Page1遼寧省五校2024-2025學年高三上學期期末考試數學試題變式題【原卷1題】學問點交集的概念及運算,解不含參數的一元二次不等式,詳細函數的定義域【正確答案】D1-1（基礎）設集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A

1-2（基礎）若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D

1-3（鞏固）已知集合，，則（）A. B.或 C. D.【正確答案】D

1-4（鞏固）若集合，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A

1-5（提升）設集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】D

1-6（提升）已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B

【原卷2題】學問點求復數的模,復數代數形式的乘法運算,復數的除法運算【正確答案】D2-1（基礎）若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C

2-2（基礎）設復數，則（）A. B.4 C. D.2【正確答案】D

2-3（鞏固）已知復數（為虛數單位），則（）A. B.5 C. D.【正確答案】A

2-4（鞏固）若復數z滿足，則（）A.1 B.3 C.5 D.7【正確答案】C

2-5（提升）已知，且，其中是虛數單位，則等于（）A.5 B. C. D.1【正確答案】B

2-6（提升）已知復數z滿足，則（）．A. B. C. D.8【正確答案】A

【原卷3題】學問點比較指數冪的大小,比較對數式的大小【正確答案】A3-1（基礎）設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【正確答案】D

3-2（基礎）已知,,,則的大小關系是（）A. B. C. D.【正確答案】A

3-3（鞏固）已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【正確答案】C

3-4（鞏固）已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D

3-5（提升）設是定義域為R上的偶函數，且在單調遞增，則（）A. B.C. D.【正確答案】B

3-6（提升）設，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C

【原卷4題】學問點推斷命題的必要不充分條件,一元二次不等式在實數集上恒成立問題【正確答案】C4-1（基礎）命題成立的充分必要條件是（）A. B. C. D.【正確答案】D

4-2（基礎）“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.或【正確答案】B

4-3（鞏固）命題“，”是命題“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A

4-4（鞏固）關于的不等式恒成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【正確答案】D

4-5（提升）設命題甲：，是真命題；命題乙：函數在上單調遞減是真命題，那么甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B

4-6（提升）函數的定義域為的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【正確答案】C

【原卷5題】學問點指定區間的概率【正確答案】B5-1（基礎）在某校的一次化學考試中，全體考生的成果近似地聽從正態分布，已知成果在90分以上（含90分）的學生有32名.則參與考試的學生總數約為（）（參考數據：，，）A.202 B.205 C.206 D.208【正確答案】A

5-2（基礎）某市高三理科學生出名，在一次調研測試中，數學成果聽從正態分布，已知，若按成果采納分層抽樣的方式抽取100份試卷進行分析，則應從分以上的試卷中抽取的份數為（）A.60 B.40 C.30 D.15【正確答案】C

5-3（鞏固）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的探討?應用與推廣，創建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食平安?農業科學發展和世界糧食供應作出了杰出貢獻.某水稻種植探討所調查某地雜交水稻的平均畝產量，得到畝產量（單位：聽從正態分布.已知時，有.9973.下列說法錯誤的是（）A.該地水稻的平均畝產量是B.該地水稻畝產量的方差是400C.該地水稻畝產量超過的約占D.該地水稻畝產量低于的約占【正確答案】C

5-4（鞏固）在某次數學考試中，學生成果聽從正態分布.若在內的概率是，則從參與這次考試的學生中隨意選取3名學生，恰有2名學生的成果不低于85的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】A

5-5（提升）下列說法正確的是（）A.隨機變量X聽從兩點分布，若，則B.隨機變量，若，，則C.隨機變量X聽從正態分布，且，則D.隨機變量X聽從正態分布，且滿足，則隨機變量Y聽從正態分布【正確答案】D

5-6（提升）小明上學有時做公交車，有時騎自行車，他記錄多次數據，分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4，假設做公交車用時，騎自行車用時，則（）A. B.C.假如有38分鐘可用，小明應選擇坐公交車 D.假如有34分鐘可用，小明應選擇自行車【正確答案】B

【原卷6題】學問點由項的系數確定參數【正確答案】D6-1（基礎）在綻開式中的系數為24，則實數a的值為（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】D

6-2（基礎）已知（a，b均為常數）的綻開式中第4項的系數與含項的系數分別為-80與80，則（）A.3 B.2 C.-2 D.-3【正確答案】A

6-3（鞏固）在的二項綻開式中，若常數項為60，則n等于（）A.3 B.6 C.9 D.12【正確答案】B

6-4（鞏固）的綻開式中含有常數項，則n的最小值等于（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B

6-5（提升）已知的綻開式中常數項為，則（）A. B.C. D.【正確答案】A

6-6（提升）關于二項式，若綻開式中含的項的系數為，則（）A.3 B.2 C.1 D.-1【正確答案】C

【原卷7題】學問點依據拋物線上的點求標準方程,與拋物線焦點弦有關的幾何性質【正確答案】C7-1（基礎）如圖所示，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A

7-2（基礎）已知拋物線，過其焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若，且拋物線C上存在點M與x軸上一點關于直線l對稱，則該拋物線的方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D

7-3（鞏固）設拋物線：的焦點為，準線為，為拋物線上一點，以為圓心的圓與準線相切，且過點，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.或【正確答案】D

7-4（鞏固）已知拋物線：（）的焦點為，為該拋物線上一點，以為圓心的圓與的準線相切于點，，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C

7-5（提升）已知拋物線C：的焦點F，點是拋物線上一點，以M為圓心的圓與直線交于A、B兩點（A在B的上方），若，則拋物線C的方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C

7-6（提升）設拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點．若，且的面積為，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B

【原卷8題】學問點組合體的切接問題,柱體體積的有關計算【正確答案】C8-1（基礎）“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在探討球的體積過程中構造的一個和諧美麗的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C

8-2（基礎）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精致，尊內底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個出現“德”字的器物，證明白周王朝以德治國的理念，何尊的形態可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經測量可知圓臺的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（）（其中的值取3）A.11280cm3 B.12380cm3 C.12680cm3 D.12280cm3【正確答案】D

8-3（鞏固）《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中的一個寓言故事，通過講解并描述一只烏鴉喝水的故事，告知人們遇到困難要運用才智、仔細思索才能讓問題迎刃而解的道理.如圖所示，烏鴉想喝水，發覺有一個錐形瓶，已知該錐形瓶上面的部分是圓柱體，下面的部分是圓臺，瓶口的直徑為3cm，瓶底的直徑為9cm，瓶口距瓶頸，瓶頸到水位線的距離和水位線到瓶底的距離均為.現將1顆石子投入瓶中，發覺水位線上移，當水位線離瓶口不大于時，烏鴉就能喝到水，則烏鴉共須要投入的石子數量至少是（石子體積均視為一樣）（）A.2顆 B.3顆 C.4顆 D.5顆【正確答案】B

8-4（鞏固）徽硯又名歙硯，中國四大名硯之一，是硯史上與端硯齊名的珍品.以硯石在古歙州府加工和集散而得名，徽硯始于唐代，據北宋唐積《歙州硯譜》載：婺源硯在唐開元中，獵人葉氏逐獸至長城里，見疊石如城壘狀，瑩潔可愛，因攜之歸，刊出成硯，溫潤大過端溪，此后，徽硯天下聞名，如圖所示的徽硯近似底面直徑為，高為的圓柱體，則該徽硯的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C

8-5（提升）阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希臘宏大的數學家、物理學家和天文學家.后人依據他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球（如圖所示），該球與圓柱的兩個底面及側面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.若該球的體積為，則圓柱的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C

