高考數學最新真題專題解析—二項式定理與隨機變量的分布（新高考卷）【母題來源】2022年新高考I卷【母題題文】(1?yx)(x+y)8的展開式中x2【解析】【分析】本題考查二項展開式的特定項與特定項的系數，屬于基礎題．【解答】解：因為(x+y)8展開式的通項Tr+1令r=5，則x3y5的系數為C85=56；令r=6，則x2所以x2y6的系數為?56+28=?28【母題來源】2022年新高考II卷【母題題文】隨機變量X服從正態分布N(2,σ2)，若P(2<x≤2.5)=0.36【答案】0.14【解析】【分析】本題考查了正態分布的意義，正態曲線的對稱性及其應用．【解答】解：由題意可知，P(X>2)=0.5，故P(X>2.5)=P(X>2)?P(2<X?2.5)=0.14．【命題意圖】考察二項式定理及其應用，考察基本計算能力和邏輯推導能力。考察正太分布，考察正態分布特征。【命題方向】1.二項展開基本定理，還會涉及到三項展開。考察特定項，特定項的系數，二項式系數，同時會涉及到賦值法的應用。多為小題。2.考察正太分布，二項分布，超幾何分布等常見的分布。【得分要點】一、二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數Ceq\o\al(r,n)(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1項的二項式系數．式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫做二項式展開式的第r＋1項(通項)，用Tr＋1表示，即展開式的第r＋1項；Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr．二、常見隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為X01P1－pp其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．（2）超幾何分布在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發生的概率為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))（3）二項分布如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到隨機變量X的概率分布如下：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)P0qnCeq\o\al(1,n)P1qn－1…Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)Pnq0由于Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k恰好是二項展開式(P＋q)n＝Ceq\o\al(0,n)P0qn＋Ceq\o\al(1,n)P1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)Pnq0中的第k＋1項(k＝0，1，2，…，n)中的值，故稱隨機變量X為二項分布，記作X～B(n，P)．三．離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)D(X)＝eq\o(∑,\s\up12(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根eq\r(D(X))為隨機變量X的標準差．2．二項分布的均值、方差若X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．3．兩點分布的均值、方差若X服從兩點分布，則EX＝p(p為成功概率)，DX＝p(1－p)．4．離散型隨機變量均值與方差的性質E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數)．經典真題匯總及解析1．（2021·湖北·高三開學考試）已知隨機變量，且，，則____.（用表示）【答案】2m-1【分析】利用正態分布的性質可得正確的結果.【詳解】因為，故，則，故.故答案為：.2．（2020·海南·三亞市第二中學高三階段練習）某超市經營的某種包裝優質東北大米的質量（單位：）服從正態分布，任意選取一袋這種大米，質量在的概率為__________．（附：若，則，，）【答案】0.8185【詳解】因為，所以.所以.故答案為.3．（2022·遼寧大連·一模）已知隨機變量，且，則的最小值為______．【答案】4【分析】由正態曲線的對稱性得出，再由基本不等式得出最小值.【詳解】由隨機變量，則正態分布的曲線的對稱軸為，又因為，所以，所以當時，有，當且僅當，即時等號成立，故最小值為4．故答案為：4．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學模擬預測）在展開式中，第項二項式系數依次成等差數列，且展開式中有常數項，則該常數項是第________項．【答案】【分析】根據等差數列的知識求得，結合二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】由于第項二項式系數依次成等差數列，所以，.展開式的通項公式為，令，整理得，由于，所以，即常數項是第項.故答案為：5．（2021·廣東·珠海市第二中學高三階段練習）若，則_______．【答案】【分析】利用賦值法化簡求解和，進一步求出答案.【詳解】令，則①令，則②，①+②得∴令，則∴.故答案為：.6．（2022·湖南·長郡中學一模）已知，則__________．【答案】0【分析】利用賦值法可得答案.【詳解】根據題意，今，得，令，得，因此，故答案為：0.7．（2022·湖北·襄陽五中二模）已知函數在x=0處的切線與直線平行，則二項式展開式中含項的系數為_________．【答案】36【分析】根據導數的幾何意義可得，展開式的通項為：，根據分析計算項的系數．【詳解】由函數的解析式，得，則．由題意，得，則二項式展開式的通項為：所以含項的系數為故答案為：36．8．（2022·重慶八中模擬預測）為了監控某種食品的生產包裝過程，檢驗員每天從生產線上隨機抽取包食品，并測量其質量（單位：g）.根據長期的生產經驗，這條生產線正常狀態下每包食品質量服從正態分布.假設生產狀態正常，記表示每天抽取的k包食品中其質量在之外的包數，若的數學期望，則k的最小值為________.附：若隨機變量X服從正態分布，則.【答案】19【分析】根據正態分布的性質求出在之外的概率，從而得到，根據二項分布的期望公式得到不等式，解得即可；【詳解】解：依題意，所以在之外的概率，則，則，因為，所以，解得，因為，所以的最小值為；故答案為：199．（2021·河北·武安市第一中學高三階段練習）隨機變量的可能值，且，則D的最大值為___________.【答案】1【分析】由題意得到，利用概率范圍求得p的范圍，再利用期望和方差的公式求解.【詳解】因為隨機變量的可能值有1，2，3，且，所以，由，得所以.，，當時，的最大值為故答案為：110．（2022·山東師范大學附中模擬預測）已知隨機變量，且，則的最小值為________.【答案】【分析】先由正態分布對稱性求出，進而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】由正態分布的對稱性可知：，解得：，因為，所以，由基本不等式得：，當且僅當，即時等號成立，所以不等式得最小值為故答案為：11．（2022·河北保定·二模）若展開式中各項的系數之和為96，則展開式中的系數為___________.【答案】25【分析】由題意可得，從而可求出，則展開式中的系數等于展開式中一次項系數的2倍加上的3次項系數【詳解】由題意可知，得，則，展開式的通項公式為，所以展開式中的系數為.故答案為：2512．（2022·山東濟寧·二模）從甲?乙?丙3名同學中選出2人擔任正?副班長兩個職位，共有n種方法，則的展開式中的常數項為___________.（用數字作答）【答案】【分析】先由題意求出，然后求出二項式展開式的通項公式，令的次數為零，求出的值，從而可求出展開式中的常數項【詳解】因為從甲?乙?丙3名同學中選出2人擔任正?副班長兩個職位，共有n種方法，所以，所以二項式展開式的通項公式為，令，得，所以二項式展開式的常數項為，故答案為：13．（2022·福建·廈門一中模擬預測）已知為常數）的展開式中各項系數之和為1，則展開式中的系數為___．【答案】【分析】令得各項系數和，求得參數，然后由二項展開式通項公式結合多項式乘法法則求得含的項，從而得其系數．【詳解】令，則展開式的各項系數和為，解得，所以的展開式的通項公式為，令，則，令，解得，所以展開式中含的項為，所以的系數