二項式定理教學課件二項式定理考點新知①能用計數原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項式定理有關的簡單問題．②會用二項展開式以及展開式的通項，特別要注意有關二項式系數與項的系數的區別.1.(選修23P32練習5改編)在(1－x)6展開式中，含x3項的系數是________．答案：－20162.(選修23P32練習6改編)?x＋?x的二項展開式的常數項為________．答案：2013.(選修23P35習題7改編)?x2－n的展開式中，常數項為15，則n＝________.答案：6?x4.(選修23P35習題12改編)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a8x8，且a5＝56，則a0＋a1＋a2＋?＋a8＝________.答案：2563?n5.(xx·上海理)在二項式?＋的展開式中，各項系數之和為A，各項二項式系數之和?x?為B，且A＋B＝72，則n＝________..答案：31.二項式定理(a＋b)＝Cna＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnb(n∈N)．這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其n－rr中的系數C叫做二項式展(r＝0,1,2，?，n)叫做第r＋1項的二項式系數．式中的n－rr開式的第r＋1項(通項)，用Tr＋1表示，即展開式的第r＋1項；Tr＋1＝n0n1n－1rn－rrnn2.二項展開式形式上的特點(1)項數為(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.1n－1n(4)二項式的系數從0Cn，一直到Cn3.二項式系數的性質(1)在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等．(2)如果二項式的冪指數是偶數，中間項的二項式系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大．1nn(3)二項式系數的和等于n，即0(4)二項式展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即0n－1＋C＋?＝C＋C2.題型1二項式展開式的特定項1n2例1如果?x－的展開式中，第四項和第七項的二項式系數相等，?x(1)求展開式的中間項；?1?n－1(2)求?4?展開式中所有的有理項．?2?1n23636解：(1)?x－展開式中，第四項和第七項的二項式系數分別是CC由Cn，n，n＝Cn，?x1126－3425得n＝9，所以?x2－9展開式的中間項為第5項和第6項，即T5＝(－1)4C49(x)(x)?xx126－3524T6＝(－1)5C59(x)(x)x(2)通項為rTr＋1＝C8(－1?r1?rr16－3r4?＝?－C8x(r＝0,1,2，?，8)，為使Tr＋1為有??24?2?8－r1?0044理項，必須r是4的倍數，所以r＝0,4,8，共有三個有理項，分別是T1＝?－C8x＝x，?2?1?44351－2?18C8T5＝?－Cx，T.8x＝9＝－8x?2??28256x題型2二項式系數11例2已知?x＋?n的展開式中前三項的系數成等差數列．設?x＋?n＝a0＋a1x＋a2x2?2??2?＋?＋anxn.求：(1)a5的值；(2)a0－a1＋a2－a3＋?＋(－1)nan的值；(3)ai(i＝0,1,2，?，n)的最大值．1121解：(1)由題設，得C0n＋×Cn＝2××Cn，42即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍)．Tr＋1＝C8xr8－r?1?r，令8－r＝5r＝3，所以a5＝7.?2?1(2)在等式的兩邊取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋?＋a8＝.25611≥?22(3)設第r＋1的系數最大，則?11≥?22r8r8r＋1＋C8r－1－C8.?即?112r9－r118－r2?r＋1?，解得r＝2或r＝3.所以ai系數最大值為7.1.(xx·重慶理)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n＝________.答案：7n！n！56656解析：由題意可得C5nn3＝Cn3，即Cn＝3Cn5！?n－5?！6！?n－6??。?.2.(xx·安徽理)設(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a21x，則a10＋a11＝________.答案：010解析：a10，a11分別是含x10和x11項的系數，所以a10＝－C1121，a11＝C21，所以a10＋a11＝－C21＋C21＝0.a??1?53.(xx·全國理)?x2x－的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項?x??x?為________．答案：40a5?x＋1解析：令x＝1得各項系數和為?1＋(2－1)＝(1＋a)＝2，∴a＝1，所以原式變為?1?x111021221?2x－15，?2x－1?5展開式的通項為Tr＋1＝Cr5(2x)5－r?－1?r＝Cr525－r(－1)rx5－2r.令5－2r＝－1，??x?x?x?232得r＝3；令5－2r＝1，得r＝2，所以常數項為(－1)322C35＋(－1)2C5＝40.4.(xx·浙江理)設二項式?x－?a?6(a>0)的展開式中x3的系數為A，常數項為B，若B?＝4A，則a＝________.答案：2解析：由題意，得r6－rTr＋1＝C6x?－a?r＝(－a)rCrx6－3r，∴A＝(－a)2C2，B＝(－a)4C4.666??2222又∵B＝4A，∴(－a)4C46＝4(－a)C6，解之得a＝4.又∵a>0，∴a＝2.n－1n－2－15若n是奇數，則7n＋C1＋C2＋?＋Cnn7n7n7被9除的余數是________．答案：7解析：原式＝(7＋1)n－1＝(9－1)n－1＝9k－2＝9k′＋7(k和k′均為正整數)．