2024-2025學年年七年級數學人教版下冊專題整合復習卷22.3實際問題與一元二次方程達標訓練(含答案)22.3實際問題與一元二次方程達標訓練一、基礎·鞏固·達標1．某商場第一季度的利潤是82.75萬元，其中一月份的利潤是25萬元，若利潤平均月增長率為x，則依題意列方程為（）A.25（1+x）=82.75B.25+50x=82.75C.25+75x=82.75D.25［1+（1+x）+(1+x)2］=82.752．生物興趣小組的學生，將自己收集到的標本向本組其他成員各贈送一件，全組互贈了182件，若全組有x名同學，則根據題意列出的方程是（）A.x（x+1）=182B.x（x－1）=182C.2x（x+1）=182D.x（x－1）=182×23．某化肥廠今年一月份的化肥產量為4萬噸，第一季度共生產化肥13.2萬噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？（只列方程即可）4．一個兩位數，等于它的個位上數字的2倍的平方，且個位上的數字比十位上的數字小2，求這個兩位數.5．三個連續的正整數，最大數的平方等于較小兩個數的平方和，求這三個數.6．有一塊長方形的鋁皮，長24cm，寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高.7．某農場計劃修一條橫斷面為等腰梯形的渠道，橫斷面面積為1.53m2，上口寬比渠底寬多1.4m，渠深比渠底寬少0.1m，求渠道的上口寬和渠深.二、綜合·應用·創新8．小明將勤工儉學掙得的100元錢按一年定期存入少兒銀行，到期后取出50元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率.9．某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只要交10元用電費，如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度元交費.下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費情況.月份用電量（度）交電費（元）3月80254月4510根據上表的數據，電廠規定的A度為多少？三、回顧·熱身·展望10.某商場在“五一”節的假日實行讓利銷售，全部商品一律按九折銷售，這樣每天所獲得的利潤恰是銷售收入的20%，如果第一天的銷售收入是4萬元，并且每天的銷售收入都有增長，第三天的利潤是1.25萬元.（1）第三天的銷售收入是多少元？（2）第二天和第三天銷售收入平均每天的增長率是多少？11．某電腦產品剛上市時的價格是9999元，由于市場競爭和推出新產品的需要，廠家決定每三個月調低一次該產品的價格.半年后該產品經兩次調價，價格定為7999元.求該產品平均降價的百分率.12．張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體運輸箱，且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米.現已知購買這種鐵皮每平方米需20元，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？13．如圖22－3－2，圖①是一個扇形AOB，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖②所示,以OA的一半OA1為半徑畫弧，再作∠AOB的平分線，得到扇形的總數為6個，分別為扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1；第二次劃分:如圖③所示,在扇形C1OB1中，按上述劃分方式繼續劃分,可以得到扇形的總數為11個；第三次劃分：如圖④所示，……依次劃分下去.①②③④圖22－3－2（1）根據題意,完成下表：劃分次數扇形總個數1621134……n（2）根據上表,請你判斷按上述劃分方式,能否得到扇形的總數為2005個?為什么?參考答案一、基礎·鞏固·達標1．某商場第一季度的利潤是82.75萬元，其中一月份的利潤是25萬元，若利潤平均月增長率為x，則依題意列方程為（）A.25（1+x）=82.75B.25+50x=82.75C.25+75x=82.75D.25［1+（1+x）+(1+x)2］=82.75提示：本題是列方程解應用題，主要考查分析和解決實際問題的能力.本題涉及了平均月增長率，其意義是每個月都比上一個月平均增長的百分數.