清單08數列求通項與求和（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】累加法（疊加法）若數列滿足，則稱數列為“變差數列”，求變差數列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。【清單02】累乘法（疊乘法）若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。【清單03】數列求通項（法）對于數列，前項和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關系；或與的關系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關系；或與的關系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側含有：作差法（類似）例子：已知求【清單04】構造法用“待定系數法”構造等比數列形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.【清單05】倒數法用“倒數變換法”構造等差數列類型1：形如（為常數，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構造法類型1：用“待定系數法”構造等比數列：形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式.）【清單06】裂項相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）2、無理型=1\*GB3①如：3、指數型①如：【考點題型一】累加法求通項核心方法：形如：【例1】（24-25高二上·山東·期中）在數列中，，則的通項公式為．【變式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若數列滿足，且（其中，），則的通項公式是．【考點題型二】累乘法求通項核心方法：形如：【例2】（2024·陜西西安·模擬預測）設數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；【變式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知數列數列滿足，，其中n∈N*．(1)求數列的通項公式；【考點題型三】已知與的關系；或與的關系核心方法：用，得到【例3】（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）已知數列的前項和為，且滿足.(1)求數列的通項公式；【變式3-1】（2024·廣東佛山·一模）已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；【考點題型四】已知與的關系；或與的關系核心方法：替換題目中的【例4】（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前n項和為，，且，求通項公式．【變式4-1】（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知數列中，，且，為數列的前項和，，數列bn是等比數列，，．(1)求數列和bn的通項公式；【考點題型五】已知等式中左側含有：核心方法：作差法（類似）【例5】（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）已知數列滿足：，數列bn滿足：.(1)求數列的前15項和；【變式5-1】（24-25高三上·重慶·期中）已知數列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【考點題型六】數列求通項之構造法（形如）【例6】（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）已知數列滿足，且，則.【變式6-1】（23-24高二上·江蘇鎮江·期中）在數列中，，則．【變式6-2】（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習）設數列滿足，．(1)求數列的通項公式；【考點題型七】數列求通項之構造法（形如）【例7】（2024高二·全國·專題練習）已知數列滿足，且，則數列的通項公式為．【變式7-1】（24-25高二上·江蘇鎮江·開學考試）數列滿足，則數列的通項公式為．【變式7-2】（2024高三·全國·專題練習）在數列中，已知，，求的通項公式．【考點題型八】數列求通項之倒數法（形如）【例8】（2024高二上·全國·專題練習）已知數列的首項，，，記，若，則正整數的最大值為.【變式8-1】（24-25高二上·全國·課后作業）已知數列的前項和為，若，且，則．【變式8-2】（2024高三·全國·專題練習）若數列{an}中，，則這個數列的【考點題型九】數列求和之倒序相加法【例9】（24-25高二上·上海·階段練習）已知函數，數列是正項等比數列，且，(1)計算的值；(2)用書本上推導等差數列前n項和的方法，求的值.【變式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知數列中，首項，，，則.【變式9-2】（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知函數，，則的對稱中心為；若（），則數列的通項公式為．【考點題型十】數列求和之分組求和法（形如）【例10】（2024·海南海口·模擬預測）記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【變式10-1】（2024·貴州銅仁·模擬預測）已知正項等差數列滿足：且，，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若數列bn滿足：，，求數列的前項和.【變式10-2】（24-25高三上·北京·階段練習）已知是各項均為正數的等比數列，，且，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．【考點題型十一】數列求和之分組求和法（形如）【例11】（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知數列的前項和為，等差數列bn的前項和為.(1)求和bn的通項公式;(2)設求數列的前項和.【變式11-1】.（24-25高三上·黑龍江大慶·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足.