高中

專題07平面向量

G易錯點：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運算

\與平行四邊形適用前提

題型二：平面向量的基本定理

“易錯點：忽略基底選取原則

及坐標表示

jg：平面向量的i握械,又易錯點：忽懈量積不滿足結合律

易錯點一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平

面向量線性運算）

i.向量的有關概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量在的大小，也就是向量方的長度，記作|萬

（3）特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規定：6與任一向

量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算和向量共線定理

（1）向量的線性運算

運算定義法則（或幾何意義）運算律

.

uA...①交換律

求兩個向量b

加法?

-.Ad+b=b+a

和的運算a

②結合律

三角形法則平行四邊形法則

高中1

高中

(a+b)+c=a+(b+c)

求值與B的

b/Y*

相反向量工的

減法a-b=a+(-b)

和的運算叫做色.

與B的差三角形法則

(1)

求實數力與2(/z5)=(2//)5

(2)當4>0時，質與行的方向相同；

數乘向量。的積的運(Z+=Aa+向

當2<0時，4G與G的方向相同；

算2(5+b)=Aa+Ab

當；1=0時，2a=0

共線向量定理

向量1伍R0)與3共線，當且僅當有唯一的一個實數力,使得一限

共線向量定理的主要應用：

⑴證明向量共線：對于非零向量2,b，若存在實數力,使。=焉，則方與彼共線.

(2)證明三點共線：若存在實數九使善=2次,則4B,C三點共線.

(3)求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值.

平面向量線性運算問題的求解策略：

(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等

向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向

量表示出來.

(2)向量的線性運算類似于代數多項式的運算，實數運算中的去括號、移項、合并同類

項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應的三角形或多邊形；

③運用法則找關系；

④化簡結果.

高中2

高中

解決向量的概念問題應關注以下七點：

(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關.

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向

量未必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數圖象

移動混為一談.

aa

(6)非零向量之與h的關系：H是2方向上的單位向量.

(7)向量與數量不同，數量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數，故可

以比較大小

易錯提醒：(1)向量表達式中的零向量寫成6,而不能寫成o.

(2)兩個向量共線要區別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所

在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向

量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三

角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：CM-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

■

下列計算正確的是()

A.AB+AD^ACB.AB+CD+DO=OA

LILUUUU1ULIULUUUI

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA^O

高中3

高中

變式1:給出下列命題，其中正確的命題為（）

A.若而=而，則必有/與C重合，2與。重合，48與CD為同一線段

__?1__.2-、

B.AD=-AC+-AB,貝I]可知前=331）

utrar1uuriuuriuuir

C.若0為AABC的重心，則P0=]P/+,P8+§PC

D.非零向量Z,b,1滿足Z與3,3與0"與Z都是共面向量，則Z,b,1必共面

__,21

變式2：如圖所示，在平行四邊形48CD中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

（1）試用向量Z卷來表示麗，萬7;

（2）/M交DV于。點，求的值.

變式3：如圖所示，在矩形/BCD中，|就卜46，|萬卜8,設就多，AB=a,BD=c，求

\a-b

uuur/rrx

1.已知￡、B為不共線的向量，AB=a+5bBC=-2a+8b>CD=3\^a-bj,則（）

A.A,B,C三點共線B.A,C,。三點共線

C.A,B,。三點共線D.B,C,。三點共線

2.如圖，在平行四邊形中，E是3c的中點，下是線段/￡上靠近點/的三等分點,

則市等于（）

高中4

高中

B.-A8--2D

33

1一3一

cD.-AB--AD

-?34

3.在四邊形NBCD中，若元=刀+15，貝！I（）

A.四邊形48CD是平行四邊形B.四邊形/BCD是矩形

C.四邊形/BCD是菱形D.四邊形4BCD是正方形

4.已知/。，族分別為“3C的邊8C,/C上的中線，設亞=￡,而=丸則前=（）

r2-,4-

B.~a+~b

。J

2-4-2一?4一

C.D.--a~\~~b

5.如果,尾是平面。內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①〃=雞+”2（九〃￡R）可以表示平面a內的所有向量；

