四川省高三年級第一次聯合診斷性考試數學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、考籍號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區”．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應區域內作答，超出答題區域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．3．考試結束后由監考老師將答題卡收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合，，則（）．A． B．C． D．2．在復平面內，復數對應的點位于第二象限，則實數a的取值范圍為（）．A． B． C． D．3．已知，設甲：；乙：，則甲是乙的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知平面向量，，則在上的投影向量為（）．A． B． C． D．5．在2024年巴黎奧運會上，我國網球選手鄭欽文歷經6場比賽，勇奪巴黎奧運會女子網球單打冠軍，書寫了中國網球新的歷史．某學校有2000名學生，一機構在該校隨機抽取了800名學生對鄭欽文奧運會期間6場單打比賽的收看情況進行了調查，將數據分組整理后，列表如下：觀看場次0123456觀看人數占調查人數的百分比15％5％5％m％10％15％％從表中數據可以得出的正確結論為（）．A．表中m的數值為15B．觀看場次不超過3場的學生的比例為30％C．估計該校觀看場次不超過2場的學生約為400人D．估計該校觀看場次不低于4場的學生約為1300人6．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）．A． B． C． D．7．設雙曲線的離心率為，實軸長為2，則雙曲線C上任意一點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積為（）．A． B． C． D．8．已知函數，且為偶函數，則滿足不等式的實數m的取值范圍為（）．A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數，則（）．A．的最小正周期為B．在上單調遞增C．的圖象關于直線對稱D．的圖象可由的圖象向左平移個單位得到10．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓E相交于P，Q兩點，則（）．A．以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為B．以為直徑的圓與橢圓E有且僅有2個公共點C．以為圓心，為半徑的圓與橢圓E有3個公共點D．以為直徑的圓與直線相離11．如圖，在正方體中，O是線段的中點，點P在棱上運動，則（）．A．點P在平面上的射影不可能是點OB．點P在平面上的射影到B，D兩點的距離相等C．當點P與頂點A重合時，直線與平面所成角的正切值為D．當點P與頂點重合時，點P到平面的距離等于三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，且，則__________．13．甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，丙不站前排，則不同的站法共有__________種（用數字作答）．14．人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題，牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法——牛頓法，如圖，在橫坐標為的點處作的切線，該切線與x軸的交點為；在橫坐標為的點處的切線與x軸的交點為；一直繼續下去，得到，，，…，，它們越來越逼近的零點r．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值可作為函數的一個零點r．用“牛頓法”求方程的近似解r，可以構造函數，若，得到該方程的近似解r約為__________（精確到0.1）．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層球數構成一個數列．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．16．（15分）已知某學校為提高學生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動，為了解學生對開展的課外活動的滿意程度，該校隨機抽取了350人進行調查，整理得到如下列聯表：性別課外活動合計滿意不滿意男150100250女5050100合計200150350（1）根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素有關聯？（2）從這350名樣本學生中任選1名學生，設事件A＝“選到的學生是男生”，事件B＝“選到的學生對課外活動滿意”，比較和的大小，并解釋其意義，附：0.10.050.012.7063.8416.63517．（15分）如圖，在幾何體中，四邊形是梯形，，，與相交于點N，平面，，H是的中點，，．（1）點P在上，且，證明：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（17分）已知F為拋物線的焦點，過點F的直線與拋物線E相交于，兩點．（1）證明：是常數；（2）過點F作直線的垂線l與拋物線E的準線相交于點P，與拋物線E相交于C，D兩點（點C的橫坐標小于點D的橫坐標）．①求的值；②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．19．（17分）已知函數．（1）若，求函數的極值；（2）若，，求實數a的取值范圍；（3）若，且，證明：．