8-6（提升）圖中的機械設備叫做“轉子發動機”，其核心零部件之一的轉子形態是“曲側面三棱柱”，圖是一個曲側面三棱柱，它的側棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”（如圖），萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，若曲側面三棱柱的高為，底面隨意兩頂點之間的距離為，則其體積為（）A. B.C. D.【正確答案】B

【原卷9題】學問點基底的概念及辨析,平面對量數量積的幾何意義,向量夾角的計算,垂直關系的向量表示【正確答案】ABD9-1（基礎）關于平面對量有下列四個命題，其中正確的命題為（）A.若，則B.已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是C.對于非零向量，，則D.單位向量和，滿足，則與的夾角為【正確答案】CD

9-2（基礎）關于平面對量，有下列四個命題，其中說法正確的是（）A.若，則B.點，與向量同方向的單位向量為C.若，則與的夾角為60°D.若向量，則向量在向量上的投影向量為【正確答案】ABD

9-3（鞏固）下列選項中正確的是（）A.若平面對量，滿足，則的最大值是5；B.在中，，，O是的外心，則的值為4；C.函數的圖象的對稱中心坐標為D.已知P為內隨意一點，若，則點P為的垂心；【正確答案】ABD

9-4（鞏固）下列關于平面對量的說法中正確的是（）A.，，若與共線，則B.已知，．若與垂直，則C.若點為的重心，則D.平面上三點的坐標分別為，，，若點與A，B，三點能構成平行四邊形的四個頂點，則的坐標可以是【正確答案】ACD

9-5（提升）下列說法錯誤的是（）A.若，則存在唯一實數使得B.兩個非零向量，，若，則與共線且反向C.已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是D.在中，，則為等腰三角形【正確答案】AC

9-6（提升）已知均為非零向量，則下列結論中正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，，且，則的最大值與最小值之和為【正確答案】CD

【原卷10題】學問點計算幾個數的平均數,平均數的和差倍分性質,計算幾個數據的極差、方差、標準差,各數據同時加減同一數對方差的影響【正確答案】BCD10-1（基礎）有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到的另一組數據，，…，，滿足（為非零常數），則下列結論肯定成立的是（）A.兩組數據的樣本平均數不同 B.兩組數據的中位數相同C.兩組數據的樣本方差相同 D.兩組數據的樣本標準差不同【正確答案】AC

10-2（基礎）已知一組樣本數據，，，…，，將這組樣本數據中的每一個數加2，得到一組新樣本數據，，，…，，則（）A.兩組樣本數據的中位數相同 B.兩組樣本數據的極差相同C.兩組樣本數據的標準差相同 D.兩組樣本數據的平均數相同【正確答案】BC

10-3（鞏固）下列結論中正確的是（）A.在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等B.一組數據中的每個數都減去同一個非零常數a，則這組數據的平均數變更，方差不變更C.一個樣本的方差，則這組樣本數據的總和等于60D.數據，，，．．．，的方差為M，則數據，，，…，的方差為2M【正確答案】ABC

10-4（鞏固）已知數據，…，的眾數?平均數?方差?第80百分位數分別是，，，，數據，，，…，的眾數?平均數?方差?第80百分位數分別是，，，，且滿足，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】BCD

10-5（提升）有一組樣本數據，由這組樣本數據等到新的樣本數據，，其中，則（）A.兩組數據的樣本極差的差值與有關，與無關B.兩組數據的樣本方差的差值與有關，與有關C.兩組數據的樣本平均數的差值與有關，與無關D.兩組數據的樣本中位數的差值與有關，與有關【正確答案】AD

10-6（提升）下列說法正確的有（）A.已知一組數據7，7，8，9，5，6，8，8，則這組數據的中位數為8B.已知一組數據，，，…，的方差為2，則，，，…，的方差為2C.具有線性相關關系的變量，，其線性回來方程為，若樣本點的中心為，則D.若隨機變量聽從正態分布，，則【正確答案】BD

【原卷11題】學問點直線的傾斜角,直線過定點問題,由直線與圓的位置關系求參數【正確答案】BC11-1（基礎）已知直線，圓，則下列說法正確的是（）A.直線與圓肯定有公共點B.當時直線被圓截得的弦最長C.當直線與圓相切時，D.圓心到直線的距離的最大值為【正確答案】BCD

11-2（基礎）下列說法正確的是（）A.過點且在、軸截距相等的直線方程為B.過點且垂直于直線的直線方程為C.圓的一般方程為D.直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍【正確答案】BD

11-3（鞏固）下列命題中，表述正確的是（）A.直線恒過定點B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，為切點，則直線經過定點【正確答案】BD

11-4（鞏固）下列說法錯誤的是（

）A.過點且在、軸截距相等的直線方程為B.過，兩點的直線方程為C.過點可作圓的兩條切線，則實數的取值范圍是D.直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是【正確答案】ABC

11-5（提升）關于直線與圓，下列說法正確的是（）A.若直線l與圓C相切，則為定值 B.若，則直線l被圓C截得的弦長為定值C.若，則直線l與圓C相離 D.是直線l與圓C有公共點的充分不必要條件【正確答案】ABD

11-6（提升）下列結論正確的是（）A.若三點共線，則的值為0；B.已知兩點，過點的直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍為；C.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1；D.與圓相切，且在軸?軸上的截距相等的直線有三條.【正確答案】ACD

【原卷12題】學問點對數的運算,依據函數零點的個數求參數范圍,由奇偶性求參數【正確答案】AB12-1（基礎）已知分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且，則下列說法正確的有（）A. B.在上單調遞減C.關于直線對稱 D.的最小值為1【正確答案】ACD

12-2（基礎）若函數，分別為上的奇函數，偶函數，且滿足，則有（）A. B.C. D.【正確答案】AD

12-3（鞏固）是定義在上的函數，若是奇函數，是偶函數，函數，則下列選項正確的有（）A. B.C. D.當時，【正確答案】ACD

12-4（鞏固）定義在上的奇函數和偶函數滿足：，下列結論正確的有（）A.，且B.，總有C.，總有D.，使得【正確答案】ABC

12-5（提升）已知函數，，若函數有唯一零點，則以下四個命題正確的是（）A.B.曲線在點處的切線與直線平行C.函數在上的最大值為D.函數在上單調遞增【正確答案】AB

12-6（提升）函數，函數（）A.存在使 B.當，函數有唯一零點C.當，函數無零點 D.當時，函數有唯一零點【正確答案】BC

【原卷13題】學問點求雙曲線的焦點坐標,由圓的一般方程確定圓心和半徑【正確答案】13-1（基礎）若雙曲線的右焦點與圓的圓心重合，則___________.【正確答案】

13-2（基礎）已知雙曲線的漸近線過圓的圓心，則__________．【正確答案】4

13-3（鞏固）已知圓關于雙曲線：的一條漸近線對稱，則_________.【正確答案】

13-4（鞏固）設圓與雙曲線的漸近線相切，則實數________．【正確答案】或

13-5（提升）已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______．【正確答案】2

13-6（提升）已知圓恰好被雙曲線的一條漸近線平分成周長相等的兩部分，則的離心率為____________．【正確答案】

【原卷14題】學問點二倍角的余弦公式【正確答案】14-1（基礎）已知，則________.【正確答案】

14-2（基礎）若，則的值為_______．【正確答案】

14-3（鞏固）已知，則______．【正確答案】

14-4（鞏固）已知?，則?_________【正確答案】或

14-5（提升）若，，則___________.【正確答案】-1

14-6（提升）已知，則的值是____.【正確答案】

【原卷15題】學問點由遞推關系證明等比數列,求等比數列前n項和【正確答案】15-1（基礎）已知數列的前n項和，且，則的值為___________．【正確答案】

15-2（基礎）已知數列，滿足，且，則___________.【正確答案】

15-3（鞏固）已知數列的前n項和為，若，，則______．【正確答案】93

15-4（鞏固）已知數列的前n項和為，則的值為______.【正確答案】或

15-5（提升）如圖，方格蜘蛛網是由一族正方形環繞而成的圖形，每個正方形的四個項點都在其外接正方形的四邊上，且分邊長為4:3，現用26米長的鐵絲材料制作一個方格蜘蛛網，若最外邊的正方形邊長為2米，由外到內依次制作，則完整的正方形的個數最多為__________.(參考數據:)【正確答案】7

