專題02一元二次方程的4種解法

考點1：直接開方法；考點2：配方法；考點3：公式法；考點4：因式分解法。

題型01直接開方法

1.方程（x+6）2-9=0的兩個根是（）

A.修=3,X2=9B.xi=-3,X2=9

C.修=3,X2=-9D.xi=-3,X2=-9

解:VG+6）2-9=0,

（x+6）2=9,

貝！Jx+6=±3,

??x1=-3,X2=-9,

答案：D.

2.向、X2是一元二次方程3（X-1）2=15的兩個解，且修＜%2，下列說法正確的是（）

A.修小于-1,%2大于3B.干小于-2,%2大于3

C.x\,在-1和3之間D.X1,%2都小于3

解：??"1、X2是一元二次方程3（X-1）2=15的兩個解，且修＜%2，

（X-1）2=5,

.'.X-1=+Vs，

.??％2=1+V^＞3,%i=l-V^V—1,

答案：A.

a_,、cb

3.（易錯題）右一兀二次方程辦2=6（口＞0）的兩根分別是加-1和2加+3,貝卜的值為（）

a

2525

A.16B.—C.25D.q-或25

解：,一元二次方程ax2=b的兩個根分別是m+1與2冽-13,

:.m-1+2加+3=0,

2

解得：m=

55

即方程的根是：％1=-1%2=1

答案：B.

4.關于x的一元二次方程N=Q的兩個根分別是2冽-1與加-5,則m=2.

解：根據題意得2m-1+m-5=0,

解得加=2,

答案：2.

5.關于x的方程⑵+5)2=加+1無實數解，則加的取值范圍-1.

解：???關于1的方程(21+5)2=加+1無實數解，

???加+1<0,

解得m<-1.

答案：加V-1.

6.對于解一元二次方程G+3)2=4,通過降次轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是1+3=2,則另

一個一元一次方程是x+3=-2?

解：(x+3)2=4,

???x+3=±2,

，x+3=2或x+3=-2,

答案：x+3=-2.

7.解方程：

(1)X2-81=0；

(2)4(x-1)2=9.

解：(1)/-81=0,

N=81,

.\x=±9,

=X2=-9；

(2)4(x-1)2=9,

3

.'.%-1=±5,

51

??.修=5，%2=-2?

題型02配方法

c3

8.一元二次方程廿->一了=0配方后可化為()

q

lc1r1

A.(>+,)2=1B.(j；--)2=1C.(y+5)

、3

解：y2-y-'T=0

q

23

r-y=4

c1

/~y+7=1

4,

1c

@-5)=i

答案：B.

9.將代數式/-10X+5配方后，發現它的最小值為()

A.-30B.-20C.-5D.0

解：x2-10x+5=/-10x+25-20=(x-5)2-20,

當x=5時，代數式的最小值為-20,

答案：B.

10.(易錯題)設°、6是兩個整數，若定義一種運算a/\b=a2+b2+ab,則方程(x+2)Ax=l的實數根是

()

A.X\=X2=1B.X]=0,%2=1C.X\=X2=-1D.%1=1,X2=~2

解:a/\b=a1+b1+ab,

(x+2)△%=(x+2)2+x2+x(x+2)=1,

整理得：/+21+1=0,即(x+i)2=0,

解得：X\—X2=~I.

答案：c.

11.把方程N-2=4x用配方法化為(%+加)2=〃的形式，則mn的值是-12

解：Vx2-2=4x,

.'.x2-4x=2,

丁?N-4X+4=2+4,

(x-2)2=6,

??Z77=~2,〃=6,

??iTin.~~~12,

答案：72

12.方程N-2x-1=0的解是磯=1+方\X2=\—y[i.

解:VX2-2X-1=0,

??N-2x--1,

.'?x2-2x+l=2,

(X-1)2=2,

.'.x=l±V2，

???原方程的解為：X1=1+VLX2=\-五.

答案：%1—1+V2?X2=l-五.

13.小明設計了一個魔術盒，當任意實數對(a,b)進入其中，會得到一個新的實數“2-26+3.若將實數G,-

2x)放入其中，得到-1,則〃=-2.

解：根據題意得/-2*(-2x)+3=-L

整理得/+以+4=0,

(x+2)2=0,

所以修=%2=-2.

答案：-2.

