第24章

圓

整理與復習請你帶著下面的問題，進入本課的復習吧！

1．圓的位置及大小由哪些要素確定？如何從點的集合的角度理解圓的概念？

2．垂直于弦的直徑有什么性質？在同圓或等圓中，兩個圓心角以及它們所對的弧、弦有什么關系？這些關系和圓的對稱性有什么聯系？

3．同弧所對的圓周角和它所對的圓心角有什么關系？你能舉出一些它們的實際應用嗎？請你帶著下面的問題，進入本課的復習吧！

4．點和圓有怎樣的位置關系？直線和圓呢？你能舉出這些位置關系的一些實例嗎？你能用哪些方法刻畫這些位置關系？

5．你能用直尺和圓規作出一個三角形的外接圓和內切圓嗎？圓的內接四邊形有什么性質？正多邊形和圓有什么關系？

6．怎樣由圓的周長和面積公式得到弧長公式和扇形面積公式？由題意，知

OA＝OD＝1

m，EA＝0.6

m，根據勾股定理，得

OE＝0.8

m．

∵EF＝0.2

m，∴OF＝0.6

m．在

Rt△ODF中，FD＝

＝0.8

m，

∴CD＝1.6

m．

例1

一條排水管的截面如圖，已知排水管的半徑

OA為

1

m，水面寬

AB為1.2

m，某天下雨后，水管水面上升了

0.2

m，則此時排水管水面寬

CD等于_______m．考點一垂徑定理及其推論DBACFEO

解析：如圖，連接

OD，作

OE⊥AB，垂足為

E，與

CD交于點

F．

1.6考點一垂徑定理及其推論常用的輔助線：在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常過圓心作弦的垂線段，再連接半徑構成直角三角形，利用勾股定理進行計算，在弦長、弦心距、半徑三個量中，已知任意兩個可求另一個．M考點一垂徑定理及其推論

1．如圖，在

⊙O中，AB為

⊙O的弦，C，D是直線

AB上的兩點，且

AC＝BD．求證：△OCD是等腰三角形．

證明：如圖，過點

O作

OM⊥AB，垂足為

M．DACOB

∵OM⊥AB，∴AM＝BM．

∵AC＝BD，∴CM＝DM．又∵OM⊥AB，

∴OC＝OD，

∴△OCD為等腰三角形．垂徑定理及其推論的四個應用（1）計算線段的長度：常構造直角三角形，結合勾股定理進行計算；（2）證明線段相等：根據垂徑定理平分線段推導線段相等；（3）證明等弧；（4）證明垂直：根據垂徑定理的推論證明線段互相垂直．考點一垂徑定理及其推論考點二與圓心角、圓周角有關的計算

例2

如圖，AB是⊙O

的直徑，點

C，D，E

在⊙O

上，若∠AED＝20°，求∠BCD的大小．

分析：進行與圓有關的角度的相關計算時，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角，利用同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解．DACBEO考點二與圓心角、圓周角有關的計算

解：連接

AC，則∠ACD＝∠E＝20°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB

＝20°＋90°＝110°．見到直徑，構造直徑所對的圓周角，這是圓中重要的輔助線作法．DACBEO考點二與圓心角、圓周角有關的計算

例3

如圖，圓內接四邊形

ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點

E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，則∠F＝_______．

解析：∵四邊形

ABCD是圓內接四邊形，

∴∠ECD＝∠A＝55°．

∵∠E＝30°，

∴∠EDC＝180°－∠E－∠ECD＝95°，

∴∠CBA＝∠EDC＝95°．又∵∠BCF＝∠ECD＝55°（對頂角相等），

∴∠F＝∠CBA－∠BCF＝40°．40°DACBEOF利用圓周角定理及其推論證明時常用的思路（1）在同圓或等圓中，要證明弧相等，考慮證明這兩條孤所對的圓周角相等．（2）在同圓或等圓中，要證明圓周角相等，考慮證明這兩個圓周角所對的弧相等．（3）當有直徑時，常利用直徑所對的圓周角為直角解決問題．（4）涉及圓的外部的角時，可利用圓內接四邊形轉到圓的內部處理．考點二與圓心角、圓周角有關的計算考點二與圓心角、圓周角有關的計算

2．如圖，A，D是⊙O上的兩個點，BC是直徑．若∠D＝32°，則∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

1：∵∠D＝32°，∴∠AOC＝2∠D＝64°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝(180°－64°)＝58°．DACBO考點二與圓心角、圓周角有關的計算

2．如圖，A，D是⊙O上的兩個點，BC是直徑．若∠D＝32°，則∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

2：如圖，連接

AB，則∠B＝∠D＝32°，DACBO

∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝58°．

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝58°．考點二與圓心角、圓周角有關的計算

2．如圖，A，D是⊙O上的兩個點，BC是直徑．若∠D＝32°，則∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

3：如圖，延長

AO交⊙O于點

E．DACBOBE

∵∠D＝32°，∴

所對的圓心角為

64°，

∵AE為⊙O的直徑，

∴

所對的圓心角為180°，

∴

所對的圓心角為116°，

∴∠OAC＝58°．考點三切線的性質和判定

例4

小紅家的鍋蓋壞了，為了配一個鍋蓋，需要測量鍋的直徑（鍋沿所形成的圓的直徑），而小紅家只有一把長為

20

cm的直尺，怎么辦呢？小紅想了想，采取了以下辦法：如圖，首先把鍋平放到墻根，鍋沿剛好靠到兩墻，用直尺緊貼墻面量得

MA的長，即可求出鍋的直徑，請你說明她這樣做的理由．AMB考點三切線的性質和判定

解：假設圓心為O，如圖，連接

OA，OB．

∵MA，MB與⊙O分別相切于點

A，B，

∴∠OAM＝∠OBM＝90°．又∵∠BMA＝90°，OA＝OB，

∴四邊形

AOBM為正方形．

∴先量得

MA的長，再乘

2就是鍋的直徑．AMBO切線在現實生活中是大量存在的，運用切線的性質解決實際問題時，關鍵是作出過切點的半徑，從而構造出直角三角形、正方形等，進而結合相關知識解決問題．考點三切線的性質和判定