設利潤平均月增長率為x，已知一月份的利潤是25萬元，那么二月份的利潤是25+25x=25（1+x）（萬元）.三月份的利潤是25（1+x）+25（1+x）x=25（1+x）（1+x）=25（1+x）2（萬元）.由第一季度的利潤是82.75萬元.所以25+25（1+x）+25（1+x）2=82.75.答案：D2．生物興趣小組的學生，將自己收集到的標本向本組其他成員各贈送一件，全組互贈了182件，若全組有x名同學，則根據題意列出的方程是（）A.x（x+1）=182B.x（x－1）=182C.2x（x+1）=182D.x（x－1）=182×2提示：此小組共x名學生，其中每名同學都贈給其他（x－1）名同學一件標本，贈了（x－1）件.x名同學共贈了x（x－1）件，于是有x（x－1）=182.答案：B3．某化肥廠今年一月份的化肥產量為4萬噸，第一季度共生產化肥13.2萬噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？（只列方程即可）提示：設平均每月的增長率為x,則二月份產量4（1+x）萬噸;三月份產量4(1+x)2萬噸.解：4+4(1+x)+4(1+x)2=13.24．一個兩位數，等于它的個位上數字的2倍的平方，且個位上的數字比十位上的數字小2，求這個兩位數.提示：涉及到多位數問題，應考慮間接設數位上的數字為“元”.解：設個位上的數為x，則十位上的數為x＋2.∴10（x+2）+x=(2x)2.∴4x2－11x－20=0.∴x1=4,x2=(舍).∴這個兩位數為64.5．三個連續的正整數，最大數的平方等于較小兩個數的平方和，求這三個數.提示：連續的正整數是順次大1的，因此三個連續的正整數可用一個未知數表示.設中間的正整數為x，則較小的正整數是x－1，較大的正整數是x+1，根據最大數的平方等于較小兩個數的平方和列出方程求解.解：設中間的正整數為x，則較小的正整數是x－1，較大的正整數是x+1.于是有(x－1)2+x2=(x+1)2.整理，得x2－4x=0.解方程，得x1=0，x2=4.因為是正整數，所以x=4.此時x－1=3，x+1=5.答：這三個連續的正整數是3，4，5.6．有一塊長方形的鋁皮，長24cm，寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高.提示：弄清四角都截去相同的小正方形后盒子的底面的長和寬.解：設盒子的高為xcm，則(24－2x)(18－2x)=24×18×.x1=3，x2=18（舍去），∴x=3.因此盒子的高為3cm.7．某農場計劃修一條橫斷面為等腰梯形的渠道，橫斷面面積為1.53m2，上口寬比渠底寬多1.4m，渠深比渠底寬少0.1m，求渠道的上口寬和渠深.提示：由上口寬、渠深與渠底的和差關系設未知數，依據梯形的面積列方程求解.解：設渠底寬為xm，則渠道的上口寬為（x+1.4）m，渠深為（x－0.1）m.于是有(x+x+1)(x－0.1)=1.53.解方程，得x1=1，x2=－.因為長度不能為負值，故x=1，此時x+1.4=2.4，x－0.1=0.9.答：渠道的上口寬和渠深分別是2.4m，0.9m.二、綜合·應用·創新8．小明將勤工儉學掙得的100元錢按一年定期存入少兒銀行，到期后取出50元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率.提示：本題是近年來關于銀行利率的一道新題，要弄清本金、利率和利息三者的關系.解：設這種存款的年利率為x，則（100+100x－50）(1+x)=66.解得x1=0.1，x2=－1.6（舍去）.答：這種存款的年利率為10%.9．某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只要交10元用電費，如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度元交費.下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費情況.月份用電量（度）交電費（元）3月80254月4510根據上表的數據，電廠規定的A度為多少？提示：本題涉及實際生活中的數學運用，是近年來模擬題的熱點，難點.題目長，內容豐富，應認真審好題.解：由3月份的用電情況和交費情況得方程：10+(80－A)·=25.整理,得A2－80A+1500=0，解得A=30或A=50;由4月份交電費10元看，4月份的用電量45度沒有超過A度，∴A≥45.∴A=50.三、回顧·熱身·展望10.