15-6（提升）已知數列滿足對任何正整數n均有，設，則數列的前2024項之和為________.【正確答案】

【原卷16題】學問點求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,函數與導數綜合【正確答案】16-1（基礎）已知函數，若關于的方程在上有解，則的最小值為______．【正確答案】

16-2（基礎）定義方程的實根叫做函數的“新駐點”，若函數，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為_______.【正確答案】

16-3（鞏固）已知關于x的方程有4個不等實數根，則a的取值范圍是______．【正確答案】

16-4（鞏固）定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”、假如函數與的“新駐點”分別為，那么和的大小關系是__________．【正確答案】

16-5（提升）已知關于的方程有三個實數根，則的取值范圍是__________.【正確答案】

16-6（提升）已知方程恰有四個不同實數根，當函數時，實數的取值范圍是_______.【正確答案】

【原卷17題】學問點正弦定理,三角形面積公式,余弦定理【正確答案】17-1（基礎）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．1、求角C的大小；2、若，求的面積．【正確答案】1、2、

17-2（基礎）在中，分別為角所對的邊.已知，，.1、求的值；2、求的面積.【正確答案】1、22、

17-3（鞏固）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，點D在線段AC上，且，，.1、求角B的大小；2、求的面積.【正確答案】1、2、

17-4（鞏固）在中，角所對的邊分別為，且，的中線長為．1、證明：；2、求的面積最大值．【正確答案】1、2、

17-5（提升）的內角A，B，C所對的邊分別為．1、求A的大小；2、M為內一點，的延長線交于點D，___________，求的面積．請在下面三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題．①M為的重心，；②M為的內心，；③M為的外心，．【正確答案】1、2、答案見解析

17-6（提升）在平面四邊形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．1、若cos∠CBD＝，求；2、記四邊形ABCD的面積為,求的最大值．【正確答案】1、2、

【原卷18題】學問點等差數列通項公式的基本量計算,求等差數列前n項和,裂項相消法求和【正確答案】18-1（基礎）在①，；②；③，是與的等比中項，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．已知為等差數列的前n項和，若________．1、求；2、記，已知數列的前n項和，求證：【正確答案】1、2、證明見解析

18-2（基礎）在①是與的等比中項：②；③這三個條件中任選兩個補充到下面的橫線中并解答．問題：已知公差不為零的等差數列的前項和為，且滿足______．1、求；2、若，求數列的前項和．注：假如選擇多個組合分別作答，按第一個解答計分．【正確答案】1、2、

18-3（鞏固）在①且，②且，③正項數列滿足這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題:已知數列的前項和為，且______?1、求數列的通項公式:2、求證：.【正確答案】1、2、證明見解析

18-4（鞏固）設數列的前項和為，已知，__________.1、求數列的通項公式；2、設，數列的前項和為，證明：.從下列兩個條件中任選一個作為已知，補充在上面問題的橫線中進行求解（若兩個都選，則按所寫的第1個評分）：①數列是以為公差的等差數列；②.【正確答案】1、選擇①②，都有；2、證明見解析.

18-5（提升）已知的前n項和為，，且滿足______，現有以下條件：①；②；③請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：1、求數列的通項公式；2、若，求的前n項和，并證明：．【正確答案】1、；2、；證明見解析.

18-6（提升）已知等差數列與正項等比數列，滿足，，.1、求數列和的通項公式；2、在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并完成求解.若______，求數列的前項和.（注：若多選，以選①評分）【正確答案】1、，2、見解析

【原卷19題】學問點求點面距離,線面角的向量求法,點到平面距離的向量求法【正確答案】19-1（基礎）如圖，在直三棱柱中，E，F，G分別為線段及的中點，P為線段上的點，，三棱柱的體積為240．1、求點F到平面的距離；2、試確定動點P的位置，使直線與平面所成角的正弦值最大．【正確答案】1、2、P為中點

19-2（基礎）如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點，已知，．1、證明：平面；2、求與平面所成角的正弦值；3、求到平面的距離．【正確答案】1、證明見解析2、3、

19-3（鞏固）如圖，在三棱柱中，平面平面，是矩形，已知，動點在棱上，點在棱上，且.1、求證：;2、若直線與平面所成角的正弦值為，求的值;3、在滿足（2）的條件下，求點到平面的距離.【正確答案】1、證明見解析；2、；3、點到平面的距離為.

19-4（鞏固）在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，點為棱的中點．1、求證：平面；2、求直線與平面所成角的正弦值；3、求點到平面的距離．【正確答案】1、證明見解析2、3、1

19-5（提升）已知是銳角三角形，分別以為直徑作三個球.這三個球交于一點.1、若，求到平面的距離；2、記直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，證明：為定值.【正確答案】1、；2、證明見解析.

19-6（提升）如圖所示，在三棱柱中，，，，平面平面，點是線段的中點.1、求證：平面；2、求直線與平面所成角的正弦值.3、若點在線段上，且平面，求點到平面的距離.【正確答案】1、證明見解析2、3、

【原卷20題】學問點依據a、b、c求橢圓標準方程,橢圓中的定值問題【正確答案】20-1（基礎）已知橢圓()的離心率為，其右焦點為F，點，且．1、求C的方程；2、過點P且斜率為()的直線l與橢圓C交于A、B兩點，過A、B分別作y軸的垂線，垂足為M、N，直線AN與直線交于點E，證明：B、M、E三點共線．【正確答案】1、；2、證明見解析﹒

20-2（基礎）已知橢圓C：過點，離心率．1、求橢圓C的方程；2、設橢圓C的左右兩個頂點分別為A，B．過點的直線與橢圓C交于M、N（不與A、B重合）兩點，直線AM與直線交于點Q，證明：B、N、Q三點共線．【正確答案】1、；2、證明見解析.

20-3（鞏固）如圖，已知橢圓分別是長軸的左、右兩個端點，是右焦點．橢圓C過點，離心率為．1、求橢圓C的方程；2、設直線上有兩個點，且，連接交橢圓C于另一點P（不同于點），證明：三點共線．【正確答案】1、2、證明見解析

20-4（鞏固）已知橢圓：（）過點，且焦距與長軸之比為.設，為橢圓的左?右頂點，為橢圓上異于，的一點，直線，分別與直線：相交于，兩點，且直線與橢圓交于另一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：直線與的斜率之積為定值；（3）推斷三點，，是否共線，并證明你的結論.【正確答案】（1）；（2）定值為，證明見解析；（3），，三點共線，證明見解析.

20-5（提升）已知A?B為橢圓=1(a>b>0)和雙曲線=1的公共頂點，P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A，B的動點，且滿足，設直線AP?BP?AQ?BQ的斜率分別為k1?k2?k3?k4.（1）求證：點P?Q?O三點共線；（2）當a=2，b=時，若點P?Q都在第一象限，且直線PQ的斜率為，求△BPQ的面積S；（3）若F1?F2分別為橢圓和雙曲線的右焦點，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）8.