課堂教學安排課堂教學安排課堂教學安排授課內容二項式定理（1）特定項的求法授課人姚紅雨二項式定理復習課計劃安排兩個課時，本課是第一課時，主要復習二項展開式和通項。高考要求：1、對二項式定理的掌握與應用：以二項展開式（或多項展開式）中某一項（或某一項的系數）的問題為主打試題；2、對二項展開式的性質的掌握與應用：二項展開式中二項式系數的和與各項系數的和；組合多項式的求和等問題。根據歷年高考對這部分的考查情況，結合學生的特點，設定如下教學目標：知識與技能（1）理解并掌握二項式定理，從項數、指數、系數、通項幾個特征熟記它的展開式。（2）會運用展開式的通項公式求展開式的特定項。過程與方法在教學中中教給學生怎樣記憶數學公式，如何提高記憶的持久性和準確性，從而優化記憶品質。記憶力是一般數學能力，是其它能力的基礎。在解題時樹立由一般到特殊的解決問題的意識。情感、態度、價值觀通過對二項式定理的復習，有意識地讓學生演練一些歷年高考試題，使學生體驗到成功，樹立學好數學的信心。教學重點運用展開式的通項公式求展開式的特定項教學難點轉化思想的培養教學方法講練結合學法指導在例題中培養解題常規方法及思想，通過課堂即時練習強化鞏固。教學過程1.知識點歸納（任務1）寫出二項式定理。?a?b?n?Cn0anb0???Can?rbr???Cnna0bn，?n?N*?所表示的定理，叫做二項式定理，右邊的多項式叫做?a?b?的二項式展開式。n（問題1）二項式系數是什么？通項是什么？（熱身練習1）按二項式定理展開（1）?1?x?（2）?1?2x?n3（問題2）系數和二項式系數是什么？（熱身練習2）求取下式的指定項?21?x??（1）求二項式???的展開式中的常數項；2x??（2）在x2?2?3x?的展開式中，x項的系數為6510例題組1、（1）求x2?2x?1展開式中的x的系數.（2）、求(1?x?x2)6展開式中x5的系數．（3）求(1?x)3(1?x)10展開式中x5的系數；（1）分析：很明顯該式是一個完全平方式，可以轉化為二項式定理。解：完全平方法：x2?2x?1=?x?1?6??33??3rr通項Tr?1???1?C6x，取r=3r得x的系數為-20。（2）分析：(1?x?x2)6不是二項式，我們可以通過1?x?x2?(1?x)?x2或1?(x?x2)把它看成二項式展開．解：組合為兩項展開觀察法：(1?x?x2)6?(1?x)?x2?(1?x)6?6(1?x)5x2?15(1?x)4x4??53555其中含x的項為C5C16x?6C5x?154x?6x．53??65含x項的系數為6．組合為兩項通項公式法：(1?x?x2)6?1?(x?x2)r2通項Tr?1?C6x?x??6??r再對x?x2??使用通項公式rTS?!?Crsxr?s?x2=Crs??1?sxr?s得到Tr?1?C6Crs??1?xr?srs??s這里0?r?6，0?s?r5其中含x的項需滿足r?s?5，滿足條件的r、s記為?r,s?有?5,0?、?4,1?、?3,2?∴x項的系數為6．排列組合法：本題還可通過把(1?x?x)看成6個1?x?x相乘，每個因式各取2625一項相乘可得到乘積的一項，x5項可由下列幾種可能得到．5個因式中取x，一個取1得到5．C5x61323個因式中取x，一個取?x2，兩個取1得到C36?C3x?(?x)．2221個因式中取x，兩個取?x2，三個取1得到C16?C5x?(?x)．5311255合并同類項為(C5，項的系數為6．x?CC?CC)x?6x66365（3）分析：本題可以轉化為二項式展開的問題，視為兩個二項展開式相乘；解：局部展開法：注意到x次數不高，對其局部展開5?1?x?3?1?x?10=?1?3x?3x2?x3??1?10x?45x2?120x3?210x4?252x5??展開式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：55用(1?x)展開式中的常數項乘以(1?x)展開式中的x5項，可以得到C10x；4用(1?x)3展開式中的一次項乘以(1?x)10展開式中的x項可得到3104445(?3x)(C10x)??3C10x；3335用(1?x)中的x乘以(1?x)展開式中的x可得到3x2?C10x?3C10x；2225用(1?x)中的x項乘以(1?x)展開式中的x項可得到?3x3?C10x??C10x，53210333102合并同類項得x項為：5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．變式練習1：1??1、求?x??1?的展開式中的常數項。(資料基7)x???1?1??2、1?x?（資料綜1）??展開式中的常數項為（）x??65??10A．1B.46C.4245D.42461??2、若?x??2?的展開式的常數項為?20，求n．x??分析：題中x?0，當x?0時，把三項式n1???x??2?x??nn11????轉化為?x??2???x??xx????2nn2n；當x?0時，同理11???n?然后寫出通項，令含x的冪指數為零，進而解出n．?．?x??2??(?1)??x?x?x????11????解：當x?0時?x??2???x??，其通項為xx????r2n?rTr?1?C2(?n(x)n2n1rr2n?2r，)?(?1)rC2n(x)x令2n?2r?0，得n?r，n∴展開式的常數項為(?1)nC2n；11????當x?0時，?x??2??(?1)n??x??，x?x????n同理可得，展開式的常數項為(?1)nC2n．n無論哪一種情況，常數項均為(?1)nC2n．n令(?1)nC2n??20，以n?1,2,3,?，逐個代入，得n?3．n2n?1?x??3、在???的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項。2x??有理項定義：系數為有理數，次數為整數的項叫做有理項分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數及有理項，可以通過抓通項公式解決．解：二項式的展開式的通項公式為：nTr?1n?r?1?r1?Cr(x)???Cxnn??r2?2x?r2n?3r4前三項的r?0,1,2.1得系數為：t1?1,t2?Cn由已知：2t2?t1?t3∴n?8通項公式為1111?n,t3?C2?n(n?1)，n22481n?1?n(n?1)，