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高中數學：二次項展開公式應用舉例※.已知(eq\f(a,54x)-eq\r(\f(x,2)))9的展開式中x3的系數為eq\f(5,4)，求常數a的值。解：展開式通式T?=C(9,r)*(eq\f(a,54x))eq\s\up10(9-r)*(-eq\r(\f(x,2)))r,=C(9,r)*aeq\s\up10(9-r)*(54x)eq\s\up10(r-9)*(-1)r*(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2)),=C(9,r)*(-1)r*aeq\s\up10(9-r)*54eq\s\up10(r-9)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),=C(9,r)*(-1)r*(eq\f(a,54))eq\s\up10(9-r)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),根據題意有：eq\f(3r,2)-9=3,求出r=8，代入有：9-r=9-8=1,C(9,r)=C(9,8)=9，(-1)r=(-1)8=1，(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2))=(eq\f(1,2))4,根據系數關系有：9*eq\f(a,54)*(eq\f(1,2))4=eq\f(5,4),即：a=eq\f(5,4)*24*eq\f(54,9)=120.※.若(x4+eq\f(2,x2))n的展開式各系數的和為729，則n和展開式的常數項分別是多少？解：求n時使用特殊值法計算，取x=1時，有：(1+2)n=729,即可求出n=6.本題展開式通式為：T?=C(6,r)*(x4)6-r*(eq\f(2,x2))r=C(6,r)*x4*6-4r*2r*x-2r=C(6,r)*2r*x4*6-4r-2r因為求常數，所以：4*6-4r-2r=0，即r=4，則此時的系數為：T?=C(6,r)*2r=C(6,4)*24=15*16=240.※.求二項展開式(3x+2)?中偶數項的系數和。解：根據題意，設：(3x+2)?=a?x?+a?x?+a?x3+a?x2+a?x+a?,偶數項的系數是a?，a?，a?，分別令x=1和x=-1，有：(3+2)?=a?+a?+a?+a?+a?+a?,(3-2)?=-a?+a?-a?+a?-a?+a?,兩式子相加有：2(a?+a?+a?)=(3+2)?+(3-2)?,即：2(a?+a?+a?)=3125+1,2(a?+a?+a?)=3126,所以：a?+a?+a?=1563。※.在(3-2x)6*(24+31x)展開式中,x3的系數是多少？解：對(3-2x)6來說，展開通項有：T?=C(6,r)*36-r*(-2x)r=C(6,r)*36-r*(-2)r*xr題意要求x3的系數，考慮到24+31x有常數項和x的一次項，所以系數是兩個系數的和，分別為r=3和r=2，則：T=T?+T?=24*C(6,3)*36

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