②對于平面。內任一向量Z，使〃=雞+侔2（九〃￡R）的實數對（4〃）有無窮多個；

③若向量4,+4。2與4,+以2。2共線，則?二叢

A2〃2

④若實數入〃使得雞+“=0,則;1=洶=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

6.給出下列各式：@AB+CA+BC>@AB-CD+Bl5-AC>@AD-Oi5+OA>④

NQ-MP+QP+MN,對這些式子進行化簡，則其化簡結果為。的式子的個數是（）

A.4B.3C.2D.I

7.已知平面向量"，b，5，下列結論中正確的是（）

高中5

高中

A.若〃〃石，則4=38.若日|=回，則4=3

C.若￡〃九b//c＞貝尤〃"D.若|￡+目=向+同，貝期〃加

8.設［與1是兩個不共線的向量，AB=3ex+2^,CB=ket+e1,CD=3e^-2ke2,若/,B,

￡）三點共線，則左的值為（）

49c38

A.——B.——C.——D.——

9483

9.在AO/5中，已知網=2,網=4,P是的垂直平分線/上的任一點，則亦荏=（）

A.6B.-6C.12D.-12

10.已知拋物線C：/=4x的焦點為產，準線為/,點線段交拋物線C于點3,

過點8作/的垂線，垂足為“，若拓=3麗，貝！I（）

A.|而河B.網=4

C.西=3|西D.網=4甌

11.下列各式中結果為零向量的為（

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+RD-CDD.OA+OC+lO+CO

易錯點二:忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標表示）

1.平面向量基本定理和性質

（1）共線向量基本定理

如果。=必（力€尺），貝！U//B;反之，如果3/區且3x0，則一定存在唯一的實數人

使）=25.（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）.

（2）平面向量基本定理

如果I和易是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量2,都

存在唯一的一對實數4,使得可，我們把不共線向量I叫做表示這一平

面內所有向量的一組基底，記為忖2｝,41+4易叫做向量己關于基底｛?，晟｝的分解式.

高中6

高中

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量?與最不共線，平面內的任一向量不都可

以分解成形如2=4,+%2?2的形式，并且這樣的分解是唯一的.4,+%2?2叫做9，色的一

個線性組合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，

也是向量的坐標表示的基礎.

推論1：若■=4,+4?=4,+44，則4=4，1=4?

推論2：若2=4,+%2,2=G，則4=%2=0.

（3）線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在△45C中，若點。是邊上的點，且麗=丸皮（八-1）,則向量

+

AD=ABAAC.在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能

1+A

有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握.

B

（4）三點共線定理

平面內三點B,C央線的充要條件是：存在實數4,，使雙=2刀+〃礪，其中

4+〃=1,。為平面內一點.此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握.

A.B、。三點共線

o存在唯一的實數2,AC=A.AB;

o存在唯一的實數4,]^OC=OA+AAB;

o存在唯一的實數2,使得云=（1-㈤刀+2礪；

=存在2+〃=1,WOC=WA+juOB.

（5）中線向量定理

-.1—?_.一

如圖所示，在△48C中，若點。走邊8C的中點，則中線向量/。=5（48+NC）,反

之亦正確.

高中7

高中

2.平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與天軸，/軸正半軸方向相同的兩個單位向量]作為基底,

那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量有且只有一對實數x，>使

a=xi+yi,我們把有序實數對(x,?)叫做向量。的坐標，記作，=(x,y).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有

向量(x,y)「=二嬰=、向量次、「士、點A(x,y).

(3)設Nb=(x2,y2),貝!Ja+B=(X]+%)，a-b=(xx-x2,yt-y2),

即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

若N=(x,y),%為實數，則=即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘

原來向量的相應坐標.

(4)設N(XQI),3(%,%),則在=礪-厲=(%-%,M-%),即一個向量的坐標等

于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標.

