課程基本信息課例編號學科數學年級高一學期第一學期課題兩角和與差的正弦，余弦和正切公式（2）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：以兩角差的余弦公式為基礎，用邏輯推理的方法得到兩角和與差的正弦，余弦及正切公式，熟記公式，掌握公式的功能及其結構；初步應用這些公式，在引導學生進行觀察，比較確定差異，尋找聯系及聯系的途徑的過程中，幫助學生認識三角函數式的特征，體會三角恒等變換的特點，發展學生數學運算素養；提升學生思維的有序性，逐步培養良好的思維習慣，發展學生邏輯推理素養，培養數學整體觀．教學重點：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式及其功能、結構、簡單應用．利用已知的函數模型解決實際問題.教學難點：兩角和與差的三角函數與圓旋轉對稱性間的聯系及對公式的全面理解．教學過程時間教學環節主要師生活動１分鐘８分鐘９分鐘３分鐘１分鐘新課引入新課講解例題講解課堂小結作業一新課引入上節課我們利用圓的旋轉對稱性推導出兩角差的余弦公式，請同學們在回顧推導過程的基礎上寫出差角的余弦公式此公式給出了任意角的正弦、余弦與其差角的余弦之間的關系．二新課講解問題１由兩角差的余弦出發，你能推導出兩角和的余弦公式嗎？追問1：比較與，它們的異同點是什么？它們都是角的余弦，只是角的形式不同．追問２：與之間有何種聯系呢？一方面從運算的角度看，將加法轉化為減法：；另一方面可以從換元角度考慮，將兩角差的余弦公式中的換為．追問３：基于上述差異與聯系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？．問題２你能根據兩角和與差的余弦公式推導出用任意角，的正弦、余弦表示的及公式嗎？追問1：比較與，它們的異同點是什么？它們包含的角相同，但是函數種類不同．追問2：角的正弦與余弦是否可以建立聯系呢？通過誘導公式五（或六）可以實現正弦與余弦的互化．追問3：誘導公式五及誘導公式六是什么呢？，，，．追問４：基于上述差異與聯系，如何由兩角差的余弦公式得到兩角差的正弦公式？追問５：依照上述解決問題的思路，你能直接寫出兩角和的正弦公式嗎？問題３你能根據正切函數與正弦函數、余弦函數的關系，從兩角和與差的正弦，余弦公式出發，推導出用任意角，的正切表示，的公式嗎？追問１：如何用正弦函數、余弦函數表示正切函數？．追問２：:兩角和的正切公式是否可以利用兩角和的正弦公式與余弦公式求得？．追問３：如何進一步轉化為用任意角，的正切表示？通過對分子、分母同時除以轉化，即追問4：如何用任意角，的正切表示？教師小結： 用邏輯推理的方法我們以兩角差的余弦公式為基礎，將兩角差的余弦公式中的換為或者利用得到兩角和的余弦公式．利用誘導公式五（或六）建立余弦與正弦的關系，得到；進而類似的得到．利用正切函數與正弦函數與余弦函數的聯系得到；同學們要逐步掌握公式的功能及其結構，熟記公式．公式，，給出了任意角，的三角函數值與其和角的三角函數值之間的關系．為方便起見，我們把這三個公式都叫做和角公式．類似地，，，都叫做差角公式．問題４如何利用利用兩角和與差的正弦公式求的值呢？問題５和（差）角公式中，，都是任意角．如果令為某些特殊角，就能得到許多有用的公式．你能從和（差）角公式出發推導出誘導公式嗎？你還能得到哪些等式？請同學們課下思考．三例題講解例３已知，是第四象限角，求，，的值．問題６根據題目已知條件，求解的值會聯系到什么公式？聯系到兩角差的正弦公式．追問１：本題利用兩角差的正弦公式求解時兩角分別是什么？及．追問２：在求解過程中需要用到及哪些三角函數值？哪些值需要根據已知進一步求解？需要用到，，，四個值，需要根據已知條件進一步求解．解：由，是第四象限角，得所以．于是有追問３：如果去掉已知條件中給出的“是第四象限角”這一限制條件，對求解過程和結果會有什么影響？由于，是第三象限或第四象限角，去掉這一限制條件后要分類討論，當是第三象限的角時，．結果為．追問４：能否借鑒第（1）問經驗求解第（2），（3）問？追問5：由以上解答可以看到，在本題條件下有．那么對于任意角，此等式成立嗎？若成立，你能予以證明嗎？這一計算結果具有一般性，對于任意角，成立．例４利用和（差）角公式計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）問題７和、差角公式把的三角函數式轉化成了的三角函數式．本題呈現的為的三角函數式，如何求解呢？我們可以嘗試從右到左使用公式，就可以將上述三角函數式化簡．（1）追問1：在（1）中涉及了哪些角？涉及了兩個角：及．追問２：（１）式的形式能聯系到哪個公式？能夠聯系到兩角差的正弦公式．解：由上述分析有追問３：根據第（1）問的經驗，能否獨立解決第（2）問？（2）中涉及了兩個角：及，能夠聯系到兩角和的余弦公式，于是有追問４：能夠聯系到哪個公式？形式與兩角和的正切公式相似，但是只涉及了一個角．追問５：回顧例3求解過程能否有啟發？可以考慮把轉化為，利用兩角和的正切公式求解．解：四課堂小結本節課我們以兩角差的余弦公式為基礎，用邏輯推理的方法得到兩角和與差的正弦，余弦及正切公式．問題８你能準確寫出這些公式嗎？；；；；；同學們要熟記公式，掌握公式的功能及其結構．在應用這些公式時要注意進行觀察，比較確定差異，在尋找聯系及聯系的途徑的過程中，認識三角函數式的特征，體會三角恒等變換的特點，提升思維的有序性，逐步培養