例5

如圖，在

Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分線交

BC于點

D，以

D為圓心，DB的長為半徑作

⊙D．

求證：AC與

⊙D相切．

證明：如圖，過點

D作DF⊥AC于點

F．ACBD

∵∠B＝90°，

∴DB⊥AB．

∵AD平分∠BAC，

∴BD＝DF，

∴AC與⊙D相切．F考點三切線的性質和判定證明一條直線是圓的切線的方法（1）當直線與圓有公共點時，只需“連半徑、證垂直”即可；（2）當已知條件中沒有指出圓與直線有公共點時，常運用“d＝r”進行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑．考點三切線的性質和判定

3．如圖，AB是⊙O的直徑，點

C，D在圓上，且四邊形

AOCD是平行四邊形，過點

D作

⊙O的切線，分別交

OA延長線與

OC延長線于點

E，F，連接

BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）已知圓的半徑為

1，求

EF的長．

解：（1）連接OD．∵四邊形AOCD是平行四邊形，∴AD∥OC．∴∠FOB＝∠DAO，∠FOD＝∠ODA．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠FOB＝∠FOD．又∵OB＝OD，OF＝OF，∴△FOB≌△FOD，∴∠FBO＝∠FDO．∵EF是⊙O的切線，∴∠FDO＝90°，∴∠FBO＝∠FDO＝90°．∵OB是⊙O的半徑，∴BF是⊙O的切線；考點三切線的性質和判定

∵∠EDO＝90°，∠DOA＝60°，∴∠FEB＝30°，∴EF＝2BF＝2．

解：（2）∵OA＝OC，四邊形AOCD是平行四邊形，∴?AOCD是菱形．∴AD＝AO＝OD，∴∠DAO＝∠DOA＝60°，∴∠FOB＝60°．在Rt△OBF

中，∵OB＝1，∠FBO＝90°，∠BFO＝30°，∴OF＝2OB＝2，∴BF＝＝＝．考點三切線的性質和判定考點四正多邊形和圓

例6已知圓的半徑是2

，則該圓的內接正六邊形的面積是（）．A．3

B．9

C．18

D．36

解析：如圖，⊙O的內接正六邊形ABCDEF，⊙O的半徑為2．

連接OA，OB，過點O作OG⊥AB，垂足為點G．

∵OA＝OB＝2

，∠AOB＝

＝60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴AB＝2．GOFEDCABC

∵OG⊥AB，∴AG＝

AB＝

．在

Rt△AOG中，根據勾股定理，得考點四正多邊形和圓GOFEDCAB

OG＝

＝3，

∴S△AOB＝

AB·OG＝×2×3＝3．

∴S正六邊形ABCDEF＝6S△AOB＝6×3＝18．考點四正多邊形和圓

在進行正多邊形的有關計算時，關鍵要明確正多邊形的邊長、半徑、邊心距之間的關系及正多邊形的內角和中心角的求法．往往將正n

邊形的一邊與圓的半徑組成一個等腰三角形，再過圓心作該邊的垂線，從而得到兩個全等的直角三角形，最后應用勾股定理解決問題．考點四正多邊形和圓

4．已知正六邊形的邊長為2，則它的內切圓的半徑為（）．

A．1

B．C．2

D．2

解析：如圖，由正六邊形的性質，知△AOB為等邊三角形，

∴OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，由勾股定理，得內切圓半徑

OC＝．B

解析：連接

BC．考點五與圓有關的計算

例7

如圖，從一塊直徑為

24

cm的圓形紙片上剪出一個圓心角為

90°的扇形

ABC，使點

A，B，C在圓周上，則剪下的扇形的弧長是________cm（結果保留

π）．ACBO

∵∠BAC＝90°，

∴BC是直徑．

∵AB＝AC，BC＝24

cm，

∴AB＝AC＝12

cm，

∴

的長＝

＝6

π

cm．6

π考點五與圓有關的計算

例8

如圖，AB是半圓

O的直徑，C，D是半圓

O的三等分點，若弦

CD＝2，則圖中陰影部分的面積為________．

解析：如圖，連接

OC，OD，BD．

∵C，D是半圓

O的三等分點，

∴∠1＝∠2＝∠3＝60°．

∴△OCD與△OBD都是等邊三角形，∴∠4＝60°，OB＝CD＝2．

∵∠3＝∠4＝60°，∴CD∥AB，∴S△OBD＝S△OCD＝S△BCD，

∴S陰影＝S△BCD＋S弓形＝S△OBD＋S弓形＝S扇形OBD＝

＝

π．ODCAB3214

π考點五與圓有關的計算與圓有關的計算問題包括圓的面積和周長、弧長、扇形的面積、圓錐的側面積等．求弧長及扇形面積時，一要準確記憶相關公式；二要會合理轉化圖形，即化立體圖形為平面圖形，化不規則圖形為規則圖形．考點五與圓有關的計算

5．如圖，分別以五邊形

ABCDE的頂點為圓心，1為半徑作五個圓，則圖中陰影部分的面積之和為（）．A．π

B．3π

C．π

D．2π

解析：∵五邊形的內角和為(5－2)×180°＝