(1)求證:數列為等比數列;(2)已知，求數列的前2n項和.【變式11-2】（23-24高二下·黑龍江大慶·期末）記數列的前項和為，已知且．(1)求的通項公式；(2)記，求數列的前項和【考點題型十二】數列求和之列項相消法（形如）【例12】（24-25高二上·上海·期中）已知點是指數函數圖像上一點，等比數列的前項和為，數列的首項為，且數列bn的前項和Sn滿足.(1)求數列的通項公式；(2)求數列bn(3)若數列前項和為，問的最小正整數是多少？【變式12-1】（24-25高二上·福建莆田·階段練習）已知數列滿足：，且，等差數列的公差為正數，其前項和為，，且、、成等比數列．(1)求、、；(2)求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；(3)若，數列的前項和為，求證：．【變式12-2】（24-25高二上·甘肅白銀·期中）設數列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【考點題型十三】數列求和之列項相消法（形如）【例13】（2024高三·全國·專題練習）已知等差數列的前項和為，公差為，若為函數的兩個零點，且．(1)求數列的通項公式；(2)若求數列的前項和．【變式13-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設______，求數列的前n項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【考點題型十四】數列求和之列項相消法（形如）【例14】（24-25高三上·江西贛州·階段練習）已知數列的前項和為，，.(1)求數列的通項公式；(2)已知數列bn，，其前項和為，求使得對所有都成立的自然數的值.【變式14-1】（24-25高二上·山東青島·階段練習）已知數列的前項和為，，，且.(1)求的通項公式；(2)若，數列的前n項和為，證明：.【變式14-2】（2024·福建泉州·二模）已知數列和bn的各項均為正，且，bn是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．(1)求數列，bn的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【考點題型十五】數列求和之錯位相減法【例15】（2024·福建·三模）已知等差數列的前項和為，若，.(1)求數列的通項公式及前項和；(2)若，求數列的前項和.【變式15-1】（24-25高三上·江蘇蘇州·期中）已知數列是公差大于1的等差數列，，且，，成等比數列，若數列前項和為，并滿足，.(1)求數列，的通項公式.(2)若，求數列前項的和.【變式15-2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知數列滿足，且．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．【考點題型十六】數列求和之通項含絕對值求和【例16】（24-25高二上·福建寧德·階段練習）在等差數列中，的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)求的最大值；(3)設，求．【變式16-1】（23-24高二上·天津東麗·階段練習）在各項均為正數的等比數列中，，且成等差數列.(1)求等比數列的通項公式和前n項和；(2)若數列滿足，求數列的前項和的最大值.(3)求數列的前項和【變式16-2】（24-25高二上·江蘇鎮江·階段練習）已知等差數列的前項和為，且，(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列bn的前項和．【考點題型十七】數列中新定義題【例17】（2024高三·全國·專題練習）若數列滿足，則稱為“自然遞增數列”.(1)若，，試判斷：數列，是否為“自然遞增數列”？(2)若等差數列是“自然遞增數列”，且，求的公差的取值范圍.(3)若數列是“自然遞增數列”，共有5項，且，求所有滿足條件的數列中的概率.【變式17-1】（24-25高三上·山東青島·期中）已知數列為有窮數列，且，若數列滿足如下兩個性質，則稱數列為的增數列：①；②對于，使得的正整數對恰有個．(1)若等差數列1，3，5，7，9為的增數列，求的值；(2)若數列為的8增數列，求的最小值；(3)若存在60的增數列，求的最大值．【變式17-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若數列滿足為正整數，p為常數)，則稱數列為等方差數列，p為公方差.(1)已知數列，的通項公式分別為：，，判斷上述兩個數列是否為等方差數列，并說明理由；(2)若數列既是等方差數列，又是等差數列，證明：數列為常數列．(3)若數列是首項為1，公方差為2的等方差數列，在的條件下，在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前30項的和提升訓練一、單選題1．（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）已知數列滿足（），記數列前n項為，若對于任意，不等式恒成立，則實數k的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·山東青島·期中）已知數列滿足，且，則（

）A．1023 B．1124 C．2146 D．21453．（24-25高三上·山東濟寧·開學考試），利用課本中推導等差數列前項和的公式的方法，可求得（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·全國·課后作業）設數列的通項公式為，數列的前m項和，則m的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．205．（24-25高三上·山東泰安·期中）已知函數，其中，記，則（

）A． B． C． D．6．（2024·河北·模擬預測）已知函數滿足，且，設數列滿足，則數列的前n項和的表達式為（

）A． B．C． D．7．（2024高二·全國·專題練習）已知數列是等差數列，，，設為數列的前項和，則（

）A． B．C． D．8．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習）數列的前n項和為，且，，則數列的前n項和為（

）A． B．C． D．二、解答題9．（24-25高二上·江蘇·期中）已知數列的前項和為，且滿足．(1)求數列的通項公式．(2)已知，求數列的最大項，以及取得最大項時的值．(3)已知，求數列的前項和．10．（24-25高二上·山東青島