13.3.2等邊三角形第1課時等邊三角形的性質和判定課時目標1.掌握等邊三角形定義,理解等邊三角形和等腰三角形的關系,培養學生的抽象概括能力.2.經歷類比過程,探索等邊三角形的性質和判定,培養學生的推理能力和模型觀念.3.能運用等邊三角形的性質和判定進行計算和證明,培養學生的推理、運算能力和應用意識.4.培養學生參與數學學習活動的積極性,增強對數學的好奇心和求知欲.學習重點理解并掌握等邊三角形的概念、性質和判定.學習難點理解并掌握等邊三角形判定定理的探究與證明,靈活的運用等邊三角形的性質與判定方法解決相關問題.課時活動設計回顧舊知1.等腰三角形的性質和判定?2.三角形按邊的關系怎么分類?解:分類為設計意圖:本節課研究的等邊三角形是特殊的等腰三角形,回憶等腰三角形的性質和判定以及三角形的分類,有助于類比研究本節內容,憶舊知導新課,幫助學生明確研究方向和內容,培養學生用類比思想研究問題,鍛煉數學思維.探究新知等邊三角形的性質1.你能歸納等邊三角形的定義并結合圖形寫出符號語言嗎?解:文字語言:三邊都相等的三角形叫做等邊三角形(正三角形).符號語言:∵AB=AC=BC,∴△ABC是等邊三角形.2.類比等腰三角形的性質,你能得到等邊三角形什么性質?解:(1)三條邊相等;(2)三個角相等,都是60°.3.等邊三角形有“三線合一”的性質嗎?等邊三角形有幾條對稱軸?學生動手作圖,找學生回答問題.解:等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的角平分線都“三線合一”,等邊三角形有3條對稱軸.4.你能運用類比的方法探索等腰三角形與等邊三角形的聯系與區別嗎?解:等腰三角形和等邊三角形邊、角、對角線的聯系與區別.名稱圖形邊角重要線段對稱性等腰三角形兩腰相等兩個底角相等頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合軸對稱圖形,有一條對稱軸等邊三角形三條邊相等三個角相等,且都為60°每條邊上的中線、高和它所對角的角平分線都互相重合軸對稱圖形,有三條對稱軸設計意圖:學生動手折疊或者作圖驗證猜想,得出等邊三角形滿足“三線合一”,有3條對稱軸.熟練掌握等腰三角形與等邊三角形的聯系與區別,經歷猜想、驗證、歸納的過程,讓學生體驗研究的方法和思路,培養嚴謹的科學態度和模型觀念.

典例精講例1如圖,在等邊△ABC中,BC=10,BD⊥AC于點D,則(1)AC=10;

(2)∠A=60°;

(3)∠ABD=30°;

(4)AD=5.

例2如圖,△ABC是等邊三角形,E是AC上一點,D是BC延長線上一點,連接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度數.分析:利用等邊三角形三個角都是60°可得∠ACD是120°,再通過等腰△EBD的性質就可得出答案.學生獨立完成,小組內交流.解:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠EBD=∠D=20°.∵∠ACD=180°-60°=120°,∴∠CED=180°-120°-20°=40°.設計意圖:本環節設計的2個例題,鞏固等邊三角形邊、角、三線合一的性質,選題有梯度,分層設置.第2小題強調等邊三角形每個角都是60°這個隱含條件以及三角形內角和定理和外角定理的綜合應用,鞏固性質,培養學生運用數學的能力,提升推理能力和運算能力.探究新知等邊三角形的判定1.類比等腰三角形的判定方法,你能得出等邊三角形的判定方法嗎?圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看:兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看:兩個角相等的三角形是等腰三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形2.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結論嗎?學生討論得出:一共有兩種情況,等腰三角形的頂角是60°或等腰三角形的一個底角是60°.分別用三角形的內角和及等腰三角形兩底角相等求出另外兩個角從而得出三個內角都是60°,驗證是等邊三角形.設計意圖:用類比的方法探究等邊三角形的判定,使學生在掌握知識的同時更好地把握住了研究問題的方法,培養了學生方法的掌握和知識體系的形成,注重對學生能力的培養.

典例精講例1根據條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.解:圖形(2)(3)(5)(6)是等邊三角形,圖形(1)不是等邊三角形,圖形(4)不一定是等邊三角形.例2如圖,△ABC是等邊三角形,DE∥BC,分別交AB,AC于點D,E.求證:△ADE是等邊三角形.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ABC是等邊三角形.變式訓練(1)如圖1,若點D,E在邊AB,AC的延長線上(如圖1),且DE∥BC,結論還成立嗎?(2)如圖2,若點D,E在邊AB,AC的反向延長線上(如圖2),且DE∥BC,結論依然成立嗎?(3)題(1)中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.解:(1)結論仍成立.(2)結論仍成立.(3)△ADE還是等邊三角形.理由如下:∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°.∴∠EAD=60°.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=60°.∴△ADE還是等邊三角形.設計意圖:根據圖形結構和題設條件多方位進行變式,達到一題多練的目的,培養學生幾何直觀和空間觀念,使學生抓住圖形的本質,發展模型觀念.鞏固訓練1.△ABC為等邊三角形,點M是BC邊上任意一點,點N是CA邊上任意一點,且BM=CN,BN與AM相交于Q點,求∠BQM的度數.解:∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°.在△AMB與△BNC中,AB∴△AMB≌△BNC.∴∠BAM=∠CBN.∵∠BQM是△ABQ的外角,∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ.∵∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABC.∵∠ABC=60°,∴∠BQM=60°.2.在等邊△ABC中,點P在△ABC內,點Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,問△APQ是什么形狀的三角形?試證明你的結論.解:△APQ是等邊三角形.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,∴△ABP≌△ACQ.∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.∴△APQ是等邊三角形.設計意圖:本題組設計兩個題目,分別是等邊三角形性質和全等的綜合應用、等邊三角形判定和全等的綜合應用.利用三角形全等轉化邊和角相等是幾何常考知識點,也是初中階段的重點,選題具有典型性,培養學生綜合分析問題的能力,進一步培養推理意識和能力.課堂小結1.談談今天的收獲.2.教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容,并請學生回答以下問題:(1)本節課學習了哪些主要內容?(2)我們是怎么探究等邊三角形的性質和判定的?(3)本節課你學到了哪些方法?設計意圖:通過小結,引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲,掌握幾何直觀和模型觀念,提升知識轉化和遷移能力.相關練習.1.教材第80頁練習第1,2題.2.相關練習.教學反思