某商場在“五一”節的假日實行讓利銷售，全部商品一律按九折銷售，這樣每天所獲得的利潤恰是銷售收入的20%，如果第一天的銷售收入是4萬元，并且每天的銷售收入都有增長，第三天的利潤是1.25萬元.（1）第三天的銷售收入是多少元？（2）第二天和第三天銷售收入平均每天的增長率是多少？提示：本題要認真審題，認清問題（2）仍屬于增長率問題.解：（1）第三天的銷售收入為1.25÷20%=6.25元;（2）設第二天與第三天銷售收入平均增長率為x.則第三天的銷售收入為4（1+x）2，于是有方程4(1+x)2=6.25.x1=0.25，x2=－2.25(舍去).因此平均每天增長率為25%.11．某電腦產品剛上市時的價格是9999元，由于市場競爭和推出新產品的需要，廠家決定每三個月調低一次該產品的價格.半年后該產品經兩次調價，價格定為7999元.求該產品平均降價的百分率.提示：根據調價前后的價格列出方程求解.解：設這種產品平均降價的百分率為x，則9999（1－x）2=7999.即（1－x）2=0.8.解之，得x1=0.11，x2=1.89（不合題意，舍去）.所以這種產品平均降價的百分率為11%.12．張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體運輸箱，且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米.現已知購買這種鐵皮每平方米需20元，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？提示：設運輸箱底部的寬為xm，則長為（x+2）m.運輸箱的高為1m，根據“長方體的容積=長×寬×高”可列出方程進而求解.欲求張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢，知道鐵皮每平方米的價格，只需求出長方形鐵皮的面積，故需求長方形鐵皮的長和寬，其長=運輸箱底部的長+2，其寬=運輸箱底部的寬+2.解：設運輸箱底部的寬為xm，則長為（x+2）m.依題意，得x（x+2）×1=15.整理，得x2+2x－15=0.解方程，得x1=3，x2=－5.因為長度不能為負值，故x=3，此時x+2=5.即這種運輸箱的底部長為5m，寬為3m.由長方體的展開圖知，要購買矩形鐵皮的面積為（5+2）×（3+2）=35m2，費用是35×20=700元.答：張大叔購回這張矩形鐵皮共花了700元.13．如圖22－3－2，圖①是一個扇形AOB，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖②所示,以OA的一半OA1為半徑畫弧，再作∠AOB的平分線，得到扇形的總數為6個，分別為扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1；第二次劃分:如圖③所示,在扇形C1OB1中，按上述劃分方式繼續劃分,可以得到扇形的總數為11個；第三次劃分：如圖④所示，……依次劃分下去.①②③④圖22－3－2（1）根據題意,完成下表：劃分次數扇形總個數1621134……n（2）根據上表,請你判斷按上述劃分方式,能否得到扇形的總數為2005個?為什么?提示：（1）本題需認真審題，掌握劃分的規律，即每次劃分比前次均多五個扇形.答案：第三次16個，第四次21個，……，第n次１＋５n個.（2）按上述劃分方式，不妨設第n次劃分可得到扇形2005個.于是有１＋5n=2005,解得n=，n不是整數，故這樣的劃分不存在.答案：不能得到扇形總數為2005個.22.3實際問題與一元二次方程一、課前預習(5分鐘訓練)1.列方程解應用題的步驟，一般歸結為如下幾步；(1)____________；(2)____________；(3)____________；(4)____________；(5)____________；(6)____________.2.三個連續整數兩兩相乘后相加得431，求這三個數.3.某工廠計劃在長24m，寬20m的空地中間畫出一塊140m2的長方形地建造一個車間，并使剩余部分的地一樣寬，求四周剩余地的寬度(只列出方程).4.某專業戶第一年養鴨4000只，計劃第三年養鴨9000只，則平均每年應增加百分之幾？二、課中強化(10分鐘訓練)1.若一個數和它的一半的平方和等于5，則這個數是()A.2B.－2C.2或－2D.以上都不對2.若某三個連續偶數的平方和等于56，則這三個數是()A.2、4、6B.4、6、8C.－6、－4、－2或2、4、6D.－8、－6、－4或4、6、83.