三位旋轉的表示一、基本定義坐標系定義 大地坐標系：這是一個球坐標系。GPS常用的經緯高 地心固連坐標系：以地心為原點Oe，Z軸指向北極，X軸指向0°經線與0°緯線的交點，按右手系規則，Y軸正交與X軸的Z當地北東地系：以起飛點為原點On，X軸指向北極，Y軸垂直于X軸指向東，Z軸垂直于XOY平面機載北東地系：以飛行器質心為原點Onv，X軸指向北極，Y軸垂直于X軸指向東，Z軸垂直于XOY平面向下建立的坐標系。整個坐標系隨飛行器運動。機體系：以飛行器質心為原點Ob，X軸指向機頭，Y軸垂直于X軸指向飛行器右側，Z軸垂直于XOY歐拉角定義 正歐拉： 偏航(ψ)：北東地坐標系X軸與機體系X軸在北東地坐標系XOY平面上的投影與之間的夾角。機頭右偏航為正，左偏航為負。俯仰(θ)：經過一次偏航旋轉后的北東地坐標系X軸與機體坐標系X軸之間的夾角。抬頭為正，低頭為負。其中機體坐標系已經繞Y軸旋轉了θ角。橫滾(?)：經過兩次旋轉后的坐標系Z軸與機體系Z軸之間的夾角，右滾為正，左滾為負。其中機體坐標系已經繞X軸旋轉了?角。在一些垂直發射的飛行器中，正歐拉會出現俯仰角不唯一的情況（機體系X軸變成一個點了，與北東地坐標系XOY平面沒有夾角了）。針對這種情況提出反歐拉概念。反歐拉：俯仰(θ)：機體系X軸與北東地坐標系XOY平面的夾角，抬頭為正，低頭為負。偏航(ψ)：北東地坐標系X軸與機體系X軸在北東地坐標系XOY平面上的投影與之間的夾角。機頭右偏航為正，左偏航為負。橫滾(?)：機體系Z軸與通過機體坐標軸X的鉛錘面之間的夾角，右滾為正，左滾為負。坐標系轉化 機體坐標系角速度與歐拉角速度之間的關系設當前的旋轉順序：偏航->俯仰->橫滾。最 先旋轉的偏航角速度需要旋轉兩次才能與機體坐標系下繞z軸的角速度相等。k其中，R俯仰角速度只需旋轉一次。0其中，R橫滾角速度不需要旋轉。p聯立上式，有p綜上，機體系角速度轉化成歐拉角速度：p歐拉角速度轉化成機體系角速度：?二、旋轉的三維表示歐拉角旋轉矩陣飛行器在空間中的姿態通常可以用橫滾，俯仰與偏航來表示。在數學上表示如下：(旋轉坐標系)橫滾角?，繞x軸逆時針旋轉：Rx這些都是單位正交陣俯仰角θ，繞y軸順時針旋轉：R偏航角ψ，繞z軸逆時針旋轉：R按照偏航-俯仰-橫滾的順序從北東地坐標系旋轉到機體系的旋轉矩陣旋轉矩陣是一個群為旋轉矩陣是一個群R=從上述旋轉矩陣中解算出歐拉角?=arctan由于旋轉矩陣Reb是單位正交矩陣，則其逆矩陣為該矩陣的轉置。有R單位正交陣的定義與性質見附錄。從旋轉矩陣中反解出橫滾角?，俯仰角θ，偏航角ψ:?=arctan四元數旋轉矩陣同樣的旋轉，用四元數可以表示為：從北東地系轉機體系：Vb=四元數的核表示旋轉，外面的常數項表示平動為1的平移運動。故從第2行第2列開始與上面的Re?=arctan從機體系轉北東地坐標系：Vn=四元數的核表示旋轉，外面的常數項表示平動為1的平移運動。故從第2行第2列開始與上面的Rb?=arctan計算四元數的方法從旋轉矩陣獲取設旋轉矩陣為 從歐拉角獲取繞Z軸的旋轉為偏航角?，在四元數中表示為從軸角獲取：軸角法軸角法在控制上的應用旋轉矩陣求導與指數映射 旋轉矩陣滿足R 考慮到R隨時間變化，則寫成R 兩端對時間t求導R(t) 即

R 整理得R(t)