Page11河南省皖豫2024-2025學年高一數(shù)學上學期12月階段性測試（二）試卷考生留意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若關于x的不等式的解集是，則（）A． B． C． D．13．若p：，則p成立的充分不必要條件可以是（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則（）A．10 B．8 C．5 D．25．已知冪函數(shù)滿意條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的值域為，且滿意，若在（）上的值域為，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)若方程有三個不等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題是真命題的是（）A．函數(shù)是減函數(shù)B．“至少有一個整數(shù)x，使得是質數(shù)”是存在量詞命題C．，D．命題p：，的否定是：，10．已知，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．若函數(shù)滿意：當時，的值域為，則稱為局部的函數(shù)，下列函數(shù)中是局部的函數(shù)的是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則（）A．不等式的解集是B．C．存在唯一的x，使得D．函數(shù)的圖象關于原點對稱三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知集合，則________．14．已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是________．15．若函數(shù)的最小值為，則實數(shù)a的值為________．16．若，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）化簡下列各式：（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（12分）已知集合A是函數(shù)的定義域，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求實數(shù)a的取值范圍．19．（12分）某地為響應習近平總書記關于生態(tài)文明建設的號召，大力開展“青山綠水”工程．為加強污染治理，某工廠產生的廢氣需經過過濾后排放，已知在過濾過程中廢氣中的污染物濃度P（單位：）與過濾時間t（單位：h）之間的函數(shù)關系式為（為初始濃度，k，均為正常數(shù)）．假設過濾過程中廢氣的體積不變．（Ⅰ）若，求過濾2h后污染物的濃度與初始濃度的比值是多少；（Ⅱ）若排放時污染物的濃度不超過初始濃度的4%，前4h的過濾過程中污染物已經被過濾掉了80%，求至少還須要過濾多少小時才能排放．20．（12分）已知，且．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：．21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）推斷函數(shù)的奇偶性并加以證明；（Ⅱ）若關于x的不等式有解，求實數(shù)t的取值范圍．22．（12分）已知二次函數(shù)滿意，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）已知，探討在上的最小值；（Ⅲ）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

皖豫名校2024—2024學年（上）高一年級階段性測試（二）數(shù)學·答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．答案D解析，故．2．答案A解析不等式的解集是，可得，，則．3．答案A解析由，即，解得，則成立的充分不必要條件可以是．4．答案C解析因為函數(shù)，所以，所以，，．5．答案B解析∵為冪函數(shù)，∴，∴，則的定義域為，并且在定義域上為增函數(shù)．由得解得．6．答案C解析由題可知的定義域為，，所以為奇函數(shù)，解除A，D．因為，解除B，故選C．7．答案D解析由，可得，，所以．因為的值域為，所以，可得，故．令，解得或．所以m最小為，n最大為3，則的最大值為4．8．答案B解析作出函數(shù)的大致圖象如圖所示．由可得．由圖可知，方程有兩個不等的實根，由題意可知，方程有且只有一個實根，故或，解得或．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．答案ABD解析對于A，，是減函數(shù)，所以A正確；對于B，可將命題改寫為：，使得為質數(shù)，則命題為存在量詞命題，所以B正確；對于C，，，所以C錯誤；對于D，命題p：，的否定是：，，所以D正確．10．答案BC解析對于A，若，令，，則，，，故A錯誤；對于B，明顯，則，則，故B正確；對于C，因為，所以，所以，同理可得，即，故C正確；對于D，，因為，所以，，，故，即，故D錯誤．11．答案BD解析對于A，在上是增函數(shù)，當時，，故A錯誤；對于B，在上單調遞增，當時，，故B正確；對于C，在上單調遞減，當時，，故C錯誤；對于D，在上單調遞增，當時，，故D正確．12．答案BD解析對于A，不等式即，又在上單調遞減，所以，解得，A錯誤；對于B，由得，，又，所以，B正確；對于C，因為，所以，所以不存在，使得，C錯誤；對于D，，故是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，D正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．答案解析由題可知，．14．答案解析易知函數(shù)在上單調遞增，且．即，所以，．15．答案解析由題可知，解得．．∵，∴．∵的最小值為，∴，，即，得，即．16．答案解析不等式對隨意恒成立，且，∴．當時，不等式恒成立等價于對于隨意恒成立．令，則，由對勾函數(shù)性質易得在時，單調遞增，故，∴，與沖突，故此時k不存在．當時，不等式恒成立等價于對于隨意恒成立，當時，明顯成立，當時，不等式等價于對于隨意恒成立，令，則，由對勾函數(shù)性質易得在時，單調遞減，故，∴．綜上，．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．解（Ⅰ）原式 （3分）． （5分）（Ⅱ）原式 （7分）． （10分）18．解（Ⅰ）由題可知，即，解得，所以． （2分）若，則． （4分）所以． （6分）（Ⅱ）當，即時，，符合題意； （8分）當，即時，有解得． （10分）綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為． （12分）19．解（Ⅰ）過濾2h后，，所以污染物的濃度與初始濃度的比值是． （4分）（Ⅱ）由題意知，前4h消退了80%的污染物，又因為，所以，所以． （7分）設廢氣中污染物的濃度為初始濃度的4%時所需過濾時間為，由，即，得，所以， （10分）故至少還需過濾才能排放． （12分）20．解（Ⅰ） （3分），當且僅當時取等號，所以． （6分）（Ⅱ）由基本不等式可得，當且僅當，即時取等號， （8分）∴，同理，，由題可知上述三式等號不能同時成立． （10分）∴，即原不等式得證． （12分）21．解（Ⅰ）函數(shù)為奇函數(shù)． （1分）證明如下：易知的定義域為，因為， （3分）所以為上的奇函數(shù)． （4分）（Ⅱ），是奇函數(shù)且在定義域上單調遞增． （5分）不等式有解即有解，由的奇偶性可知進一步等價于有解，由的單調性可知進一步等價于有解，即不等式有解． （8分）因為，所以，，所以的取值范圍是， （10分）所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是． （12分）22．解（Ⅰ）設，因為，所以，則 （1分）因為，所以解得 （3