3.平面向量的直角坐標運算

=22

①已知點/(X]，乂),B(X],y2),貝[]AB=(x2—xx,力—必)，I|1(x?—xj+(%—yj

②已知為=(再,必),b=(x2,y2),則@士B=(再±%,必土％),25=(Ax1,Aj1),

a-b=x[x2+y1y2,\a|=J尤;.

0

a//bX]%-%%=°，aVb<=>\x2+必%=

向量共線(平行)的坐標表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地，在求與一個已知向量3共線的向量時,

可設所求向量為2d(AeR),然后結合其他條件列出關于力的方程，求出力的值后代入2m

即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數.如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，則利用“若

高中8

高中

，=(匹,%)，b=(x2,y2),則的充要條件是X1%=超必”解題比較方便.

3.三點共線問題.A,B,C三點共線等價于刀與式共線.

4.利用向量共線的坐標運算求三角函數值：利用向量共線的坐標運算轉化為三角方程,

再利用三角恒等變換求解.

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該基底的線性

組合，再進行向量的運算.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運

用線段中點的向量表達式.

向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.

兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.

易錯提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量.

(2)選定基底后，通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這

一組基底表示出來.

(3)強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，

如平行、相似等。

三9

例.已知向量2=(2,1),6-(-3,1),則()

A.若工=［恪,-當，則B.向量Z在向量■上的投影向量為

C.￡與15的夾角余弦值為與D.^+b)Ha

變式1.下列說法中錯誤的為()

A.已知:=(1,2),2=(1,1)且°與2+4的夾角為銳角，則實數％的取值范圍是

B.向量1=(2,-3),E='，-；!不能作為平面內所有向量的一組基底

C.非零向量b，滿足忖＜W且々與3同向，貝工

高中9

高中

D.非零向量Z和.，滿足同=W=-q,貝匕與Z+g的夾角為30°

變式2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.若4=（再,凹）,]=（%2，%），且[與力共線，則，=g"

B.若Q=（%],必）,6=（々,歹2），且七外工工2%,則Q與，不共線

C.若4,B,。三點共線.則向量/，旋，&都是共線向量

D.若向量a=（1,2）,/?=（-2,〃）,且，//],則〃=—4

變式3.已知晟晟是平面內的一組基底，則下列說法中正確的是（）

A.若實數冽，n{Jmex+ne2=6,貝！］加=及=0

B.平面內任意一個向量2都可以表示成萬=冽,十加6，其中冽，〃為實數

C.對于加，〃ER,加,不一定在該平面內

D.對平面內的某一個向量2,存在兩對以上實數加，n,使1=加,+〃。2

1.在梯形中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是的中點，AC與BD交

于“，設酢=1,AD=bf則下列結論正確的是（）

—?1—1

A.AC=—a+bB.BC=——G+b

22

—?1_2-一?1一-

C.BM=——a+—bD.EF=——a+h

334

2.己知點4（1,2）,8（3,x）,向量a=（2-％，-1）,AB//a,則（）

A.1=2+夜時商與萬方向相同

B.x=2-行時，刀與￡方向相同

C.%=2-時方與方方向相反

D.x=2+后時，萬與￡方向相反

3.已知點4（1,2）,5（3,%）,向量行=（2-兀一1）,下〃原則（）

A.x=3時方與々方向相同

B.x=2-6■，時方與￡方向相同

高中10

高中

C.X=3時萬與￡方向相反

D.》=2+后,時刀與￡方向相反

4.如果弓,當是平面。內兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是()

A.弱+(2,〃eR)可以表示平面a內的所有向量

B.對于平面a內任一向量入使彳=力耳+4目的實數對(4〃)有無窮個

C.若向量4耳+〃同與&4+4&共線，則有且只有一個實數彳，使得

=2(4.+)

D.若存在實數九M使得府1+4當=。，則％=〃=0

5.已知平面內平行四邊形的三個頂點-2,1),5(-1,3),C(3,4),則第四個頂點。的坐標為

()

A.(-2,2)B.(4,6)

C.(-6,0)D.(2,-2)

6.已知橢圓￡：三+/=1的左、右焦點分別為片，B，過下頂點/和右焦點心的直線與￡

交于另一點5,8耳與y軸交于點尸，則()

A.AFtlAF2B.\BF2\=^

C.Zk/B片的內切圓半徑為孝D.4F\P-3PB=0

7.設0<6<兀，非零向量a=(sin2acosP),b=(cos0,1),貝！1().

