高考與數列中的創新試題真題展示【例】（1）（2022·新高考Ⅱ卷3題）圖①是中國古代建筑中的舉架結構，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，kA.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.9（2）（2020·全國Ⅱ卷12題）0－1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a1a2…an…滿足ai∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整數m，使得ai＋m＝ai（i＝1，2，…）成立，則稱其為0－1周期序列，并稱滿足ai＋m＝ai（i＝1，2，…）的最小正整數m為這個序列的周期.對于周期為m的0－1序列a1a2…an…，C（k）＝1m∑i=1maiai＋k（k＝1，2，…，m－1）是描述其性質的重要指標.下列周期為5的0－1序列中，滿足C（k）≤15（k＝1，2，3，A.11010… B.11011…C.10001… D.11001…聽課記錄真題溯源與考法探究1.（選擇性必修第二冊第55頁4（2）題）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有盞燈.2.（選擇性必修第二冊第10頁閱讀與思考）如果1對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數，可以看出，Fn＝Fn－1＋Fn－2（n＞2）.這是一個由遞推公式給出的數列，稱為斐波那契數列.由高考真題與教材原題可以看出，隨著高考改革的不斷深入，高考也由單純的知識考查轉變為能力、素養的全面考查，數列中的創新試題因其情境設置新穎，考查角度靈活等特點，不僅體現了新課程標準的考查要求，更突出了對學生數學思維、探索能力的考查，對于全面促進“教—考—學”的改革起到了關鍵作用.數列創新試題的常見類型類型1數列中的數學文化試題1.數學文化中的遞推數列問題【例1】九連環是我國古代流傳至今的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串，按一定規則移動圓環，移動圓環的次數決定解開圓環的個數.在某種玩法中，推廣到m連環，用an表示解下n（n≤m）個圓環所需的最少移動次數，若數列{an}滿足：a1＝1，且an＝2an－1－1，n為偶數，2an－1+2，n為奇數，聽課記錄反思感悟以數學文化為背景的已知遞推公式的數列問題的求解關鍵是耐心讀題、仔細理解題意，只有弄清題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答，“盯緊”題目條件中的遞推公式，利用遞推公式往要求的量轉化.2.數學文化中的周期數列問題【例2】意大利數學家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n－1）＋F（n－2）（n≥3，n∈N*），此數列在現代物理“準晶體結構”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數列的各項除以3的余數構成一個新數列{an}，則數列{an}的前2024項的和為.聽課記錄反思感悟以數學文化為背景的周期數列問題的求解關鍵是仔細審題，建立數學模型，并會適時脫去背景，如本例實質是利用斐波那契數列的各項除以3的余數的特征，得出新數列的周期性，進而求出結果.3.數學文化中的等差、等比數列問題【例3】（2021·新高考Ⅰ卷16題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為；如果對折n次，那么∑k=1nSk＝聽課記錄反思感悟以數學文化為背景的等差、等比數列問題的求解關鍵是：（1）會脫去數學文化的背景，讀懂題意；（2）構建模型，即由題意構建等差、等比數列模型；（3）解模，即把文字語言轉化為求等差、等比數列的相關問題，如求指定項、公差（公比）或項數、通項公式或前n項和等.類型2數列中的新定義試題1.定義數列的“新概念”【例4】（多選）在數列{an}中，若an2－an－12＝p（n≥2，n∈N*，p為常數），則稱{an}A.若{an}是等差數列，則{an2B.數列{（－1）n}是等方差數列C.若數列{an}既是等方差數列，又是等差數列，則數列{an}一定是常數列D.若數列{an}是等方差數列，則數列{akn}（k∈N*，k為常數）也是等方差數列聽課記錄反思感悟對于“新概念”類的數列問題，求解關鍵是要讀懂“新概念”的本質含義，剝去“新概念”的外衣，將其轉化成等差、等比等我們熟悉的數列知識解決.2.定義數列的“新性質、新運算”【例5】（1）（2024·襄陽模擬）在一個數列中，如果對?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k（k為常數），那么這個數列叫做等積數列，k叫做這個數列的公積.已知數列{an}是等積數列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝；（2）定義：若數列{an}對任意的正整數n，都有｜an＋1｜＋｜an｜＝d（d為常數），則稱{an}為“絕對和數列”，d叫做“絕對公和”.已知“絕對和數列”{an}中，a1＝2，絕對公和為3，則其前2024項的和S2024的最小值為.聽課記錄反思感悟解決數列“新性質、新運算”問題的一般流程（1）理解“新性質、新運算”的含義；（2）特殊分析，比如先對n＝1，2，3，…的情況進行討論；（3）通過特殊情況尋找“新性質、新運算”數列的規律及性質，通過類比已知數列（如等差或等比數列），仔細觀察，探求規律，注重轉化，合理設計解題方案；（4）聯系等差數列與等比數列知識將“新性質、新運算”數列問題轉化為熟悉的知識進行求解.高考還可這樣考1.十二平均律是我國明代音樂理論家和數學家朱載堉發明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產生了深遠的影響.十二平均律的數學意義是在1和2之間插入11個正數，使包含1和2的這13個數依次成遞增的等比數列.依此規則，插入的第四個數應為（）A.2413 B.C.2142.滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3）的數列{an}稱為斐波那契數列，又稱黃金分割數列.依次以斐波那契數列{an}各項為邊長作正方形，在每個正方形中取半徑為該正方形邊長、圓心角為90°的圓弧，依次連接圓弧端點所成的曲線被稱為斐波那契螺旋線（也稱“黃金螺旋線”）.如圖，圓心角為90°的扇形OAB中的曲線是斐波那契螺旋線的一段，則陰影部分面積與扇形OAB面積的比值為（）A.38 B.1C.58 D.3.已知點列{Pn}中的所有點都在△ABC內部，△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為13.在數列{an}中，a1＝1，若?n∈N*且n≥2，APn＝3anAB＋（4an－1＋3）AC恒成立，那么a4＝（A.15 B.31C.63