14.(易錯題)嘉淇同學用配方法推導一元二次方程辦2+及+。=0(QWO)的求根公式時，對于y-4加＞0的情況,

她是這樣做的：

由于aW0,方程ax2+bx+c=0變形為：

cbC

x2+=-7,…第一步

aa

cbb、cb

X2+-X+(-)2=~~+(-)2,…第二步

a2aa2a

bb2—4ac

(x+五)…第三步

b-\l/i2—A-nCc

X+^=~^—(bTae〉。),…第四步

—b+7b2-4ac

X=…第五步

2a

嘉淇的解法從第四步開始出現錯誤事實上，當y-4qc>0時，方程辦2+及+°=0gw。）的求根公式是」

_—b±yJb2—4ac

—2a-.

用配方法解方程：X2-2X-24=0.

開方應該是x+V=土旁為所以求根公式為：/但尹

解：在第四步中,

—b+y/b2—4ac

答案：四；x=

2a

用配方法解方程：x2-2x-24=0

解：移項，得

x2-2x=24,

配方，得

--2x+1—24+1,

即(x-1)2=25,

開方得x-1=+5,

??X]=6,X2=-4.

.2公式法

15.一元二次方程/+4%-8=0的解是（

A.修=2+,x?=2-B.x1—2+2^/2,?%2=2-2yp

C.x\=-2+2V2-，X2=一2-D.%i=-2+2V§"，％2=一2-2V3,

解：*.'?=1,6=4,c=-8,

AA=42-4X1X(-8)=48>0,

—b±Vb2-4ac_-4+4V3

貝!Jx==一2±2百,

2a2

?\xi=-2+2V3>工2=-2-2百'，

答案：D.

16.已知。是一元二次方程N-x-1=0較大的根，則下面對。的估計正確的是（）

A.0<a<lB.l<tz<1.5C.1.5<6Z<2D.2<a<3

解：解方程N-x-1=0得：x=

是方程/-X-1=0較大的根，

.1+V5

??4=,

V2<V5<3,

---3<1+V5<4,

.31+V55

1-2<-T-<2'

答案：C.

a_1+/q'

17.若實數a,b滿足層+。6-乂=0,貝峪=_--=~A■一

解：c^+ab-b2=0

/\—b2+4b2—5b2.

-b+V5b^-1±V5,

--------------=----------b

.￡-1±V5

"b=-2-

-1±V5

答案:

2

18.（易錯題）對任意的兩實數a,b,用加沅（a,b）表示其中較小的數，如min（2,-4)=4,則方程x?加山

(2,2x-1)=x+l的解是_x=或x=

解：①若2<2x-l,即x>1.5時,

x+1=2x,

解得2=1(舍)；

②若2x-1W2,即xW1.5時,

x(2x-1)=x+l,

解得x=或x=i=^

答案：X=---或］=---.

19.關于x的一元二次方程為（加-1）J-2加x+加+1=0.

（1）求出方程的根；

（2）機為何整數時，此方程的兩個根都為正整數？

解：（1）根據題意，得加W1.

a—m-1,b=-2m,c—m+\,

A=b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(加+1)=4,

2m+2m+1

則X產而K=一

%2=1；

m+12

⑵由⑴知,/=力=1+—'

:方程的兩個根都為正整數,

2

於是正整數,

:.m-1=1或加-1=2,

解得加=2或3.即加為2或3時，此方程的兩個根都為正整數.

Wt題型04因式分解法

20.方程x2-x=56的根是（）

A.修=7,%2=8B.%i=7,X2=-8

C.x\=-7,12=8D.xi=-7,X2=-8

解：Vx2-x=56,

Ax2-x-56=0,

則(x-8)(x+7)=0,

'.x-8=0或x+7=0,

解得xi=-7,刈=8,

答案：C.

21.一元二次方程x（x-2）=x-2的解是（)

A.%]=%2=0B.X\=X2=1C.xi=O,%2=2D.x1=l9%2=2

解：x(x-2)=x-2,

移項，得

x(x-2)-(x-2)=0,

提公因式，得

(x-2)(x-1)=0,

.'.x-2=0或x-1=0,

解得％1=2,%2=1?

答案：D.

22.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程/-7%+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是(

A.12B.9C.13D.12或9

解：7/10=0,

(x-2)(x-5)=0,

x-2=0,x-5=0,

x1=2,%2=5，

①等腰三角形的三邊是2,2,5

V2+2<5,

...不符合三角形三邊關系定理，此時不符合題意；

②等腰三角形的三邊是2,5,5,此時符合三角形三邊關系定理，三角形的周長是2+5+5=12；

即等腰三角形的周長是12.

答案：A.

1

23.方程2/+l=3x的解為和=1,犯=3.

解：2^+1=3%,

2/-3x+1=0,

(x-1)(2x-1)=0,

1

解得：Xi=l,x2=--

1

答案：句=1,

24.（易錯題）菱形的一條對角線長為8,其邊長是方程『-9x+