A.若tang=；,貝!B-若W彳'則a=

C.存在0,使2a=bD.若Q〃B,貝!Jtan8=5

8.已知向量Z=(2,-1)2二仇2),則下列結論正確的是()

A.若〃〃石，則加=一4B.若之工石，則加=1

C.^\2a-b\=\a+b\,則加=1D.若|"+可=即則加=-4

9.如圖，在“3C中，3。=12,￡>,￡是8。的三等分點，貝I]()

高中11

高中

33

.2—?

B.若布.刀=0，則存在羽上的投影向量為§4?

C.若萬?就=9，貝!I75?荏=40

.------------2----2

D.右AD-AE=4,AB+AC=88

10.已知F=（l,2）范=（4/）,則下列敘述正確的是（）

A.若5〃3,則/=8B.若萬］B，則,=2

C.歸-4的最小值為5D.若向量3與向量3的夾角為鈍角，貝卜＜-2

11.已知空間向量Z=（b-1,2）,則下列說法正確的是（）

A.卜卜卡

B.向量［與向量3=（2,2,-4）共線

C.向量［關于x軸對稱的向量為（1,1,-2）

D.向量Z關于天。平面對稱的向量為（一1,1,-2）

易錯點三：忽視數量積不滿足結合律（平面向量的數量積及其應

用）

1.平面向量的數量積。

（I）平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量與b,我們把數量IaII"cos。叫做“與6的數量積（或內積），

記作。即。.b=|"|出|cos。，規定：零向量與任一向量的數量積為0.

（2）平面向量數量積的幾何意義

①向量的投影：MIcosO叫做向量。在6方向上的投影數量，當。為銳角時，它是正數;

當。為鈍角時，它是負數；當。為直角時，它是0.

高中12

高中

②。?〃的幾何意義：數量積4?A等于〃的長度M與〃在〃方向上射影I"cose的乘積.

2.數量積的運算律

已知向量。、b、C和實數4,貝Ij：

①ab=ba；

②(Z?)-b=Z(a?b)=a,(Ab)；

@(a+b)c=ac+bc.

3.數量積的性質

設。、〃都是非零向量，《是與〃方向相同的單位向量，。是"與《的夾角，貝I

①es=a?=|a|cose.②熱_L〃=a〃=0.

③當。與力同向時，a-b=\a\\b\；當〃與〃反向時，ab=-\a||/>|.

特別地，〃?〃二|級『或|a|=Ja?a.

a.b

@cos6，=-777(l?ll*>0).⑤.

4.數量積的坐標運算

已知非零向量。=(%，乂)，b=(x2,y2),0為向量4、b的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模a|=y/aa\a\=yjx2+y2

數量積ab=\a||A|cosab=xlx2+yty2

cos-1二+產

夾角

Jx；+＞；-7X2+￡

的充要

ab=0再超+必％=0

條件

a//b的充要

a=ZAC〃w0)網超+必%=0

條件

|Q?一與

\a-b\<\a\\b\(當且斥2+yty2|W

1?1161

僅當。〃b時等號成立)

的關系

1.平面向量數量積的類型及求法:

(1)平面向量數量積有兩種計算公式：一是夾角公式a-b=HMIcos。；二是坐標公

高中13

高中

式a?/)=%]X2+yxy2.

(2)求較復雜的平面向量數量積的運算時，可先利用平面向量數量積的運算律或相關

公式進行化簡.

2.平面向量數量積主要有兩個應用：

(1)求夾角的大小：若。，b為非零向量，則由平面向量的數量積公式得cosO=廣3

(夾角公式)，所以平面向量的數量積可以用來解決有關角度的問題.

(2)確定夾角的范圍：數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數量積等于

0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.