20-6（提升）已知橢圓：，四點，，，中恰有三個點在橢圓上，，是橢圓上的兩動點，設直線，的斜率分別為，.1、求橢圓的方程；2、若，，三點共線，求的值.【正確答案】1、2、

【原卷21題】學問點卡方的計算,獨立重復試驗的概率問題【正確答案】21-1（基礎）某種疾病可分為Ⅰ?II兩種類型.為了解該疾病類型與性別是否有關，在某地區隨機抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一種，得到下面的列聯表：Ⅰ型病II型病男15050女125751、依據列聯表，推斷是否有99%的把握認為所患疾病類型與性別有關.2、某藥品公司欲研發此疾病的治療藥物，現有兩種試驗方案，每種方案至多支配2個接種周期，且該藥物每次接種后出現抗體的概率為p（0<p<1），每人每次接種的費用為m元（m為大于零的常數）.方案一：每個周期必需接種3次，若在第一個周期內3次出現抗體，則終止試驗；否則進入其次個接種周期.方案二：每個周期至多接種3次，若第一個周期前兩次接種后均出現抗體，則終止本周期的接種，進入其次個接種周期，否則需依次接種完3次，再進入其次個接種周期；若其次個接種周期第1次接種后出現抗體，且連同第一個接種周期共3次出現抗體，則終止試驗，否則需依次接種完3次.假設每次接種后出現抗體與否相互獨立.用隨機變量X和Y分別表示按方案一和方案二進行一次試驗的費用.①求和；②從平均費用的角度考慮，哪種方案較好？參考公式：，其中n=a+b+c+d.參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.001x02.7063.8415.0246.6357.87910.828【正確答案】1、有99%的把握認為所患疾病類型與性別有關；2、①；；②方案二較好.

21-2（基礎）電子郵件是一種用電子手段供應信息交換的通信方式，是互聯網應用最廣的服務．通過網絡的電子郵件系統，用戶可以以特別低廉的價格（不管發送到哪里，都只需負擔網費）、特別快速的方式（幾秒鐘之內可以發送到世界上任何指定的目的地），與世界上任何一個角落的網絡用戶聯系．我們在用電子郵件時發覺了一個好玩的現象，中國人的郵箱名稱里含有數字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數字的比較少．為了探討郵箱名稱里含有數字是否與國籍有關，隨機調取40個郵箱名稱，其中中國人的20個，外國人的20個，在20個中國人的郵箱名稱中有15個含數字，在20個外國人的郵箱名稱中有5個含數字．（1）依據以上數據填寫列聯表：中國人外國人總計郵箱名稱里有數字郵箱名稱里多數字總計（2）能否有99％的把握認為“郵箱名稱里含有數字與國籍有關”？（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率．在中國人郵箱名稱里和外國人郵箱名稱里各隨機調取6個郵箱名稱，記“6個中國人郵箱名稱里恰有3個含數字”的概率為，“6個外國人郵箱名稱里恰有3個含數字”的概率為，試比較與的大小．附：臨界值參考表與參考公式（，其中）【正確答案】（1）聯表見解析；（2）有的把握認為“郵箱名稱里含有數字與國籍有關”；（3）．

21-3（鞏固）習近平總書記在黨的十九大工作報告中提出，恒久把人民美妙生活的憧憬作為奮斗目標．在這一號召下，全國人民主動工作，健康生活．當前，“日行萬步”正式成為健康生活的代名詞．某地一探討團隊統計了該地區1000位居民的日行步數，得到如下表格：日行步數（單位：千步）人數104015020035020050（1）為探討日行步數與居民年齡的關系，以日行步數是否超過8千步為標準進行分層抽樣，從上述1000位居民中抽取200人，得到如下列聯表，請將列聯表補充完整，并依據列聯表推斷是否有的把握認為日行步數與居民年齡超過40歲有關；日行步數千步日行步數千步總計40歲以上12040歲以下（含40歲）40總計200（2）以這1000位居民日行步數超過8千步的頻率代替該地區1位居民日行步數超過8千的概率，每位居民日行步數是否超過8千相互獨立．為了深化探討，該探討團隊隨機調查了20位居民，其中日行步數超過8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？附：，其中．0.050.0250.0103.8415.0246.635【正確答案】（1）答案見解析；（2）12位居民．

21-4（鞏固）隨著我國人民生活條件持續改善，國民身體素養明顯增加，人均預期壽命不斷延長，2024年我國人均預期壽命達到77歲.居民人均壽命提升?健康狀況改善，使得群眾生產生活中駕車出行需求持續增長，呼吁進一步放寬學駕年齡，進一步便利就近體檢.2024年10月22日，公安部新聞發布會上宣布，取消申請小型汽車?小型自動擋汽車?輕巧摩托車駕駛證70周歲的年齡上限.為了了解70歲以上人群對考取小型汽車駕照新規的看法，某探討單位對某市的一個大型社區中70歲以上人員進行了隨機走訪調研，在48名男性人員中有36人持“主動響應”看法?12人持“不主動響應”看法，在24名女性人員中持“主動響應”看法和“持不主動響應看法”的各有12人.（1）完成下面列聯表，并推斷是否有95%的把握認為對考小型汽車駕照的看法與性別有關？主動響應不主動響應合計男女合計（2）在被走訪的持“不主動響應”的樣本中任取2人，記男性人數為X，求X的分布列和數學期望E(X)；（3）不計性別，以樣本的頻率估計概率，在該市的70歲以上人群中任取4人，求至少有2人持“主動響應”看法的概率.附：，.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】（1）列聯表答案見解析，有95%的把握認為對考小型汽車駕照的看法與性別有關；（2）分布列答案見解析，數學期望：；（3）.

21-5（提升）世衛組織近日表示，Delta毒株已擴散至92個國家和地區．這讓某國某州的醫療一度面臨崩遺．某國衛生與公共服務部數據顯示，在6月23日至7月7日的兩周里，該州新冠肺炎確診病例數新增，平均每周增長1111個病例數，每周人均感染病例人數高居全國首位．在醫學視察期結束后發覺親密接觸者中未接種過新冠疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家120個接種與未接種新冠疫苗的親密接觸者樣本醫學視察結束后，統計了感染病毒狀況，得到下面的列聯表：接種新冠疫苗與否/人數感染Delta病毒未感染Delta病毒未接種新冠疫苗2030接種新冠疫苗10601、是否有的把握認為親密接觸者感染Delta病毒與未接種新冠疫苗有關；2、以樣本中結束醫學現察的親密接觸者感染Delta病毒的頻率估計概率．現從該地區結束醫學視察的親密接觸者中隨機抽取4人進行感染Delta病毒人數統計，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；3、該國現有一個中風險村莊，當地政府確定對村莊內全部住戶進行排查．在排查期間，發覺一戶3口之家與確診患者有過親密接觸，這種狀況下醫護人員要對其家庭成員逐一進行Delta病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結果，若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當p為何值時，最大？附：．0.10.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】1、有的把握認為親密接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關2、3、