四川省高三年級第一次聯合診斷性考試數學參考答案及評分標準評分說明：1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制定相應的評分細則．2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．4．只給整數分．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678DABBDCBC1．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計集合運算問題，主要考查一元一次不等式的解法，集合的交集運算等基礎知識；考查運算求解能力；考查數學運算等數學核心素養．【答案】D【解析】由，所以．2．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計復數的幾何意義，不等式組的解法等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想；考查直觀想象等數學核心素養．【答案】A【解析】復數，其對應的點在第二象限，則，解得．3．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計充分條件與必要條件等問題，主要考查充分條件與必要條件、三角函數的圖象和性質等基礎知識；考查邏輯推理等數學能力；考查數學抽象、邏輯推理等數學核心素養．【答案】B【解析】由，得，，則x不一定滿足；反之，當時，一定有．故甲是乙的必要不充分條件．4．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計平面向量問題，主要考查平面向量的幾何意義與投影向量等基礎知識；考查推理論證等數學能力；考查直觀想象等數學核心素養．【答案】B【解析】依題意，，，所以在上的投影向量為．5．【命題意圖】本小題設置生活實踐情境，設計統計問題，考查概率、平均數等統計量的計算，樣本估計總體等相關知識；考查統計概率思想；考查運算求解能力和應用能力；考查數據分析等數學核心素養．【答案】D【解析】由表可知，15％＋5％＋5％＋m％＋10％＋15％％＝1，解得，選項A錯誤；觀看場次不超過3場的學生的比例為15％＋5％＋5％＋10％＝35％，選項B錯誤；觀看場次不超過2場的學生的比例為15％＋5％＋5％＝25％，則觀看場次不超過2場的學生約為％＝500人，選項C錯誤；觀看場次不低于4場的學生的比例為10％＋15％＋40％＝65％，則觀看場次不低于4場的學生約為％＝1300人，選項D正確．6．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計解三角形問題，主要考查正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函數等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力；考查數學運算素養、邏輯推理素養．【答案】C【解析】由，根據正弦定理有，所以，有，根據余弦定理，有，由，所以．7．【命題意圖】本小題設計數學學習情境，設計雙曲線的相關問題，考查雙曲線的標準方程、離心率、漸近線及點到直線的距離等基礎知識；考查化歸與轉化等數學思想；考查數學運算等數學核心素養．【答案】B【解析】由已知，，，所以，，則．設為雙曲線C上任意一點，則，即．而雙曲線C的漸近線為，所以點M到兩條漸近線的距離之積為．8．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計函數性質與不等式等問題，主要考查指數式的運算、函數考查邏輯推理等數學能力；考查數學抽象、邏輯推理等數學核心素養．【答案】C【解析】依題意，，令，由于為偶函數，故只需為奇函數，由，得，由此可以驗證為奇函數．又由為偶函數，得，故的圖象關于直線對稱．，當時，與單調遞增且均大于0，易知單調遞增（或由時，，可知，當時，單調遞增），則時，單調遞減．原不等式即為，等價于，即，解得．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．91011ACABDBCD9．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計三角函數圖象與性質問題，主要考查兩角和的正弦公式，正弦型函數的周期、單調性，圖象的對稱性、圖象平移變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，抽象概括能力；考查數學運算、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養．【答案】AC【解析】由，所以最小正周期，選項A正確；當時，，此時先減后增，選項B錯誤；的圖象關于直線對稱，當時，，選項C正確；的圖象向左平移個單位得到的圖象，選項D錯誤．10．【命題意圖】本小題設置數學課程學習的綜合情境，以橢圓和圓的關系設置問題，主要考查圓的方程、橢圓的標準方程及其性質等基礎知識，考查數與形結合、函數與方程、化歸與轉化等數學思想；考查數學運算、邏輯推理等數學核心素養．【答案】ABD【解析】以橢圓E的長軸為直徑的圓的半徑為，圓心為原點，其方程為。選項A正確；以為直徑的圓的方程為，與橢圓E有且僅有2個公共點，選項B正確；由于橢圓E上的任意一點H與左焦點的距離（H為左頂點時取“＝”），故以為圓心，為半徑的圓與橢圓E只有一個公共點，選項C錯誤；設M為線段的中點，過點P，Q，M作直線l的垂線，垂足分別為點，，，則，即以為直徑的圓的圓心到直線l的距離大于該圓的半徑，選項D正確．11．【命題意圖】本小題設置數學課程學習情境、探索創新情境，設計正方體中的問題，體現基礎性和創新性，主要考查點在平面上的射影、點到平面的距離、直線和平面所成的角等基礎知識；考查數與形結合、特殊與一般、化歸與轉化等思想方法，以及探索性、創新性的思維品質；考查直觀想象、數學運算和邏輯推理等核心素養．