3.向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：

(1)向量與平面幾何綜合問題的解法

①坐標法

把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相

應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

②基向量法

適當選取一組基底，溝通向量之間的聯系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程來

進行求解.

(2)用向量解決平面幾何問題的步驟

①建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉

化為向量問題；

②通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

③把運算結果“翻譯”成幾何關系.

4.利用向量求解三角函數問題的一般思路：

(1)求三角函數值，一般利用已知條件將向量關系轉化為三角函數關系式.利用同角

三角函數關系式及三角函數中常用公式求解.

(2)求角時通常由向量轉化為三角函數問題，先求值再求角.

(3)解決與向量有關的三角函數問題的思想方法是轉化與化歸的數學思想，即通過向

量的相關運算把問題轉化為三角函數問題.

(4)解三角形.利用向量的坐標運算，把向量垂直或共線轉化為相應的方程，在三角

形中利用內角和定理或正、余弦定理解決問題.

高中14

高中

5.用向量法解決實際問題的步驟如下：

第一步：抽象出實際問題中的向量，轉化為數學問題；

第二步：建立以向量為主體的數學模型；

第三步：利用向量的線性運算或數量積運算，求解數學模型；

第四步：用數學模型中的數據求解問題.

6.常見的向量表示形式：

（1）重心.若點G是△48C的重心，則臣+豆+虎=0或而=；（莎+而+京）（其

中產為平面內任意一點）.反之，若由+礪+無=0，則點G是△48C的重心.

（2）垂心.若〃是的垂心，則必.瓦=麗.衣=麻.用.反之，若

HAHB=HBHC=HCHA^則點〃是△A8C的垂心.

（3）內心.若點/是△NBC的內心，貝/反^?歷+|海卜后1=0.反之，若

\~BC\JA+\CA\-1B+\~AB\4C=Q,則點/是△NBC的內心.

（4）外心.若點。是△/8C的外心，貝U（E+歷）?函=（無+^>Q=（無+E）?就=0

或|方H礪H云八反之，若|方H礪H反I，則點。是△4sc的外心.

題型：平面向量的模及其應用的類型與解題策略：

（1）求向量的模.解決此類問題應注意模的計算公式|”|=病=后］，或坐標公式

|a1=p+y1的應用，另外也可以運用向量數量積的運算公式列方程求解.

（2）求模的最值或取值范圍.解決此類問題通常有以下兩種方法：

①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結合模的幾何意義求模的最值

或取值范圍；②代數法：利用向量的數量積及運算法則轉化為不等式或函數求模的最值或取

值范圍.

（3）由向量的模求夾角.對于此類問題的求解，其實質是求向量模方法的逆運用.

易錯提醒：（1）平面向量的數量積是一個實數，可正、可負、可為零，且成了國初行

（2）當值/。時，由鼠3=0不能推出不一定是零向量，這是因為任一與3垂直的非零向量不

都有ab=0-

當時，且限日=）々時，也不能推出一定有3=5,當B是與7垂直的非零向量，己是

高中15

高中

另一與1垂直的非零向量時，有//=鼠/=0,但Bwd.

（3）數量積不滿足結合律，即他/》片指力歷，這是因為伍而兄是一個與己共線的向量，

而（幾0）,是一個與3共線的向量，而萬與己不一定共線，所以他而前不一定等于（九己）1，

即凡有數量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項.

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當且僅當限3>0且之。焉（4>0）（或限3<0，且

aAb0））.