一個兩位數，等于它的個位上數的2倍的平方，且個位上的數比十位上的數小2，求這個兩位數.4.有一塊長方形的鋁皮，長24cm，寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高.5.用一條長12厘米的鐵絲折成一個斜邊長是5厘米的直角三角形，則兩直角邊的長是多少？6.小明將勤工儉學掙得的100元錢按一年定期存入少兒銀行，到期后取出50元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率.三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.若方程4x2+（a2－3a－10）x+4a=0的兩根互為相反數，則a的值是()A.5或－2B.5C.－2D.非以上答案2.兩個正數的差是2，它們的平方和是52，則這兩個數是()A.2和4B.6和8C.4和6D.8和103.如果兩個連續偶數的積為288，那么這兩個數的和等于()A.34B.－34C.35或－35D.34或－344.利用墻的一邊，再用13m的鐵絲網圍三邊，圍成一個面積為20m2的長方形，設長為xm，可得方程()A.x·(13－x)=20B.x·=20C.x·(13－x)=20D.x·=205.有一兩位數，其個位和十位數字之和是14，交換數字位置后，得到的新的兩位數比原兩位數大18，則原兩位數為____________.6.某個體戶以50000元資金經商，在第一年獲得一定利潤，已知這50000元資金加上第一年的利潤一起在第二年共得利潤2612.5元，而且第二年的利潤比第一年多0.5%，則第一年的利潤率是____________.7.有若干大小相同的球，可將它們擺成正方形或正三角形，擺成正三角形比擺成正方形每邊多兩個球，求球的個數.8.某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只要交10元用電費，如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度元交費.下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費情況.月份用電量（度）交電費（元）3月80254月4510根據上表的數據，求電廠規定的A度為多少？9.一批上衣原價為240元，經過兩次降價后每件194.4元，如果每次降價的百分率相同，求每次降價的百分率.10.要建一個面積為135平方米的矩形養鴨場,為節約材料,鴨場一邊利用原有的一堵墻,墻長為m米,另三邊磚墻長共33米.問:該鴨場的長、寬各為多少?原有墻長m米有何作用?11.某商場在“五一”節的假日實行讓利銷售，全部商品一律按九折銷售，這樣每天所獲得的利潤恰是銷售收入的20%，如果第一天的銷售收入是4萬元，并且每天的銷售收入都有增長，第三天的利潤是1.25萬元.（1）求第三天的銷售收入是多少萬元？（2）求第二天和第三天銷售收入平均每天的增長率是多少？參考答案一、課前預習(5分鐘訓練)1.列方程解應用題的步驟，一般歸結為如下幾步；(1)____________；(2)____________；(3)____________；(4)____________；(5)____________；(6)____________.思路解析：解一元二次方程時，由于一元二次方程通常有兩個實根，為此要根據題意對兩根進行檢驗，注意其根與實際背景是否相符合(如人數是整數、路程是正數等)，若不合題意或實情要將所求根舍去.答案：審題設未知數列方程解方程檢驗作結論。2.三個連續整數兩兩相乘后相加得431，求這三個數.思路分析：此題關鍵是依據所設寫出另兩個數的表達式,再列方程求解.解：設三個連續整數中間的一個數為x，則另外兩個數分別為(x－1)、(x+1)，依題意，得x(x－1)+x(x+1)+(x+1)(x－1)=431.解這個方程得x1=12,x2=－12.x=12時，x－1=11,x+1=13.x=－12時，x－1=－13,x+1=－11.所以三個連續整數為11，12，13或－13，－12，－11.3.某工廠計劃在長24m，寬20m的空地中間畫出一塊140m2的長方形地建造一個車間，并使剩余部分的地一樣寬，求四周剩余地的寬度(只列出方程).思路分析：本題只需抓住相等關系：車間占地面積+四周面積=這塊空地的面積.解：設四周剩余地的寬度為x米,由題意得方程140+48x+2x（20－2x）=480.4.某專業戶第一年養鴨4000只，計劃第三年養鴨9000只，則平均每年應增加百分之幾？