21-6（提升）攜號轉網，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需變更自己的手機號碼，就能轉換運營商，并享受其供應的各種服務．2024年11月27日，工信部宣布攜號轉網在全國范圍正式啟動．某運營商為提質量保客戶，從運營系統中選出300名客戶，對業務水平和服務水平的評價進行統計，其中業務水平的滿足率為，服務水平的滿足率為，對業務水平和服務水平都滿足的客戶有180人．（Ⅰ）完成下面列聯表，并分析是否有的把握認為業務水平與服務水平有關；對服務水平滿足人數對服務水平不滿足人數合計對業務水平滿足人數對業務水平不滿足人數合計（Ⅱ）為進一步提高服務質量，在選出的對服務水平不滿足的客戶中，抽取2名征求改進看法，用表示對業務水平不滿足的人數，求的分布列與期望；（Ⅲ）若用頻率代替概率，假定在業務服務協議終止時，對業務水平和服務水平兩項都滿足的客戶流失率為，只對其中一項不滿足的客戶流失率為，對兩項都不滿足的客戶流失率為，從該運營系統中任選4名客戶，則在業務服務協議終止時至少有2名客戶流失的概率為多少？附：，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【正確答案】（Ⅰ）列聯表詳見解析，有的把握認為業務水平滿足與服務水平滿足有關；（Ⅱ）分布列詳見解析，期望為；（Ⅲ）．

【原卷22題】學問點利用導數證明不等式,利用導數探討方程的根,求已知函數的極值點【正確答案】22-1（基礎）己知函數（e是自然對數的底數）.1、若是函數的兩個零點，證明：；2、當時，若對于，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數m的取值范圍.【正確答案】1、見解析；2、.

22-2（基礎）已知函數（）1、當時，有兩個實根，求取值范圍；2、若方程有兩個實根，且，證明：【正確答案】1、取值范圍是2、證明見解析

22-3（鞏固）已知函數，.1、若不等式對于恒成立，求實數的取值范圍；2、若方程有且僅有兩個實根，①求實數的取值范圍；②證明：.【正確答案】1、；2、①；②證明見解析.

22-4（鞏固）已知函數在處的切線方程為．1、求a，b的值；2、若方程有兩個實數根，

①證明：；

②當時，是否成立？假如成立，請簡要說明理由．【正確答案】1、，2、①證明見解析，②成立，理由見解析

22-5（提升）已知函數，其中.1、求函數的單調區間；2、當時，①證明：；②方程有兩個實根，且，求證：.【正確答案】1、單調遞減區間為，單調遞增區間為2、①證明見解析；②證明見解析

22-6（提升）已知函數.1、若，探討的單調性；2、若方程有兩個不同的實數根.（i）求的取值范圍；（ii）若，求證：.(參考數據：)【正確答案】1、答案見解析；2、(i)；(ii)證明見解析.

