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--內頁可以根據需求調整合適字體及大小--初一數學.秋.直升班.教師版.第6講三角形的兩大模型(總17頁)PAGE三角形的兩大模型三角形的兩大模型模塊一兩大模型與角度關系“飛鏢”模型“8”字模型飛鏢模型結論的常用證明方法：模塊二兩大模型與邊長關系“飛鏢”模型“8”字模型

模塊三多邊形1．多邊形的基本概念：（1）定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）要素：頂點、邊、內角、外角、對角線內角：、、、、……外角：對角線：連接不相鄰兩個頂點的線段是多邊形的對角線．如BD.n邊形對角線條數：條（3）分類：凸、凹多邊形：多邊形的每一邊都在任何一邊所在直線的同一側，叫做凸多邊形；反之叫做凹多邊形．（如圖）（4）正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形（如圖正六邊形）多邊形凸多邊形凹多邊形正六邊形2．多邊形的內角和：（1）結論：n邊形內角和等于．（2）證明：①過n邊形一個頂點，連對角線，可以得條對角線，并且將n邊形分成個三角形，這個三角形的內角和恰好是多邊形的內角和．②在n邊形邊上取一點與各頂點相連，得個三角形，n邊形內角和等于這個三角形內角和減去在所取的一點處的一個平角，即．③在n邊形內部取一點與n邊形各頂點相連，得n個三角形，這n個三角形所有內角之和為，故n邊形內角和等于．3．多邊形的外角和：（1）結論：多邊形外角和等于360°．（2）證明：如圖：，，，……等式右邊共有n個相加，代表n邊形的內角和，即．

模塊模塊一兩大模型與角度關系（1）如圖1-1，中，點D在BC的延長線上，過D作于E，交AC于F．已知，，則的度數為___________．（2）如圖1-2，，則．（3）如圖1-3，則___________．圖1-1圖1-2圖1-3（1）；（2）；（3）．【教師備課提示】這道題主要考查三角形兩大模型的基礎倒角問題——找模型．（1）飛鏢模型：找燕尾；（2）“8”字模型：找×字．（1）如圖2-1，則．（2）如圖2-2，則．圖2-1圖2-2（1）本題既可按“8字模型”來考慮，也可按照飛鏢模型來做，也可以應用外角定理來解決，此題可以鍛煉學生一題多解，熟練靈活的應用．

=1\*GB3①如圖1，連接，應用“8字模型”，.②如圖2，應用飛鏢模型，∵∵，∴③如圖3，應用外角定理，∵又∵，∴圖1圖2圖3（2）法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6 ①∠C+∠D=∠4+∠6 ②∠E+∠F=∠4+∠5 ③=1\*GB3①+②+③=2（∠4+∠5+∠6），∵．∴．法二：∵， ①， ②． ③而，，，且． ④∴①+②+③④得，法三：連接，∴【教師備課提示】這道題相對復雜，鍛煉孩子們找模型的能力和倒角能力，一題多解．（1）如圖3-1，已知，，則．（2）如圖3-2，則．圖3-1圖3-2（1）；利用兩次“8”字模型．（2）；連接BD，利用兩次飛鏢模型．【教師備課提示】這道題主要需要孩子們自己連接輔助線，鍛煉倒角能力．

如圖，已知，BO平分，DO平分，．．已知：如圖，，AM，CM分別平分和．（1）求的大小；（2）當，為任意角時，探索與，間的數量關系，并對你的結論加以證明．（1）根據三角形內角和定理，在和中，，，∴ ①同理 ②∵，，∴①+②得，即（2）當、為任意角時，，證明：根據三角形外角性質，可得：，，∴，∴又∵、分別平分、∴，，∴∴，即【教師備課提示】例4—例5主要考查兩大模型的拓展，自己拓展出結論．

模塊模塊二兩大模型與邊長關系如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，且AC、BD相交于點O．求證：（1）；（2）．（1）在中，，在中，，兩不等式相加得，∴即 （2）應用上題的結論：，，∴．三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度．在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上．（1）說明為什么．（2）說明為什么．（3）與，哪一個更大？證明你的答案；