思路分析：本題不可直接設增加的百分數,宜設成純小數.解：設平均每年增加百分數為x，考慮第二年養雞只數為4000（1+x）只，由題意得方程4000（1+x）2=9000.解得x1=0.5,x2=－2.5（不合題意，舍去）.所以平均每年應增加50%.二、課中強化(10分鐘訓練)1.若一個數和它的一半的平方和等于5，則這個數是()A.2B.－2C.2或－2D.以上都不對思路解析：依據條件列方程即可求解.設這個數為x,可列方程x2+()2=5.解得x=±2.答案：C2.若某三個連續偶數的平方和等于56，則這三個數是()A.2、4、6B.4、6、8C.－6、－4、－2或2、4、6D.－8、－6、－4或4、6、8思路解析：設中間的偶數為x，然后列方程得(x－2)2+x2+(x+2)2=56.解得x=±4,所以這三個數分別為－6、－4、－2或2、4、6,由于此題為選擇題也可以直接驗證選項.答案：C3.一個兩位數，等于它的個位上數的2倍的平方，且個位上的數比十位上的數小2，求這個兩位數.思路分析：涉及到多位數問題，要注意通過數位上的元寫出該多位數的正確形式.解：設個位上的數為x，則十位上的數為x＋2,∴10(x+2)+x=(2x)2.∴4x2－11x－20=0.∴x1=4,x=－（舍）.∴這個兩位數為64.4.有一塊長方形的鋁皮，長24cm，寬18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起來做成一個沒蓋的盒子，使底面積是原來面積的一半，求盒子的高.思路分析：弄清四角都截去相同的小正方形后盒子的底面形狀.解：設盒子的高為xcm，則(24－2x)(18－2x)=24×18×.解得x1=3,x2=18（舍）.∴x=3.因此盒子的高為3米.5.用一條長12厘米的鐵絲折成一個斜邊長是5厘米的直角三角形，則兩直角邊的長是多少？思路分析：本題巧用勾股定理構造方程.解：設其中一條直角邊的長為x厘米，則(7－x)2+x2=52,解得x=3厘米，則另一條直角邊為4厘米.6.小明將勤工儉學掙得的100元錢按一年定期存入少兒銀行，到期后取出50元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率.思路分析：本題是近年來關于銀行利率的一道新題，要弄清本金、利率、利息三者的關系.解：設這種存款的年利率為x,則（100+100x－50）(1+x)=66,解得x1=0.1,x2=－1.6（舍）.故這種存款的年利率為10%.三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.若方程4x2+（a2－3a－10）x+4a=0的兩根互為相反數，則a的值是()A.5或－2B.5C.－2D.非以上答案思路解析：抓特征:互為相反數的兩數和為0.－=0,得a1=5,a2=－2.答案:A2.兩個正數的差是2，它們的平方和是52，則這兩個數是()A.2和4B.6和8C.4和6D.8和10思路解析：常規題型可直接列方程求解.設較小的正數為x，較大的為x+2,則x2+(x+2)2=52,x1=4,x2=－6(舍去).故所求的兩個正數為4，6.答案：C3.如果兩個連續偶數的積為288，那么這兩個數的和等于()A.34B.－34C.35或－35D.34或－34思路解析：兩個連續偶數差2，設較小的數為x，較大的為x+2，則(x+2)x=288.解方程即可.答案：D4.利用墻的一邊，再用13m的鐵絲網圍三邊，圍成一個面積為20m2的長方形，設長為xm，可得方程()A.x·(13－x)=20B.x·=20C.x·(13－x)=20D.x·=20思路解析：因長為x米,則寬為米,于是有方程x·=20.答案：B5.有一兩位數，其個位和十位數字之和是14，交換數字位置后，得到的新的兩位數比原兩位數大18，則原兩位數為____________.思路解析：這類與多位數有關的問題，不可直接設“元”，間接設數位上的數字為宜.設個位上的數字為x，則十位上的數字為（14－x）,于是有10x+(14－x)=10(14－x)+x+18.解得x=8.故該兩位數為68.答案：686.某個體戶以50000元資金經商，在第一年獲得一定利潤，已知這50000元資金加上第一年的利潤一起在第二年共得利潤2612.5元，而且第二年的利潤比第一年多0.5%，則第一年的利潤率是____________.思路解析：本題應首先考慮第二年的投入資金.設第一年的利潤率為x,得到(50000+50000x)(x+0.5%)=2612.5,x=0.045，即第一年的利潤率為4.5%.