答案解析1-1【基礎】【正確答案】A【試題解析】分析:用列舉法寫出集合，求出集合，再寫出與的交集即可.詳解:由集合，解得；由，解得，則.故選：A1-2【基礎】【正確答案】D【試題解析】分析:干脆解出集合，再求交集即可.詳解:，，則.故選：D.1-3【鞏固】【正確答案】D【試題解析】分析:解不等式求得集合，由此求得.詳解:，解得或，所以或.在上遞增，，所以，所以，所以.故選：D1-4【鞏固】【正確答案】A【試題解析】分析:解二次不等式和指數不等式，再求解集的交集.詳解:不等式解得或，集合或.不等式解得，集合.∴故選：A1-5【提升】【正確答案】D【試題解析】分析:利用集合的交集運算即可.詳解:由已知，所以集合又因為，，所以集合故選：D1-6【提升】【正確答案】B【試題解析】分析:由對數型函數的定義域和肯定值不等式學問求得集合與集合，再由集合的基本運算求解.詳解:依據題意，得，∴，又∵，由得，解得，∴，∴.故選：B.2-1【基礎】【正確答案】C【試題解析】分析:設，，由條件列方程求，再由復數的模的公式求.詳解:設，，因為，所以，，所以，，所以，故選：C.2-2【基礎】【正確答案】D【試題解析】分析:先求再求模長可得答案.詳解:.故選：D．2-3【鞏固】【正確答案】A【試題解析】分析:依據復數的除法運算法則化簡，進而由模長公式即可求解.詳解:，則.故選：A.2-4【鞏固】【正確答案】C【試題解析】分析:利用復數的除法運算化簡，再利用復數模的公式即可求解詳解:由可得，所以，故選：C2-5【提升】【正確答案】B【試題解析】分析:利用復數乘法法則進行計算，得到，再運用模長公式求解.詳解:由得：，即，解得，從而.故選：B2-6【提升】【正確答案】A【試題解析】分析:依據復數的除法求出z,再依據復數模的計算即可求得答案.詳解:因為，所以，故，故選：A.3-1【基礎】【正確答案】D【試題解析】分析:依據指數函數，冪函數的單調性，對進行比較，即可推斷和選擇.詳解:因為以及是上的單調減函數，故可得，，即，；又因為，而是上的單調增函數，則，即.故.故選：D.3-2【基礎】【正確答案】A【試題解析】分析:依據構造函數,推斷單調性,推斷數的大小范圍,進而比較大小即可.詳解:解：構造可知單調遞增,,,造可知單調遞減,,,構造可知單調遞減,,,所以.故選:A3-3【鞏固】【正確答案】C【試題解析】分析:利用指數、對數函數的單調性即可比較大小.詳解:因為,所以,,即,,即,所以,故選:C.3-4【鞏固】【正確答案】D【試題解析】分析:依據對數函數與指數函數單調性即可得到大小關系.詳解:為上單調遞增函數,則,為上單調遞減函數,則,且,由為上單調遞增函數,可得,則,故選：D.3-5【提升】【正確答案】B【試題解析】分析:由偶函數性質得，由對數函數與指數函數性質比較，，的大小，再由單調性得大小關系．詳解:∵是R上的偶函數，∴.∵，，∴，又在單調遞增，∴，∴，故選：B.3-6【提升】【正確答案】C【試題解析】分析:由函數單調性，對數運算及中間值比較大小.詳解:因為單調遞增，故，又，所以．故選：C4-1【基礎】【正確答案】D【試題解析】分析:求命題成立的等價條件由此可得其成立的充分必要條件.詳解:∵，∴命題成立的充分必要條件是，故選：D．4-2【基礎】【正確答案】B【試題解析】分析:首先依據的解集為得到，再依據必要不充分條件即可得到答案.詳解:不等式的解集為等價于的解集為.所以，解得.所以的一個必要不充分條件是.故選：B點睛:本題主要考查必要不充分條件，同時考查二次不等式恒成立問題，屬于簡潔題.4-3【鞏固】【正確答案】A【試題解析】分析:由命題“，”求出的范圍，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結論．詳解:若，，則，解得，∴命題“，”是命題“”的充要條件，故選：A．4-4【鞏固】【正確答案】D【試題解析】分析:依據二次不等式恒成立得，再依據充分不必要條件的概念求解即可.詳解:解：當時，，該不等式成立；當，即時，該不等式成立；綜上，得當時，關于的不等式恒成立，所以，關于的不等式恒成立的一個充分不必要條件是．故選：D．4-5【提升】【正確答案】B【試題解析】分析:分別求出命題甲和命題乙對應的的范圍，然后依據充分性和必要性的概念求解即可.詳解:對于命題甲：因為是開口向上的二次函數，所以對于，是真命題，則與軸無交點，從而，解得；對于命題乙：函數在上單調遞減是真命題，由對數函數單調性可知，，解得，因為，所以甲是乙的必要不充分條件.故選：B.4-6【提升】【正確答案】C【試題解析】分析:等價于在上恒成立，然后對進行探討進而求得范圍，最終依據充分條件、必要條件的概念進行簡潔推斷即可.詳解:由題可知：等價于在上恒成立當時，在上不肯定恒成立，當時，則，所以依據四個選項可知函數的定義域為的一個充分不必要條件可以是故選：C5-1【基礎】【正確答案】A【試題解析】分析:利用給定的正態分布求出90分以上的概率，再列式計算作答.詳解:因化學考試的成果聽從正態分布，明顯期望，標準差，于是得，所以參與考試的學生總數約為.故選：A5-2【基礎】【正確答案】C【試題解析】分析:首先依據題意得到，即可得到答案.詳解:，.故選：C5-3【鞏固】【正確答案】C【試題解析】分析:依據已知條件，結合正態分布的對稱性，即可求解.詳解:由題意可知，，，故A，B正確；由題意得，，所以，故C錯誤；所以，故D正確；故選：C.5-4【鞏固】【正確答案】A【試題解析】分析:利用正態分布曲線的特點求出，然后再求恰有2名學生的成果不低于85的概率即可.詳解:因為學生成果聽從正態分布，且，所以，，，所以從參與這次考試的學生中隨意選取1名學生，其成果不低于85的概率是，則從參與這次考試的學生中隨意選取3名學生，恰有2名學生的成果不低于85的概率是.故選：A.5-5【提升】【正確答案】D【試題解析】分析:計算兩點分布的期望推斷A；利用二項分布的期望、方差公式計算推斷B；利用正態分布的對稱性計算推斷C；利用期望、方差的性質計算推斷D作答.詳解:隨機變量X聽從兩點分布，由，得，則，A錯誤；隨機變量，有，，解得，B錯誤；隨機變量，則，，C錯誤；隨機變量X，Y滿足，則，，，因此，D正確．故選：D5-6【提升】【正確答案】B【試題解析】分析:利用正態分布曲線的意義以及對稱性，對四個選項逐一分析推斷即可．詳解:因為，，將化為標準正態分布，則，因為，所以，故A錯誤；又，，故B正確；因為，所以假如有38分鐘可用，小明應選擇自行車，故C錯誤；因為，所以假如有34分鐘可用，小明應選擇坐公交車，故D錯誤.故選：B．6-1【基礎】【正確答案】D【試題解析】分析:寫出綻開式通項，依據題意可得，代入通項后可得出關于的等式，即可求解詳解:的綻開式為，由題意得，故的系數為，解得，故選：D.6-2【基礎】【正確答案】A【試題解析】分析:利用二項式的綻開項公式得到第4項與含項的系數表達式，求得a，b后即可得解.詳解:由題意，知第4項的系數為，含項的系數為，所以，即，解得，所以，故選：A．6-3【鞏固】【正確答案】B【試題解析】分析:利用二項綻開式的通項，結合題意列出需滿足的條件，把各選項代入驗證即可.詳解:，由題意得，把各選項代入驗證可得n＝6，r＝2滿足，故選：B．6-4【鞏固】【正確答案】B【試題解析】分析:二項式項的公式，對其進行整理，令的指數為0，建立方程求出的最小值詳解:由題意的綻開式的，令，得，當時，取到最小值.故選：B．6-5【提升】【正確答案】A【試題解析】分析:先求綻開式中含和項，然后可得的綻開式中常數項，依據已知解方程可得.詳解:綻開式中第項當時，，時，，所以的綻開式中常數項為，所以，得.故選：A6-6【提升】【正確答案】C【試題解析】分析:依據二項式綻開式可求得含的項的系數，即得方程，求得答案.詳解:由題意得的系數為，解得，故選：C.7-1【基礎】【正確答案】A【試題解析】分析:分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設，推出；依據，進而推導出，結合拋物線定義求出；最終由相像比推導出，即可求出拋物線的方程.詳解:如圖分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設與交于點.設，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A7-2【基礎】【正確答案】D【試題解析】分析:設拋物線的準線為，如圖，分別過點作，垂足為，過點作交于點，依據拋物線的定義可得，易得即可得到，利用對稱關系求出M的坐標，代入拋物線方程即可得到p.詳解:設拋物線與的準線為，不妨設A在第一象限，如圖所示，分別過點作，垂足為，過點作交于點，則，，，在中，由，可得，軸，，，直線方程為，由，解得點的坐標：，，代入，得，由解得，即拋物線方程為.故選：D.7-3【鞏固】【正確答案】D【試題解析】分析:首先依據拋物線的定義得到圓經過焦點，又也在圓上，接著分類探討當，不重合時，依據垂徑定理求得；當，重合時，，最終寫出拋物線的方程.詳解:由拋物線的定義知，圓經過焦點，點的橫坐標為5，由題意，當，不重合時，是線段垂直平分線上的點，∴，∴，所以拋物線的方程為；當，重合時，∴，∴，所以拋物線的方程為．故選D．