錯誤；因為，所以函數的圖像不關于直線對稱，故B錯誤；當時，因為在上單調遞減，所以函數在上是嚴格增減函數，故C錯誤；當時，所以，則，即函數在上的值域為，故D正確.故選：D26．已知是滿足下列條件的集合：①，；②若，，則；③若且，則.則下列說法正確的個數為（

）（1），（2），（3）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因為，，由②得，即，故，即，由③得，（1）正確；，，由②得，故，（2）正確；若，則，若，則，若且，因為，，由②得，由③得，，又，由②得，由③得，由②得，（3）正確.故選：D三、解答題27．如圖，在四面體中，，是的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小.解：（1）在四面體中，由，是的中點，得，而平面，所以平面.（2）由（1）知，是二面角的平面角，在等腰中，，，則，同理，而，因此是正三角形，，所以二面角的大小為.28．已知函數．（1）若，求函數f（x）的零點；（2）針對實數a的不同取值，討論函數f（x）的奇偶性．解：（1）根據題意，函數，則有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函數f（x）的定義域為[﹣1，1]，由，得，化簡得，即，則∈[﹣1，1]，所以，函數f（x）的零點為；（2）函數f（x）的定義域為[﹣