答案：4.5%7.有若干大小相同的球，可將它們擺成正方形或正三角形，擺成正三角形比擺成正方形每邊多兩個球，求球的個數.思路分析：該題的技巧應思考間接設“未知數”.解：設正方形每條邊上擺x個球，三角形每條邊上擺（x+2）個球，于是有方程4x－4=3(x+2)－3,解得x=7,所以共24個球.8.某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只要交10元用電費，如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度元交費.下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費情況.月份用電量（度）交電費（元）3月80254月4510根據上表的數據，求電廠規定的A度為多少？思路分析：本題涉及實際生活中的數學運用，是近年來模擬題的熱點、難點.由于題目長，內容豐富,應認真審好題.解：由3月份的用電情況和交費情況得方程：10+(80－A)·=25，整理得A2－80A+1500=0.解得A=30或A=50.由4月份交電費10元看，4月份的用電量45度沒有超過A度，∴A≥45.∴A=50.9.一批上衣原價為240元，經過兩次降價后每件194.4元，如果每次降價的百分率相同，求每次降價的百分率.思路分析：該題屬“降價百分率問題”與“增長率問題”類似求解.解：設每次降價百分率為x，于是有方程：240(1－x)2=194.4,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去),因此每次降價的百分率為10%.10.要建一個面積為135平方米的矩形養鴨場,為節約材料,鴨場一邊利用原有的一堵墻,墻長為m米,另三邊磚墻長共33米.問:該鴨場的長、寬各為多少?原有墻長m米有何作用?思路分析：由題意知,磚墻有一個長,兩個寬,原長m與長(33－2x)討論有以下幾種情況.解：設該養鴨場的寬為x米,則其長為(33－2x)米.由題意得x(33－2x)=135,整理,得2x2－33x+135=0.所以x1=,x1=9.當x=時,33－2x=18;當x=9時,33－2x=15.答:當m≥18(米)時,養鴨場的長、寬分別為18米、米或者15米、9米;當15(米)≤m<18(米)時,養鴨場的長、寬為15米、9米;當0(米)<m<15(米)時,本題無解.11.某商場在“五一”節的假日實行讓利銷售，全部商品一律按九折銷售，這樣每天所獲得的利潤恰是銷售收入的20%，如果第一天的銷售收入是4萬元，并且每天的銷售收入都有增長，第三天的利潤是1.25萬元.（1）求第三天的銷售收入是多少萬元？（2）求第二天和第三天銷售收入平均每天的增長率是多少？思路解析：本題要認真審題，認清問題（2）仍屬于增長率問題.解：（1）：第三天的銷售收入為1.25÷20%=6.25元.（2）設第二天與第三天銷售收入平均增長率為x,則第三天的銷售收入為4（1+x）2,于是有方程4(1+x)2=6.25.解得x1=0.25,x2=－2.25(舍).因此平均每天的增長率為25%.22.3實際問題與一元二次方程（1）一、雙基整合:1．某藥品原來每盒售價96元，由于兩次降價，現在每盒54元，則平均每次降價的百分數為_______．2．某農場的糧食產量，若兩年內從25萬公斤，增加到30.25萬公斤，則平均每年的增長率為_______．3．某人在銀行存了400元錢，兩年后連本帶息一共取款484元，設年利率為x，則列方程為__________________，解得年利率是_________．4．某市2002年底人口為20萬人，人均住房面積9m2，計劃2003年、2004年兩年內平均每年增加人口為1萬，為使到2004年底人均住房面積達到10m，則該市兩年內住房平均增長率必須達到_________．（=3.162，=3.317，精確到1%）5．某林場原有森林木材存量為a，木材每年以25%的增長率生長，而每年冬天要砍伐的木材量為x，則經過一年木材存量達到________，經過兩個木材存量達到__________．6．某商品連續兩次降價10%后為m元，則該商品原價為（）A．元B．1.12m元C．元D．0.81m元7．某鋼鐵廠去年1月份某種鋼的產量為5000噸，3月份上升到7200噸，設平均每月的增長率為x，根據題意，得（）A．5000（1+x2）=7200B．5000（1+x）+5000（1+x）2=7200C．