點睛:拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離．牢記它對解題特別有益．7-4【鞏固】【正確答案】C【試題解析】分析:依據拋物線方程求得點的坐標，依據軸、列方程，解方程求得的值.詳解:不妨設在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準線相切于點，依據拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C點睛:本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.7-5【提升】【正確答案】C【試題解析】分析:依據拋物線的定義，表示出，再表示出，利用，得到和之間的關系，將點坐標，代入到拋物線中，從而解出的值，得到答案.詳解:拋物線C：，其焦點，準線方程，因為點是拋物線上一點，所以所在直線，設于，則，因為，所以，即整理得所以將點代入到拋物線方程，得，解得，所以拋物線方程為故選：C.點睛:本題考查拋物線的定義，直線與圓的位置關系，求拋物線的標準方程，屬于中檔題.7-6【提升】【正確答案】B【試題解析】分析:利用圓和拋物線的定義得到是等邊三角形，再面積得到的長度，進而建立關于的等式即可求解.詳解:解：∵以為圓心，為半徑的圓交于，兩點，，結合拋物線的定義可得：是等邊三角形，．的面積為：，．又點到準線的距離為，則該拋物線的方程為．故選：B．8-1【基礎】【正確答案】C【試題解析】分析:由題意可求出正方體的體積和其內切球的體積，從而可求出牟合方蓋的體積，然后用正方體的體積減去牟合方蓋的體積即可詳解:正方體的體積為，其內切球的體積為，由條件可知牟合方蓋的體積為，故正方體除去牟合方蓋后剩余的部分體積為.故選：C8-2【基礎】【正確答案】D【試題解析】分析:依據圓柱和圓臺的體積公式即可求解.詳解:由題意得圓柱的高約為（cm），則何尊的體積（cm3）故選：D．8-3【鞏固】【正確答案】B【試題解析】分析:依據圓臺體積公式求得一個石子的體積，再結合圓柱的體積公式，求得須要填充石子的體積，即可求得結果.詳解:依據題意，作圖如下：如圖所示，因為，，，所以.因為原水位線的直徑，投入石子后，水位線的直徑，則由圓臺公式可得：；因為須要填充的石子的體積是由圓臺加圓柱體得到，即則須要石子的個數為，所以至少共須要3顆石子.故選：B.8-4【鞏固】【正確答案】C【試題解析】分析:先求出底面半徑，然后利用圓柱的體積公式求解即可詳解:由題意得該徽硯的底面半徑為5cm，所以該徽硯的體積為，故選：C8-5【提升】【正確答案】C【試題解析】分析:先由球的體積求得球的半徑，再依據圓柱的體積公式可求得答案.詳解:解：因為該球的體積為，設球的半徑為R，則，解得。所以圓柱的體積為：，故選：C.8-6【提升】【正確答案】B【試題解析】分析:依據三角形面積和扇形面積可求得底面弓形面積，由此可得“萊洛三角形”的面積，由棱柱的體積公式可求得結果.詳解:由題意知：底面正三角形面積為，底面三個小弓形的面積均為：，底面“萊洛三角形”的面積，“曲側面三棱柱”的體積.故選：B.9-1【基礎】【正確答案】CD【試題解析】分析:當，且時，可推斷A錯誤；由且與不同向，求出的取值范圍，可推斷B錯誤；依據平面對量數量積的運算律進行運算，可推斷C正確；利用平面對量的模和數量積求出夾角，可推斷D正確.詳解:當，且時，與可以不相等，故A錯誤；因為，，與的夾角為銳角，所以且與不同向，由，得，即，當與同向時，存在正數，使得，因為、不共線，所以，所以當與不同向時，，所以的取值范圍為，故B錯誤；又對于非零向量，，∵，故C正確；當時，有，得，得，因為，所以，即與的夾角為.故D正確；故選：CD．9-2【基礎】【正確答案】ABD【試題解析】分析:對于A，算出即可推斷；對于B，與向量同方向的單位向量為，通過向量坐標運算即可推斷；對于C，通過能得到，通過能得到，再利用計算即可推斷；對于D，向量在向量上的投影向量為，通過向量坐標運算即可推斷詳解:解：對于A，因為，所以，故正確；對于B，因為，且，所以與向量同方向的單位向量為，故正確；對于C，因為，所以即化簡得，因為，所以即化簡得，所以，因為，所以，故錯誤；對于D，因為，，所以向量在向量上的投影向量為，故正確，故答案為：ABD9-3【鞏固】【正確答案】ABD【試題解析】分析:利用數量積的運算律及性質計算推斷A；利用三角形外心及數量積計算推斷B；求出函數的對稱中心推斷C；利用數量積運算律及垂直的向量表示推斷D作答.詳解:對于A，因，則，當且僅當時取等號，A正確；對于B，令邊AB的中點為D，因O是的外心，則，則，同理有,所以，B正確；對于C，由，得，，因此函數圖象的對稱中心為，，C不正確；對于D，點P在內，由得：，即，有，由，同理有，因此點P為的垂心，D正確.故選：ABD9-4【鞏固】【正確答案】ACD【試題解析】分析:由向量共線的坐標表示求得推斷A，由垂直的向量表示計算求得，再求出向量的模推斷B，依據三角形重心的性質與向量的線性運算計算后推斷C，分類探討求得點坐標推斷D．詳解:A．若與共線，則，，A正確；B．若與垂直，則，，則，B錯；C．點為的重心，設延長線交于，則是中點，，，同理，，∴，C正確；D．設，若是對角頂點，則，，即，若是對角頂點，則，，即，或是對角頂點，則，，即．D正確．故選：ACD．9-5【提升】【正確答案】AC【試題解析】分析:若可推斷A；將已知條件兩邊平方再進行數量積運算可推斷B；求出的坐標，依據且與不共線求出的取值范圍可推斷C；取的中點，依據向量的線性運算可得可推斷D，進而可得正確選項.詳解:對于A：若滿足，則實數不唯一，故選項A錯誤；對于B：兩個非零向量，，若，則，所以，可得，，因為，所以，所以與共線且反向，故選項B正確；對于C：已知，，所以，若與的夾角為銳角，則，解得：，當時，，此時與的夾角為，不符合題意，所以，所以的取值范圍是，故選項C不正確；對于D：在中，取的中點，由，得，故垂直平分，所以為等腰三角形，故選項D正確．故選：AC．9-6【提升】【正確答案】CD【試題解析】分析:對于A選項，通過運算可知，與的夾角為，即可推斷與不肯定相等；對于B選項，舉出一個反例即可；對于C選項，運算得；對于D選項，建立直角坐標系，可設，，，由此可求出在平面對應的點C的軌跡是圓，即可得出的最值.詳解:對于A選項，因為，當與的夾角為時，也符合要求，所以選項A不正確；對于B選項，若，，，則，但，所以選項B不正確；對于C選項，，所以選項C正確；對于D選項，不妨設，，，所以，整理得，即在平面對應的點C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，因此的最大值為，最小值為，所以選項D正確，故選：CD.10-1【基礎】【正確答案】AC【試題解析】分析:依據平均數、方差的性質推斷即可.詳解:解：對于A，設樣本數據，，，的平均數為，則新樣本數據，，，的平均數是，平均數不同，故A正確；對于B，設樣本數據，，，的中位數為，則新樣本數據，，，的中位數是，中位數不同，故B錯誤；對于C，樣本數據，，，，由這組數據得到新樣本數據，，，，兩組數據的波動性相同，所以方差、標準差相同，故C正確，D錯誤；故選：AC．10-2【基礎】【正確答案】BC【試題解析】分析:依據中位數、極差、平均數、方差的性質推斷即可；詳解:解：對于A，設原樣本數據的中位數為，則新樣本數據的中位數為，故A錯誤；對于B，不妨設原樣本數據最大為，最小為，則原樣本數據中，樣本數據的極差為，新樣本數據中，樣本數據的極差為，故B正確．對于D，原樣本數據的樣本平均數為，新樣本數據的樣本平均數為，故D錯誤；對于C，原樣本數據的標準差為：，新樣本數據的標準差為：，故C正確；故選：BC．10-3【鞏固】【正確答案】ABC【試題解析】分析:A選項，利用中位數的定義可推斷；B選項，一組數據中的每個數都減去同一個非零常數a，平均數會隨之變更，方差不變；C選項，可以看出平均數和樣本總量，從而求出樣本數據的總和；D選項，方差會變為原來的4倍.詳解:對于A，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，都為，∴A正確：對于B，一組數據中的每個數都減去同一個非零常數a，則這組數據的平均數也減去a，方差不變更，∴B正確；對于C，∵樣本的方差，∴這個樣本有20個數據，平均數是3，∴這組樣本數據的總和為3×20＝60，C正確；對于D，數據，，，…，的方差為M，則數據，，，…，的方差為4M，∴D不正確．故選：ABC10-4【鞏固】【正確答案】BCD【試題解析】分析:由眾數的計算方法可推斷A;依據平均數的概念可推斷B；依據方差的性質推斷C；依據百分位數的計算可推斷D.詳解:由題意可知，兩組數據滿足，則它們的眾數也滿足該關系，則有，故A錯誤；由平均數計算公式得：，即，故B正確；由方差的性質可得，故C正確；對于數據，…，，假設其第80百分位數為，當是整數時，，當不是整數時，設其整數部分為k,則，故對于數據，…，，假設其第80百分位數為，當是整數時，，當不是整數時，設其整數部分為k,則，故，故D正確，故選：BCD10-5【提升】【正確答案】AD【試題解析】分析:依據樣本平均數、中位數、方差、極差的概念逐項分析推斷即可.