（4）與，哪一個更大？證明你的答案．

（1）由三角形三邊關系，．（2）由三角形三邊關系，．因此，．（3）由三角形三邊關系，，，以及，將三個不等式相加，得．（4）由（2）可知．類似可得，以及．將這三個不等式相加，可得，即．【教師備課提示】例6—例7主要考查兩大模型和邊長的關系．

模塊模塊三多邊形（1）下列平面圖形不具有穩定性．（黑點表示連接點）A．B．C．D．（2）科技館為某機器人編制一段程序，如果機器人在平地上按照圖示中的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為（）A．6米 B．8米C．12米 D．不確定（3）m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形對角線條數等于邊數，則

．（1）C．提示：三角形具有穩定性．（2）B．多邊形的外角和為，每個外角為，則，故多邊形邊數為，則周長為．（3）m邊形的一個頂點有7條對角線，所以，則；沒有對角線的多邊形顯然是三角形，則；k邊形條數與其邊數相等，即，所以．故．（1）若一個多邊形的內角和等于，則這個多邊形的邊數是（）A．5 B．6 C．7 D．8（2）若一個正多邊形的一個外角是，則這個正多邊形的邊數是（）A．10 B．9 C．8 D．6（3）一個多邊形內角和是外角和的4倍，那么這是（）邊形.A．10 B．22 C．15 D．8（4）如果一個五邊形的4個內角都是，則第5個內角的度數是．

（5）一個凸多邊形的每一個內角都等于，那么，從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是．（1）B；（2）B.（3）A．設多邊形的邊數為，由題意得，解得．（4）.（5）6．每個外角為，邊數為，則每個頂點出發得到對角線的條數：．（1）一個凸多邊形的內角中，最多有個銳角．（2）一個凸n邊形，除一個內角外，其余個內角的和是，則n的值為．（1）3．（2）由凸邊形的內角得，，解不等式的，故．如圖，求六個角的和.連接DE、EF，BE與DG的交點為O∵三角形內角和等于，

∴，∵，∴同理∴．教教師備選1如圖所示，在中，，在上，，是上的任意一點，求證．作點關于的對稱點，則點落在線段CD上．連接交于點，連接．由軸對稱圖形的性質可得，．在中，，在中，．因此，所以．教教師備選2如圖，在三角形ABC中，，為三角形內任意一點，連結AP，并延長交BC于點D.求證：（1）；（2）.

（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過點作，交、于、，則，由（1）知∵，∴即幾何證明中后一問常常要用到前一問的結論.

復復習鞏固模塊一模塊一兩大模型與角度、邊長關系（1）如圖1-1，已知，，，則__________．（2）如圖1-2，，，則___________．圖1-1圖1-2（1）130°；（2）10°．（1）如圖2-1，__________．（2）如圖2-2，__________．圖2-1圖2-2（1）；（2）連接BC，∵（對頂角相等）∴（等量減等量差相等）∴（等量代換），∵（三角形內角和定義），∴（等量代換）．

將圖3-1中線段AD上一點E（點A、D除外）向下拖動，依次可得圖3-2、圖3-3、圖3-4．分別探究圖3-2、圖3-3、圖3-4中、、、、（）之間有什么關系？

圖3-1圖3-2圖3-3圖3-4探究圖3-2、圖3-3、圖3-4可得：（或）圖3-2中：證明：，．∵，∴即圖3-3中：同上可證圖3-4中：同上可證（1）已知如圖4-1所示，在圖形ABCDEFG中，若BC由，，而，所以，原式.（3）所以．已知，如圖，P，Q為三角形ABC內兩點，B，P，Q，C構成凸四邊形．

求證：．作直線PQ，分別與AB，AC交于點M，N由三角形的三邊關系可得=1\*GB3①+②+③得∴，即．模塊二模塊二多邊形（1）一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍少，這個多邊形的邊數是．（2）一凸n邊形最小的內角為，其它內角依次增加，則_________．

（3）在凸多邊形中，小于的角最多可以有（