5000（1+x）2=7200D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2=72008．生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學，那么根據題意列出的方程是（）A．x（x+1）=182B．x（x-1）=182C．2x（x+1）=182D．x（1-x）=182×29．某超市推出如下優惠方案：（1）一次性購物不超過100元不享受優惠；（2）一次性購物超過100元但不超過300元一律九折；（3）一次性購物超過300元一律八折，王波兩次購物分別付款80元、252元．如果王波一次性購買與上兩次相同的商品，則應付款（）A．288元B．332元C．288元或316元D．332元或363元10．“坡耕地退耕還林還草”是國家為解決西部地區水土流失生態問題及幫助廣大農民脫貧致富提出的一項戰略措施，某村村長為帶領全村群眾自覺投入“坡耕地退耕還林還草"行動，率無垂范，2001年將自家的耕地全部退耕，并于當年承包20畝耕地的還林還草及管護任務，而實際完成的畝數比承包畝數增加的百分率為x，并保持這一增長率不變，2002年村長完成了28.8畝耕地還林還草任務．求：（1）增長率x為多少？（2）該村有30戶人家，每戶均以村長2002年完成畝數為準，國家按每畝地230元給予補助，則國家將對該村投入補助資金多少萬元？二、拓廣探索:11．容器里裝滿純酒精25L，第一次倒出若干升后用水加滿，第二次又倒出相同升數的酒精溶液，這時容器里只剩下16L純酒精，每次倒出的升數是（）A．3B．4C．5D．612．已知：問題1，某廠用2年時間把總產值增加了原來的b倍，求每年平均增長的百分數；問題2，某廠的總產值用2年的時間在原來a萬元的基礎上增加了b萬元，求每年平均增長的百分數，問題3，某廠用2年的時間把總產值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分數．設每年平均增長的百分數x，那么下面的三個方程：①（1+x）2=b，②a（1+x）2=a+b，③（1+x）2=b+1，按問題1、2、3的序號排列，相對應的是（）A．①②③B．③②①C．①③②D．②①③13．經營一批進價為2元一件的小商品，在市場營銷中發現此商品的日銷售單價x（元）與日銷售量y（件）之間關系為y=-2x+24，而日銷售利潤P（元）與日銷售單價x（元）之間的關系為P=xy-2，當日銷售單價為多少時，每日獲得利潤48元，且保證日銷售量不低于10件？14．某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月每戶只要交10元用電費，如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費，超過部分還要按每度元交費．（1）該廠某戶居民王東2月份用電90度，超過了規定的A度，則超過部分應交電費_______元（用A表示）．（2）下表是這戶居民3月、4月份的用電情況和交費情況．月份用電量（度）交電費總數（元）3月80254月4510根據上表的數據，求該廠規定的A度為多少？三、智能升級:15．新中國成立后，社會安定，我國人口數量逐年增加，人均資源不足的矛盾日益突出，為實施可持續發展戰略，我國把實行計劃生育作為一項基本國策，如果是我國人口數量增長圖，試根據圖象信息，回答下列問題．（1）1950年到1990年我國人口增加了_______億，2000年我國人口數量為______億人；（2）實行計劃生育政府前我國人口平均每5年增長10%，由于實行了計劃生育，我國從1990年2000年這十年間就少出生了_________億人；（3）1990年到2000年這十年間，我國人口平均每5年增長的百分率是多少？（要求只列方程，不求解）．答案:1．25%2．10%3．400（1+x）2=484，10%4．11%5．a-x，a-x6．C7．C9．B9．C10．（1）依據題意有20（1+x）2=28.8，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），所以增長的百分率為20%．（2）全村坡耕地還草30×28.8=864（畝），國家將補助：864×230=198720（元）=19.872（萬元）．11．C12．B13．依題意得（24-2x）（x-2）=48，解得x1=6，x2=8，即當x1=6，x2=8時，y1=-2×6+24=12>10，y2=-2×8+14=8<10，日銷售單價為6元．14．