詳解:解：A項中，設原樣本數據的極差為，則新的樣本數據的極差為，所以，故兩組數據的樣本極差的差值與有關，與無關，故A項正確；B項中，設原樣本數據的方差為，則新的樣本數據的方差為，所以，故兩組數據的樣本方差的差值與有關，與無關，故B項錯誤；C項中，設原樣本數據的平均數為，則新的樣本數據的平均數為，所以，故兩組數據的樣本平均數的差值與有關，與有關，故C項錯誤；D項中，設原樣本數據的中位數為，則新的樣本數據的方差為，所以，故兩組數據的樣本中位數的差值與有關，與有關，故D項正確.故選：AD.10-6【提升】【正確答案】BD【試題解析】分析:對于A，依據中位數的定義作答；對于B，依據方差的計算公式作答；對于C，依據回來直線的性質作答；對于D，依據正態分布的對稱性作答.詳解:5，6，7，7，8，8，8，9中位數為7.5，A錯；，，…，方差為2，設，則，所以，則，即，，…，方差為2，B正確；將代入得，則，C錯；，為分布曲線的對稱軸，則，由，則，因此，，D正確.故選：BD.11-1【基礎】【正確答案】BCD【試題解析】分析:由圓的方程可得圓心的坐標及半徑，因為直線l過定點，且點在圓E外，可得A不正確；當時可得直線l過圓心，所以B正確；直線l與圓相切時可得，所以C正確，當ME與直線l垂直時，圓心到直線的距離最大，且為，推斷D正確．詳解:由題意知直線過定點，且點在圓外部，所以錯誤；當時，的方程為，直線過圓心，截得的弦恰為直徑，故B正確；當與圓相切時，，解得，故C正確；當與垂直時，圓心到的距離取得最大值，其最大值為，故正確.故選：BCD.11-2【基礎】【正確答案】BD【試題解析】分析:A選項，考慮截距為0時，直線方程為，A錯誤；B選項，設出直線方程，代入點的坐標，從而求出直線方程；C選項，沒有加上，錯誤；D選項，求出直線過的定點，曲線的幾何意義為半圓，數形結合求出實數的取值范圍.詳解:當截距為0時，設直線方程為，將代入，得，所以直線方程為，當截距不為0時，設直線方程為，將點代入，得，所以直線方程為，綜上：過點且在、軸截距相等的直線方程為或，A錯誤；設方程為，將代入，得，故過點且垂直于直線的直線方程為，B正確；圓的一般方程為，C錯誤；直線恒過點，曲線變形為，，幾何意義為以為圓心，2為半徑的圓的一部分（位于的上方部分），如圖所示：剛好為圓的一條切線，當斜率存在且與圓相切時，有，解得：，當經過點時，，解得：，結合圖象可知：直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍，D正確.故選：BD11-3【鞏固】【正確答案】BD【試題解析】分析:將直線的方程進行整理利用參數分別即可推斷選項A；依據圓心到直線的距離與半徑的關系比較即可推斷選項B；直線過定點，數形結合得推斷選項C；設出點坐標，求出以線段為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減即可得直線的方程，即可推斷選項D，進而可得正確選項.詳解:解：對于選項A：由可得：，由可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，所以，圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由題知直線過定點，曲線表示以為圓心，為半徑的圓在直線及上方的半圓，如圖，直線為過點，與半圓相切的切線，切點為，所以，要使直線與曲線有兩個不同的交點，則，所以，當直線與半圓相切時，有，解得，即因為，所以實數的取值范圍是，故C選項錯誤；對于選項D：設點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得：，與已知圓相減可得，消去可得：，即，由可得，所以直線經過定點，故選項D正確.故選：BD11-4【鞏固】【正確答案】ABC【試題解析】分析:依據直線的截距可推斷A；對選項B特別狀況不成立；利用到圓心的距離大于圓的半徑,列出關于的不等式，同時考慮大于0,兩不等式求出公共解集即可得到的取值范圍可推斷C；利用直線與圓的位置關系以及數形結合思想求出的取值范圍，可推斷D選項.詳解:對于A，直線過點且在軸，軸截距相等，所以A選項不正確.對于B，兩點式運用的前提是，所以B選項不正確；對于C，把圓的方程化為標準方程得：，∴圓心坐標為(-1,2)，半徑，則點到圓心的距離，因為點在圓外時，過點總可以向圓作兩條切線，∴即，且，解得：，所以C選項不正確；對于D，由可得，得，所以曲線表示圓的上半圓，直線表示過點且斜率為的直線，如下圖所示：當直線與半圓相切且切點位于其次象限時，則，解得；當直線過點時，則，解得.由圖可知，直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是，所以D選項正確.故選：ABC.11-5【提升】【正確答案】ABD【試題解析】分析:利用圓心到直線的距離，推斷A；利用弦長公式，推斷B；直線方程與圓的方程聯立，利用推斷C；利用直線與軸的交點，推斷D.詳解:A.若直線l與圓C相切，則圓心到直線的距離，整理為，即，故A正確；B.弦長，當時，，故B正確；C.聯立方程，，得，，當時，整理為恒成立，所以直線與圓相交，故C錯誤；D.直線與軸的交點是，當時，在圓內，過圓內的點的直線肯定與圓有交點，但反過來，直線與軸的交點在圓上的直線也與圓有交點，或直線與軸的交點在圓外，也有直線與圓相交，所以是直線l與圓C有公共點的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD11-6【提升】【正確答案】ACD【試題解析】分析:依據三點共線、直線與線段有公共點、直線和圓的位置關系等學問對選項進行分析，從而確定正確答案.詳解:A選項，，由于三點共線，所以共線，所以，A選項正確.B選項，，結合圖象可知，直線的斜率的取值范圍為，所以B選項錯誤.C選項，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，C選項正確.D選項，當直線過原點時，設直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，直線方程為或.當直線不過原點時，設直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或（舍去）.直線方程為，綜上所述，與圓相切，且在軸?軸上的截距相等的直線有三條，D選項正確.故選：ACD12-1【基礎】【正確答案】ACD【試題解析】分析:通過題目信息求出的解析式，然后利用函數性質進行推斷.詳解:由題，將代入得，因為分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以可得，將該式與題干中原式聯立可得.對于A：，故A正確；對于B：由，，所以不行能在在上單調遞減，故B錯誤；對于C：為偶函數，關于軸對稱，表示向右平移1101個單位，故關于對稱，故C正確；對于D：依據基本不等式，當且僅當時取等，故D正確.故選：ACD12-2【基礎】【正確答案】AD【試題解析】分析:結合函數奇偶性的性質，可得，聯立方程組可求出，的解析式，求出，依據的單調性可得結果.詳解:∵函數，分別為上的奇函數、偶函數，則，，又∵，…①∴，∴，…②由①②得，，故A正確，B錯誤；∴，且為增函數，∴，故D正確，故選：AD.點睛:本題考查的學問點函數奇偶性的性質，其中依據已知條件構造出其次個方程，是解答本題的關鍵，屬于中檔題.12-3【鞏固】【正確答案】ACD【試題解析】分析:由題意可得，把2代入求得可推斷A；當時，，時，，由此可知，進而可推斷BCD詳解:因為是奇函數，是偶函數，所以，解得，對于A：，故A正確；由，當時，，所以，當時，，，所以，又，則有，，所以，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：由B可知，故D正確；故選：ACD12-4【鞏固】【正確答案】ABC【試題解析】分析:函數f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且滿足f（x）+g（x）＝4x，可得f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，與f（x）+g（x）＝4x聯立，解出f（x），g（x），對選項一一判定即可得出．詳解:∵函數f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且滿足f（x）+g（x）＝4x，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，與f（x）+g（x）＝4x聯立，可得g（x），f（x）．對A：f（1），g（2），∴0＜f（1）＜g（2）．故A正確；對B：，故B正確；對C：=，故C正確；對D：f（2x），2，∴f（2x）2，故D錯誤；故選ABC．點睛:本題考查了函數的奇偶性、單調性，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．12-5【提升】【正確答案】AB【試題解析】分析:A．將問題轉化為方程僅有一個解，然后構造新函數求解出的值；B．依據導數的幾何意義求解出切線方程，然后推斷是否平行；C．分析的單調性，干脆求解出最大值并推斷選項是否正確；D