三

例.下列說法中錯誤的是（）

A.單位向量都相等

B.向量羽與麗是共線向量，則點/、B、C、。必在同一條直線上

c.兩個非零向量癡，若他+昨忖|-向，則3與B共線且反向

D.已知向量》=（4,3-機）,彼=（1,加），若萬與B的夾角為銳角，則T<??<4

變式1.給出下列命題，其中正確的有（）

A.已知向量則a-?+c）+c.e-a）="c

B.若向量Z3共線,則向量Z］所在直線平行或重合

c.已知向量則向量23與任何向量都不構成空間的一個基底

D.45,M,N為空間四點,若既兩，麗構成空間的一個基底，則48,M,N共面

變式2.設?高均為單位向量，對任意的實數t有自+g扇H口+面恒成立，貝I（）

A.1與1的夾角為60。B.\e}+^\=^~

C.|%一句的最小值為/D.|?2+%（q-4）1的最小值為上

變式3.已知拋物線1=4歹的焦點為少，M（4,%）在拋物線上，延長“交拋物線于點N,

拋物線準線與V軸交于點。，則下列敘述正確的是（）

A.\MF\=6B.點N的坐標為,1,；）

高中16

高中

——?―?9

CQM"D.在“軸上存在點R,使得"節為鈍角

1.如圖，在三棱柱45。-4月。中，M,N分別是45,4G上的點，且曲/=24河，

C、N=2B、N.設~AB=a，AC=b，AAX=c若ABAC=90°,NBAA]=ZCAA,=60°,

AB=AC=A4=1,貝Ij()

A.MN=—a+—b+—c

333

C.福_1%

2.設工友工是任意的非零向量，則下列結論不正確的是（）

A.6-tz=6B.?b)?c=a?(b?c)

B)=|Z|2_|加2

C.a-b=a-LbD.

3.（多選）下列各命題中，正確的命題為（）

A.y/a-a=\a\B.m(Aa)?b=(mX)a-b(m^GR)

C.a^b+c）=（b+c）-aD.a2b=b2a

4.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若直線/的方向向量為工=（1。3）,平面。的法向量為3=1-2,0,|1,則直線///a

—■1—?1—-1—.

B.若對空間中任意一點。，^OP^-OA+-OB+-OC,則尸、A、B、C四點共面

442

C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線

D.已知向量2=（9,4,-4）,K=（1,2,2）,則￡在B上的投影向量為（1,2,2）

高中17

高中

5.設向量1=（左,2）,6=（1,-1）,則下列敘述錯誤的是（）

A.若左＜-2時，則方與B的夾角為鈍角B.同的最小值為2

C.與B共線的單位向量只有一個為拳，-彳D.若囪=2⑸，則上=2后或-2后

I22

6.設廠為拋物線C：/=3x的焦點，過尸且傾斜角為30。的直線交C于4,2兩點，則（）

A.\AB\=nB.OAOB=——

1116

C.yAyB=-3D.xAxB=3

7.已知向量a=（2,l）］=（l,-l）,c=（加-2,-”），其中私”均為正數，且（a/）〃c,下列說

法正確的是（）

A.々與B的夾角為鈍角

B.向量々在3方向上的投影為。

C.2m+n=4

D.小〃的最大值為2

8.已知“3C所在平面內有三點O,N,P,則下列說法正確的是（）

A.若網=網=|因，則點。是OBC的外心

B.^NA+NB+NC=0,則點N是2BC的重心

C.若互5.詬=而?斤=京.蘇，則點P是AA8C的垂心

（益就1—■ABAC1

D.若『+產『BC=0,且二?萬方=弓，則”3C為直角三角形

［網對陽陷2

9.如圖，在平行六面體/BCD-44GA中，4c與BD交于O點、,且

ZBAD=ZBAA}=Z.DAAX=60°,AB=AD=4,=5.則下列結論正確的有（）

高中18

高中

A.AC.1BDB.BCX-AXC=9

C.BD.=V§5D.OB,^-AB--AD-AA,

1221

10.(多選)下列說法中正確的是()

A.若非零向量斕滿足口咽叩-耳，則Z與￡+5的夾角為30。

B.若Z石＞0，則Z花的夾角為銳角

C.若樂?刀=運?%+而?就+而?瓦，則4N2C一定是直角三角形

D.”8C的外接圓的圓心為。，半徑為1,若在+%=2粉，S.\O4\=\CA\,則向量

說在向量數方向上的投影數量為:3

11.下列說法中正確的是()

A.若。是內一點，且次.無=次.反=發.礪，則。為“8C的垂心

B.若。是“3C內一點，S.BC-(OB+OC)=AC-(04+OC)=AB-(04+03)=0,則O

為的外心