【答案】BCD【解析】連接，易知直線，，所以直線平面．當P為線段的中點時，，此時點O是點P在平面上的射影，選項A錯誤；連接，，，易證平面平面，為這兩平面的交線，于是點P在平面上的射影在直線上，顯然為線段的中垂線，選項B正確；顯然直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角（等于），而，選項C正確；由上述可知，點C到平面的距離等于，所以點P到平面的距離等于，選項D正確．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計三角函數求值問題，主要考查同角三角函數關系，誘導公式，兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數值等基礎知識；考查運算求解、推理論證能力；考查數學運算等數學核心素養．【答案】【解析】由且得，則．13．【命題意圖】本小題設計生活實踐情境，設計排列組合相關問題，考查分類加法和分步乘法計數原理；考查分類與整合等數學思想及應用能力；考查數學抽象、邏輯推理等數學核心素養．【答案】20【解析】當甲和乙站前排，丙站后排時，不同站法有（種）；當甲和乙站后排，丙站后排時，不同站法有（種），所以不同的站法共有（種）．14．【命題意圖】本小題設置探索創新情境，設計函數與導數相關問題，主要考查導數的幾何意義，函數零點等基礎知識；考查化歸與轉化、數形結合，函數與方程等數學思想，考查數學抽象、邏輯推理，直觀想象，數學建模等數學核心素養．本小題是根據選擇性必修二探究與發現（牛頓法——用導數方法求方程的近似解）編制而成．【答案】3.3【解析】由，得．當時，，，則過點的切線方程為，令，得．又，，則過點的切線方程為，令，得，此時與近似值相等，故近似解r約為3.3．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【命題意圖】本小題在數學文化背景下，設置數學課程學習情境、探索創新情境，設計數列問題，體現基礎性和創新性，主要考查數列通項、前n項和的求法、等差數列與等比數列的綜合應用等基礎知識：考查特殊與一般、化歸與轉化等思想方法，以及探索性、創新性的思維品質；考查數學抽象、數學運算和邏輯推理等核心素養．【解析】（1）由題意可知，，，，……，（2分）數列的一個遞推關系為，，當時，利用累加法可得，，（5分）將代入得，滿足，所以數列的通項公式為，．（7分）注：學生若根據示意圖，得到，，，進而得到．（只給5分）（2）由（①）知，，（9分）則．（13分）16.【命題意圖】本小題設置生活實踐情境，設計統計與概率等問題，主要考查條件概率與全概率公式、列聯表與獨立性檢驗等基本知識；考查統計基本思想以及抽象概括、數據處理等能力和應用意識；考查數學運算、數學建模、數據分析等數學核心素養．【解析】（1）提出零假設：該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素無關聯，（1分）根據表中數據，得到，（5分）所以根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，即認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素無關聯．（7分）（2）方法1依題意得，，（9分）．（11分）方法2依題意得，，，（9分），，（10分）所以，，（11分）則．（13分）意義：男生對課外活動滿意的概率比女生對課外活動滿意的概率大；或者男生對課外活動滿意的人數比女生對課外活動滿意的人數多等等．（15分）17．【命題意圖】本小題設置課程學習情境，設計立體幾何問題，主要考查空間線面平行、線面垂直、空間角等基礎知識；考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數學抽象素養、邏輯推理素養、直觀想象素養和數學運算素養．【解析】（1）方法1：依題意可知，直線，，兩兩垂直，以點A為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，依題意得，，，，（2分）因為，所以，所以，又，所以，（5分）又，，從而得，所以向量，，共面，（7分）又平面，平面，平面，所以平面．（8分）方法2：如圖，在，上取點M，Q，且滿足，，連接，，，因為，，有，所以，且，（3分）又因為，，，所以，有，所以，且，（5分）又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（8分）（2）由（1）方法1可知，，，，（9分）設平面的法向量為，則，即，取得平面的一個法向量為，（11分）設平面的法向量為，則，即．取得平面的一個法向量為，（13分）則，由圖知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．（15分）18．【考查意圖】本小題設置數學學習情境、探索創新情境，設計直線與拋物線相關的開放性問題，主要考查直線的方程、拋物線的方程及基本性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識；考查函數與方程、化歸與轉化及數形結合等思想方法，考查直觀想象、數學運算及邏輯推理等數學核心素養．【解析】（1）由已知，點F的坐標為，且可設直線的方程為，聯立方程組，消去x，得（*），（2分）因為，所以，為方程（*）的兩個實根，且，因為點A，B在拋物線E上，所以，為常數．（5分）（2）在題設條件下，直線，都不與坐標軸平行且，由（1）可知直線l的方程為：，①因為拋物線E的準線方程為，代入l的方程可得點P的坐標為，由（1）可知，，，，，因此，，（7分），（10分）即的值為0．②存在最小值，（11分）設點C，D的坐標分別為，，因為點A，B，C，D均在拋物線E上，所以，，，，由，有，即，變形可得，則（**），同理，，（13分）根據拋物線的定義可知，，，，，所以．（