（1）（90-A）×=A（90-A）（2）3月份交費25元，超過10元，所以3月份用電超過了A度，根據題意得10+A%（80-A）=25，解得A1=30，A2=50，又由4月份用電及交費情況A≥45，所以A=30舍去，所以該廠規定的A度為50度．15．（1）由圖象信息可知1950年到1990年我國人口增加了11-5.4=5.6（億），2000年我國人口是13億．（2）若不計劃生育，在1990年的11億人口的基礎上，2000年我國人口將有11（1+10%）2=13.31（億），而2000年我國人口是13億，故我國從1990年到2000年十年間就少生了13.31-13=0.31（億人口）．（3）設平均每5年增長的百分率為x，依題意得：11（1+x）2=13．22.3實際問題與一元二次方程(1)第1課時◆課前預習1．列一元二次方程解應用題的步驟與以前學過列方程解應用題的步驟一樣，有_________，________，_______，_________，___________，其中___________是基礎，_____________是關鍵，靈活設元可使解答的過程較易．2．列方程解應用的實質是把_________問題轉化成_______問題，然后利用數學方法給予求解，關于檢驗這一步，要與日常生活多聯系，從而判斷解的合理性．◆互動課堂（一）基礎熱點【例1】某種商品的原價為32元，由于連續兩次降價，現在每件18元，求平均每次的降價率．分析：降價率或增長率問題符合公式a（1+x）n=b型．解：設平均每次降價的百分率是x，由題意得32（1－x）2=18，解得x1==25%，x2=（不合實際舍去）．答：每次降價25%．點撥：本題屬于降低率問題，它符合a（1±x）n=b類型，解答時，可套用此公式，x是降低率（增長率），n是經過的次數，b是最終結果，還應考慮實際情況．（二）易錯疑難【例2】黨的十六大提出全面建設小康社會，加快推進社會主義現代化，力爭國民生產總值到2020年比2000年翻兩番，在本世紀的頭二十年（2001年～2020年）要實際這一目標，以十年為單位計算，求每個十年的國民生產總值的平均增長率．分析：題中沒有2000年的具體國民生產總值，需要設出來．解：設2000年的國民生產總值是a（a≠0），增長率為x，則有：a（1+x）2=4a，解得x1=100%，x2=－3（不合題意舍去）．答：每個十年的國民生產總值的平均增長率為100%．（三）中考鏈接【例3】某開發區為改善居民住房條件，每年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加[人均住房面積=（該區住房總面積/該區人口總數）（單位：m2/人）]，該開發區2004年至2006年每年年底人口總數和人均住房面積的統計如圖1，圖2．(1)(2請根據圖1，圖2提供的信息解答下面問題：（1）該區2005年和2006年兩年中哪一年比上一年增加的住房面積多？多增加多少平方米？（2）由于經濟發展需要，預計到2008年底該區人口總數比2006年底增加2萬人，為使到2008年底該區人均住房面積達到11m2/人，試求2007年和2008年這兩年該區住房總面積的年平均增長率為多少？分析：本題根據圖象提供的信息進行分析、篩選，整理有關數據，根據題目的要求，正確識圖，進而找出2005年和2006年人均住房面積及多增加多少萬平方米．第二個問題的實質是2007年和2008年的平均增長率是以2006年底人口為基礎，再結合人均住房面積，求出總面積．解：（1）2006年比2005年增加住房面積：20×10－18×9.6=27.2，2005年比2004年增加住房面積：18×9.6－17×9=19.8，所以2006年比2005年的增加的面積多，且多增加27.2－19.8=7.4（萬m2）．（2）設住房面積的平均增長率為x，則20×10（1+x）2=11×（20+2）．解得x1=0.1=10%，x2=－2.1（舍去）．所以2006年與2007年這兩年該區住房面積的年平均增長率為10%．名師點撥列一元二次方程解應用題將實際問題轉化為數學問題，增長率或降低率問題它符合a（1+x）n=b類型，x是增長率，a是基礎數，b是增長后的量．◆跟進課堂1．某化肥廠的產量，每年的增長率為x，若第一年的產量為6萬kg，則第二年的產量是_______kg，第三年的產量是______kg，三年的總產量是________kg．2．某服裝原價120元，經兩次打折，售價為100元，若兩次打折幅度相同，設每次降價的百分數為x，則可列方程為________．3．某企業為節約用水，自建污水凈化站，1月份凈化污水3000t，3月份增加到3630t，則這